2021屆“超級全能生”高三全國卷地區(qū)3月聯(lián)考試題（甲卷）數(shù)學（理）試題【解析版】

2021屆“超級全能生”高三全國卷地區(qū)3月聯(lián)考試題(甲

卷)數(shù)學(理)試題【解析版】

一、單選題

1.已知集合4={也無2-7X-4W0},5=+舊<3},則AD8=()

A.(—2,3)B.(—2,3]C.卜g,2)D.―5[

【答案】D

【分析】先解不等式得到集合4、B,再利用集合的數(shù)軸表示求得4nB.

【詳解】由2_?一7%—440，即(2了+1)(無一4)40,得一3?%44,集合4=-1,4

由兇<3得/<9,即—3<x<3,集合8=(-3,3),

由數(shù)軸表示可得，408=—；,3).

故選：D.

【點睛】一元二次不等式求解要注意不等號方向及解集端點驗證，以避免出錯；數(shù)集運

算借助數(shù)軸表示更為直觀.

2.復數(shù)z滿足z+限則|z|=（）

A.5B.2Gc.y/5D.2

【答案】D

【分析】利用復數(shù)的除法以及復數(shù)的乘方化簡復數(shù)z,利用復數(shù)的模長公式可求得|z|.

一6+j_便+，（1+后）_G+4i+舟

則

?1-新一（1一"）0+血廠4

故選：D.

3.已知a=2喝2,0=2喝2,c=（；），則（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<h<aD.c<a<h

【答案】B

【分析】由換底公式以及對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷大小關(guān)系.

【詳解】根據(jù)換底公式10g32=：j—log52=-―因為k）g,5>log,3>l,

log23log,5''

所以0<logs2<log32<1,故i<2幅2<2幅2<2.

（1

又c=一=2''>2'=2.

所以Z?<a<c

故選：B.

4.二項式［五―a］的展開式中x的系數(shù)為（）

A.-15B.-3C.3D.15

【答案】A

【分析】先寫二項展開式中第什1項的通項公式I”=（_3）'C"沫，再令士產(chǎn)=1解

出廠，代入通項公式求系數(shù)即可.

【詳解】由題意知，二項展開式中第什1項的通項公式

5-3r

(-3)「&丁，r=0,1,2,3,4,5.

5—3r.

令A——=1得〃=1,

2

所以X的系數(shù)為(―3)LC；=-15.

故選：A.

0X_1

5.函數(shù)/（無）=（丁一3,.三11的圖象大致是（）

【答案】A

【分析】先根據(jù)奇偶性的定義可判斷出函數(shù)為偶函數(shù)，再利用/(2)>0即可得出.

【詳解】由題知/(x)=(？-3。的定義域為(7,內(nèi)).

x

因為f(-X)=(一萬3+3龍).Je

7+1=/(工)?

所以/(x)是偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，排除選項B；

2.\

又/(2)=2乂e二一＞0,故排除選項C,D.

e+1

故選：A.

【點睛】思路點睛：函數(shù)圖象的辨識可從以下方面入手：

(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.

(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；

(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；

(4)從函數(shù)的特征點，排除不合要求的圖象.

6.曲線y+1(x20)的一條切線的斜率為1,則該切線的方程為()

B.y=xC.y=x+lD.y=x+2

【答案】C

【分析】由給定函數(shù)求導，結(jié)合斜率值，求出切點坐標，寫出切線方程.

,cosx?er-sinx?excosx-sinx

【詳解】由題得)'=3>設切點為(毛,%)，

e

則y'lL=cos-%.%sin.%，而拓=l(x2o),則e演=cosx0-sinx0,

令/(x)=ex-cosx+sinx,貝!]f'(x)=ex+sinx+cosx=ex+41sin(x+—),

4

0<x<l時，f'(x)>0,而應1時，ex>e,sinx+cosx>-V2,f\x)>0,

Vx>0"'(x)>0,1x)在［0,e)上單調(diào)遞增，則/(%)>/(0)=0,

所以方程"。=cos%—sin/只有一個實根X。=0,代入原函數(shù)得為=*+1=1，

e

故切點為(0,1)切線斜率為1,所以切線方程為y=x+l.

故選：C.

