2017年考研數(shù)學(xué)一真題及答案(全)

頁腳頁腳2017年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試題一、選擇題：1?8小題，每小題4分，共32分.下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上．．．．1-cos6 0(1)若函數(shù)f(x)=<一ax—,x>在x連續(xù)，則、 b,x<011(A)ab=-. (B)ab=——. (C)ab=0. (D)ab=2.22【答案】A一一.1-COS..'x 1 ,T1【詳解】由lim =-—=b，得ab=.x-0+ ax2a 2(2)設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，且f(x)f'(x)〉0則(A)f(1)>f(-1).⑻f(D<f(-1).(C)|f(1)>|f(-1).(D)|f(1)<|f(-1).【答案】C【詳解】f(x)f'(x)=［號)］，>0，從而f2(x)單調(diào)遞增，f2(1)>f2(-1).(3)函數(shù)f(x,y,z)=x2y+z2在點(1,2,0)處沿著向量n=(1,2,2)的方向?qū)?shù)為(A)12. (B)6. (C)4. (D)2.【答案】D12【詳解】方向余弦cosa=-,cosP=cosY=-,偏導(dǎo)數(shù)f=2xy,f=x2,f=2z，代入3 3 x yzcosaf'+cosPf'+cos丫f即可.x yz(4)甲乙兩人賽跑，計時開始時，甲在乙前方10(單位：m)處.圖中，實線表示甲的速度曲線V=V(t)(單位：m/s),虛線表示乙的速度曲線肘=V(t)(單位：m/s),三塊陰影部分面12積的數(shù)值一次為10,20,3,計時開始后乙追上甲的時刻記為(單位：s),則

⑼to>25?⑻15<t0<20⑼to>25?【答案】C【詳解】在t0=25時，乙比甲多跑10m,而最開始的時候甲在乙前方10m處.(5)設(shè)a為n維單位列向量，E為n階單位矩陣，則(A)E-aaT不可逆.(B)E+aaT不可逆.。E+2aaT不可逆. (D)E一2aaT不可逆.【答案】A【詳解】可設(shè)a=(1,0,,0)t,則aat的特征值為1,0,,0，從而E—aat的特征值為0,1,,1，因此E—aat不可逆.[200)'210'r1 )(6)設(shè)有矩陣A-021，B=020，C-2、001,、001,12J(A)A與C相似，B與C相似. (B)A與C相似，B與C不相似.(C)A與C不相似，B與C相似.(D)A與C不相似，B與C不相似.【答案】B【詳解】A,B的特征值為2,2,1,但A有三個線性無關(guān)的特征向量，而B只有兩個，所以A可對角化，B則不行.(7)設(shè)A,B為隨機(jī)事件，若0<P(A)<1,0<P(B)<1,則P(AIB)>P(BIA)的充分必要條件(A)P(BIA)>P(BIA). ⑻P(BIA)<P(BIA).P(P(BIA)>P(BIA).P(BIA)<P(BIA).【答案】AP(AB)P(AB)P(A)一P(AB)【詳解】由P(AIB)>P(【詳解】由P(AIB)>P(AIB)得P(B) P(B) 1一P(B)P(AB)>P(A)P(B);

由P(BIA)>P(BIA)也可得P(AB)>P(A)P(B).(8)設(shè)X,X,,X(n2)為來自總體N(從,1)的簡單隨機(jī)樣本，記X=-Zx，則下

12 n nii=1列結(jié)論不正確的是>ZZ(X-口)2服從x2分布.ii=12(X-X)2服從Z2分布.n1(C)Z(X-X)2服從X2分布. (D)n(X-N)2服從X2分布.i=1【答案】B【詳解】彳~N(0，1)Z(XK)2?x2(n)2(X「X)2~x2(n-1)；i=1 i=11 (X-X)2 ,八X?N(Nn)'n(X川2~X2(1)；Xn-X1?N(0,2),i^~X2(1).二、填空題：9?14小題，每小題4分，共24分.請將答案寫在答題紙指定位置上.．．．(9)已知函數(shù)f(x)=「一，f(3)(。)=.1+X2【答案】0【詳解】f(x)=; =1-x2+x4+(-1<x<1)，沒有三次項.1+x2(10)微分方程y"+2y'+3y=0的通解為.【答案】y=e-x(Ccos<2x+Csin%：'2x)1 2【詳解】特征方程r2+2r+3=0得r=-1+J2i,因此y=e-x(Ccos*2x+Csin<2x).1 2xdx-aydy(11)若曲線積分!k三在區(qū)域D=fX,y)X2+y2xdx-aydy(11)若曲線積分!k三【答案】-1sQdP【詳解】有題意可得々=—，解得a=-1.sxsx(12)冪級數(shù)Z(-1)n-1nxn-1在(-1,1)的和函數(shù)S(x)=.n=1

