2022年人教版新九年級暑期數(shù)學培優(yōu)-第二十二講 二次函數(shù)單元總結(jié)與達標（教師版）

第二十二講二次函數(shù)單元總結(jié)與達標

【知識梳理】

1.二次函數(shù)的概念

一般地，形如y=ax?+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a#0的函數(shù)，叫做二次函數(shù).

注意：(1)等號右邊必須是整式；(2)自變量的最高次數(shù)是2；(3)當b=0,c=0時，y=ax?是特殊的二次

函數(shù).

2.二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

二次函數(shù)y=a(x-h)2+ky=ax2-\-bx-\-c

開

口a>0開口向上

方

向

a<0開口向下

b

對稱軸x=—

x=h2(2

b4ac-b-

頂點坐標C_?)

(萬，左)2a4a

4ac一夕

最

a>0T最小=上J'最小

值_4ac-b~

a<Qy最大=kJ最大一4〃

增

a>0

減在對稱軸左邊人/y、;在對稱軸右邊,x/y/

性

“VO在對稱軸左邊x/y/;在對稱軸右邊,x/

3.二次函數(shù)圖像的平移

v=ax2—>.”車由看羽打jy=-ax1

,I?」

l左、，右平移左加右減

y=a(x+hy

［上、下平移上加下減

y=a(x±hf+k

1寫成一般形式

y—ax1+區(qū)+。

4.二次函數(shù)表達式的求法

(1)一般式法：y=ax"+bx+c(aW0)

(2)頂點法：y=a(x—h)2+k(a^0)

(3)交點法：y=a(x—xi)(x—xz)(aWO)

5.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系

二次函數(shù)丫=@/+6乂+。的圖象和x軸交點有三種情況:有兩個交點,有兩個重合的交點,沒有交點.當二次函

數(shù)y=axL'+bx+c的圖象和x軸有交點時,交點的橫坐標就是當y=0時自變量x的值，即一元二次方程ax2+

bx+c=O的根.

二次函數(shù)V=辦2一兀一次方程一兀一次A程

十5x+c的圖像和ax2+bx+c=O的aF+bx+c=0根的

X軸交點根判別式(*-4ac)

有兩個相異的

b2-4ac>0

后兩個交點實數(shù)根

有兩個相等的

有兩個重合b2-4ac=0

的交點實數(shù)根

沒有交點沒有實數(shù)根b2-4ac<0

6.二次函數(shù)的應(yīng)用

二次函數(shù)的應(yīng)用包括以下兩個方面

(1)用二次函數(shù)表示實際問題變量之間的關(guān)系，解決最大化問題(即最值問題);

(2)利用二次函數(shù)的圖像求一元二次方程的近似解.

(3)一般步驟：(1)找出問題中的變量和常量以及它們之間的函數(shù)關(guān)系；(2)列出函數(shù)關(guān)系式，并確定自變

量的取值范圍；(3)利用二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)解決實際問題；(4)檢驗結(jié)果的合理性，是否符合實際意義.

【考點總結(jié)與例題講析】

考點一：求拋物線的頂點、對稱軸、最值

【例題11拋物線y=x,—2x+3的頂點坐標為.

解決此類題目可以先把二次函數(shù)y=ax?+bx+c配方為頂點式y(tǒng)=a(x—h)?+k的形式，得到：對稱軸是直

線x=h,最值為y=k,頂點坐標為(h,k)；也可以直接利用公式求解.

【答案】見解析。

【解析】方法一：配方，得y=x--2X+3=(X—1)2+2,則頂點坐標為(1,2).

方法二代入公式

<4c—廿4X1X3-22

4x1

則頂點坐標為(1,2).

考點二：二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)及函數(shù)值的大小比較

方法總結(jié)：

1.可根據(jù)對稱軸的位置確定b的符號：b=0=對稱軸是y軸；a、b同號=對稱軸在y軸左側(cè)；a、b異號=

對稱軸在y軸右側(cè).這個規(guī)律可簡記為“左同右異”.