【點睛】求超越方程的零點，一般是構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性，借助觀察比對的思路

解決.

7.某省今年開始實行新高考改革跟以往高考最大的不同就是取消了文理分科，除了語

文、數(shù)學、外語三門科目必選外，再從物理、化學、生物、政治、地理、歷史這6個科

目中任選3門作為選考科目，甲和乙分別從6科中任選3科，若他倆所選科目都有物

理.其余2科均不同，則甲不選歷史，且乙不選化學的概率是()

33279

A.------B.-----C.------D.-----

200100400100

【答案】B

【分析】古典概型，利用P='求概率，利用組合分別計算出〃、，小即可求解.

n

【詳解】從6科中任選3科共C：=2()種不同的方案，兩人分別從6科中任選3科，共

有C；xC；=400種不同的方案.

因為他們都選了物理，其余2科又不同，所以對甲是否選化學分成兩類討論：

第1類甲選化學，甲只需再從生物、地理、政治3門中選1門，有C；=3種方法，乙從

剩余3門中選2門，有=3種方法，所以一共有9種選法；

第2類甲不選化學，甲又不選歷史，所以他只能從生物、政治、地理3門中選2門，有

2=3種方法，乙只能選剩下的2門，有1種方法，此時一共有3種選法.

123

綜上所知，滿足要求的選法共有12種，所以所求事件的概率尸=——.

400100

故選：B.

【點睛】利用古典概型的概率公式尸=,m求概率時，其中的〃、“可以用列舉出來，也

n

可以利用排列組合、計數(shù)原理求出來.

8.如圖所示的程序輸出的結(jié)果為——，則判斷框中應填（）

1023

A.z>10?B.z<10?C.z>9?D.Z>11?

【答案】A

【分析】按照程序框圖運行程序，利用裂項相消法求和，可得第〃次循環(huán)

5=1-上^，再代入解方程即可判斷;

2向一1

22

【詳解】解：輸入，=1，5=0,則第1次循環(huán)S=0+——=—,i=l+l=2,繼續(xù)

1x33

循環(huán);

第2次循環(huán)5=心-+/-=1一1+1一,=9,,=2+1=3,繼續(xù)循環(huán)；

1x33x73377

*、-生丑0248,1111114.c,“，皿

第3次循環(huán)S=----1-----1-----=1---1------1------=—,i=3+1=4,繼

1x33x77x1533771515

續(xù)循環(huán),

由此推出第〃次循環(huán)S=l-」+!-4+-一+一一

3372"-1

1J022

令1一一-；—=——，解得〃=9,此時i=9+l=l(),滿足條件，退出循環(huán)，所以判

2"+i_i1023

斷框中應填“i210?”,

故選：A.

9.已知數(shù)列｛4｝的前〃項和S”滿足2S,,一叫,=3〃(“eN)且S3=15,貝！|九=

()

A.10()B.110C.120D.13()

【答案】C

【分析】利用4=5“一S,I判斷出｛可｝為等差數(shù)列，求出公差和首項，直接求出

【詳解】對于2S?-nan=3?(neN*)：

當〃=1時，2S]-q=3,解得4=3；

2s“一〃。"=3〃①.又當〃22時，2sI—(〃一l)a,I=3(〃一l)②，所以①一②得

(〃一l)anT-(〃-2)a.=3③，當〃N3時,(n-2)an_2-(n-3)an_,=3

所以④一③得(?-1)。,一一(〃-2)a“=(〃-2)a?_2-(n-3)(z?_l,

可得2a,i=4+a“_2,所以數(shù)列｛凡｝為等差數(shù)列，設其公差為因為

S3=3%+3d=9+3d=15,解得d=2.又6=3,且易得出=5,%=7，所以

an=2n+l,故50=10x3+，"二x2=120.

故選：C.

【點睛】(1)證明等差(比)數(shù)列的方法：定義法和等差(比)中項法；

(2)數(shù)列求和的方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法.

