復(fù)雜控制算法

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)第6章

復(fù)雜控制算法

6.1數(shù)字控制器設(shè)計(jì)原理Go(s)是被控對(duì)象的連續(xù)傳遞函數(shù)，D(z)表示數(shù)字控制器，Gh(s)是零階保持器，采樣周期為T。圖6-1計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)框圖廣義對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)定義G(z)為則圖6-1對(duì)應(yīng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為(6-1)

(6-2)

與對(duì)象結(jié)構(gòu)有關(guān)的設(shè)計(jì)方法，即按照某一期望的閉環(huán)傳遞函數(shù)Φ(z)來設(shè)計(jì)數(shù)字控制器D(z)。這時(shí)，D(z)的結(jié)構(gòu)將依賴于廣義對(duì)象G(z)的結(jié)構(gòu)。因?yàn)镚(z)和Φ(z)已知，故由式(6-2)可求得(6-3)

數(shù)字控制器的設(shè)計(jì)步驟如下：

1)根據(jù)式(6-1)求廣義對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)G(z)

2)根據(jù)控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)要求和其他約束條件，確定閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Φ(z) 3)根據(jù)式(6-3)求取數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z) 4)根據(jù)D(z)導(dǎo)出控制器的輸出u(k)設(shè)數(shù)字控制器的一般形式為

則

(6-4)

(6-5)

由此可得數(shù)字控制器輸出的時(shí)間序列為

按照式(6-6)，就可編寫出控制算法程序。(6-5)

(6-6)

6.2最小拍控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)6.2.1最小拍控制原理在數(shù)字控制系統(tǒng)中，通常把一個(gè)采樣周期稱為一拍。所謂最小拍控制，是指系統(tǒng)在某種典型輸入信號(hào)（如階躍信號(hào)、速度信號(hào)、加速度信號(hào)等）作用下，經(jīng)過最少的采樣周期使得系統(tǒng)輸出的穩(wěn)態(tài)誤差為零。最小拍控制系統(tǒng)也稱最小拍無差系統(tǒng)或最小拍隨動(dòng)系統(tǒng)。顯然這種系統(tǒng)對(duì)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的性能要求是快速性和準(zhǔn)確性。事實(shí)上最小拍控制就是一類時(shí)間最優(yōu)控制，系統(tǒng)的性能指標(biāo)就是要求調(diào)節(jié)時(shí)間最短。 1.最小拍控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)由圖6-1可知，誤差的脈沖傳遞函數(shù)為

由誤差表達(dá)式

可知，要實(shí)現(xiàn)無靜差、最小拍，E(z)應(yīng)該在最短時(shí)間內(nèi)趨近于零，即E(z)應(yīng)為有限項(xiàng)式。因此，在輸入R(z)一定的情況下，必須對(duì)Φe(z)提出要求。(6-7)

(6-8)

(6-9)

單位階躍輸入單位速度輸入單位加速度輸入由此可得典型輸入Z變換的一般形式：其中A(z)是不含有(1-z-1)因子的z-1的多項(xiàng)式根據(jù)Z變換的終值定理，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

顯然，要使穩(wěn)態(tài)誤差為零，Φe(z)必須含有(1-z-1)因子，且其冪次數(shù)不能低于q，即

式中，Q≥q，F(xiàn)(z)是關(guān)于z-1的有限多項(xiàng)式。

(6-10)

為了實(shí)現(xiàn)最小拍，Φe(z)中的z-1冪次須為最低。令Q=q，F(xiàn)(z)=1則所得Φe(z)既可滿足準(zhǔn)確性，又可滿足快速性要求，于是：

(6-12)

(6-11)

2.典型輸入下最小拍控制系統(tǒng)分析1)單位階躍輸入

即，這說明一個(gè)采樣周期后，系統(tǒng)在采樣點(diǎn)上不再有偏差，這時(shí)過渡過程時(shí)間為一拍。2)

單位速度輸入

即，這說明經(jīng)過兩拍以后，偏差采樣值達(dá)到并保持為零，過渡過程時(shí)間為兩拍。

3)

