工程制圖D：第1章 點(diǎn)、直線和平面

第1章點(diǎn)、直線和平面第1章點(diǎn)、直線和平面的投影1.1

投影法的基本知識1.2

點(diǎn)的投影1.3

直線的投影1.4

平面的投影1.5投影定理及投影作圖方法畫法幾何學(xué)所要研究和解決的問題

如何將占有長寬高三個(gè)維度空間的物體的形狀、大小、位置等這些空間形式，準(zhǔn)確無誤地表達(dá)在紙平面上？三維二維正投影法

如何根據(jù)這種紙平面上的表達(dá)，準(zhǔn)確無誤地確定和解決物體的空間形式？投影法投射線通過物體，向選定的平面進(jìn)行投射，并在該面上得到圖形的方法——投影法。物體投影面aABbCcDd投射線S光源當(dāng)光源設(shè)定為一點(diǎn)（S）時(shí)，其投影過程如圖所示。這里，自光源S向物體上每一點(diǎn)（如A、B、C、D各點(diǎn)）所引出的直線，稱為投射線。投射線與投影面的交點(diǎn)（如a、b、c、d各點(diǎn)），就是物體上該點(diǎn)在投影面上的投影。這種設(shè)定光源為一點(diǎn)的投影法，稱為中心投影法。

投影中心投影法立體感強(qiáng)，度量性差投影法當(dāng)光源設(shè)定于無窮遠(yuǎn)處時(shí)，所有的投射線將呈互相平行的狀態(tài)。這時(shí)的投影法即稱為平行投影法它又可分為斜投影和正投影兩種。當(dāng)投射線與投影面呈某一角度傾斜時(shí)，其投影稱斜投影。投影面投射線物體斜投影立體感強(qiáng)，度量性差投影法正投影的成影將與物體之間存在著某種等價(jià)關(guān)系，或者說，形體與其投影之間存在著某種定量關(guān)系。這是中心投影法以及斜投影所不具備的一個(gè)可貴的性質(zhì)，使它在工程技術(shù)上得到廣泛的應(yīng)用。畫法幾何學(xué)所采用的也主要是這種平行投影的正投影法。

當(dāng)投射線垂直于投影面時(shí)，其投影稱為正投影。投影面物體投射線投影正投影立體感差，度量性好當(dāng)光源設(shè)定于無窮遠(yuǎn)處時(shí)，所有的投射線將呈互相平行的狀態(tài)。這時(shí)的投影法即稱為平行投影法它又可分為斜投影和正投影兩種。當(dāng)投射線與投影面呈某一角度傾斜時(shí)，其投影稱斜投影。多面正投影單面正投影的不足

Pb

●●APB3●B2●B1●a

●過空間點(diǎn)A的投射線與投影面P的交點(diǎn)即為點(diǎn)A在P面上的投影。點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影不能確定點(diǎn)的空間位置。平面的單面投影不能確定平面的空間位置和真實(shí)形狀。B1C1A1ACBb′a′c′V多面正投影

歷史上最終解決這一難題的，是法國的科學(xué)家GaspardMonge（1746—1818）。他成功地采用了多面正投影的方法，解決了這一問題并創(chuàng)立了畫法幾何學(xué)。為人類的工業(yè)化進(jìn)程，特別是工程設(shè)計(jì)及其圖樣制作提供了一種切實(shí)有效的科學(xué)方法。立體的單面投影也不能確定立體的空間位置和真實(shí)形狀。單面正投影的不足多面正投影三面投影圖正面投影水平投影側(cè)面投影XZWYHV點(diǎn)在二面投影體系V/H中的投影H—水平投影面且投影面V垂直于投影面H,并引進(jìn)空間坐標(biāo)系O-XYZ。

1.二面投影體系的建立HVOXZYV—正立投影面點(diǎn)在二面投影體系V/H中的投影a

—水平投影2.點(diǎn)的二面投影HVOXZYa●a

●

A●a′—正面投影則體系空間點(diǎn)A（x,y,z)，有A（x,y,z)

A(a,a′)注意：空間點(diǎn)用大寫字母表示，點(diǎn)的投影用小寫字母表示。xa1.二面投影體系的建立點(diǎn)在二面投影體系V/H中的投影3.體系打開攤平4.投影圖生成●●●XYZOVHAaa

xa向下翻不動VHXx●●Zaa

aY

OVHXoa′a2.點(diǎn)的二面投影1.二面投影體系的建立點(diǎn)在二面投影體系V/H中的投影5.點(diǎn)的二面投影特性點(diǎn)的投影的連線垂直于投影軸，即：aa′

ox點(diǎn)到投影面的距離等于它在相鄰?fù)队懊娴耐队暗酵队拜S的距離，即：●●●OVHAaa

xaVHXoa′azyxaxo=xAa′=axa=yAa=axa′=z3.體系打開攤平4.投影圖生成2.點(diǎn)的二面投影1.二面投影體系的建立點(diǎn)在三面投影體系V/H/W中的投影

