湖北省武漢市部分重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

武漢市部分重點(diǎn)中學(xué)20232024學(xué)年度上學(xué)期期中聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試卷命審題單位：武漢六中數(shù)學(xué)學(xué)科組審題單位：圓創(chuàng)教育研究中心湖北省武昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)本試卷共6頁，22題.滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.考試時(shí)間：2023年11月9日下午14：0016：00★祝考試順利★注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼貼在答題卡上的指定位置.2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3.非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.兩條不同直線，的方向向量分別為，，則這兩條直線（）A.相交或異面 B.相交 C.異面 D.平行【答案】A【解析】【分析】令，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算判斷即可.【詳解】令，即，則，此方程組無解，則直線，不平行，即相交或異面.故選：A．2.已知橢圓：的離心率為，則（）A. B.1 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】利用橢圓的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由題意可知.故選：C3.一束光線從點(diǎn)射出，沿傾斜角為的直線射到軸上，經(jīng)軸反射后，反射光線所在的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【詳解】先求得入射光線與軸的交點(diǎn)，進(jìn)而求得反射光線所在直線方程.【分析】傾斜角為的直線，斜率為，所以入射光線為，令，解得，所以入射光線與軸的交點(diǎn)為，反射光線的斜率為，設(shè)反射光線的方程為.故選：D4.實(shí)數(shù)，滿足，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】判斷出點(diǎn)的軌跡，根據(jù)斜率、直線與圓的位置關(guān)系等知識求得正確答案.【分析】方程，即，所以是以，半徑為的圓上的點(diǎn)，表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，設(shè)直線與圓相切，到直線的距離，解得或，所以的取值范圍是.故選：C5.已知的頂點(diǎn)，邊上的高所在直線方程為，邊上中線所在的直線方程為，則高的長度為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】先求得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得.【分析】由解得，所以.設(shè)，則，所以，①，直線的斜率為，則直線的斜率為，所以②，由①②解得，則，直線的方程為，由，解得，則，所以.故選：C6.在四面體中，已知為等邊三角形，為等腰直角三角形，斜邊，，則二面角的大小為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，作出二面角的平面角，再利用余弦定理求解即得.【詳解】在四面體中，取的中點(diǎn)，連接，如圖，由，得，因此是二面角的平面角，在中，，由余弦定理得，而，則，所以二面角的大小為.故選：A7.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，直線：交橢圓于，兩點(diǎn)，若恰好為的重心，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)線段的中點(diǎn)為，利用點(diǎn)差法可得，由三角形重心的性質(zhì)知可求得，從而可得，即可求離心率．【詳解】設(shè)，線段的中點(diǎn)為，又為橢圓上兩點(diǎn)，則，以上兩式相減得，即，所以，即，因?yàn)?，所以，由三角形重心的性質(zhì)知，又，則，解得，即，所以，化簡得，即，即，解得或，又，所以，即，從而，則橢圓的離心率為．故選：B．8.已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且離心率為的橢圓與經(jīng)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓內(nèi)，的面積被軸分成兩部分，且與的面積之比為，則面積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)出直線方程和橢圓方程，把直線方程帶入橢圓方程，根據(jù)離心率公式及韋達(dá)定理即可求出，利用三角形面積公式及基本不等式即可求得面積的最大值.【詳解】設(shè)橢圓的方程為，直線的方程為，，聯(lián)立整理得：，由橢圓的離心率，得，帶入上式并整理得：，則，由與的面積之比為，則，則，所以的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故面積的最大值為故選：.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知橢圓：，，分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，為橢圓上任意一點(diǎn).下列說法中正確的是（）A.橢圓離心率為 B.的最小值為1C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)橢圓方程求得的值，即可求出離心率，判斷出；當(dāng)點(diǎn)位于橢圓的左頂點(diǎn)時(shí)，最小，可判斷出；由橢圓的定義可知，可判斷出；當(dāng)點(diǎn)位于橢圓的左右頂點(diǎn)時(shí)，最小，當(dāng)點(diǎn)位于橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，最大，可求出的范圍，判斷出.【詳解】對于選項(xiàng)，根據(jù)橢圓方程可得，則，故離心率，故錯(cuò)誤；對于，當(dāng)點(diǎn)位于橢圓的左頂點(diǎn)時(shí)，最小，且最小值為，故正確；對于，由橢圓的定義知，，故錯(cuò)誤；對于，當(dāng)點(diǎn)位于橢圓的左右頂點(diǎn)時(shí)，最小，且最小值為，當(dāng)點(diǎn)位于橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí),為等邊三角形，，所以，故正確，故選：.10.