單位加速度輸入

即，這說明經(jīng)過三拍以后，輸出序列不會(huì)再有偏差，過渡過程時(shí)間為三拍。例6.1

被控對(duì)象的傳遞函數(shù)和零階保持器的傳遞函數(shù)分別為采樣周期T=0.5s，當(dāng)輸入為單位速度函數(shù)時(shí)，試設(shè)計(jì)最小拍控制系統(tǒng)。圖6-2按單位速度輸入設(shè)計(jì)的最小拍控制器對(duì)不同輸入的響應(yīng)曲線a)單位階躍輸入b)單位速度輸入c)單位加速度輸入3．最小拍控制器設(shè)計(jì)的限制條件(1)穩(wěn)定性閉環(huán)控制系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的。只有廣義對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)是穩(wěn)定的（即在Z平面單位圓上和圓外沒有極點(diǎn)），且不含有純滯后環(huán)節(jié)時(shí)，上述方法才能成立。如果不滿足穩(wěn)定條件，則應(yīng)對(duì)設(shè)計(jì)原則作相應(yīng)的限制。由式(6-2)可以看出，D(z)和G(z)總是成對(duì)出現(xiàn)的，但卻不允許它們的零點(diǎn)、極點(diǎn)相互對(duì)消。(2)物理可實(shí)現(xiàn)性

D(z)必須是物理可實(shí)現(xiàn)的，即當(dāng)前時(shí)刻的輸出只取決于當(dāng)前時(shí)刻及過去時(shí)刻的輸入，而與未來的輸入無關(guān)。在控制算法中，不允許出現(xiàn)未來時(shí)刻的偏差值，這就要求數(shù)字控制器D(Z)不能有z的正冪項(xiàng)。假定對(duì)象有d個(gè)采樣周期的純滯后，即 而我們所期望的閉環(huán)Z傳遞函數(shù)的一般形式為

顯然，要使D(z)可以實(shí)現(xiàn)，必須有這時(shí)，Φ(z)應(yīng)具有形式由此可知，在最小拍控制中，期望的Φ(z)要在對(duì)象純滯后的基礎(chǔ)上加以確定，即根據(jù)上面的分析，設(shè)計(jì)最小拍系統(tǒng)時(shí)，考慮到系統(tǒng)的穩(wěn)定性和控制器的可實(shí)現(xiàn)性，必須考慮以下幾個(gè)條件：1)為實(shí)現(xiàn)無靜差調(diào)節(jié)，選擇Φe(z)

時(shí)，必須針對(duì)不同的輸入選擇不同的形式，通式為2)為實(shí)現(xiàn)最小拍控制，F(xiàn)(z)應(yīng)該盡可能簡單，F(xiàn)(z)的選擇要滿足恒等式：Φ(z)+Φe(z)

=13)為保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，Φe(z)的零點(diǎn)應(yīng)包含G(z)的所有不穩(wěn)定極點(diǎn)；4)為保證控制器D(z)物理上的可實(shí)現(xiàn)性，G(z)的所有不穩(wěn)定零點(diǎn)和滯后因子均包含在閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)Φ(z)

中。 (6-14)

6.2.2最小拍控制器設(shè)計(jì)的穩(wěn)定性問題

按照例6-1的方法設(shè)計(jì)的最小拍系統(tǒng)，閉環(huán)Z傳遞函數(shù)Φ(z)的全部極點(diǎn)都在z=0處，因此系統(tǒng)輸出值在采樣時(shí)刻的穩(wěn)定性可以得到保證。但系統(tǒng)在采樣時(shí)刻的輸出穩(wěn)定并不能保證連續(xù)物理過程的穩(wěn)定。如果控制器D(z)選擇不當(dāng)，極端情況下控制量u就可能是發(fā)散的，而系統(tǒng)在采樣時(shí)刻之間的輸出值以振蕩形式發(fā)散，實(shí)際連續(xù)過程將是不穩(wěn)定的。例6.2圖6-1所示的系統(tǒng)中，被控對(duì)象的傳遞函數(shù)和零階保持器的傳遞函數(shù)分別為采樣周期T=1s，當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時(shí)，試設(shè)計(jì)最小拍控制系統(tǒng)。圖6-1計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)框圖解首先求取廣義對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)按例6-1的解法，因輸入是單位階躍，故則由此可導(dǎo)出輸出量及控制量從零時(shí)刻起的輸出系列為0，1，1，…，表面上看起來輸出可一拍后到達(dá)穩(wěn)態(tài)，但控制器輸出序列為3.744，-16.1，46.96，-130.985…，呈現(xiàn)振蕩發(fā)散，這必然導(dǎo)致對(duì)象的實(shí)際輸出是振蕩發(fā)散的，所以實(shí)際過程是不穩(wěn)定的，如圖6-3所示。圖6-3不穩(wěn)定的最小拍系統(tǒng)波形a)系統(tǒng)輸出b)控制量輸出由圖6-1可得，，即 如果對(duì)象G(z)的所有零點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，則控制器是穩(wěn)定的。若G(z)帶有在單位圓上和圓外的零點(diǎn)則為保證其穩(wěn)定性，Φ(z)必須含有相同的零點(diǎn)，即圖6-1計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)框圖(6-15)

