專題2.4 不等式綜合練（解析版）備戰(zhàn)2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型突破精練（新高考專用）

第第頁專題2.4不等式綜合練題號一二三四總分得分練習(xí)建議用時：120分鐘滿分：150分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題紿岀的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．（2023春·黑龍江佳木斯·高三?？奸_學(xué)考試）設(shè)，，且，則的最小值為（

）A．18 B．9 C．6 D．3【答案】C【分析】根據(jù)基本不等式，即可求解.【詳解】∵∴，（當(dāng)且僅當(dāng)，取“=”）故選：C.2．（2021秋·江蘇蘇州·高一統(tǒng)考期中）十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠.若，則下列命題正確的是（

）A．若且，則B．若，則C．若且，則D．若，則【答案】C【分析】對A,B,D舉反例，對C利用不等式的基本性質(zhì)判斷即可.【詳解】對A，當(dāng)時，，故錯誤；對B，當(dāng)，時，，故錯誤；對C，，，則，，則，故C正確；對D，當(dāng)，滿足前提，但此時，，，故錯誤.故選：C.3．（2022秋·廣東佛山·高三佛山市榮山中學(xué)?？计谥校┤裘}“對任意的，恒成立”為真命題，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先參變分離，轉(zhuǎn)化為，再利用基本不等式求最值，即可求解.【詳解】由題意可知，對任意的，恒成立，即，當(dāng)時，，當(dāng)，即時，等號成立，所以.故選：D4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若集合，，則（

）A． B．或 C．或 D．或【答案】C【分析】通過解不等式得集合，再求交集即可.【詳解】因為或，或，所以或，故選：C.5．（2023·天津南開·南開中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】由充分必要條件的定義舉反例判定即可.【詳解】若，則不成立，若且，此時推不出，所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D6．（2021秋·廣東惠州·高三惠州一中?？计谥校┮阎}，，若是的必要不充分條件，那么實數(shù)的取值集合是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式，，再利用是的必要不充分條件，列出不等式組，解之即得.【詳解】由得，或，解得，即p：；由得，∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，；又是的必要不充分條件，∴或或，且不等式組中等號不同時成立，∴，即實數(shù)的取值集合.故選：A.7．（2023春·江蘇南京·高三南京市中華中學(xué)?？计谥校┰谥?，為線段上一點，且，若，則的最小值為（

）A． B．16 C．48 D．60【答案】C【分析】先由得出再得出,最后常值代換應(yīng)用基本不等式可解.【詳解】,,，又B，D，C三點共線，,,當(dāng)且僅當(dāng)即當(dāng)時取最小值.故選:C.8．已知不等式的解集為，且對于，不等式恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由不等式的解集為知可用表示，代入中并用參數(shù)分離與基本不等式求得的取值范圍.【詳解】由不等式的解集為，可知為方程的兩個根，故且，即，則不等式變?yōu)?，由于，則上式可轉(zhuǎn)化為在恒成立，又，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分9．（2022秋·四川廣安·高三統(tǒng)考期末）下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則【答案】AB【分析】對于A、D項運用作差法判斷，對于B項由不等式性質(zhì)可判斷，對于C項舉反例可判斷.【詳解】對于A項，因為，所以且，即：且，故A項正確；對于B項，運用不等式的性質(zhì)可知，若，，則正確，故B項正確；對于C項，當(dāng)，，，時，滿足，，但不滿足，故C項錯誤；對于D項，因為，又因為，，所以，，所以，即：，故D項錯誤.故選：AB.10．（2021秋·湖南邵陽·高三武岡市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列說法正確的是：（