下列說法正確的是（）A.已知點(diǎn)，，若過的直線與線段相交，則直線的傾斜角范圍為B.“”是“直線與直線互相平行”的充要條件C.曲線：與：恰有四條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為D.圓上有且僅有2個(gè)點(diǎn)到直線：的距離都等于【答案】AC【解析】【詳解】根據(jù)直線與線段的交點(diǎn)、直線平行、充要條件、圓與圓的位置關(guān)系、圓和直線的位置關(guān)系對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【分析】A選項(xiàng)，，所以直線的傾斜角為，，所以直線的傾斜角為，所以直線的傾斜角范圍為，A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，由解得，當(dāng)時(shí)，兩直線為，兩直線平行；當(dāng)時(shí)，兩直線為，即，兩直線平行，所以“”是“直線與直線互相平行”的充分不必要條件，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，：，即，是圓心為，半徑；：，即，要表示圓，則，此時(shí)圓心為，半徑為，兩圓有四條公切線，所以兩圓外離，所以，解得，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以圓上有且僅有個(gè)點(diǎn)到直線：的距離都等于，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC11.如圖，在多面體中，平面，四邊形是正方形，且，，，分別是線段，的中點(diǎn)，是線段上的一個(gè)動點(diǎn)（不含端點(diǎn)，），則下列說法正確的是（）A.存在點(diǎn)，使得B.不存在點(diǎn)，使得異面直線與所成的角為C.三棱錐體積的取值范圍為D.當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到中點(diǎn)時(shí)，與平面所成的余弦值為【答案】BC【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示和異面直線所成角的向量求法可確定是否有解，從而判斷AB；利用等體積法可知，可求得體積的表達(dá)式，即可判斷C；利用向量法求線面角即可判斷D.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，對于A，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，因?yàn)?，，所以，解得，不合題意，故A錯(cuò)誤；對于B，假設(shè)存在點(diǎn)，使得異面直線與所成的角為，因?yàn)椋?所以，解得，不符合，則不存在點(diǎn)，使得異面直線與所成的角為，故B正確；對于C，連接，，因?yàn)椋c(diǎn)到平面的距離，所以，因?yàn)?，所以，故C正確；對于D，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動到中點(diǎn)時(shí)，，又，則，，設(shè)是平面的法向量，則，令，則，因?yàn)?，設(shè)直線與平面所成角為，所以，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12.橢圓有如下的光學(xué)性質(zhì)，從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線射到橢圓鏡面后反射，反射光線經(jīng)過另一個(gè)焦點(diǎn).現(xiàn)橢圓的焦點(diǎn)在軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為、.一束光線從射出，經(jīng)橢圓鏡面反射至，若兩段光線總長度為6，且橢圓的離心率為，左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為.則下列說法正確的是（）A.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為B.若點(diǎn)在橢圓上，則的最大值為C.若點(diǎn)在橢圓上，的最大值為D.過直線上一點(diǎn)分別作橢圓的切線，交橢圓于，兩點(diǎn)，則直線恒過定點(diǎn)【答案】ACD【解析】【分析】利用橢圓的定義及離心率大小可求得橢圓方程，判斷,利用余弦定理，可得頂角的最大為鈍角，故最大值為，可判斷;設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用兩點(diǎn)間的距離公式求得范圍即可判斷;利用橢圓在點(diǎn)處的切線方程為，及點(diǎn)在直線上，求出，兩點(diǎn)滿足的方程，即可求得所過定點(diǎn)，判斷【詳解】一束光線從射出，經(jīng)橢圓鏡面反射至，如下圖所示：所以可得即又橢圓的離心率為，可得，所以，故橢圓方程為，所以正確；由橢圓的定義知，不妨設(shè)，，因?yàn)椋傻盟?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，此時(shí)最大為鈍角設(shè)為，則，故當(dāng)時(shí)，的最大值為，故錯(cuò)誤；易得,設(shè)點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，，故正確；易知橢圓在點(diǎn)處的切線方程為，證明如下：當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)直線與相切與點(diǎn)，聯(lián)立，所以，整理可得，又易知，即，所以整理可得①；又切點(diǎn)在橢圓上，即，整理可得②，聯(lián)立①②，可得即，所以切線方程為，化簡得，經(jīng)檢驗(yàn)，直線斜率不存在時(shí)也符合上式，即橢圓在點(diǎn)處的切線方程為，設(shè)，所以橢圓在點(diǎn)處的切線的方程為，在點(diǎn)處的切線的方程為，兩線相交于點(diǎn)，所以可得，即點(diǎn)滿足方程，所以直線方程為，整理可得，令，故直線的方程過定點(diǎn)，故正確，故選：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題在求解直線過定點(diǎn)問題時(shí)，關(guān)鍵是利用結(jié)論:橢圓在點(diǎn)處的切線方程為，分別求得兩個(gè)切線方程即可得出直線過的定點(diǎn).三、填空題：本大題共4題，每小題5分，共計(jì)20分.13.圓：與圓：的公共弦所在的直線方程為______.【答案】【解析】【分析】兩圓的方程相減即可得公共弦所在直線方程.【詳解】圓：與圓：，兩圓方程相減可得，即，則兩圓的公共弦所在直線方程為.故答案為：.14.