于是，根據(jù) 選取F(z)時(shí)，就不能簡單地令F(z)=1而應(yīng)根據(jù)Φ(z)中z-1的冪次確定F(z)的次數(shù)。上例中，由于對(duì)象G(z)有一個(gè)在單位圓外的零點(diǎn)z=－2.78，對(duì)于單位階躍輸入，若選取 并令 由此可解出 即控制器輸出是收斂的，其輸出時(shí)間序列為1，－1.486，0.5832，－0.1166，…系統(tǒng)輸出為圖6-4穩(wěn)定的有波紋最小拍系統(tǒng)波形a)系統(tǒng)輸出b)控制量輸出6.2.3無紋波最小拍控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

無紋波最小拍控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，是對(duì)期望閉環(huán)響應(yīng)Φ(z)進(jìn)行修正，以消除采樣點(diǎn)之間的輸出紋波。因此，除了選擇Φ(z)以保證控制器的可實(shí)現(xiàn)性及閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性外，還應(yīng)將被控對(duì)象G(z)在單位圓內(nèi)的非零零點(diǎn)包括在Φ(z)中，以便對(duì)消控制器中引起振蕩的所有極點(diǎn)，使得輸出紋波得以消除。但這也增加Φ(z)中z-1的冪次，從而延長了調(diào)整時(shí)間。例6-2的輸出有紋波（見圖6-4），主要是由于對(duì)象傳遞函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)z=－0.2，從而使控制器有一極點(diǎn)z=－0.2，造成了控制量的上下波動(dòng)。

為了消除紋波，令 在對(duì)單位階躍輸入作最小拍設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)滿足 由此可解出：控制器為

控制器輸出為當(dāng)輸入為單位階躍時(shí)圖6-5無波紋最小拍系統(tǒng)波形a)系統(tǒng)輸出b)控制量輸出有波紋最小拍系統(tǒng)波形無波紋最小拍系統(tǒng)波形6.2.4有限拍控制

在最小拍設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，如果把閉環(huán)Z傳遞函數(shù)φ(z)中的z-1冪次適當(dāng)提高一到二階，閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)將比最小拍時(shí)多持續(xù)一到二拍才歸于零。這時(shí)顯然已不是最小拍系統(tǒng)，但仍為一有限拍系統(tǒng)。在這一系統(tǒng)的設(shè)計(jì)中，由于維數(shù)的增高，將使我們在選擇Φ(z)及Φe(z)中的若干待定系數(shù)時(shí)增加一些自由度。一般情況下，這有利于降低系統(tǒng)對(duì)參數(shù)變化的敏感性，并減小控制作用。以一階對(duì)象為例說明這一設(shè)計(jì)方法，設(shè)采樣周期T=1s，且單位反饋系統(tǒng)的對(duì)象傳遞函數(shù)

如果選擇單位速度輸入設(shè)計(jì)最小拍控制器，按例6-1，則，由此得到數(shù)字控制器 這時(shí)，系統(tǒng)對(duì)單位速度輸入具有最小拍響應(yīng)，如圖6-2b。(6-16)

如果被控對(duì)象的時(shí)間常數(shù)發(fā)生變化，使對(duì)象Z傳遞函數(shù)變?yōu)?則閉環(huán)Z傳遞函數(shù)將變?yōu)?6-17)

在單位速度輸入時(shí) 輸出值系列為0，0，2.4，2.4，4.44，4.56，6.384，6.648，…，顯然與期輸出望值0，1，2，3，…，相差較大，如圖6-6所示。

