東大考研信號(hào)與線性系統(tǒng)第一章

第一章信號(hào)與系統(tǒng)1.1緒言1.2信號(hào)1.3信號(hào)的基本運(yùn)算1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)

1.5系統(tǒng)的描述1.6系統(tǒng)的特性和分析方法

階躍函數(shù)

沖激函數(shù)是兩個(gè)典型的奇異函數(shù)。階躍序列和單位樣值序列§1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)

函數(shù)本身有不連續(xù)點(diǎn)(跳變點(diǎn))或其導(dǎo)數(shù)與積分有不連續(xù)點(diǎn)的一類函數(shù)統(tǒng)稱為奇異信號(hào)或奇異函數(shù)。一、單位階躍函數(shù)下面采用求函數(shù)序列極限的方法定義階躍函數(shù)。選定一個(gè)函數(shù)序列γn(t)如圖所示。1.定義

可代替電路中的開關(guān)，故又稱為開關(guān)函數(shù)一、單位階躍函數(shù)2.延遲單位階躍信號(hào)3.階躍函數(shù)的性質(zhì)（1）可以方便地表示某些信號(hào)

f(t)=2ε(t)-3ε(t-1)+ε(t-2)（2）用階躍函數(shù)表示信號(hào)的作用區(qū)間（3）積分

階躍函數(shù)

沖激函數(shù)階躍序列和單位樣值序列§1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)二．單位沖激函數(shù)單位沖激函數(shù)是個(gè)奇異函數(shù)，它是對(duì)強(qiáng)度極大，作用時(shí)間極短一種物理量的理想化模型。

狄拉克(Dirac)定義函數(shù)序列定義δ(t)

沖激函數(shù)與階躍函數(shù)關(guān)系廣義函數(shù)定義沖激函數(shù)

沖激函數(shù)的性質(zhì)1.狄拉克(Dirac)定義函數(shù)值只在t=0時(shí)不為零；

積分面積為1；

t=0時(shí)，，為無界函數(shù)。

二．單位沖激函數(shù)狄拉克(Dirac)定義

函數(shù)序列定義δ(t)

沖激函數(shù)與階躍函數(shù)關(guān)系廣義函數(shù)定義沖激函數(shù)

沖激函數(shù)的性質(zhì)2.函數(shù)序列定義δ(t)對(duì)γn(t)求導(dǎo)得到如圖所示的矩形脈沖pn(t)。

求導(dǎo)高度無窮大，寬度無窮小，面積為1的對(duì)稱窄脈沖。二．單位沖激函數(shù)狄拉克(Dirac)定義函數(shù)序列定義δ(t)

沖激函數(shù)與階躍函數(shù)關(guān)系廣義函數(shù)定義沖激函數(shù)

沖激函數(shù)的性質(zhì)3.δ(t)與ε(t)的關(guān)系求導(dǎo)n→∞求導(dǎo)引入沖激函數(shù)之后，間斷點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)也存在f(t)=2ε(t+1)-2ε(t-1)f′(t)=2δ(t+1)-2δ(t-1)求導(dǎo)二．單位沖激函數(shù)狄拉克(Dirac)定義函數(shù)序列定義δ(t)

沖激函數(shù)與階躍函數(shù)關(guān)系

廣義函數(shù)定義沖激函數(shù)

