統(tǒng)計(jì)學(xué)第7章參數(shù)估計(jì)

應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)王印紅中國海洋大學(xué)法政學(xué)院

Top100.wang@126.com第7章參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)在統(tǒng)計(jì)方法中的地位參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)方法描述統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)第7章參數(shù)估計(jì)§7.1§7.2§7.3§7.4參數(shù)估計(jì)的概論一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)樣本容量的確定統(tǒng)計(jì)推斷的過程樣本總體樣本統(tǒng)計(jì)量例如：樣本均值、比例、方差總體均值、比例、方差等§7.1參數(shù)估計(jì)的概論1.估計(jì)量與估計(jì)值2.點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)3.置信水平和置信區(qū)間4.評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)··

如樣本均值，樣本比例、樣本方差等例如:

樣本均值就是總體均值 的一個(gè)估計(jì)量參數(shù)用 表示，估計(jì)量用 表示

估計(jì)值：估計(jì)參數(shù)時(shí)計(jì)算出來的統(tǒng)計(jì)量的具體值·

如果樣本均值x

=80，則80就是 的估計(jì)值1.估計(jì)量與估計(jì)值(estimator

&

estimated

value)·

估計(jì)量：用于估計(jì)總體參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量的名稱。2.點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)＃點(diǎn)估計(jì)：用樣本的統(tǒng)計(jì)量值直接作為總體參數(shù)的估計(jì)值。例如：用樣本均值直接作為總體均值的估計(jì)例如：用兩個(gè)樣本均值之差直接作為總體均值之差的估計(jì)沒有給出估計(jì)值接近總體參數(shù)程度的信息二戰(zhàn)中的點(diǎn)估計(jì)案例2.點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)

區(qū)間估計(jì)：在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計(jì)的一個(gè)區(qū)間范圍，該區(qū)間由樣本統(tǒng)計(jì)量加減抽樣誤差而得到的。區(qū)間估計(jì)的圖示X-1.96x+1.96x-

2.58x+

2.58x90%的樣本95%的樣本99%的樣本-1.65x+1.65x·為是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的比例·

常用的置信水平值有99%,95%,90%·

相應(yīng)的

為0.01，0.05，0.103.置信水平和置信區(qū)間置信水平

將同種方法構(gòu)造估計(jì)區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，估計(jì)區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例稱為置信水平。表示為(1-3.置信水平和置信區(qū)間置信區(qū)間

由樣本統(tǒng)計(jì)量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計(jì)區(qū)間稱為置信區(qū)間，統(tǒng)計(jì)學(xué)家在某種程度上確信這個(gè)區(qū)間會(huì)包含真正的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間

用一個(gè)具體的樣本所構(gòu)造的區(qū)間是一個(gè)特定的區(qū)間，我們無法知道這個(gè)樣本所產(chǎn)生的區(qū)間是否包含總體參數(shù)的真值·

我們只能是希望這個(gè)區(qū)間是大量包含總體參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)，但它也可能是少數(shù)幾個(gè)不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)Have

students

explainwhy

each

of

these

occurs.Level

of

confidence

can

be

seen

in

the

sampling

distribution.3.置信水平和置信區(qū)間3.

置信水平(1-)，影響z

的大小影響區(qū)間寬度的因素1. 總體數(shù)據(jù)的離散程度，用 來測度2.樣本容量，An

estimator

is

a

randomvariable

used

to

estimate

a

population

parameter

(characteristic).UnbiasednessAn

estimator

is

unbiased

if

the

mean

of

its

sampling

distribution

is

equal

to

the

population

parameter.EfficiencyThe

efficiencyof

an

unbiased

estimator

is

measured

by

the

variance

of

its

sampling

distribution.If

two

estimators,

with

the

same

sample

size,

are

both

unbiased,

then

the

one

with

the

smaller

variance

has

greater

relative

efficiency.ConsistencyAn

estimator

is

a

consistent

estimator

of

a

population

parameter

if

the

larger

the

sample

size,

the

more

likely

it

is

that

the

estimate

will

comeclose

to

the

parameter.4.評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)