【詳解】￡(-1)n-1nXn-1=-￡[(-X【詳解】￡(-1)n-1nXn-1=-￡[(-X)n]，=n=1n=11(x+1)2(13)A=為．【答案】【詳解】a，a，12a是3維線性無關(guān)的列向量，則(Aa,Aa,Aa)的秩123r(Aa,Aa,Aa)=r(A)=2123x-4(14)設(shè)隨即變量X的分布函數(shù)F(x)=0.5①(x)+0.50(——),其中①(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，【答案】則EX=2【詳解】EX=J+8xf(x)dx=J+8x[0,5叭x)+0.5x-4—^(—Z—)]dx=2.一g、解答題：15?23小題，共94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.請將答案寫在答題紙指定位置上．．．．(15)(本題滿分10分)．d2yd2ydx2x=0x=0設(shè)函數(shù)f(u,v)具有2階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，y=f(ex,cosx),求才dx【答案】y=f(ex,cosx)—y=f'ex-f'sinx,dx1 2.dy丫. xdx.dy丫. xdx=0=f1'(1,1)d2y ( ) =\f"ex-f"sinx'ex+f'ex-(f-ex-f-dx2 11 12 1 21 22d2ydx2x=0=f"(1,1)+f1(1,1)-f1(1,1)11sinx)sinx-f'cosx

2(16)(本題滿分10分)．求lim—ln(1+—).nf8n2【答案】

1im工人1n(1+k)nT-n2 nf1 1 2 2nn\f1 1 2 2nn\1im—1n(1+-)+—1n(1+-)+...+—1n(1+—)nTgVn2nn2nn2n/1im!f11n(1+1)+21n(1+2)+...+n1n(1+n)nn1n(1+x)d2x211—x2 dx1n(1+x)d2x211—x2 dx2 1+x00=gx21n(1+x)=11n2-1J1x2-1+111n2-111n2-1[J1(x-1)dx+J1，

2 20 01+x1dx]11=—ln2——x2-x)0+1n(1+x)0]=11n2-1(1-1+ln2)=12 22 4(17)(本題滿分10分).已知函數(shù)y(X)由方程x3+戶—3x+3y—2=0確定，求y(x)的極值.【答案】x3+y3-3x+3y—2=0①，方程①兩邊對x求導(dǎo)得：3x2+3y2y-3+3y=0②，令y'=0，得3x2=3,x=±1.當(dāng)x=1時y=1，當(dāng)x=-1時y=0.方程②兩邊再對x求導(dǎo)：6x+6y(y)2+3y2y"+3y=0令y'=0,6x+(3y2+1)y"=0,， ， 3 ，八，當(dāng)x=1,y=1時y"=--，當(dāng)x=-1,y=0時y"=6.所以當(dāng)x=1時函數(shù)有極大值，極大值為1,當(dāng)x=-1時函數(shù)有極小值，極小值為0.(18)(本題滿分10分).f(x)…設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,1］上具有2階導(dǎo)數(shù)，且f(1)>0,hmK2<0.證明:xT0+ x(I)方程f(x)=0在區(qū)間(0,1)至少存在一個實根;