沖激函數(shù)的性質(zhì)4.沖激函數(shù)的廣義函數(shù)定義廣義函數(shù)概念

普通函數(shù)，如y=f(x)是將一維實(shí)數(shù)空間的數(shù)x經(jīng)過f所規(guī)定的運(yùn)算映射為一維實(shí)數(shù)空間的數(shù)y。將普通函數(shù)概念推廣，廣義函數(shù)可以這樣定義：選擇一類性能良好的函數(shù)φ(t)，φ(t)稱為檢驗(yàn)函數(shù)（相當(dāng)于自變量），一個(gè)廣義函數(shù)g(t)對(duì)檢驗(yàn)函數(shù)空間中的每個(gè)函數(shù)φ(t)賦予一個(gè)數(shù)值N的映射，該數(shù)與廣義函數(shù)g(t)和檢驗(yàn)函數(shù)φ(t)有關(guān)，記N[g(t),φ(t)]。廣義函數(shù)可寫為類型定義式自變量定義域函數(shù)值普通函數(shù)廣義函數(shù)廣義函數(shù)與普通函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系廣義函數(shù)的性質(zhì)相等若則相加若則廣義函數(shù)的性質(zhì)尺度變換微分性質(zhì)沖激函數(shù)的廣義函數(shù)定義[定義]按廣義函數(shù)理論，沖激函數(shù)由下式確定即沖激函數(shù)作用于檢驗(yàn)函數(shù)的效果是它賦值為

這常稱為沖激函數(shù)的取樣性質(zhì)（或篩選性質(zhì)）。簡(jiǎn)言之，能從檢驗(yàn)函數(shù)中篩選出函數(shù)值的廣義函數(shù)就成為沖激函數(shù)。實(shí)際上許多函數(shù)序列的廣義極限都具有如上篩選性質(zhì)，可以用它們來定義沖激函數(shù)。例如高斯（鐘形）函數(shù)取樣函數(shù)雙邊指數(shù)函數(shù)

以及deltafun.m二．單位沖激函數(shù)狄拉克(Dirac)定義函數(shù)序列定義δ(t)

沖激函數(shù)與階躍函數(shù)關(guān)系廣義函數(shù)定義沖激函數(shù)

沖激函數(shù)的性質(zhì)5．

沖激函數(shù)的性質(zhì)取樣性沖激偶尺度變換復(fù)合函數(shù)形式的沖激函數(shù)1.取樣性(篩選性)對(duì)于平移情況：如果f(t)在t=0處連續(xù)，且處處有界，則有

2.沖激偶τ↓沖激偶的性質(zhì)

①證明②證明δ(n)(t)的定義：δ’(t)的平移：③例沖激偶取樣性證明沖激偶積分證明利用分部積分運(yùn)算3.對(duì)

(t)的尺度變換證明推論:(1)(2)當(dāng)a=–1時(shí)所以，,為偶函數(shù)，

,為奇函數(shù)分析：用兩邊與f(t)的乘積的積分值相等證明，分a>0、a<0兩種情況

兩邊相等(1)沖激信號(hào)尺度變換的證明(2)沖激信號(hào)尺度變換的證明

兩邊相等沖激信號(hào)尺度變換的證明從定義看：

p(t)面積為1，強(qiáng)度為1

p(at)面積為，強(qiáng)度為舉例已知f(t)，畫出g(t)=f’(t)和g(2t)求導(dǎo)，得g(t)壓縮，得g(2t)表達(dá)式？解：（1）時(shí)移以而求得－2t，即f(5-2t)左移代替，由f（5－2t)f(－2t)時(shí)移例：已知f(5-2t)的波形如圖所示，試畫出f(t)的波形。tt（2）反轉(zhuǎn)：f(-2t)中以-t代替t，可求得f(2t),表明f(-2t)的波形以t＝0的縱軸為中心線對(duì)褶，注意是偶數(shù)，故由f(－2t)f(2t)反褶

01t

f(2t)由f(2t)f(t)比例－1012t（3）比例：以代替f(2t)中的t，所得的f(t)波形將是f(2t)波形在時(shí)間軸上擴(kuò)展兩倍。4.復(fù)合函數(shù)形式的沖激函數(shù)實(shí)際中有時(shí)會(huì)遇到形如δ[f(t)]的沖激函數(shù)，其中f(t)是普通函數(shù)。并且f(t)=0有n個(gè)互不相等的實(shí)根ti