10.筒車是我們古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，明朝科學家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用

圖畫描繪了筒車的工作原理，如圖所示，已知筒車的半徑為4m,筒車轉(zhuǎn)輪的中心。到

水面的距離為2m,筒車沿逆時針方向以角速度轉(zhuǎn)動，規(guī)定：盛水筒/對應

的點尸從水中浮現(xiàn)(即凡時的位置)時開始計算時間，且以水輪的圓心。為坐標原點,

過點。的水平直線為x軸建立平面直角坐標系xOy,設盛水筒M從點外運動到點P

時經(jīng)過的時間為f(單位：s),且此時點p距離水面的高度為〃(單位：米)，筒車經(jīng)

過6s第一次到達最高點，則下列敘述正確的是（）

A.當￡=16s時，點P與點匕重合

B.當fe[51,65]時,〃一直在增大

C.當fw（O,5O）時，盛水筒有5次經(jīng)過水平面

D.當[=50時，點P在最低點

【答案】c

【分析】由題意，設N《Qx=e（一易知sine=-3,從而求得。，由“

TT

從點兄運動到點P時經(jīng)過的時間為，（單位：S）,得到NxOP=a--,再由經(jīng)過6s

6

TTTT

第一次到達最高點，令6。--二一求得函數(shù)解析式再逐項判斷.

62

【詳解】設/43=9（一、<0<0）,依題意sin°=-；.又—擻<夕<0,所以

jrjr（兀、

（p=一—.又AxOP=cot一一,圓。的半徑為4,所以P點滿足y=4sin初一二,

6616J

TTTTJT\7171\

當，=6時，6G---=—,解得G=—,所以y=4sin不，一二，故

629\96）

（兀乃、27r=1Q

/z=4sin--Z--+2.該函數(shù)最小正周期為兀~,所以當，=18s時，點P與點

196J-

4重合，選項A錯誤；

TTTTTTTC

令2k兀一±-t-士&2k兀+以也eZ）,解得18Z—3W/W18k+6/eZ）,當

2962

%=3時，51<r<60,又因為[51,65]0[51,60],所以選項B錯誤；

令〃=45皿仔”一看）+2=0,即sinK"-?｝一g,所以

TTTTTTTTTT/TT

一t一一=2k7T一一（ZEZ）或一?/一一二2攵?+——（keZ）,解得％=184或

966966

f=18Z+12（ZeZ）.又te（O,5O）,所以f可以取的值為12,18,30,36,48,

此時盛水筒有5次經(jīng)過水平面，選項C正確；

（jr冗\977r

當才=50時:/2=4sin-x50--+2=4sin--+2^-2,所以選項D錯誤，

196）18

故選：C.

【點睛】方法點睛：1.討論三角函數(shù)性質(zhì)，應先把函數(shù)式化成y=Asin@x+p）3＞0）的

形式.

2TC

2.函數(shù)丁=4$畝（0）X+9）和y=Acos（①x+p）的最小正周期為/二］一F,y=lan（G%+9）的

最小正周期為丁=時.

3.對于函數(shù)的性質(zhì)（定義域、值域、單調(diào)性、對稱性、最值等）可以通過換元的方法令r

=cox+（p,將其轉(zhuǎn)化為研究y=sinI的性質(zhì).

22

11.已知點月、乃是橢圓與+*=1（。＞。＞。）的左、右焦點，點/，是橢圓上位于第

一象限內(nèi)的一點，經(jīng)過點P與△P66的內(nèi)切圓圓心/的直線交x軸于點。，且

可=2匝，則該橢圓的離心率為（）

【答案】A

S4PF\Q_四=固

【分析】由題意可知PQ為/6尸工的角平分線，推導出可

S*Q|P可同

得出\P品I\=|能P用‘品\PI\|「居|'利用比例關(guān)系可得出\P局I\二a

再結(jié)合可=2匝可

求得橢圓的離心率的值.

【詳解】如圖，連接陰、IF2,/是百用的內(nèi)心，可得陰、分別是NP6E和

NPF再的角平分線,

由于經(jīng)過點P與的內(nèi)切圓圓心/的直線交X軸于點。,

則PQ為6的角平分線，則。到直線P6、尸鳥的距離相等，

SAPF'Q=四=固后悵可/P"」P用\PI\JP^\

同理可得同一廂T同一西'

SgQ歸周\QF2\

由比例關(guān)系性質(zhì)可知回=但生闿=皿四一2=

由比例關(guān)M可知閣m+代0閨同

2cc

一一c|/Q|1

又因為尸/=2/。，所以橢圓的離心率0=—=焉=7，

上a\PI\2

故選：A.