W—側(cè)立投影面投影面W同時(shí)垂直V、H,并引進(jìn)空間坐標(biāo)系O-XYZ;1.三面投影體系的建立HWVOXZYV—正立投影面H—水平投影面點(diǎn)在三面投影體系V/H/W中的投影WHVOXZYa

●a●a

●

A●a′—正面投影a—水平投影2.點(diǎn)的三面投影a′′—側(cè)面投影1.三面投影體系的建立點(diǎn)在三面投影體系V/H/W中的投影3.體系打開攤平●●●●XYZOVHWAaa

a

xaazay向右翻向下翻不動WVHaa

a

aa●x●●zZayayXY

YOoa′a′′aXZYHYW4.投影圖生成可分解為三個(gè)二面體系點(diǎn)在三面投影體系V/H/W中的投影點(diǎn)的投影的連線垂直于投影軸，即：aa′

oX

a′a′′

oZ5.點(diǎn)的三面投影特性點(diǎn)的投影到投影軸的距離，等于點(diǎn)的坐標(biāo)，即：

Aa′′=aya=aza′=x

Aa′=aza′′=axa=y

Aa=aya′′=axa′=z●●●●OVHWAaa

a

xaazayoa′a′′aXZYHYWxyz點(diǎn)的投影例題例1作出點(diǎn)A（20，15，20）的投影。ZYWXYHo201520●a

●a●a′′如何由點(diǎn)的投影想象出點(diǎn)的坐標(biāo)?點(diǎn)的投影例題例2已知A、B二點(diǎn)的正面及水平投影，求其側(cè)面投影。b

a

a

b

abxzYW

YHokk

k

K是V面上的點(diǎn)45度輔助線

點(diǎn)的投影例題例3判斷兩點(diǎn)的相對位置

兩點(diǎn)的相對位置指兩點(diǎn)在空間的上下、前后、左右位置關(guān)系。判斷方法：▲x

坐標(biāo)大的在左

▲y

坐標(biāo)大的在前▲z

坐標(biāo)大的在上B點(diǎn)在A點(diǎn)之前、之右、之下。b

aa

a

b

b●●●●●●XYYZo點(diǎn)的投影例題()a

cc

重影點(diǎn)：

空間兩點(diǎn)在某一投影面上的投影重合為一點(diǎn)時(shí)，則稱此兩點(diǎn)為該投影面的重影點(diǎn)。●●●●●a

a

c

被擋住的投影加()A、C為哪個(gè)投影面的重影點(diǎn)呢？A、C為H面的重影點(diǎn)點(diǎn)的投影例題例4已知點(diǎn)A（25，15，20）的三面投影，點(diǎn)B在A點(diǎn)之左15、A之前15、A之上12，試作出點(diǎn)B的三面投影。151215●a′′●a●b●a

●b

●b′′無軸投影圖直線的投影ABVWH

直線的投影可由該線的二點(diǎn)或一點(diǎn)已知一方向作出；b

b●●aa

a

b

●●●●

直線有特殊位置直線（平行線、垂直線）和一般位置直線之分；

直線對投影面H、V、W的傾角分別為

、

、

。ababab直線的投影一般情況下仍為直線；直線的投影特性⒈直線對一個(gè)投影面的投影特性

BA●●●●ab直線垂直于投影面投影積聚為一點(diǎn)

積聚性

垂直必積聚直線平行于投影面投影反映線段實(shí)長

ab=AB真實(shí)性

平行有等標(biāo)直線傾斜于投影面投影比空間線段短

ab=AB.cos

類似性傾斜定類似●●AB●●ab

AMB●a≡b≡m●●●直線的投影特性2.直線在三個(gè)投影面中的投影特性投影面平行線

平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線正平線（平行于Ｖ面）側(cè)平線（平行于Ｗ面）水平線（平行于Ｈ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側(cè)垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）一般位置直線與三個(gè)投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面其投影特性取決于直線與三個(gè)投影面間的相對位置。1.直線對一個(gè)投影面的投影特性投影面平行線的投影1.水平線的投影

1）水平投影顯實(shí)長；

2）其他兩投影與相應(yīng)的軸線平行；

3）水平投影現(xiàn)傾角。VHabAaaγβBbbWβγ′′″″實(shí)長平行有等標(biāo)等標(biāo)投影投影面平行線的投影2.正平線的投影1）正面投影顯實(shí)長；2）其他兩投影與相應(yīng)的軸線平行；3）正面投影現(xiàn)傾角。實(shí)長