(i=1，2，…，n)ε(t2–4)=1–ε(t+2)+ε(t–2)ε[f(t)]圖示說明：例f(t)=t2–4一般地，這表明，δ[f(t)]是位于各ti處，強(qiáng)度為的n個(gè)沖激函數(shù)構(gòu)成的沖激函數(shù)序列。注意：如果f(t)=0有重根，δ[f(t)]無意義。ε(t2–4)=1–ε(t+2)+ε(t–2)沖激函數(shù)的性質(zhì)總結(jié)（1）取樣性（2）奇偶性（3）比例性（4）微積分性質(zhì)（5）沖激偶階躍函數(shù)

沖激函數(shù)

階躍序列和單位樣值序列§1.4階躍函數(shù)和沖激函數(shù)序列δ(k)和ε(k)這兩個(gè)序列是普通序列。1.單位(樣值)序列δ(k)取樣性質(zhì)：f(k)δ(k)=f(0)δ(k)f(k)δ(k–k0)=f(k0)δ(k–k0)例定義2.單位階躍序列ε(k)定義ε(k)與δ(k)的關(guān)系δ(k)=ε(k)–ε(k–1)或ε(k)=δ(k)+δ(k–1)+…定義

實(shí)際上，這兩種系統(tǒng)常組合運(yùn)用，稱為混合系統(tǒng)2、即時(shí)系統(tǒng)和動(dòng)態(tài)系統(tǒng)（按照系統(tǒng)內(nèi)是否含有記憶元件）3、無源系統(tǒng)和有源系統(tǒng)（按系統(tǒng)內(nèi)是否含源）4、集中參數(shù)系統(tǒng)和分布參數(shù)系統(tǒng)（按系統(tǒng)的參數(shù)是集中的或分布的）5、線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)（按其特性分）6、時(shí)不變系統(tǒng)與時(shí)變系統(tǒng)（按其參數(shù)是否隨t而變）本課程主要研究：集中參數(shù)的、線性非時(shí)變的連續(xù)時(shí)間和離散時(shí)間系統(tǒng)。以后簡(jiǎn)稱線性系統(tǒng)。1、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)與離散時(shí)間系統(tǒng)輸入、輸出都是連續(xù)時(shí)間信號(hào)，其數(shù)學(xué)模型是微分方程輸入、輸出都是離散時(shí)間信號(hào)，其數(shù)學(xué)模型是差分方程§1.5系統(tǒng)的描述和分析方法連續(xù)系統(tǒng)離散系統(tǒng)§1.5系統(tǒng)的描述和分析方法連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的描述

系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：系統(tǒng)物理特性的數(shù)學(xué)抽象。系統(tǒng)的框圖描述：形象地表示其功能。系統(tǒng)分析方法概述1.連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型由數(shù)學(xué)表達(dá)式表示的系統(tǒng)模型，稱為系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型由理想電路元件符號(hào)表示的系統(tǒng)模型i(t)LR

+e(t)-例如日光燈電路的電路模型什么是系統(tǒng)模型？系統(tǒng)模型——是系統(tǒng)物理特性的數(shù)學(xué)抽象，以數(shù)學(xué)表達(dá)式或具有理想特性的符號(hào)組合圖形來表示系統(tǒng)特性。系統(tǒng)模型說明電感器的低頻等效電路電感器的高頻等效電路LRLRC1、建模是有條件的，同一物理系統(tǒng)，在不同的條件下，可以得到不同形式的數(shù)學(xué)模型。嚴(yán)格地說，只能得到近似的模型。

關(guān)于系統(tǒng)模型的建立有幾個(gè)方面須說明：系統(tǒng)模型說明2、不同的物理系統(tǒng)，經(jīng)過抽象和近似，有可能得到形式上完全相同的數(shù)學(xué)模型。CRS(t=0)RC電路的零輸入響應(yīng)：（1－1）Mu(t)（速度）Bu(t)(摩擦力）（1－2）物體的減速運(yùn)動(dòng)：（1－1）與（1－2)是形式上完全相同的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)模型說明