【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：

(1)定義法：通過已知條件列出方程組，求得a、C的值，根據(jù)離心率的定義求解離

心率e的值；

(2)齊次式法：由已知條件得出關(guān)于。、。的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程求解;

(3)特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.

ex

"一e(x'D是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù),

12.已知函數(shù)/(x)=〈

ax2+8x-6(x<1)

g(x)=xi(alnx+l)+x'-e,當xNl時，/(x)Ng(x)恒成立，則。的取值范圍是

()

A.[—4,0)B.[-4,-2]C.[-4,—c]D.[―e,—2]

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)/(X)是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則每一段都為增函數(shù)，且％=1

的右側(cè)的函數(shù)值不小于左側(cè)函數(shù)值求得“的范圍，再根據(jù)xNl時，/(x)Ng(x)恒成

立，轉(zhuǎn)化為4111%4/<1-一%—1恒成立求解.

【詳解】令2a)=C-e,則/(x)=e'(x「)20,所以z(x)在[1,+8)上遞增,

因為函數(shù)/(*)=｛三一式*'1)是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，

ax2+8x-6(x<l)

a<Q

4

所以｛---21,

a

a+2<0

解得T<a<—2.

又當時，/(x)Ng。)恒成立，

即----e>xe~}(6zlnx+l)4-x'-e,即〃111%〈1一2"—%—1，

x

當x=l時，e-2N0,顯然成立；

x，/x][,一?"x]e-—X]

當尢>1時，化簡可得

InxInxInx

令〃(尤)=ex-x+1,則"(x)=e"-1,當x>0時，/(%)>0,當xv0時，/(%)v0,

所以當x=0時，/i(x)取得最小值0,所以〃(x)=e-x+l>。，即e一％+1，

x-\nx——1x—e[nx+]—x—1

x

所以￡------->=-e,當且僅當x—elnx=0,

InxInx

即x=e時等號成立，所以。4―e.

綜上可知TWa?-e.

故選：C.

【點睛】方法點睛：恒(能)成立問題的解法：

若/(龍)在區(qū)間D上有最值，則

(1)恒成立：Vxe￡),/(%)>0=/(%)“而>0；Vxe￡),/(x)<0o/(x)ma'<0；

⑵能成立：3xeD,/(x)>0<=>/(x)mix>0；3xeD,/(x)<0?>/(-^)min<0.

若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為：a>/(x)(或a</(x)),則

(1)恒成立：a>/(x)oa>/(x)皿；a<f(x)^a<f(x\y.n；

(2)能成立：a>/(x)<=>iz>/(x)m.n；a</(x)oa</(x)1rax.

二、填空題

13.已知向量1=(1,1),5=則|2三+3匕=.

【答案】V26

【分析】直接利用坐標運算求出21+3日，再求模.

【詳解】???5=(1/)，瓦=(一1,1),

2G+35=(2,2)+(-3,3)=(-1,5),

.?.忸+3同=后.

故答案為：V26.

14.已知等比數(shù)列｛4｝的公比4=2,前〃項積為T.，若7；=白，則與=.

【答案】1

【分析】根據(jù)［=+，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)求得出，進而求得處，然后由求

解

【詳解】因為“=%?%?/=W=，

解得%=1.

由等比數(shù)列的通項公式得%=4/=：x23=1,

O

所以《=%a203a4a5a6070noi)=(ala9)?(a2a8)???(%4)?%=a；=1.

故答案為：1

22

15.已知的，工分別是雙曲線C：I—與=1(a>0,Z?>0)的左、右焦點，過4

a2b~

的直線/與雙曲線的右支交于第一象限內(nèi)的一點P,若為耳的重心，

則該雙曲線的離心率為.

1+小

【答案】

2

【分析】先由為△耳P6的重心，求出P("a),代入得到關(guān)于abc的齊次式,

求出離心率.

b_m+c-c

aa

【詳解】設p(〃〃)，6(-c,o),￡(c,o),則由重心坐標公式可得:〃+：+0解

3:-3-

m=b

得4

n=a

.,.點尸的坐標為伍,a).