無偏性：估計(jì)量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)的總體參數(shù)P(

)BA無偏有偏An

estimator

is

a

randomvariable

used

to

estimate

a

population

parameter

(characteristic).UnbiasednessAn

estimator

is

unbiased

if

the

mean

of

its

sampling

distribution

is

equal

to

the

population

parameter.EfficiencyThe

efficiencyof

an

unbiased

estimator

is

measured

by

the

variance

of

its

sampling

distribution.If

two

estimators,

with

the

same

sample

size,

are

both

unbiased,

then

the

one

with

the

smaller

variance

has

greater

relative

efficiency.ConsistencyAn

estimator

is

a

consistent

estimator

of

a

population

parameter

if

the

larger

the

sample

size,

the

more

likely

it

is

that

the

estimate

will

comeclose

to

the

parameter.4.評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)有效性：對(duì)同一總體參數(shù)的兩個(gè)無偏點(diǎn)估計(jì)量，有更小標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量更有效AB的抽樣分布的抽樣分布P(

)An

estimator

is

a

randomvariable

used

to

estimate

a

population

parameter

(characteristic).UnbiasednessAn

estimator

is

unbiased

if

the

mean

of

its

sampling

distribution

is

equal

to

the

population

parameter.EfficiencyThe

efficiencyof

an

unbiased

estimator

is

measured

by

the

variance

of

its

sampling

distribution.If

two

estimators,

with

the

same

sample

size,

are

both

unbiased,

then

the

one

with

the

smaller

variance

has

greater

relative

efficiency.ConsistencyAn

estimator

is

a

consistent

estimator

of

a

population

parameter

if

the

larger

the

sample

size,

the

more

likely

it

is

that

the

estimate

will

comeclose

to

the

parameter.4.評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)一致性：隨著樣本容量的增大，估計(jì)量值越來越接近被估計(jì)的總AB較小的樣本容量的體參數(shù)P()較大的樣本容量§7.2一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)1.總體均值的區(qū)間估計(jì)2.總體比例的區(qū)間估計(jì)3.總體方差的區(qū)間估計(jì)一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)(正態(tài)總體、

２已知，或非正態(tài)總體、大樣本)1.總體均值的區(qū)間估計(jì)1.

假定條件··

總體服從正態(tài)分布,且方差(

２)

已知如果不是正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來近似(n30)·

使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量Ｚ3.

總體均值 在1- 置信水平下的置信區(qū)間為總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)【例7-1】一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，為對(duì)產(chǎn)量質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測，企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進(jìn)行抽檢，以分析每袋重量是否符合要求。現(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋，測得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布，且總體標(biāo)準(zhǔn)差為10克。試估計(jì)該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為95%總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)/2=1.96。根解：已知Ｘ~N( ，102)，n=25,

1- =

95%，z據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得：總體均值 在1- 置信水平下的置信區(qū)間為該食品平均重量的置信區(qū)間為101.44克~109.28克總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)【例7-2】一家保險(xiǎn)公司收集到由36投保個(gè)人組成的隨機(jī)樣本，得到每個(gè)投保人的年齡(周歲)數(shù)據(jù)如下表。試建立投保人年齡90%的置信區(qū)間總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)/2=1.645。根據(jù)樣本數(shù)解：已知n=36,

1- =

90%，z據(jù)計(jì)算得：

，總體均值 在1-置信水平下的置信區(qū)間為投保人平均年齡的置信區(qū)間為37.37歲~41.63歲總體均值的區(qū)間估計(jì)(正態(tài)總體、

２未知、小樣本)總體均值的區(qū)間估計(jì)1.(小樣本)假定條件總體服從正態(tài)分布,且方差(

２)

未知小樣本(n

<30)·

使用t

分布統(tǒng)計(jì)量3.總體均值在1- 置信水平下的置信區(qū)間為As

a

result

of

this

class,

you

will

be

able

to

...t

分布分布是類似正態(tài)分布的一種對(duì)稱分布，它通常要比正態(tài)分布平坦和分散。一個(gè)特定的分布依賴于稱之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于正態(tài)分布Xt

分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的比較t

分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布不同自由度的t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t

(df

=

13)t

(df

=

5)Zt總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)【例】已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機(jī)抽取16只，測得其使用壽命(小時(shí))如下。建立該批燈泡平均使用壽命95%的置信區(qū)間總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)/2=2.131。根解：已知Ｘ~t(n-1)，n=16,

1- =

95%，t據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得：

，總體均值 在1- 置信水平下的置信區(qū)間為該種燈泡平均使用壽命的置信區(qū)間為1476.8小時(shí)～1503.2小時(shí)總體比例的區(qū)間估計(jì)1.·假定條件·

總體服從二項(xiàng)分布可以由正態(tài)分布來近似·

使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量Ｚ3. 總體比例 在1- 置信水平下的置信區(qū)間為總體比例的區(qū)間估計(jì)(例題分析)【例】某城市想要估計(jì)下崗職工中女性所占的比例，隨機(jī)抽取了100個(gè)下崗職工，其中65人為女性職工。試