(II)方程f(x)f”(x)+[f'(x)]2=0在區(qū)間(0,1)至少存在兩個不同實根.【答案】limdx)<0,由極限的局部保號性，3ce(0,8),使得f(c)<0,又f(1)>0,由xf0+xTOC\o"1-5"\h\z零點存在定理知，3己e(c,1)，使得，f《)=0. ..??(2)構(gòu)造F(x);f(x)f(x)，F(xiàn)(0)=f(0)f,(0)=0，F(xiàn)&)=f也)f化)二0，lim生<0,f,(0)<0,由拉格朗日中值定理知Bne(0,1),f⑴—<⑼=f,(H)>0，xf0+x 1-0..f(0)fXn)<0,所以由零點定理知3匕e(0,n)u(0,1)，使得f化)=0，1 1:?:F化)=f也)f位)=0,所以原方程至少有兩個不同實根。. 1 1 1(19)(本題滿分10分).設(shè)薄片型物體s是圓錐面z=\；x2+w被z2=2x割下的有限部分，其上任意一點處的密度為Mx,y,z)="；x2+y2+z2，記圓錐面與柱面的交線為C；(I)求C在xOy平面上的投影曲線的方程;(II)求S的質(zhì)量M?！敬鸢浮?1)C的方程為《(x-1)【答案】(1)C的方程為《(x-1)2+y2=1z=0Y ，投影到xoy平面的方程為：|z2=2xsx2+y2+x2+y2dSTOC\o"1-5"\h\zM=JJu(x,y,z)dS=JJ9，x2+sx2+y2+x2+y2dS=18J2d0J2cos0、:x2+y2dxdy=18J2-cos30d0產(chǎn)0 _冗322=96J；cos30d0==96(-x1)=640 3(20)(本題滿分11分).設(shè)3矩陣A=(a,a,a)有3個不同的特征值，a=a+2a1 2 3 3 1 2(I)證明：r(A)=2；(II)若P=a+a+a，求方程組Ax=P的解.123

【答案】?.?a=a+a,3 1 2:.a+2a-a=0,2 3r1\「.Q「.Q,a,a>1232=0,故入=0是4的特征值1又A有三個不同的特征值，故'二0為單根，且A一定能相似對角化.ri11

kv=P，即AQ1,1>=P.(2)ri11

kv=P，即AQ1,1>=P.TOC\o"1-5"\h\z?P=a+a+a，故有Q,a,a>1 2 3 1 2 3??.Ax=P的通解為kG,2「11+(1,1,1)r(k為任意常數(shù)).（21）（本題滿分11分）.設(shè)二次型f（x,x,x）=2x2-x2+ax2+2xx-8xx+2xx在正交變換x=Qy下1 2 3 1 2 3 12 13 23的標(biāo)準(zhǔn)形為九y2十九y2，求a的值及一個正交矩陣Q。11 22r21-4〕（21）【答案】二次型的矩陣A=1 -11,、-41a,因為二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為九y2十九y2，故A有特征值o,11 22「.A=0，故a=2.入-2-1 4由故E-A\=-1入+1-1=入（入+3）（入-6）=0得特征值為4 -1 入-2九=-3,九=6,九=02 3解齊次線性方程組反E-Ab=0，求特征向量.i

1-5-14)(10-1)-3，-3E-A=-1-1-5-14)(10-1)-3，-3E-A=-1-2-1.011l4-1-5Jl000,,得a1=對入廠1-11對入2=6,得a-2-144-1-2-1-20,得a3因為a1，a之，a3屬于不同特征值,已經(jīng)正交，只需規(guī)化:￡=LG,-u>,p=ia』、3邛-a1(-1,0,1>,P1」G,2,1>，x6所求正交矩陣為Q=d34rlV34%;6J，對應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)形為于=-3『6y2.(22)(本題滿分11分).設(shè)隨機(jī)變量X與y相互獨立，且X的概率分布為P{X=0}=P{X=2}=1，Y的概12y,0<y<1率密度為")=1其他(I)求尸｛Y<EY｝(II)求Z=X+Y的概率密度。22、【答案】(1)EY=J討yf(y)dy=f1y-2ydy=2，一sY 0 3??.PY<EY｝」2f(y)dy=J：2ydy=4.rY 0 92)Z的分布函數(shù)為

F(z)=PZ<z}=P{x+Y<z,X=0)+P{x+Y<z,X=2)Z=P{x=0,Y<z}+P{x=2,Y+2<z}=1PY<z}+PY<z—2}]2=1F(z)+F(z—2)]2YY0<z<10<z<1z, 0<z<11<z<2=L-2,2<z<32<z<3I。，其它z,%(z)=fz(z)=2[f(z)+fz-叫0，z-2,0,（23）（本題滿分11分）.某工程師為了解一臺天平的精度，用該天平對一物體的質(zhì)量做9次測量，該物體的質(zhì)量N是已知的.設(shè)n次測量結(jié)果X,X，…X相互獨立且均服從