:點P在曲線C上，

二M■一勺=1，b4-a4~a2b2■

a2b2

*?*€——(e>1),I.c=ea,

a

CT+h2=c2=e2a2，

：.b2=(e2-l)a2,

A(e2-l)2-l=e2-l,

.-./-3e2+l=0.解得e?=過二5或e2=三正(舍),

22

.1+V5

??e=-------.

2

故答案為：上芭

2

【點睛】求橢圓(雙曲線)離心率的一般思路：根據(jù)題目的條件，找到a、氏c?的關(guān)系,

消去6,構(gòu)造離心率e的方程或(不等式)即可求出離心率.

16.如圖圓錐內(nèi)的球。與圓錐的側(cè)面與底面都相切，且球的半徑為1,則圓錐側(cè)面積的

最小值為.

A

【答案】(3+2揚萬

【分析】設圓錐的底面圓半徑為X,SO=y,根據(jù)題意得到一=工二，而圓錐的側(cè)

y-1

M+(y+l)2轉(zhuǎn)化為4郎+篝，最后利用換元

面積S-7T-X-SA-7TX

y-i

法求解最小值即可.

【詳解】設圓錐的底面圓半徑為x,SO=y,

設球與側(cè)面相切于點C,在用A5co中，SC=[y2T

COsc

因為AS?AS。小則.=的

即LJ)J,所以

xy+iy-i

在MASAO]中，SA=7x2+(y+l)2=y+i

+(y+i)一，

故圓錐的側(cè)面積S=萬?x?SA=萬/吐+(y+1)?

\y-i

3

y+iy+ly+l,,(y+l)2](y+1)

=??」/+(y+l)2=71J~7~r+(y+l)2—71

(y—1)2

令》一1=，，/〉o,則y+l=/+2,

(￡+2)2](/+2)3j+34(3+2揚萬

故S=/

271/+

2

當且僅當「=—,即「=夜，y=0+l時，取等號，所以圓錐側(cè)面積S的最小值為

(3+2揚乃.

【一題多解】

解法一：設NASQ|=e,在MA5co中,

so=-^~,sc=—.

sin0tan8

因為ASCO?ASO|A,

1

COSC1mnf)

則=即777=*,

01ASO、0]A1?]

sin。

ci八“sinO+1CAsinO+1

所以?A=---------,SA=-----------------

cos。sin夕cos。

于是圓錐的側(cè)面積

sin6+1sinO+1(sin6+1)?sin6+1

S=;rQ]A.SA=萬?----------------=7T-------------------=71------------------------

cos。sincos。sin^-cos~0sin^-(1-sin0)

令sin6+l=/,則sin6=/-l(l<fv2),則

S=7T=(3+2揚萬

(1)(2T)

2

當且僅當f=：,即「=夜時取等號，所以圓錐側(cè)面積S的最小值為(3+2&)乃.

解法二：設S0=〃，AC\=BOi=r.

ASOC~ASAO,,且OC=OQ=1,

.PCAO,

"~SO~~SA

1_r

即片1+(用)2，

：〃

/.h,r=Jgr2-+---(h--+--l-)72，廣2=--+1-，

Yn-1

圓錐的側(cè)面積

S=分力/+(/z+l)2-Tir-hr-兀戶h=7ih?:士；=〃[萬一1++3j>%(20+3)

當且僅當h=6+l時等號成立，故圓錐側(cè)面積S的最小值為(3+28)萬.

【點睛】本題考查圓錐的內(nèi)切球、圓錐中相關(guān)量的計算，考查運算求解能力、空間想象

能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，考查數(shù)學運算直觀想象核心素養(yǎng).

三、解答題

17.已知等腰AABC中，角A,8,C的對邊分別為a,b,c,b=c,。是AC的

中點.

(1)若cosNBDC=也,sin/A5O=巫，CO=1,求AABC的面積S；

48

(2)若AABC的面積S等于2,求BO的最小值.

【答案】(1)—；(2)6

2

【分析】(1)利用NA=N6OC—NA8O和三角恒等變換，求得sinA,再利用三角

形的面積公式即可求解：

(2)利用三角形的面積公式建立AB與sinA的關(guān)系，再利用余弦定理表示出BD，最

后利用輔助角公式即可求解.