2.當x=l時，函數(shù)y=a+b+c.當圖像上橫坐標

x=l的點在x軸上方時，a+b+c>0：當圖像上橫坐標x=l的點在x軸上時，a+b+c=O；當圖像上橫坐

標x=l的點在x軸下方時，a+b+cVO.同理，可由圖像上橫坐標x=-1的點判斷a—b+c的符號.

2

【例題2］二次函數(shù)y=-x+bx+c的圖像如圖所示，若點A(xi,yi),B(x2,y?)在此函數(shù)圖像上，且xi<x2<l,

則外與yz的大小關(guān)系是()

A.yiWyzB.yi<y2C.yi^yaD.yi>y2

【答案】見解析。

【解析】由圖像看出，拋物線開口向下，對稱軸是x=l,當xVl時，y隨x的增大而增大.

Vx1<x2<l,yi<ya.故選B.

考點三：二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aW0)的圖像與系數(shù)a,b,c的關(guān)系

【例題3】已知二次函數(shù)y=ax'+bx+c的圖像如圖所示，下列結(jié)論：①abc>0；②2a-b<0；③4a-2b+

c<0；@(a+c)2<b2.其中正確的個數(shù)是()

【解析】由圖像開口向下可得a<0,由對稱軸在y軸左側(cè)可得b<0,由圖像與y軸交于正半軸可得c

>0,則abc>0,故①正確;

由對稱軸x>—1可得2a—b<0,故②正確；

由圖像上橫坐標為x=-2的點在第三象限可得4a—2b+cV0,故③正確；

由圖像上橫坐標為x=l的點在第四象限得出a+b+c<0,由圖像上橫坐標為x=-l的點在第二象限得出

a—b+c>0,則(a+b+c)(a—b+c)<0,

即(a+c)2—b'<0,可得(a+c)2Vb

故④正確.故選D.

考點四：二次函數(shù)表達式的確定

【例題4］已知關(guān)于x的二次函數(shù)，當x=-l時，函數(shù)值為10,當x=l時，函數(shù)值為4,當x=2時，函數(shù)值為7,

求這個二次函數(shù)的解析式.

【答案】見解析。

【解析】設(shè)所求的二次函數(shù)為y=ax、bx+c,由題意得：

a—b+c=10

va+辦+c=4

4a+2b+c=7

解得，a=2,b=-3,c=5

/.所求的二次函數(shù)為y=2x?—3x+5.

考點五：二次函數(shù)與一元二次方程

［例題5］若二次函數(shù)y=x2+mx的對稱軸是x=3,則關(guān)于x的方程x2+mx=7的解為()

A.xi=0,X2~6B.Xi=l,X2=7

C.Xi=l,X2=-7D.xi=-1,X2=7

【答案】D

【解析】?.?二次函數(shù)y=x2+mx的對稱軸是x=3,

~m/2=3,解得m=-6,

.,.關(guān)于x的方程x2+mx=7可化為X2-6X-7=0,

BP(x+1)(x—7)=0,解得Xi=-1,X2=7.故選D.

考點六：二次函數(shù)的應(yīng)用

【例題6】某商場試銷一種成本為每件60元的服裝，規(guī)定試銷期間銷售單價不低于成本單價，且獲利不得

高于45%,經(jīng)試銷發(fā)現(xiàn)，銷售量y(件)與銷售單價x(元)符合一次函數(shù)y=kx+b,且x=65時，y=55；x=

75時，y=45.

(1)求一次函數(shù)的表達式；

(2)若該商場獲得利潤為W元，試寫出利潤W與銷售單價x之間的關(guān)系式；銷售單價定為多少元時，商場可

獲得最大利潤，最大利潤是多少元？

【答案】見解析。

【解析】(1)根據(jù)題意，得

J65k+b=55

[75k+。=45

解得k=-l,b=120.故所求一次函數(shù)的表達式為y=-x+120

(2)W=(x-60)?(-x+120)=-X2+180X-7200=-(X-90)2+900,

?.?拋物線的開口向下，，當x<90時，W隨x的增大而增大，

而60WxW60X(1+45%),即60WxW87,

,當x=87時,W有最大值,此時W=-(87-90)2+900=891.