3、對(duì)于較復(fù)雜的系統(tǒng)，同一系統(tǒng)模型可有多種不同的數(shù)學(xué)表現(xiàn)形式。高階微分方程--------------稱為輸入/輸出方程狀態(tài)方程---------------適合于多輸入多輸出系統(tǒng)分析（一階微分方程組）例：若選作為輸出，則系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：一階微分方程組

+e(t)-系統(tǒng)模型說明同一物理系統(tǒng)，在不同的條件下，可以得到不同形式的數(shù)學(xué)模型。不同的物理系統(tǒng)，經(jīng)過抽象和近似，有可能得到形式上完全相同的數(shù)學(xué)模型。對(duì)于較復(fù)雜的系統(tǒng)，同一系統(tǒng)模型可有多種不同的數(shù)學(xué)表現(xiàn)形式連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：系統(tǒng)物理特性的數(shù)學(xué)抽象。

系統(tǒng)的框圖描述：形象地表示其功能。系統(tǒng)分析方法概述二．系統(tǒng)的框圖描述

連續(xù)系統(tǒng)的基本單元系統(tǒng)模擬上述方程從數(shù)學(xué)角度來說代表了某些運(yùn)算關(guān)系：相乘、微分（差分）、相加運(yùn)算。將這些基本運(yùn)算用一些基本單元符號(hào)表示出來并相互聯(lián)接表征上述方程的運(yùn)算關(guān)系，這樣畫出的圖稱為模擬框圖，簡(jiǎn)稱框圖。1.連續(xù)系統(tǒng)的基本單元延時(shí)器加法器積分器數(shù)乘器乘法器2.系統(tǒng)模擬實(shí)際系統(tǒng)→方程→模擬框圖→實(shí)驗(yàn)室實(shí)現(xiàn)（模擬系統(tǒng)）→指導(dǎo)實(shí)際系統(tǒng)設(shè)計(jì)方程←→框圖用變換域方法和梅森公式簡(jiǎn)單，后面討論。例1由微分方程畫框圖例1：已知y”(t)+ay’(t)+by(t)=f(t)，畫框圖。解：將方程寫為y”(t)=f(t)–ay’(t)–by(t)例2由微分方程畫框圖例2請(qǐng)畫出如下微分方程所代表的系統(tǒng)的系統(tǒng)框圖。解：解法二解2：該方程含f(t)的導(dǎo)數(shù)，可引入輔助函數(shù)畫出框圖。設(shè)輔助函數(shù)x(t)滿足x”(t)+3x’(t)+2x(t)=f(t)可推導(dǎo)出y(t)=x’(t)+x(t)，它滿足原方程。例3由框圖寫微分方程例3：已知框圖，寫出系統(tǒng)的微分方程。設(shè)輔助變量x(t)如圖x(t)x’(t)x”(t)x”(t)=f(t)–2x’(t)–3x(t),即x”(t)+2x’(t)+3x(t)=f(t)y(t)=4x’(t)+3x(t)根據(jù)前面，逆過程，得y”(t)+2y’(t)+3y(t)=4f’(t)+3f(t)將上述結(jié)論推廣應(yīng)用于n階連續(xù)系統(tǒng)。設(shè)n階系統(tǒng)輸入輸出方程為圖1.5-7n階系統(tǒng)框圖表示n階系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型：系統(tǒng)物理特性的數(shù)學(xué)抽象。系統(tǒng)的框圖描述：形象地表示其功能。系統(tǒng)分析方法概述離散系統(tǒng)的解析描述——差分方程例：某人每月初在銀行存入一定數(shù)量的款，月息為β元/月，求第k個(gè)月初存折上的款數(shù)。設(shè)第k個(gè)月初的款數(shù)為y(k),這個(gè)月初的存款為f(k),上個(gè)月初的款數(shù)為y(k-1)，利息為βy(k-1),則