【詳解】解：(1)在AABO中，ZA=ABDC-ZABD.

由cosNBOC="sinZABD=-

48

得sin/8OC=巫，cosNABO=述,

48

所以sinA=sin(ZBDC-/ABD)

=sinNBDC,cosZABD-cosZBDCsinZABD

71457272714幣

---x---------x----=---

48484

因為A6=2￡>C=2,所以三角形ABC的面積

S=-/1B^CsinA=-x2x2x—=—

2242

11,

(2)S=-AB-AC-sinA=-sinA=

22

,4

所以G=——，

sinA

所以4O2=(_LAB]=_1_

(2JsinA

在AABD中,

由余弦定理得

BD1=AB-+AD2-2AB-40cosA=+———4c°sA5-4cosA

sinAsinAsinAsinA

4

即BD2sinA+4cosA=\JBD4+\6sin(A+0)=5、其中tan夕=

又sin(A+(p)=/:<1,

yJBD4+i6

即JB￡>4+1625,

解得B。2，所以B￡＞的最小值為乖）.

【點睛】本題考查余弦定理及三角形的面積公式、三角恒等變換，考查運算求解能力,

考查數(shù)學運算核心素養(yǎng).

18.如圖，在四棱錐七一ABC。中，ADYBE,AD//BC,BC^2AD,EA=AB,

BC=2,AC=2叵,ZACB=45°.

（1）證明；平面BCE_L平面ABE；

（2）若E4LCZ）,點F在EC上,且即△反,求二面角A——。的大小.

2

【答案】（1）證明見解析；（2）

【分析】（1）利用已知條件及勾股定理的逆定理證得BC_L平面A3E,再利用面面垂直

的判定定理即可得證；

（2）由（1）易得平面ABCO,建立合適的空間直角坐標系，并分別求得平面ABF

和平面BDF的一個法向量即可利用向量法求解二面角的大小.

【詳解】(1)因為AD//BC,所以BC工BE,

在AA6c中，由余弦定理得：

AB=y/AC2+BC2-2AC-BC-cosZACB

=J(2揚2+22—2x275x2x等=2，

因為AB2+BC2=AC2,所以BC_LAB,

又ABCBE=B,所以3CJ_平面ABE,

又6Cu平面BCE,所以平面BCEJ?平面43E；

(2)由(1)可知E4J_BC,

又EA上CD,BCcCD=C,

所以EAL平面A8QD,

故以A為坐標原點，AD，ABAE所在直線分別為x，＞，z軸，建立如圖所示的

空間直角坐標系，

則40,0,0),8(0,2,0),0(1,0,0),C(2,2,0),E(0,0,2),

AB=(0,2,0),DB=(-1,2,0),EC=(2,2,-2),

因為方=■!■或，

2

所以點F(LU),而=(1,一1,1),

設平面ABF的法向量為機=(x,y,z),

m-AB=02y=0

則《即《

m-BF=0x-y+z=0

令z=l,則x=—1,故加=(一1,0,1)，

同理，設平面BD尸的法向量為］=(x',y',z'),

易得1=(2,1,-1),

m-n

所以cos〈加,〃〉=

|/n|-|n|V2xy/62，

易知二面角A—3下一D為銳角,

7T

所以二面角A—斯一。的大小為三.

6

【點睛】方法點睛：利用向量法求二面角的步驟：

1.建立適當?shù)目臻g直角坐標系，分別設出兩個平面的法向量，，=（X，M，zj,

々=（々，乂，Z2）:

2.求出平面內(nèi)線段所在直線的向量式（每個平面求出兩個向量）；

3.利用法向量垂直平面，即垂直平面內(nèi)所有直線，建立方程組求解可得法向量，然后根

據(jù)向量夾角公式計算二面角的余弦值即可.

19.已知拋物線。：>2=2內(nèi)（〃>0）的焦點為F，點A（2,l）是拋物線內(nèi)一點，若

該拋物線上存在點￡,使得+有最小值3.