所有棱長都為1的平行六面體中，若為與的交點(diǎn)，，，則的值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算法則，可得，再將其兩邊平方，由向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，可得解．【詳解】因?yàn)?，所以，所?故答案為：．15.已知橢圓：的左，右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)且垂直于軸的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，、分別交軸于、兩點(diǎn)，的周長為4.過作外角平分線的垂線與直線交于點(diǎn)，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)和橢圓定義可得，求出橢圓方程，設(shè)代入橢圓方程求得，利用求出，再根據(jù)求出，利用可得答案.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)榈闹荛L為4，所以的周長，所以，所以橢圓方程為，，所以，直線垂直軸，設(shè)，代入，求得，所以，，因?yàn)橥饨瞧椒志€垂線與直線交于點(diǎn)，所以，可得，則，所以.故答案為：.16.已知直線與圓：交于，兩點(diǎn)，且，則的最大值為______.【答案】30【解析】【分析】的幾何意義為點(diǎn)到直線的距離之和，根據(jù)梯形中位線知其最大值是的中點(diǎn)到直線的距離的2倍．由題意，所以的中點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，利用圓的性質(zhì)即可得解.【詳解】的幾何意義為點(diǎn)到直線的距離之和，根據(jù)梯形中位線知其最大值是的中點(diǎn)到直線的距離的2倍，由題可知，圓：的圓心，半徑為2，，則，所以的中點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓，故點(diǎn)到直線的最大距離，所以的最大值為，則的最大值為30．故答案為：30．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.在平面直角坐標(biāo)系中，已知射線：，：.過點(diǎn)作直線分別交射線，于點(diǎn)A，.（1）已知點(diǎn)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）當(dāng)線段的中點(diǎn)為時(shí)，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知先求出直線的方程，與的方程聯(lián)立，即可得出答案；（2）設(shè)，，，，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式以及已知求出的值，即可得出的坐標(biāo)，求出斜率，即可得出答案.【小問1詳解】由已知可得，，所以直線的方程為，即為.與聯(lián)立解得，即.【小問2詳解】由題意設(shè)，，，，則線段的中點(diǎn)為.因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以，解得：.所以，，則直線的斜率.所以直線的方程為，即.故直線的方程為.18.如圖，和是不在同一平面上的兩個(gè)矩形，，，記，，.請用基底，表示下列向量：（1）；（2）；【答案】（1）（2）【解析】【分析】利用空間向量的運(yùn)算求解即可.【小問1詳解】.【小問2詳解】.19.已知圓，圓：，圓：，這三個(gè)圓有一條公共弦.（1）當(dāng)圓的面積最小時(shí)，求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）在（1）的條件下，直線同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：（i）與直線垂直；（ii）與圓相切；（iii）在軸上的截距大于0，若直線與圓交于，兩點(diǎn)，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）聯(lián)立圓與圓的方程，求得公共弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，當(dāng)圓的面積最小時(shí)，是圓的直徑，求解即可；（2）由題意設(shè)直線的方程為，結(jié)合條件直線與圓相切，在軸上的截距大于0，求得，然后利用弦長公式求解.【小問1詳解】依題意，由，解得或，因此圓與圓的公共弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，當(dāng)圓的面積最小時(shí)，是圓的直徑，則圓的圓心為，半徑為，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.【小問2詳解】因?yàn)橹本€與直線垂直，則設(shè)直線的方程為，而直線與圓相切，則有，解得或，又因?yàn)樵谳S上的截距大于0，即，所以，即直線的方程為，而圓的圓心，半徑，點(diǎn)到直線：的距離為，于是得.20.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，為的中點(diǎn)，.為上的一點(diǎn)，已知.（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，利用已知條件先證明線面垂直，然后再證明面面垂直即可；（2）根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系，寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，找出面的法向量，利用向量法求解面面角的余弦值即可.小問1詳解】取中點(diǎn)，連接，，∵，為中點(diǎn)，∴，∵，，∴，∵四邊形為菱形，，∴為等邊三角形，∴，又，分別為，中點(diǎn)，∴，∴，即，∵，平面，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面.【小問2詳解】連接，由（1）知：為等邊三角形，∴，；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為，，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，∴，由得：，∴，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，∴，∵軸平面，∴平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.21.已知，，是橢圓上的三點(diǎn)，其中、兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，直線和的斜率滿足.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）