高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第六章 第二節(jié) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和 理試題

eq\a\vs4\al\co1(第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和)考點(diǎn)一等差數(shù)列中的運(yùn)算問(wèn)題1．(2015·重慶，2)在等差數(shù)列{an}中，若a2＝4，a4＝2，則a6＝()A．－1 B．0 C．1 D．6解析由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0，選B.答案B2．(2014·福建，3)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝2，S3＝12，則a6等于()A．8 B．10 C．12 D．14解析設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則S3＝3a1＋3d，所以12＝3×2＋3d，解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12，故選C.答案C3．(2014·遼寧，8)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.若數(shù)列{2a1an}為遞減數(shù)列，A．d<0 B．d>0 C．a(chǎn)1d<0 D．a(chǎn)1d>0解析{2a1an}為遞減數(shù)列，可知{a1an}也為遞減數(shù)列，又a1an＝aeq\o\al(2,1)＋a1(n－1)d＝a1dn＋aeq\o\al(2,1)－a1d，故a1d<0，故選C.答案C4．(2013·新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ，7)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m＝()A．3 B．4 C．5 D．6解析∵am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，∴d＝am＋1－am＝1.∵Sm＝ma1＋eq\f(m（m－1）,2)×1＝0，∴a1＝－eq\f(m－1,2).又∵am＋1＝a1＋m×1＝3，∴－eq\f(m－1,2)＋m＝3.∴m＝5.故選C.答案C5．(2015·陜西，13)中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項(xiàng)為2015，則該數(shù)列的首項(xiàng)為_(kāi)_______．解析由題意設(shè)首項(xiàng)為a1，則a1＋2015＝2×1010＝2020，∴a1＝5.答案56．(2013·重慶，12)已知{an}是等差數(shù)列，a1＝1，公差d≠0，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1，a2，a5成等比數(shù)列，則S8＝________．解析由a1＝1且a1，a2，a5成等比數(shù)列，得a1(a1＋4d)＝(a1＋d)2，解得d＝2，故S8＝8a1＋eq\f(8×7,2)d＝64.答案647．(2013·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ，16)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S10＝0，S15＝25，則nSn的最小值為_(kāi)_______．解析設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，則S10＝10a1＋eq\f(10×9,2)d＝10a1＋45d＝0，①S15＝15a1＋eq\f(15×14,2)d＝15a1＋105d＝25.②聯(lián)立①②，得a1＝－3，d＝eq\f(2,3)，所以Sn＝－3n＋eq\f(n（n－1）,2)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)n2－eq\f(10,3)n.令f(n)＝nSn，則f(n)＝eq\f(1,3)n3－eq\f(10,3)n2，設(shè)f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(10,3)x2，則f′(x)＝x2－eq\f(20,3)x，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝eq\f(20,3)，∴當(dāng)x>eq\f(20,3)時(shí)，f′(x)>0，0<x<eq\f(20,3)時(shí)，f′(x)<0，則f(n)的最小值在f(6)、f(7)中取到．則f(6)＝－48，f(7)＝－49，所以當(dāng)n＝7時(shí)，f(n)取最小值－49.答案－498．(2012·北京，10)已知{an}為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和．若a1＝eq\f(1,2)，S2＝a3，則a2＝________；Sn＝________．解析∵S2＝a3，∴a1＋a2＝a3.∵{an}為等差數(shù)列，∴a1＋a1＋d＝a1＋2d，∴d＝a1＝eq\f(1,2)，∴a2＝a1＋d＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝1，Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d＝eq\f(1,4)n(n＋1)．答案1eq\f(1,4)n(n＋1)9．(2011·湖北，13)《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問(wèn)題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為_(kāi)_______升．解析設(shè)自上第一節(jié)竹子容積為a1，依次類(lèi)推，數(shù)列{an}為等差數(shù)列．又a1＋a2＋a3＋a4＝4a1＋6d＝3，a7＋a8＋a9＝3a1＋21d解得a1＝eq\f(13,22)，d＝eq\f(7,66)，∴a5＝a1＋4d＝eq\f(13,22)＋4×eq\f(7,66)＝eq\f(67,66).答案eq\f(67,66)10．(2014·大綱全國(guó)，18)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.已知a1＝10，a2為整數(shù)，且Sn≤S4.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝eq\f(1,anan＋1)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.解(1)由a1＝10，a2為整數(shù)知：等差數(shù)列{an}的公差d為整數(shù)．又Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0，于是10＋3d≥0，10＋4d≤0.解得－eq\f(10,3)≤d≤－eq\f(5,2).因此d＝－3.數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝13－3n.(2)bn＝eq\f(1,（13－3n）（10－3n）)＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10－3n)－\f(1,13－3n))).于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq\f(1,3)eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,7)－\f(1,10)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\f(1,7)))＋…＋))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10－3n)－\f(1,13－3n)))))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10－3n)－\f(1,10)))＝eq\f(n,10（10－3n）).11．(2015·新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ，17)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知an>0，aeq\o\al(2,n)＋2an＝4Sn＋3.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn＝eq\f(1,anan＋1)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．解(1)由aeq\o\al(2,n)＋2an＝4Sn＋3，可知aeq\o\al(2,n＋1)＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.可得aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＋2(an＋1－an)＝4an＋1，即2(an＋1＋an)＝aeq\o\al(2,n＋1)－aeq\o\al(2,n)＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．