二次函數(shù)單元總結(jié)與達標過關(guān)檢測

注意：滿分120分，答題時間90分鐘

一、單選題(每個小題4分，共24分)

1.函數(shù)y=ax°+bx+c(a,b,c為常數(shù))是二次函數(shù)的條件是()

A.或cwOB.C.力#0且cwOD.a+b+c^O

【答案】B

【解析】結(jié)合二次函數(shù)的定義判斷，即可得到答案.

由二次函數(shù)定義可知，自變量x和應(yīng)變量y滿足y=ax2+0x+c(a,b,c為常數(shù)，且。工0)的函數(shù)叫做二

次函數(shù)。

2.下列關(guān)于二次函數(shù)y=21的說法正確的是()

A.它的圖象經(jīng)過點(—1,—2)B.當尤<00寸，y隨X的增大而減小

C.當x=0時，y有最大值為0D.它的圖象的對稱軸是直線x=2

【答案】B

【解析】根據(jù)二次函數(shù)作出示意圖，然后根據(jù)示意圖逐一判斷即可.

由題意得：

當x=?l時，y=2,故A選項錯誤；

當X<()時，V隨工的增大而減小，故B選項正確；

當x=o時，y有小值為o,故c選項錯誤；

圖象的對稱軸是直線X=0,故D選項錯誤.

3.若二次函數(shù)尸ax2+l的圖象經(jīng)過點(-2,0),則關(guān)于x的方程a(x-2)2+1=0的實數(shù)根為()

A.X]=0,X2=4B.x?=—2,x2=6

35八

x=f=

C.i22Xj=-4,x2=0

【答案】A

【解析】二次函數(shù)y=ax2+l的圖象經(jīng)過點(-2,0),得到4a+l=0,求得a二代入方程a(x-2)2+1=0

4

即可得到結(jié)論.

???二次函數(shù)y=ax2+l的圖象經(jīng)過點(-2,0),

4a+l=0,

1

/.a=--,

4

方程a(x-2)2+1=0為：方程--(x-2)1=0,

4

解得：xi=0,X2=4

4.在正比例函數(shù)y=履中，y隨X的增大而減小，則二次函數(shù)y=&(x-1)2的圖象大致是()

【答案】B

【解析】?.?在正比例函數(shù)》，=依中，y隨工的增大而減小

/?k<0

.?.二次函數(shù)y=k(x—1『，開口向下，對稱軸為x=l

5.設(shè)二次函數(shù)y=-(x—3)2—4,點M在該函數(shù)對稱軸上，則點M的坐標可能是()

A.(1,0)B.(一3,0)C.(3,0)D.(0,-4)

【答案】C

【解析】由拋物線解析式可求得其對稱軸，則可求得M點的橫坐標，可求得答案.

:y=-(x-3)--4，

.?.拋物線對稱軸為x=3，

?.?點M在拋物線對稱軸上，

；?點M的橫坐標為3

6.把二次函數(shù)y=—4x—3化成y=a(x—〃了+左的形式是下列中的()

A.y=(x-2)2-1B.y=-(x-2)2-1

C.y——(x+2)'+1D.y=—(x+2)'-1

【答案】C

【解析】先提取二次項系數(shù)，然后再進行配方即可.

y=-x2-4x-3=-(x2+4x+4)-3+4=-(x+2)2+1.

二、填空題(每空4分，共24分)

7.二次函數(shù))，=(左+1)N-2X+1的圖象與x軸有兩個交點，則A的取值范圍是.

【答案】&V0且AW-I.

【解析】令y=0,可得(Z+1)x2-2r+l=0,

,二次函數(shù)y=(k+1)x2-2x+l的圖象與x軸有兩個交點，

二方程(氏+1)爐-2%+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，

.,.△>0,即4-4(%+1)>0,

解得k<0,且k于-1,

的取值范圍為％<0且k#-1.