圖6-6參數(shù)變化時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)變差

針對(duì)這種情況，在設(shè)計(jì)輸入為單位速度的最小拍控制器時(shí)，如果不是取F(z)=1，而是取F(z)=1+0.5z-1（0.5是自由選擇的），那么可以得到 由此可求出 相應(yīng)的有限拍控制器的Z傳遞函數(shù)為對(duì)單位速度輸入的響應(yīng)為系統(tǒng)輸出在三拍后準(zhǔn)確跟隨單位速度變化，所需拍數(shù)比最小拍時(shí)增加了一拍。當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)變化引起對(duì)象傳遞函數(shù)變?yōu)槭?6-17)所示的時(shí)，閉環(huán)傳遞函數(shù)為對(duì)單位速度輸入的響應(yīng)為輸出系列為0，0，1.8，2.88，3.828，5.027，5.959，…，如圖6-7所示。與最小拍控制的圖6-6相比，控制系統(tǒng)對(duì)于參數(shù)變化的靈敏度顯然降低了。圖6-7增加調(diào)整時(shí)間后的系統(tǒng)響應(yīng)圖6-6參數(shù)變化時(shí)系統(tǒng)響應(yīng)變差Simulink仿真如圖6-8所示，這是降低參數(shù)變化靈敏度的系統(tǒng)。圖6-8離散控制系統(tǒng)仿真圖6.2.5慣性因子法慣性因子法是針對(duì)最小拍系統(tǒng)只能適用于特定的輸入類型，而對(duì)其它輸入不能取得滿意效果而采用的一種改進(jìn)方法。它以損失控制的有限拍無差性質(zhì)為代價(jià)，而使系統(tǒng)對(duì)多種類型輸入有較滿意的響應(yīng)。這一方法的基本思想，是使誤差對(duì)系統(tǒng)輸入的Z傳遞函數(shù)不再是最小拍控制中的z-1有限多項(xiàng)式，而是通過一慣性因子項(xiàng)將其修改為閉環(huán)系統(tǒng)

不再為z-1的有限多項(xiàng)式。這表明，采用慣性因子法后，系統(tǒng)已不可能在有限個(gè)采樣周期內(nèi)準(zhǔn)確到達(dá)穩(wěn)態(tài)，而只能漸近地趨于穩(wěn)態(tài)，但系統(tǒng)對(duì)輸入類型的敏感程度卻因此降低。通過選擇合適的參數(shù)c，它可對(duì)不同類型的輸入均作出較好的響應(yīng)。(6-18)

仍以式（6-16）所描述的一階對(duì)象為例，先按單位速度輸入設(shè)計(jì)最小拍控制系統(tǒng)，然后將期望的閉環(huán)傳遞函數(shù)由改變?yōu)槭?6-18)的形式，并取c=0.5，即由此可得數(shù)字控制器為

系統(tǒng)對(duì)單位階躍輸入的響應(yīng)為這表明在期望值突變時(shí)，輸出漸近地趨于期望值，系統(tǒng)輸出如圖6-9a所示。系統(tǒng)對(duì)單位速度輸入的響應(yīng)為系統(tǒng)輸出如圖6-9b所示，可見經(jīng)過四拍后，系統(tǒng)輸出基本跟蹤上期望輸出。圖6-9用慣性因子法改善系統(tǒng)對(duì)不同類型輸入的響應(yīng)

a)單位階躍輸入b)單位速度輸入圖6-2按單位速度輸入設(shè)計(jì)的最小拍控制器對(duì)不同輸入的響應(yīng)曲線a)單位階躍輸入b)單位速度輸入c)單位加速度輸入圖6-9用慣性因子法改善系統(tǒng)對(duì)不同類型輸入的響應(yīng)

a)單位階躍輸入b)單位速度輸入6.3純滯后控制在工業(yè)過程（如熱工、化工）控制中，由于物料或能量的傳輸延遲，使得被控對(duì)象具有純滯后性質(zhì)，對(duì)象的這種純滯后性質(zhì)對(duì)控制性能極為不利。當(dāng)對(duì)象的純滯后時(shí)間τ與對(duì)象的時(shí)間常數(shù)T之比，即τ/T≥0.5時(shí)，采用常規(guī)的PID控制會(huì)使控制過程嚴(yán)重超調(diào)，穩(wěn)定性變差。早在20世紀(jì)50年代，國外就對(duì)工業(yè)生產(chǎn)過程中的純滯后對(duì)象進(jìn)行了深入的研究。6.3.1施密斯(Smith)預(yù)估控制1.