（I）求拋物線。的方程；

（II）設直線/：2x—y+4=0,點3是/與）'軸的交點，過點A作與/平行的真線4，

過點A的動直線12與拋物線C相交于P,Q兩盤，直線PB,QB分別交直線《于點M,

N,證明：|AM|=|4V|.

【答案】（I）y2=4x；（II）證明見解析.

【分析】（I）利用拋物線定義得|瓦1=|叫，其中點。為點E在準線上的射影，再

根據(jù)拋物線定義得出|AE|+|E￡>|的最小值的表達式，從而求出。的值，即可求解；

（II）由已知條件可求出直線4的方程，再設出直線4的方程并代入拋物線。中化簡求

出P,。兩點橫坐標之間的關(guān)系，從而設出直線依，并與直線4聯(lián)立求出XM，同理

可得XN，從而可得山+%的表達式，化簡可得XM+XN=2XA,即可得證\AM\=|AN|.

【詳解】（I）如圖，過點E作拋物線C準線的垂線，垂足為點。.

根據(jù)拋物線定義得|石月=|￡力，

于是|隹|+|￡目=|因+|即，

顯然當A,E，。三點共線時，|AE|+|即有最小值2+日，

所以2+3=3,解得〃=2,

2

所以拋物線。的方程為V=4x.

(H)證明：直線/:2x—y+4=0,令x=0,得y=4,

所以點3(0,4).

因為直線4平行于直線/：2x-y+4=0,

且過點4(2,1),

所以直線4：2x_y_3=0.

設直線12：工一2=1y-1)并代入拋物線。的方程消去》得產(chǎn)一旬，+4，-8=0,

△=16(*一/+2)>0.

設點P&,y),Q(X2，y2),

由韋達定理得X+%=今，yt-y2=4/-8,

V.—4

易得直線=—X+4,

玉

v.—4

直線。=---x+4.

無2

y—4

y=———x+4,

聯(lián)立J玉

2x-y-3=0,

7?+2T）

解得與

2%1—y+4（2,-l）y+8—2t

7（/y2+2-r）

同理可得XR

（21）%+8-21

7（＜y|+2-?）?7（/y,+2-/）

所以與+4

（2—）y+8—2f（2r-l）^2+8-2z

2f⑵-1萬「必+［（8-2f）f+⑵-1）（2—）］（必+%）+2（2-f）（8-2。x7

⑵-I）?y?%+（2fT）（8-2f）（）1+%）+（8-2f）~

4/一4r+8，

----------=4.

r-r+2

因為x.=2,

所以X“+XN=2尤.，即A是MN的中點,

所以|AM|=|4V|.

【點睛】(1)直線與拋物線的位置關(guān)

系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系;

(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點,

可直接使用公式|AB|=x+x2+p,若不過焦點，則必須用一般弦長公式.

20.甲、乙、丙三人參加學校“元旦嘉年華”競答游戲，活動的規(guī)則為：甲、乙、丙三人

先分別坐在圓桌的A,B,C三點，第一輪從甲開始通過擲骰子決定甲的競答對手,

如果點數(shù)是奇數(shù)，則按逆時針選擇乙，如果是偶數(shù)，則按順時針選丙，下一輪由上一輪

擲骰子選中的對手繼續(xù)通過擲骰子決定竟答對手，如果點數(shù)是奇數(shù)按逆時針選對手，點

2

數(shù)是偶數(shù)按順時針選對手，已知每場競答甲對乙、甲對丙、乙對丙獲勝的概率分別為1,

二且甲、乙、丙之間競答互不影響，各輪游戲亦互不影響，比賽中某選手累計獲

32

勝場數(shù)達到2場，游戲結(jié)束，該選手為晉級選手.

（1）求比賽進行了3場且甲晉級的概率;

（2）當比賽進行了3場后結(jié)束，記甲獲勝的場數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學期望.

【答案】（1）（2）分布列見解析；期望為住.

6144

【分析】（1）根據(jù)題意分別求出每一類情況的概率，再利用互斥事件概率加法公式即可

求解；（2）由題意可知X的所有可能取值為0,1，2,利用獨立事件與互斥事件的概

率公式求出對應的概率即可求出分布列與數(shù)學期望.