等標(biāo)投影1.水平線的投影平行有等標(biāo)投影面平行線的投影3.側(cè)平線的投影1）側(cè)面投影顯實(shí)長；2）其他兩投影與相應(yīng)的軸線平行；3）側(cè)面投影現(xiàn)傾角。2.正平線的投影1.水平線的投影平行有等標(biāo)投影面垂直線的投影1.鉛垂線的投影

1）水平投影積聚成點(diǎn)；2）其他兩投影與相應(yīng)的軸線平行；且反映實(shí)長。垂直必積聚積聚成點(diǎn)等標(biāo)投影投影面垂直線的投影2.正垂線的投影

2）其他兩投影與相應(yīng)的軸線平行；且反映實(shí)長。

1）正面投影積聚成點(diǎn)；垂直必積聚1.鉛垂線的投影投影面垂直線的投影3.側(cè)垂線的投影

1）側(cè)面投影積聚成點(diǎn)；

2）其他兩投影與相應(yīng)的軸線平行；且反映實(shí)長。垂直必積聚2.正垂線的投影1.鉛垂線的投影投影面特殊位置直線投影面平行線的投影平行有等標(biāo)水平線正平線側(cè)平線投影面垂直線的投影垂直必積聚鉛垂線正垂線側(cè)垂線一般位置直線的投影1）各投影均不與軸線平行，呈類似狀；

2）投影圖上沒有反映真實(shí)傾角的投影存在；3）各投影均不反映實(shí)長。傾斜定類似平面的投影平面可由不在一直線上的三點(diǎn)、一點(diǎn)一線、二平行線、相交兩線、及三角形乃至各種平面圖形給定；平面與投影面的位置關(guān)系，仍然有特殊和一般之分。abca

b

c

●●●●●●d●d

●abca

b

c

●●●●●●c

●●●abca

b

●●●c●●●●●●aba

b

c

b●●●●●●aca

b

c

平面的投影特性垂直投影積聚成線積聚性傾斜投影成類似形類似性⒈平面對一個(gè)投影面的投影特性平行投影反映實(shí)形

真實(shí)性平面的投影特性⒉平面在三投影面體系中的投影特性平面對于三投影面的位置可分為三類：投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面平行于某一投影面，垂直于另兩個(gè)投影面與三個(gè)投影面都傾斜

正垂面

側(cè)垂面

鉛垂面

正平面

側(cè)平面

水平面⒈平面對一個(gè)投影面的投影特性投影面平行面的投影1.水平面的投影

1）水平投影反映實(shí)形；

2）其他兩投影積聚成線，且平行于相應(yīng)的軸線。平行有等標(biāo)實(shí)形等標(biāo)投影投影面平行面的投影2.正平面的投影實(shí)形等標(biāo)投影

1）正面投影反映實(shí)形；

2）其他兩投影積聚成線，且平行于相應(yīng)的軸線。平行有等標(biāo)1.水平面的投影投影面平行面的投影3.側(cè)平面的投影

2）其他兩投影積聚成線，且平行于相應(yīng)的軸線。

1）側(cè)面投影反映實(shí)形；平行有等標(biāo)2.正平面的投影1.水平面的投影投影面垂直面的投影1.鉛垂面的投影垂直必積聚

1）水平投影積聚成線；

2）其他兩投影出現(xiàn)類似形狀且不反映實(shí)形。積聚成線類似形類似形投影面垂直面的投影

1）正面投影積聚成線；

2）其他兩投影出現(xiàn)類似形狀且不反映實(shí)形。2.正垂面的投影積聚成線類似形類似形垂直必積聚1.鉛垂面的投影投影面垂直面的投影

2）其他兩投影出現(xiàn)類似形狀且不反映實(shí)形。

1）側(cè)面投影積聚成線；3.側(cè)垂面的投影垂直必積聚2.正垂面的投影1.鉛垂面的投影例題c

c

為什么？是什么位置的平面？abca

b

b

a

類似性類似性積聚性鉛垂面γβ投影特性：在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。另外兩個(gè)投影面上的投影為類似形。一般位置投影面的投影

各個(gè)投影的圖形之間以及與空間平面圖形之間，均保持著一種既不全等、又不相似的類似形狀。傾斜定類似直線與平面投影位置的判斷要點(diǎn)當(dāng)直線或平面垂直于投影面時(shí)，必定有積聚投影存在，也就是說，存在積聚性；當(dāng)直線或平面平行于投影面時(shí)，必定有等標(biāo)投影存在，也就是說，反映真實(shí)性；否則，各投影之間均出現(xiàn)類似形狀，即類似性。當(dāng)垂直時(shí)，直線的投影將積聚成點(diǎn)，平面則積聚成線；當(dāng)平行時(shí)，直線的投影將出現(xiàn)真長實(shí)角，平面的投影將出現(xiàn)實(shí)角真形。當(dāng)處于一般位置時(shí)，空間直線的線段長與其投影長之間存在著余弦（cos）的三角函數(shù)關(guān)系。例題例1.已知直線AB的正面投影、水平投影，求其側(cè)面投影。b

a

aba

b

例題c

例2.已知平面ABC的正面投影、水平投影，求其側(cè)面投影。b

a

c

abca

b

做題注意事項(xiàng)1.本習(xí)題所用的解題圖線全部由鉛筆畫出，圖線的線型必須按照國家標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的粗細(xì)以及斷續(xù)繪制。不得自行設(shè)計(jì)線型；