y(k)=y(k-1)+βy(k-1)+f(k)即y(k)-(1+β)y(k-1)=f(k)若設(shè)開始存款月為k=0，則有y(0)=f(0)。上述方程就稱為y(k)與f(k)之間所滿足的差分方程。所謂差分方程是指由未知輸出序列項(xiàng)與輸入序列項(xiàng)構(gòu)成的方程。未知序列項(xiàng)變量最高序號(hào)與最低序號(hào)的差數(shù)，稱為差分方程的階數(shù)。上述為一階差分方程。由n階差分方程描述的系統(tǒng)稱為n階系統(tǒng)。2.離散系統(tǒng)的基本單元加法器遲延單元數(shù)乘器例4由框圖寫差分方程例4：已知框圖，寫出系統(tǒng)的差分方程。解：設(shè)輔助變量x(k)如圖x(k)x(k-1)x(k-2)即x(k)+2x(k-1)+3x(k-2)=f(k)y(k)=4x(k-1)+5x(k-2)消去x(k)，得

y(k)+2y(k-1)+3y(k-2)=4f(k-1)+5f(k-2)x(k)=f(k)–2x(k-1)–3x(k-2)

線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)時(shí)不變系統(tǒng)與時(shí)變系統(tǒng)因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)與不穩(wěn)定系統(tǒng)§1.6系統(tǒng)的特性與分類連續(xù)或離散的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，按其基本特性可分為1.線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)

線性系統(tǒng)：指滿足線性性質(zhì)的系統(tǒng)。線性性質(zhì)：齊次性和可加性可加性：齊次性：f(·)→y(·)

y(·)=T[f(·)]f(·)→y(·)

af(·)→a

y(·)

f1(·)→y1(·)

f2(·)→y2(·)

f1(·)+f2(·)→y1(·)+y2(·)

af1(·)+bf2(·)→ay1(·)+by2(·)

綜合，線性性質(zhì)：線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是線性微分方程式或線性差分方程式。例1：若T[e(t)]=ae(t)+b=r(t)，問該系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？解：而顯然故系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。判斷線性系統(tǒng)舉例例2：若

，問該系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？判斷線性系統(tǒng)舉例解：滿足均勻特性和疊加特性，該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。注：微積分運(yùn)算是線性運(yùn)算。設(shè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)響應(yīng)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)不僅與激勵(lì){f

(·)}有關(guān)，而且與系統(tǒng)的初始狀態(tài){x(0)}有關(guān)。初始狀態(tài)也稱“內(nèi)部激勵(lì)”。

y

(·)=T[{f

(·)},{x(0)}]零狀態(tài)響應(yīng)：yzs(·)=T[{f

(·)},{0}]，零輸入響應(yīng)：

yzi(·)=T[{0}，{x(0)}]

任意線性系統(tǒng)的輸出響應(yīng)都可分解為零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)兩部分之和,即動(dòng)態(tài)系統(tǒng)是線性系統(tǒng)的條件①可分解性：y

(·)

=yzs(·)+yzi(·)②零狀態(tài)線性：

T[{af1(t)+bf2(t)},{0}]=aT[{f1

(·)},{0}]+bT[{f2

(·)},{0}]③零輸入線性：T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}]因此，判斷一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)，應(yīng)從三個(gè)方面來判斷：判斷線性系統(tǒng)舉例例1：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？（1）y

(t)=3x(0)+2f

(t)+x(0)f

(t)+1

（2）y

(t)=2x(0)+|f

(t)|

（3）y

(t)=x2(0)+2f

(t)解：（1）

yzs(t)=2f

(t)+1，yzi(t)=3x(0)+1顯然，y

(t)≠yzs(t)＋yzi(t)不滿足可分解性，故為非線性（2）

yzs(t)=|f

(t)|，yzi(t)=2x(0)

y

(t)=yzs(t)+yzi(t)滿足可分解性；由于T[{af

(t)},{0}]=|af

(t)|≠ayzs(t)不滿足零狀態(tài)線性。故為非線性系統(tǒng)。（3）

yzi(t)=x2(0)，T[{0},{ax(0)}]=[ax(0)]2≠ayzi(t)不滿足零輸入線性。故為非線性系統(tǒng)。例2：判斷下列系統(tǒng)是否為線性系統(tǒng)？解：y