）A．平板電腦屏幕面積與整機面積的比值叫電腦的“屏占比”，它是平板電腦外觀設(shè)計中一個重要參數(shù)，其值通常在間，設(shè)計師將某平板電腦的屏幕面積和整機面積同時減少相同的數(shù)量，升級為一款“迷你”新電腦的外觀，則該電腦“屏占比”和升級前比變小了．B．小明兩次購買同一種物品，可以用兩種不同的策略，第一種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品的數(shù)量一定；第二種是不考慮物品價格的升降，每次購買這種物品所花的錢數(shù)一定．則小明用第一種策略劃算．C．一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金，一位顧客到店里購買10黃金，售貨員先將5的砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將5的砝碼放在天平右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客，我認(rèn)為顧客吃虧了．D．設(shè)矩形ABCD（AB>AD）的周長為24cm，把△ABC沿AC向△ADC折疊，AB折過去后交DC于點P，則△ADP的最大面積為．【答案】AD【分析】設(shè)法列出升級前后的屏占比表達式，由作差法可比較大小可判斷A；利用基本不等式可判斷BD的正誤；設(shè)天平左臂長為a，右臂長為b（不妨設(shè)），先稱得的黃金的實際質(zhì)量為，后稱得的黃金的實際質(zhì)量為，利用杠桿的平衡原理，由，求得，再利用作差法比較可判斷C；【詳解】對于A，設(shè)升級前屏幕面積為a,整機面積為b,則屏占比為，設(shè)減小面積為，則升級后屏占比為：，則，即，屏占比變小，故A正確；對于B，設(shè)兩次購買此種商品的單價分別為，（都大于0），第一種方案每次購買這種物品數(shù)量為；第二種方案每次購買這種物品的錢數(shù)為.可得：第一種方案的平均價格為：；第二種方案的平均價格為.當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以用第二種策略比較經(jīng)濟，故B不正確；對于C，因為天平的兩臂不相等，故可設(shè)天平左臂長為a，右臂長為b（不妨設(shè)），先稱得的黃金的實際質(zhì)量為，后稱得的黃金的實際質(zhì)量為，由杠桿的平衡原理：，解得，所以，則，因為，所以，所以，則顧客所得黃金大于10，商店虧了，故C不正確；對于D，由題意可知，矩形的周長為24，，即，因為，故.設(shè)，則，，而為直角三角形，∴，∴，∴，其中，∴.當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，即時取最大面積為，故D正確.故選：AD.11．（2023·云南曲靖·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若實數(shù)滿足，則（

）A．且 B．的最大值為C．的最小值為7 D．【答案】ABD【分析】對于AD，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；對于BC，利用指數(shù)的運算法則與基本不等式的性質(zhì)即可判斷.【詳解】由，可得，所以且，故A正確；由，可得，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最大值為，故B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為9，故C錯誤；因為，則，所以，故D正確.故選：ABD.12．（2023春·內(nèi)蒙古赤峰·高三?？茧A段練習(xí)）下列命題不正確的是（