8.如圖，。。的半徑為2,Ci是函數(shù)y=gx2的圖象，C2是函數(shù)y=x2的圖象，則陰影部分的面積

是________

y

【答案】2n

【解析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知&與C的圖象關(guān)于x軸對稱，從而得到x軸下方陰影部分的面積正好等

于x軸上方空白部分的面積，所以，陰影部分的面積等于。。的面積的一半，然后列式計算即可得解.

?..L與一1互為相反數(shù)，

22

???G與理的圖象關(guān)于x軸對稱，

.?.X軸下方陰影部分的面積正好等于x軸上方空白部分的面積，

,陰影部分的面積=lXL2三2m

2

9.已知二次函數(shù)y=2/+2020,當x分別取小工2(石時，函數(shù)值相等，則當x取2%+2%時，函

數(shù)值為.

【答案】2020

【解析】?.?二次函數(shù)y=2x2+2020,當x分別取xi,x2(X|#x2)時，函數(shù)值相等,

...2xi2+2020=2x22+2020,

/.Xl=-X2>

.?.2xi+2x2=2(X1+X2)=0?

???當X=2XI+2X2時，y=2x0+2020=0+2020=2020

10.己知點P(x,y)在二次函數(shù)y=2(x+1)2-3的圖象上，當-2<xgl時，y的取值范圍是.

【答案】-3<y<5

【解析】?.,二次函數(shù)y=2(x+1)2-3,

.??該函數(shù)對稱軸是直線x=-1,當x=-l時，取得最小值，此時y=-3,

,；點P(x,y)在二次函數(shù)y=2(x+1)2-3的圖象上，

當x=-2時，y=2x(-2+1)~—3=—1

當x=l時，y=2x(l+l)2-3=5

V-2<-l<l

...當-2VxWl時，y的取值范圍是：-3三蜉5

11.將二次函數(shù)y=x2-6x+8化成y=a（x+m）2+k的形式是.

【答案】y=（x-3）2-1

（解析】直接利用配方法將原式變形進而得出答案.

-6x+8

=/-6x+9-1

=（x-3）2-1.

12.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點及點（-3,-2）,且圖象與x軸的另一交點到原點的距離為1,則該二

次函數(shù)的解析式為―.

［答案］y=一=/_?1或卜=

3366

【解析】根據(jù)函數(shù)圖像過原點、（-3,-2）,（-1,0）,代入求解即可；

???二次函數(shù)圖象與x軸的另一交點到原點的距離為1,

.?.這個點的坐標為（-1,0）或（1,0）,

設(shè)該二次函數(shù)的解析式為>>="2+陵+0,

當該函數(shù)過原點、（-3,-2）,（-1,0）時，

'c=0

<9a-3h+c--2,

a-b+c=0

1

a=——

6

解得，|匕=），

6

c=0

即該二次函數(shù)的解析式為y=-gx2_lv.

當該函數(shù)過原點、（-3,-2）,（1,0）時，

c=0

<9〃一3b+c=-2,

〃+h+c=0

￡

6

解得，，b=-

o

c=0

即該二次函數(shù)的解析式為y=—/+上

66

由上可得，該二次函數(shù)的解析式為y=--.r2-Li或j=——A-2+—A%

3366

三、解答題（共72分）

13.（8分）已知y二（機之一〃。/〃2―2時|+（加一3）1+加2是乂的二次函數(shù)，求出它的解析式.

【答案］y=6x2+9或y=2x2-4x+l.

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義列出不等式求解即可.

【詳解】解：根據(jù)二次函數(shù)的定義可得：m2-2m-1=2,且m?-mrO,

解得，m=3或m=-l；

當m=3時，y=6x2+9；

當m=-1時，y=2x2-4x+l；

綜上所述，該二次函數(shù)的解析式為：y=6x?+9或y=2x2-4x+l.

【點評】本題考查二次函數(shù)的定義.一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，aWO）的函數(shù)，叫做二次

函數(shù).其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項.y=ax2+bx+c（a、

b、c是常數(shù)，a，0）也叫做二次函數(shù)的一般形式.

14.（12分）已知函數(shù)y=G"+3）x"'2+3，"-2是關(guān)于*的二次函數(shù).

（1）求m的值.