(t)=yzs(t)+yzi(t)，滿足可分解性；T[{af1(t)+bf2(t)},{0}]=aT[{f1(t)},{0}]+bT[{f2(t)},{0}]，滿足零狀態(tài)線性；T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=e-t[ax1(0)+bx2(0)]=ae-tx1(0)+be-tx2(0)=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}],滿足零輸入線性；所以，該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。1．在判斷可分解性時(shí)，應(yīng)考察系統(tǒng)的完全響應(yīng)y(t)是否可以表示為兩部分之和，其中一部分只與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關(guān)，而另一部分只與系統(tǒng)的輸入激勵(lì)有關(guān)。2．在判斷系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yzi(t)是否具有線性時(shí)，應(yīng)以系統(tǒng)的初始狀態(tài)為自變量（如上述例題中x(0))，而不能以其它的變量（如t等）作為自變量。3．在判斷系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs(t)是否具有線性時(shí)，應(yīng)以系統(tǒng)的輸入激勵(lì)為自變量(如上述例題中f(t))，而不能以其它的變量（如t等）作為自變量。判斷系統(tǒng)是否線性注意問題

線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)

時(shí)不變系統(tǒng)與時(shí)變系統(tǒng)因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)與不穩(wěn)定系統(tǒng)§1.6系統(tǒng)的特性與分類連續(xù)或離散的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，按其基本特性可分為2.時(shí)不變系統(tǒng)與時(shí)變系統(tǒng)時(shí)不變系統(tǒng)：指滿足時(shí)不變性質(zhì)的系統(tǒng)。時(shí)不變性（或移位不變性）：

f(t)→yzs(t)

f(t-

td)→yzs(t-

td)線性時(shí)不變系統(tǒng)可由定常系數(shù)的線性微分方程式或差分方程式描述。判斷時(shí)不變系統(tǒng)舉例例：判斷下列系統(tǒng)是否為時(shí)不變系統(tǒng)？（1）yzs(k)=f

(k)f

(k–1)

（2）yzs(t)=tf

(t)

（3）yzs(t)=f

(–t)分析:判斷一個(gè)系統(tǒng)是否為時(shí)不變系統(tǒng)，只需判斷當(dāng)輸入激勵(lì)x(t)變?yōu)閤(t-t0)時(shí)，相應(yīng)的輸出響應(yīng)y(t)是否也變?yōu)閥(t-t0)。由于系統(tǒng)的時(shí)不變特性只考慮系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，因此在判斷系統(tǒng)的時(shí)不變特性時(shí)，不涉及系統(tǒng)的初始狀態(tài)。判斷時(shí)不變系統(tǒng)舉例解(1)令g

(k)=f(k–kd)T[g

(k)]=g(k)g

(k–1)=f

(k–kd)f

(k–kd–1)而yzs(k–kd)=f

(k–kd)f

(k–kd–1)顯然T[f(k–kd)]=yzs(k–kd)故該系統(tǒng)是時(shí)不變的。(2)

令g

(t)=f(t–td)，T[g

(t)]=tg

(t)=tf

(t–td)而yzs(t–td)=(t–td)f

(t–td)顯然T[f(t–td)]≠yzs(t–td)故該系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。（1）yzs(k)=f

(k)f

(k–1)

（2）yzs(t)=tf

(t)判斷時(shí)不變系統(tǒng)舉例(3)

令g

(t)=f(t–td),T[g

(t)]=g

(–t)=f(–t–td)而yzs(t–td)=f

[–(t–td)]，顯然

T[f(t–td)]≠yzs(t–td)故該系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。直觀判斷方法：