）A．集合，若集合A有且僅有2個子集，則a的值為B．若一元二次方程的解集為R，則k的取值范圍為C．設(shè)集合，，則“”是“”的充分不必要條件D．正實數(shù)滿足，則【答案】AB【分析】結(jié)合條件可知集合中只有一個元素，分類討論和兩種情況，求出的值，即可判斷A選項；一元二次不等式的解集為，可得且，求出的取值范圍，即可判斷B選項；根據(jù)子集的含義和充分不必要條件的定義，即可判斷C選項；根據(jù)基本不等式求和的最小值，即可判斷選項D.【詳解】對于A，因集合有且僅有2個子集，則集合中只有一個元素，當(dāng)，，符合題意；當(dāng)，，綜上所述，可得，，故A選項不正確；對于B，因為一元二次不等式的解集為，可知，可得且，故B選項不正確；對于C，當(dāng)時，，當(dāng)時，或，則或，所以“”是“”的充分不必要條件，故C選項正確；對于D，因正實數(shù)滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故D選項正確.故選：AB.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計20分.13．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知集合，，則_________【答案】【分析】解分式不等式求集合A，由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)求定義域確定集合B，再應(yīng)用集合的并補運算求集合.【詳解】由，則，故，即，所以，則，由對數(shù)、根式的性質(zhì)知：，即，所以.故答案為：14．（2023·天津·高三專題練習(xí)）已知，則的最小值為____________．【答案】4【分析】將構(gòu)造變形為，然后利用基本不等式即可求解．【詳解】由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故最小值為4，故答案為：4．15．（2020·安徽宣城·高三涇縣中學(xué)?？紡娀媱潱┤絷P(guān)于的不等式只有一個整數(shù)解2，則實數(shù)的取值范圍為____________．【答案】【分析】求出不等式的解后可得端點滿足的不等式組，從而可求參數(shù)的取值范圍.【詳解】的解為，因為不等式的整數(shù)解只有2，故，故，故答案為：.16．（2022秋·陜西咸陽·高三?？茧A段練習(xí)）不等式的解集為，則函數(shù)的定義域為____，單調(diào)遞增區(qū)間是____．【答案】【分析】由題可得和1是方程的兩個根，且，由此可得，求得函數(shù)的定義域，再結(jié)合定義域求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可.【詳解】由題可得和1是方程的兩個根，且，則，解得，則函數(shù)，由解得，即函數(shù)定義域為，因為在單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為在單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為：，.四、解答題：本題共6小題，共計70分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．求解下列不等式的解集：(1)；(2)；(3)；(4)；(5).【答案】(1)或(2)(3)(4)(5)【分析】（1）（2）利用二次不等式的解集解原不等式即可得其解集；（3）利用絕對值不等式的解法解原不等式即可得其解集；（4）（5）利用分式不等式的解法解原不等式可得其解集.【詳解】（1）解：由可得，解得或，故原不等式的解集為或.（2）解：由可得，解得，故原不等式的解集為.（3）解：由可得，即，解得，故原不等式的解集為.（4）解：由可得，解得，故原不等式的解集為.（5）解：由可得，解得，故原不等式的解集為.18．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若，求的取值范圍；(2)若，求的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）求得，利用基本不等式結(jié)合可得出的取值范圍；（2）由已知可得出，將代數(shù)式與相乘，展開后利用基本不等式可求得的取值范圍.【詳解】（1）解：∵，∴，又∵，，∴即，∴即．當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．由題意可知，的取值范圍是．（2）解：∵，∴，即．∵，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立．∴的最小值是．19．已知關(guān)于的不等式的解集是．(1)求，的值；(2)若對于任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）由題意，可判斷得方程的兩根為和，再利用韋達定理列方程組計算；（2）將題干條件轉(zhuǎn)化為，利用函數(shù)的單調(diào)性求解最大值，從而可得的取值范圍.【詳解】（1）由題意，方程的兩根為和，由韋達定理可得，，解得.所以，（2）由（1）知，對任意，恒成立，即任意，恒成立，令，則成立，因為函數(shù)在上為減函數(shù)，所以當(dāng)時，，即，所以實數(shù)的取值范圍為.20．已知是實數(shù).(1)求證：，并指出等號成立的條件；(2)若，求的最小值.【答案】(1)證明見解析，當(dāng)且僅當(dāng)，時，不等式等號成立(2)4【分析】（1）作差法證明即可；（2）構(gòu)造基本不等式，利用基本不等式解決即可.【詳解】（1）證明：因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時，不等式中等號成立.（2），當(dāng)且僅當(dāng)，即或時，不等式中等號成立.所以的最小值為4.21．（2023春·江西新余·高二新余市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)．(1)若不等式對一切實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)解關(guān)于的不等式．【答案】(1)(2)答案見解析.【分析】(1)根據(jù)給定條件利用一元二次不等式恒成立求解作答.(2)分類討論解一元二次不等式即可作答.【詳解】（1），恒成立等價于，，當(dāng)時，，對一切實數(shù)不恒成立，則，此時必有，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.（2）依題意，，可化為，當(dāng)時，可得，當(dāng)時，可得，又，解得，當(dāng)時，不等式可化為，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，解得或，當(dāng)時，，解得或，所以，當(dāng)時，原不等式的解集為，當(dāng)時，原不等式的解集為，當(dāng)時，原不等式的解集為或；當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為或.22．（2023秋·江蘇徐州·高三統(tǒng)考期末）“硬科技”是以人工智能?航空航天?生物技術(shù)?光電芯片?信息技術(shù)?新材料?新能源?智能制造等為代表的高精尖科技，屬于由科技創(chuàng)新構(gòu)成的物理世界，是需要長期研發(fā)投入?持續(xù)積累才能形成的原創(chuàng)技術(shù)，具有極高技術(shù)門檻和技術(shù)壁壘，難以被復(fù)制和模仿?最近十年，我國的一大批自主創(chuàng)新的企業(yè)都在打造自己的科技品牌，某高科技企業(yè)自主研發(fā)了一款具有自主知識產(chǎn)權(quán)的高級設(shè)備，并從2023年起全面發(fā)售.經(jīng)測算，生產(chǎn)該高級設(shè)備每年需投入固定成本1000萬元，每生產(chǎn)x百臺高級設(shè)備需要另投成本萬元，且每百臺高級設(shè)備售價為160萬元，假設(shè)每年生產(chǎn)的高級設(shè)備能夠全部售出，且高級設(shè)備年產(chǎn)展