（2）當m為何值時，該函數(shù)圖像的開口向下？

（3）當m為何值時，該函數(shù)有最小值，最小值是多少？

【答案】（l）mi=-4,m2=l；（2）當m=-4時，該函數(shù)圖象的開口向下；（3）當m=l時，函數(shù)為y=4/,

該函數(shù)有最小值，最小值為0.

【解析】（1）?..函數(shù)y=（加+3）/+3吁2是關(guān)于x的二次函數(shù)，

m2+3m-2=2,m+3#0,

解得：mi=-4,m2=l；

（2）,?,函數(shù)圖象的開口向下，

/.m+3<0,

/.m<-3,

.?.當m=-4時，該函數(shù)圖象的開口向下；

（3）???m=-4或1,

??,當m+3>0時，拋物線有最低點，函數(shù)有最小值，

/.m>-3,

?：m=-4或1,

.?.當m=l時，函數(shù)為y=4尤2,該函數(shù)有最小值，最小值為0.

【點睛】該題主要考查了二次函數(shù)的定義及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；牢固掌握定義及其性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.（12分）請在同一坐標系中畫出二次函數(shù)①丁=,/；②y=,（x—2）2的圖象.說出兩條拋物線的位

置關(guān)系，指出②的開口方向、對稱軸和頂點.

【答案】畫圖見解析；①向左平移兩個單位得到②；②的開口方向向上，對稱軸是x=2,頂點坐標為（2,0）.

【分析】根據(jù)描點法，可得函數(shù)圖象，根據(jù)。>0,圖象開口向上，對稱軸是％=-上b~,頂點坐標是（一b一,

2a2a

--b2-），可得答案.

4a

【詳解】解：列表:

X-2-101234

12

20.500.52

2

y=^(x-2)2

20.500.52

描點：

連線，如圖.

由圖像可知，①向左平移兩個單位得到②，

，②的開口方向向上，對稱軸是x=2,頂點坐標為（2,0）.

b

【點評】本題考察了二次函數(shù)圖象，利用描點法畫函數(shù)圖象，根據(jù)圖象開口向上，對稱軸是x=-一，

2a

頂點坐標是（-二，處二C）是解題關(guān)鍵.

16.（12分）已知點（0,3）在二次函數(shù)曠=依2+加+。的圖象上，且當x=l時，函數(shù)y有最小值2.

（1）求這個二次函數(shù)的表達式.

（2）如果兩個不同的點,6）,6）也在這個函數(shù)的圖象上，求m+八的值.

【答案】（1）y=x2-2x+3；（2）m+n=2

【分析】（1）把點（0,3）代入y=o?+版+c可得c的值，再將點（1,2）代入，與對稱軸等于1聯(lián)立，即

可求解；

（2）易知點C（m,6）,。（〃,6）縱坐標相同，即其關(guān)于對稱軸對稱，即可求解.

【詳解】解：（1）把點（0,3）代入y=o?+bx+c,可得c=3，

?..當x=l時，函數(shù)》有最小值2,

a+b+3=2

a=l

b?,解得＜

----=1b=—2

、2a

二次函數(shù)解析式為y=x2-2x+3；

（2）?.?點C（〃?,6）,。（〃,6）縱坐標相同,

二點。（以6）,。（〃,6）關(guān)于二次函數(shù)圖象的對稱軸x=1對稱,

m+n八

---=1,即加+〃=2?

2

【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、求二次函數(shù)解析式，掌握二次函數(shù)的對稱性是解題的關(guān)鍵.

17.（12分）如圖1,單孔拱橋的形狀近似拋物線形，如圖2建立所示的平面直角坐標系，在正常水位時,

水面寬度AB為12m,拱橋的最高點C到水面AB的距離為6m.

（1）求拋物線的解析式；

（2）因為上游水庫泄洪，水面寬度變?yōu)?0加，求水面上漲的高度.

111

【答案】（1）y——x9+6；（2）—m

66

【分析】（1）根據(jù)題意，C點是拋物線的頂點且位于y軸上，A、B點是拋物線與c軸交點，所以拋物線的

對稱軸為y軸，得A（-6,0）、B（6,0）、C（0,