施密斯預(yù)估控制原理在圖6-10所示的單回路控制系統(tǒng)中，D(s)表示調(diào)節(jié)器的傳遞函數(shù)，表示被控對(duì)象的傳遞函數(shù)，G(s)為被控對(duì)象中不包含純滯后部分的傳遞函數(shù)，為被控對(duì)象純滯后部分的傳遞函數(shù)。圖6-10帶純滯后環(huán)節(jié)的控制系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母中包含有純滯后環(huán)節(jié)，它降低了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當(dāng)純滯后時(shí)間τ較大時(shí)，系統(tǒng)將是不穩(wěn)定的，這就是大純滯后過程難以控制的本質(zhì)。(6-19)

施密斯預(yù)估控制器原理：引入一個(gè)補(bǔ)償環(huán)節(jié)與對(duì)象并聯(lián)，用來補(bǔ)償被控對(duì)象中的純滯后部分，該環(huán)節(jié)稱為預(yù)估器，其傳遞函數(shù)為，補(bǔ)償后系統(tǒng)框圖如圖6-11a所示。實(shí)際補(bǔ)償器的實(shí)現(xiàn)是并聯(lián)在控制器上的，故圖6-11a可轉(zhuǎn)換成圖6-11b的等效形式。由施密斯預(yù)估控制器和調(diào)節(jié)器組成的補(bǔ)償回路稱為純滯后補(bǔ)償器，其傳遞函數(shù)為D'(s)，即

(6-20)

圖6-11帶施密斯預(yù)估器的控制系統(tǒng)經(jīng)補(bǔ)償后的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為

(6-21)

6-12施密斯預(yù)估控制系統(tǒng)等效框圖

上式說明，經(jīng)過補(bǔ)償后，消除了純滯后部分對(duì)控制系統(tǒng)的影響，因?yàn)槭街械脑陂]環(huán)控制回路之外，不影響閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，拉氏變換的位移定理說明，僅僅將控制作用在時(shí)間軸上推移了一段時(shí)間τ

，控制系統(tǒng)的過渡過程及性能指標(biāo)都與對(duì)象特性為時(shí)完全相同，如圖6-12a所示。圖6-12b表明，帶純滯后補(bǔ)償?shù)目刂葡到y(tǒng)就相當(dāng)于在控制器為D(s)、被控對(duì)象為的系統(tǒng)的反饋回路串上一個(gè)傳遞函數(shù)為的反饋環(huán)節(jié)，即檢測信號(hào)通過超前環(huán)節(jié)后進(jìn)入控制器。因此，從形式上可把純滯后補(bǔ)償視為對(duì)輸出狀態(tài)的預(yù)估作用，故稱為施密斯預(yù)估器。

2.具有純滯后補(bǔ)償?shù)臄?shù)字控制器由圖6-13可見，純滯后補(bǔ)償?shù)臄?shù)字控制器由兩個(gè)部分組成：一部分是數(shù)字PID控制器；另一部分是施密斯預(yù)估器。圖6-13具有純滯后補(bǔ)償?shù)目刂葡到y(tǒng)圖6-14施密斯預(yù)估器方框圖

(1)施密斯預(yù)估器施密斯預(yù)估器的輸出可按圖6-14計(jì)算，在此取PID控制器前一個(gè)采樣時(shí)刻的輸出u(k-1)作為預(yù)估器的輸入。為了實(shí)現(xiàn)滯后環(huán)節(jié)，在內(nèi)存中設(shè)置N個(gè)單元作為存放信號(hào)m(k)的歷史數(shù)據(jù)，存儲(chǔ)單元的個(gè)數(shù)N由下式?jīng)Q定：（取整）式中：τ

