第07講 二次函數(shù)中等腰三角形的存在性問題專題探究(原卷版)

第7講二次函數(shù)中等腰三角形的存在性問題專題探究考點(diǎn)一“兩定一動(dòng)”型等腰三角形存在性問題【知識(shí)點(diǎn)睛】如圖，已知定點(diǎn)A、O，在x軸上找點(diǎn)P，使△OAP為等腰三角形則P1、P2、P3、P4即為符合題意的點(diǎn)P解決策略：（有時(shí)也可用兩點(diǎn)間距離公式求值）即：①當(dāng)OA=OP時(shí)，以O(shè)點(diǎn)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑畫圓，與目標(biāo)直線x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)②當(dāng)OA=AP時(shí)，以A點(diǎn)為圓心，OA長(zhǎng)為半徑畫圓，與目標(biāo)直線x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)③當(dāng)AP=OP時(shí)，線段OA的中垂線與目標(biāo)直線x軸的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)【類題訓(xùn)練】1．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2﹣bx+c（b＞0，b、c為常數(shù)）的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為C．若△ABC是等腰直角三角形，則BC的長(zhǎng)為．4．如圖，已經(jīng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)O（0，0），A（5，5），且它的對(duì)稱軸為x＝2．?（1）求此拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)B是x軸上的一點(diǎn)，且△OAB為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出B點(diǎn)坐標(biāo)．5．如圖，拋物線與x軸交于A（﹣2，0），B（4，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在拋物線上．?（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，連接BC，若點(diǎn)D為直線BC上方拋物線上的點(diǎn)，過點(diǎn)D作DP∥x軸交BC于點(diǎn)P，作DQ∥y軸交BC于點(diǎn)Q，若△DPQ的面積為2，求D點(diǎn)坐標(biāo)；（3）如圖2，點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，當(dāng)x＞﹣2時(shí)，在拋物線上是否存在點(diǎn)D使△AMD是等腰三角形？若能，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由．6．如圖，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸相交于點(diǎn)A和點(diǎn)C（1，0），交y軸于點(diǎn)B（0，3）．（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)為P，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)Q，求四邊形AOBP的面積（請(qǐng)?jiān)趫D1中探索）；（3）二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使得△AMB是以AB為底邊的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由（請(qǐng)?jiān)趫D2中探索）．考點(diǎn)二“一定兩動(dòng)”型等腰三角形存在性問題【知識(shí)點(diǎn)睛】如圖，P、Q分別為AB、CB上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△BPQ是等腰三角形時(shí)，有以下幾種情況：①BP=BQ②BQ=PQ③BP=PQ解決策略：即BQ=PQ可轉(zhuǎn)化為:;BP=PQ可轉(zhuǎn)化為:☆特別地：當(dāng)題目給出的數(shù)據(jù)還好時(shí)，也可選擇用代數(shù)法來分類討論等腰三角形步驟如下：①根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，表示出三邊的平方②根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得到兩兩相等的的三個(gè)方程③分別解出這三個(gè)方程，再依據(jù)結(jié)果判斷是否存在【類題訓(xùn)練】2．如圖，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，則∠ACB＝°；M是二次函數(shù)在第四象限內(nèi)圖象上一點(diǎn)，作MQ∥y軸交BC于Q，若△NQM是以NQ為腰的等腰三角形，則線段NC的長(zhǎng)為．3．如圖，拋物線y＝ax2+bx+4與x軸交于A（﹣2，0），B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，請(qǐng)畫出四邊形ABDC，并求出四邊形ABDC的面積；（3）點(diǎn)E是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為t（1＜t＜4），點(diǎn)F為拋物線對(duì)稱軸l上一點(diǎn)．若△BEF是等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)，并寫出其中一種情況的計(jì)算過程．7．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+bx+4經(jīng)過A（﹣1，3），與y軸交于點(diǎn)C，經(jīng)過點(diǎn)C的直線與拋物線交于另一點(diǎn)E（6，m），點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D．（1）求直線CE的解析式；（2）如圖2，點(diǎn)P為直線CE上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC，PE．當(dāng)△PCE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)以及△PCE面積的最大值．（3）如圖3，將點(diǎn)D右移一個(gè)單位到點(diǎn)N，連接AN，將（1）中拋物線沿射線NA平移得到新拋物線y′，y′經(jīng)過點(diǎn)N，y′的頂點(diǎn)為點(diǎn)G，在新拋物線y′的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)H，使得△MGH是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)H的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線x2+bx+c與直線AB交于點(diǎn)A（0，﹣4），B（4，0）．（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）如圖2，將該拋物線先向左平移4個(gè)單位，再向上移3個(gè)單位