【詳解】解：（1）甲贏兩場，分下面三種情況

①第一場甲勝，第二場無甲，第三場甲勝

.右.12111111121

概率為：—X—X—X—X—+—X—X—X—X—=—

232232322318

②第一場甲輸，二三場均勝

1112(1211)121—121111

概率為:

2323(2323J2323(2323)18

③第一場甲勝，第二場輸，第三場勝

1211(1211)1112(1211)1

概率為:

2323(2323J2323(2323J18

由互斥事件的概率加法公式可知：比賽進行了3場且甲晉級的概率為:

（2）依題意X的所有可能取值為0，1,2

由（1）知P（X=2）=:,

當比賽進行了3場后結(jié)束，甲獲勝的場數(shù)為X=0時,

分兩種情況:

3場比賽中甲參加/1場，輸了，概率為：-X—x—x—x—F—x—x—x—x—=—

232222322216

3場比賽中甲參加了2場，都輸了，概率為：

1111121211111

—X—X—X—X—X——F—X—X—X—X—X—=——

23222323222336

3場比賽甲都參加且都輸?shù)羰遣豢赡艿?，否則兩場比賽打不到3場.

1113

、1636144'

131_107

故P(X=1)=1—P(X=O)—P(X=2)=1---

1446-L44'

故X的分布列為

X012

13107

P

1441446

=0x旦+1」07.1155

則E(X)_i_7XZ—

1441446144

【點睛】本題考查離散型隨機變量的分布列與數(shù)學期望，考查數(shù)據(jù)處理能力、運算求解

能力，考查數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學抽象核心素養(yǎng).

21.已知函數(shù)/（x）=（l+x）ln（l+x）-or2__（2a+l）x,aeR.

（1）若/（x）在定義域內(nèi)是減函數(shù)，求”的最小值；

（2）若/（X）有兩個極值點分別是不，x2,證明：X[+x2＞——2.

【答案】（1），-;（2）證明見解析.

2e

【分析】（1）利用函數(shù)“力在定義域內(nèi)是減函數(shù)等價于r（x）wo在（t+8）上恒成

立，參變分離后，即可求。的最小值；

（2）令妝無）=口（尤）,利用導數(shù)可求得〃（x）的單調(diào)性；令

〃2（》）=;/（彳）-〃（工一2一8）卜〉[--1）,可求得加（x）＞0,得到加（x）單調(diào)遞增，

可得力（工2）＞"[2—x2,置換為〃（X1）〉。（一一？一4），由〃（x）在—lj

上的單調(diào)性可得自變量的大小關(guān)系，從而證得結(jié)論.

【詳解】⑴/（力定義域為（-1,+8），/'（x）=ln（l+x）—2a（x+l）,

?.?/（6在定義域內(nèi)是減函數(shù)，，/'（月40在（-1,+0））上恒成立，

即ln(l+x)-2a(x+l)〈O,:.2a2"(1+:,

1+x

令g(x)JMl+x),則g，(x)=l：n(l『,令g，(?=(),解得：x=e-l,

.1當xe(-l,e-l)時，g<x)>0；當xe(e-l,+oo)時，g'(x)<0；

.?依(同在(-1,6-1)上單調(diào)遞增，在(e-l,+o>)上單調(diào)遞減，

???g(x)a=g(eT)=：，，2aZg(x)a=j解得：a>j~,

??a的最小值為—.

⑵由(1)知：若有兩個極值點，則。<4-；

令/z(x)=/"(%)=In(l+x)-2a(x+l),則2〃=-

令"(x)=0,解得：x=—-1,

.,.當1,^----“時，/Z'(X)>O;當XG[----1,+8)時，

???/l(X)在1―1,《一”上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,

不妨設為<赴，則一1<%<-----1<x；

2a2

令=/1(%)-/2(--2-x

-1

加(x)在上單調(diào)遞增，/.m(x)>wfy——1J=0,

z?z(x2)=/z(x2)-|-2-x2|>0,Bp/z(x2)>/?|—-2-X2

又〃(X)=〃(9)=0，*,*^(-^i)>/if--2-x2j,

1?111?

x)>-------,/.-1<—1-x<------1，

2a-Ia92a

又玉￡（一1'^—j1人（￡）在（一—1）上單調(diào)遞增,

%|>—2—