——純滯后時(shí)間；

T——采樣周期。在每個(gè)采樣周期，把第N-1個(gè)單元移入第N個(gè)單元，第N-2個(gè)單元移入第N-1個(gè)單元，以此類推，直到把第1個(gè)單元移入第2個(gè)單元，最后將m(k)移入第1個(gè)單元。從單元N輸出的信號(hào)，就是滯后N個(gè)采樣周期的信號(hào)。圖中，u(k-1)是PID數(shù)字控制器上一個(gè)采樣（控制）周期的輸出，yτ(k)是施密斯預(yù)估器的輸出。從圖中可知，必須先計(jì)算傳遞函數(shù)G(s)的輸出后，才能計(jì)算預(yù)估器的輸出

(6-22)

許多工業(yè)對(duì)象可近似用一階慣性環(huán)節(jié)加純滯后來表示

式中：K——被控對(duì)象的放大系數(shù)；

T0——被控對(duì)象的時(shí)間常數(shù)；

τ——純滯后時(shí)間。則預(yù)估器的傳遞函數(shù)為

(6-23)

(2)

純滯后補(bǔ)償控制算法步驟1)

計(jì)算反饋回路的偏差e1(k)

2)

計(jì)算純滯后補(bǔ)償器的輸出。先由圖6-14求m(k)，再按式(6-22)得到y(tǒng)τ(k)

。式中

(6-24)

對(duì)式(6-23)這樣模型較簡單的對(duì)象，可由直接求出yτ(k)

上式稱為施密斯預(yù)估控制算法。(6-25)

3)

計(jì)算偏差e2(k)

4)

計(jì)算控制器的輸出u(k)。當(dāng)控制器采用PID控制算法時(shí)，則(6-26)

(6-27)

算法的計(jì)算順序總是從最外面的回路向內(nèi)進(jìn)行，直到u(k)

6.3.2大林（Dahlin）算法(設(shè)計(jì)目標(biāo)？）計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)如圖6-1所示，考慮帶有零階保持器的Φ(s)

，其所對(duì)應(yīng)的期望閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)

則

圖6-1計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)框圖(6-31)

(6-32)

1）被控對(duì)象為帶純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)，其脈沖傳遞函數(shù)為：

將式(6-33)代入式(6-32)得到數(shù)字控制器

(6-33)

(6-34)

2)

被控對(duì)象為帶純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)，其脈沖傳遞函數(shù)為

其中

將式(6-35)代入式(6-32)得

(6-35)

(6-36)

(6-37)

2.

振鈴現(xiàn)象及其消除方法

所謂振鈴（Ringing）現(xiàn)象，是指數(shù)字控制器的輸出以1/2采樣頻率的幅度衰減的振蕩，這與前面介紹最小拍有紋波系統(tǒng)中的紋波實(shí)質(zhì)上是一致的。

被控象中慣性環(huán)節(jié)的低通特性，使得這種振蕩對(duì)系統(tǒng)的輸出幾乎沒有任何影響，但是振蕩現(xiàn)象卻會(huì)增加執(zhí)行機(jī)構(gòu)的磨損；在存在耦合的多回路控制系統(tǒng)中，還有可能影響到系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(1)

振鈴現(xiàn)象的分析由式(6-15)得U(z)=Φu(z)R(z)，Φu(z)

表達(dá)了數(shù)字控制器的輸出與系統(tǒng)輸入函數(shù)的關(guān)系，這是分析振鈴現(xiàn)象的基礎(chǔ)。單位階躍輸入函數(shù)中含有極點(diǎn)，如果Φu(z)中的極點(diǎn)在Z平面的負(fù)實(shí)軸上，且與z=－1點(diǎn)相近，那么數(shù)字控制器的輸出序列u(k)因含有這兩種幅值相近的瞬態(tài)項(xiàng)而有波動(dòng)。分析Φu(z)在Z平面負(fù)實(shí)軸上的極點(diǎn)分布情況，就可得出振鈴現(xiàn)象的有關(guān)結(jié)論。1)被控對(duì)象為帶純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)時(shí)，其脈沖傳遞函數(shù)G(z)

為式(6-33)，閉環(huán)系統(tǒng)的期望傳遞函數(shù)Φ(z)為式(6-31)，由式(6-15)，則有

求得極點(diǎn)，故得出結(jié)論：在帶純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)組成的系統(tǒng)中，Φu(z)