2.建議粗實(shí)線的寬度采用0.6mm并使用B的鉛筆繪制；細(xì)實(shí)線的寬度采用0.15mm并使用H的鉛筆繪制：

3.文字及代符號采用HB鉛筆書寫；

4.點(diǎn)畫線是種對稱線，專門用于表達(dá)圖形具有對稱的幾何特性。繪制時(shí)應(yīng)注意，點(diǎn)畫線的點(diǎn)是1mm的短畫，而畫長約為12mm，其間的間隔也取1mm長，并應(yīng)保持各段長度的一致。

5.虛線用于表達(dá)不可見的幾何線段，繪制時(shí)間隔也取1mm，線段可取4mm長，并應(yīng)保持各段長度的一致。

6.請記?。寒媹A必須先作出中心線，以便定位該圓形的圓心；具有對稱性的圖形必須依靠點(diǎn)畫線來說明。注意：畫圓先畫中心線要求做到：作圖準(zhǔn)確，線型規(guī)范，字體端正，圖面整潔。常用線型規(guī)定GB/T17450-1998技術(shù)制圖圖線

建議粗實(shí)線寬度d采用0.6mm；細(xì)實(shí)線寬度采用0.15mm。點(diǎn)畫線畫長取12mm左右；點(diǎn)為短畫，長約1mm，間隔亦約為1mm；虛線畫長取4mm左右，間隔約為1mm。線型使用示例從屬問題一.線上取點(diǎn)定理（線上點(diǎn)的投影）線上點(diǎn)的投影必在線的各同面投影上；點(diǎn)分割線段之比在各投影中保留。Xob′baa′k′Va′b′BAabHKk′kk從屬問題例1：判斷點(diǎn)C是否在線段AB上。②c

abca

b

●●abca

b

c

①●●在不在從屬問題例2：已知點(diǎn)K在線段AB上，求點(diǎn)K正面投影。解法一：解法二：●aa

b

bka

b

●k

●k

●aa

b

bk●●k

●（應(yīng)用第三投影）（應(yīng)用定比定理）從屬問題二.屬于平面上的點(diǎn)和線

先找出過此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。

面上取點(diǎn)的方法：首先面上取線●●MN

若一直線過平面上的兩點(diǎn)，則此直線必在該平面內(nèi)。位于平面上的直線應(yīng)滿足的條件：AB●M

若一直線過平面上的一點(diǎn)且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。

從屬問題abcb

c

a

例3：已知平面由直線AB、AC所確定，試在平面內(nèi)任作一條直線。解法一：解法二：有多少解？有無數(shù)解！n

●m

●n●m●abcb

c

a

d

d從屬問題例4：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到H面的距離為10mm。n

m

nm10c

a

b

cb

唯一解！有多少解？從屬問題在給定平面上取投影面的平行線

根據(jù)面上取點(diǎn)取線的作圖法，可在給定平面上任意取各投影面的平行線。

從屬問題例5：已知K點(diǎn)在平面ABC上，求K點(diǎn)的水平投影。baca

k

b

●①c

d

d利用平面的積聚性求解通過在面內(nèi)作輔助線求解k●②●abca

b

k

c

k●從屬問題bckada

c

b

c

k

例6：已知AC為正平線，補(bǔ)全平行四邊形ABCD

的水平投影。解法二：cada

d

b

c

解法一：b平行問題一.兩線平行定理（線與線平行）平行二線的各同面投影均平行；平行二線的線段長之比在各投影中保留。bcdHAd

aCcVaDbB

acdbc

dabOX

平行問題例1：判斷圖中兩條直線是否平行。

對于一般位置直線，只要有兩組同名投影互相平行，空間兩直線就平行。AB與CD平行。a

b

c

d

①abcdc

a

b

d

平行問題例2：判斷圖中兩條直線是否平行。AB與CD不平行。

對于特殊位置直線，只有兩組同名投影互相平行，空間直線不一定平行。cbadd

b

a

c

②b

d

c

a

平行問題二.線與面平行

線面平行作圖法：若空間有一直線與某一平面平行，則該平面必需包含有一條與空間直線平行的直線；反之，若平面上有一條與空間直線平行