若f

(·)前出現(xiàn)變系數(shù)，或有反轉(zhuǎn)、展縮變換，則系統(tǒng)為時(shí)變系統(tǒng)。

（3）y

zs(t)=f(–t)LTI連續(xù)系統(tǒng)的微分特性和積分特性本課程重點(diǎn)討論線性時(shí)不變系統(tǒng)(LinearTime-Invariant)，簡(jiǎn)稱LTI系統(tǒng)。①微分特性：若f(t)→yzs(t)，則f’(t)→y’

zs(t)

②積分特性：若f(t)→yzs(t)，則證明LTI系統(tǒng)微分特性證明

f(t)→yzs(t)

f(t-△t)→yzs(t-△t)根據(jù)時(shí)不變性質(zhì)，有利用線性性質(zhì)得對(duì)零狀態(tài)系統(tǒng)△t→0得

線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)時(shí)不變系統(tǒng)與時(shí)變系統(tǒng)

因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)與不穩(wěn)定系統(tǒng)§1.6系統(tǒng)的特性與分類連續(xù)或離散的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，按其基本特性可分為3.因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)

因果系統(tǒng)：指零狀態(tài)響應(yīng)不會(huì)出現(xiàn)在激勵(lì)之前的系統(tǒng)。即對(duì)因果系統(tǒng)，當(dāng)t<t0

，f(t)=0時(shí)，有t<t0

，yzs(t)=0。輸出不超前于輸入。判斷方法：舉例綜合舉例因果系統(tǒng)判斷舉例如下列系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)：yzs(t)=3f(t–1)而下列系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)：(1)yzs(t)=2f(t+1)(2)yzs(t)=f(2t)因?yàn)椋顃=1時(shí)，有yzs(1)=2f(2)因?yàn)?，若f(t)=0，t<t0

，有yzs(t)=f(2t)=0,t<0.5t0

。實(shí)際的物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)均為因果系統(tǒng)非因果系統(tǒng)的概念與特性也有實(shí)際的意義，如信號(hào)的壓縮、擴(kuò)展，語音信號(hào)處理等。若信號(hào)的自變量不是時(shí)間，如位移、距離、亮度等為變量的物理系統(tǒng)中研究因果性顯得不很重要。因果信號(hào)可表示為：t=0接入系統(tǒng)的信號(hào)稱為因果信號(hào)。綜合舉例例

某LTI因果連續(xù)系統(tǒng)，起始狀態(tài)為x(0–)。已知，當(dāng)x(0–)=1，輸入因果信號(hào)f1(t)時(shí)，全響應(yīng)

y1(t)=e–t

+cos(πt)，t>0；當(dāng)x(0-)=2，輸入信號(hào)f2(t)=3f1(t)時(shí)，全響應(yīng)

y2(t)=–2e–t

+3cos(πt)，t>0；求輸入f3(t)=+2f1(t-1)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y3f(t)。解

設(shè)當(dāng)x(0–)=1，輸入因果信號(hào)f1(t)時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別為y1zi(t)、y1zs(t)。當(dāng)x(0-)=2，輸入信號(hào)f2(t)=3f1(t)時(shí)，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)分別為y2zi(t)、y2zs(t)。

由題中條件，有y1(t)=y1zi(t)+y1zs(t)=e–t+cos(πt)，t>0（1）y2(t)=y2zi(t)+y2zs(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0（2）根據(jù)線性系統(tǒng)的齊次性，y2zi(t)=2y1zi(t)，y2zs(t)=3y1zs(t)，代入式（2）得

y2(t)=2y1zi(t)+3y1zs(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0（3）式(3)–2×式(1)，得

y1zs(t)=–4e-t+cos(πt)，t>0由于y1zs(t)是因果系統(tǒng)對(duì)因果輸入信號(hào)f1(t)的零狀態(tài)響應(yīng)，故當(dāng)t<0，y1zs(t)=0；因此y1zs(t)可改寫成

y1zs(t)=[–4e-t+cos(πt)]ε(t)(4)f1(t)→y