由于an>0，可得an＋1－an＝2.又aeq\o\al(2,1)＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)，a1＝3.所以{an}是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an＝2n＋1.(2)由an＝2n＋1可知bn＝eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,（2n＋1）（2n＋3）)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n＋1)－\f(1,2n＋3))).設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，則Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,5)))＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)－\f(1,7)))))eq\b\lc\\rc\](\a\vs4\al\co1(＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n＋1)－\f(1,2n＋3)))))＝eq\f(n,3（2n＋3）).考點(diǎn)二等差數(shù)列的性質(zhì)1．(2015·北京，6)設(shè){an}是等差數(shù)列，下列結(jié)論中正確的是()A．若a1＋a2＞0，則a2＋a3＞0B．若a1＋a3＜0，則a1＋a2＜0C．若0＜a1＜a2，則a2＞eq\r(a1a3)D．若a1＜0，則(a2－a1)(a2－a3)＞0解析A，B選項(xiàng)易舉反例，C中若0＜a1＜a2，∴a3＞a2＞a1＞0，∵a1＋a3>2eq\r(a1a3)，又2a2＝a1＋a3，∴2a2>2eq\r(a1a3)，即a2>eq\r(a1a3)成立．答案C2．(2014·北京，12)若等差數(shù)列{an}滿足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，則當(dāng)n＝________時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和最大．解析∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a7＋a8＋a9＝3a8>0，∴a8>0.又a7＋a10＝a8＋a9<0，∴a9<0.∴當(dāng)n＝8時(shí)，其前n項(xiàng)和最大．答案83．(2015·廣東，10)在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，則a2＋a8＝________．解析因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，即a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.答案104．(2013·廣東，12)在等差數(shù)列{an}中，已知a3＋a8＝10，則3a5＋a7解析由題可知a3＋a8＝a5＋a6＝a4＋a7＝10，又∵3a5＋a7＝a5＋2a5＋a7＝a5＋(a4＋a6)＋a7＝2(a5＋a6)＝2×10＝20.答案205．(2012·江西，12)設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，則a5＋b5＝________．解析∵{an}，{bn}均是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)a1＋a5＝2a3，b1＋b5＝2b3，即a5＝2a3－a1，b5＝2b3－b1，∴a5＋b5＝2(a3＋b3)－(a1＋b1)＝2×21－7＝35.答案35考點(diǎn)三等差數(shù)列的綜合應(yīng)用1．(2015·四川，16)設(shè)數(shù)列{an}(n＝1，2，3，…)的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差數(shù)列．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求使得|Tn－1|＜eq\f(1,1000)成立的n的最小值．解(1)由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)，從而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，又因?yàn)閍1，a2＋1，a3成等差數(shù)列，即a1＋a3＝2(a2＋1)，所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2，所以，數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故an＝2n.(2)由(1)得eq\f(1,an)＝eq\f(1,2n)，所以Tn＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,22)＋…＋eq\f(1,2n)＝eq\f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(n))),1－\f(1,2))＝1－eq\f(1,2n).由|Tn－1|＜eq\f(1,1000)，得eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n)－1))＜eq\f(1,1000)，即2n＞1000，因?yàn)?9＝512＜1000＜1024＝210，所以n≥10，于是，使|Tn－1|＜eq\f(1,1000)成立的n的最小值為10.2．(2014·江蘇，20)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若對(duì)任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得Sn＝am，則稱(chēng){an}是“H數(shù)列”．(1)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n(n∈N*)，證明{an}是“H數(shù)列”；(2)設(shè){an}是等差數(shù)列，其首項(xiàng)a1＝1，公差d<0.若{an}是“H數(shù)列”，求d的值；(3)證明：對(duì)任意的等差數(shù)列{an}，總存在兩個(gè)“H數(shù)列”{bn}和{cn}，使得an＝bn＋cn(n∈N*)成立．(1)證明由已知，當(dāng)n≥1時(shí)，an＋1＝Sn＋1－Sn＝2n＋1－2n＝2n.于是對(duì)任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m＝n＋1，使得Sn＝2n＝am.所以{an}是“H數(shù)列”．(2)解由已知，得S2＝2a1＋d＝2＋d.因?yàn)閧an}是“H數(shù)列”，所以存在正整數(shù)m，使得S2＝am，即2＋d＝1＋(m－1)d，于是(m－2)d因?yàn)閐<0，所以m－2<0，故m＝1.從而d＝－1.當(dāng)d＝－1時(shí)，an＝2－n，Sn＝eq\f(n（3－n）,2)是小于2的整數(shù)，n∈N*.于是對(duì)任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m＝2－Sn＝2－eq\f(n（3－n）,2)，使得Sn＝2－m＝am，所以{an}是“H數(shù)列”．因此d的值為－1.(3)證明設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則an＝a1＋(n－1)d＝na1＋(n－1)(d－a1)(n∈N*)．令bn＝na1，cn＝(n－1)(d－a1)，則an＝bn＋cn(n∈N*)．下證{bn}是“H數(shù)列”．設(shè){bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，則Tn＝eq\f(n（n＋1）,2)a1(n∈N*)．于是對(duì)任意的正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m＝eq\f(n（n＋1）,2)，使得Tn＝bm，所以{bn}是“H數(shù)列”．同理可證{cn}也是“H數(shù)列”．所以，對(duì)任意的等差數(shù)列{an}，總存在兩個(gè)“H數(shù)列”{bn}和{cn}，使得an＝bn＋cn(n∈N*)成立．3．(2013·山東，20)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，且Tn＋eq\f(an＋1,2n)＝λ(λ為常數(shù))．令cn＝b2n，(n∈N*)，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Rn.解(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，令n＝1，則a2＝2a1＋1，即a1＝d－1，①又S4＝4S2，即2a1＝d，②由①②聯(lián)立解得a1＝1，d＝2，所以an＝2n－1(n∈N*)．(2)由題意知，Tn＝λ－eq\f(n,2n－