不存在負(fù)實(shí)軸上的極點(diǎn)，這種系統(tǒng)不存在振鈴現(xiàn)象。(6-38)

2)被控對(duì)象為帶純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)時(shí)，G(z)為式(6-35)，Φ(z)仍為式(6-31)，由式(6-15)，可得

上式有兩個(gè)極點(diǎn)，第一個(gè)極點(diǎn)，不會(huì)引起振鈴現(xiàn)象；第二個(gè)極點(diǎn)z=－C2/C1

。由式(6-36)，在T→0時(shí)，有

說明可能出現(xiàn)負(fù)實(shí)軸上與相近的極點(diǎn)，這一極點(diǎn)將引起振鈴現(xiàn)象。(6-39)

(6-40)

(2)

振鈴幅度（RA：RingingAmplitude）振鈴幅度用來衡量振鈴強(qiáng)烈的程度。為了描述振鈴強(qiáng)烈的程度，應(yīng)找出數(shù)字控制器輸出量u(k)的最大值。由于這一最大值與系統(tǒng)參數(shù)的關(guān)系難于用解析的式子描述出來，所以常用單位階躍作用下數(shù)字控制器第0拍輸出量與第1拍輸出量的差值來衡量振鈴幅度。由式(6-15)，Φu(z)是z的有理分式，寫成一般形式為

從上式看出，數(shù)字控制器的單位階躍響應(yīng)輸出序列幅度的變化僅與Q(z)有關(guān)，因?yàn)橹皇菍⑤敵鲂蛄醒訒r(shí)和放大或縮小。故為簡單起見，令，則有

(6-42)

(6-41)

有兩種方法可用來消除振鈴現(xiàn)象。第一種方法是先找出D(z)中引起振鈴現(xiàn)象的因子（z=－1附近的極點(diǎn)），然后令其中的z=1，根據(jù)終值定理，這樣處理不影響輸出量的穩(wěn)態(tài)值。前面已介紹在帶純滯后的二階慣性環(huán)節(jié)系統(tǒng)中，數(shù)字控制器D(z)為式(6-37)，其極點(diǎn)z=-C2/C1將引起振鈴現(xiàn)象。令極點(diǎn)因子中的z=1，就可消除這個(gè)振鈴極點(diǎn)。這種消除振鈴現(xiàn)象的方法雖然不影響輸出穩(wěn)態(tài)值，但卻改變了數(shù)字控制器的動(dòng)態(tài)特性，將改善閉環(huán)系統(tǒng)的瞬態(tài)性能。第二種方法是從保證閉環(huán)系統(tǒng)的特性出發(fā)，選擇合適的采樣周期T及系統(tǒng)閉環(huán)時(shí)間常數(shù)Tτ，使得數(shù)字控制器的輸出避免產(chǎn)生強(qiáng)烈的振鈴現(xiàn)象。從式(6-44)中可以看出，振鈴幅度與被控對(duì)象的參數(shù)T1、T2有關(guān)，也與閉環(huán)系統(tǒng)期望的時(shí)間常數(shù)Tτ以及采樣周期T有關(guān)。通過適當(dāng)選擇T和Tτ

，可以把振鈴幅度抑制在最低限度以內(nèi)。有的情況下，系統(tǒng)閉環(huán)時(shí)間常數(shù)Tτ作為控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)被首先確定了，但仍可通過式(6-44)選擇采樣周期T來抑制振鈴現(xiàn)象。3.

大林算法的設(shè)計(jì)步驟用直接設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)具有純滯后系統(tǒng)的數(shù)字控制器，主要考慮的性能指標(biāo)是控制系統(tǒng)無超調(diào)或超調(diào)很小，為保證系統(tǒng)穩(wěn)定，允許有較長的調(diào)節(jié)時(shí)間。設(shè)計(jì)中應(yīng)注意的問題是振鈴現(xiàn)象。

考慮振鈴現(xiàn)象影響時(shí)設(shè)計(jì)數(shù)字控制器的一般步驟。1)

根據(jù)系統(tǒng)性能，確定閉環(huán)系統(tǒng)的參數(shù)Tτ，給出振鈴幅度RA的指標(biāo)；2)

由式(6-44)與采樣周期T的關(guān)系，解出給定振鈴幅度下對(duì)應(yīng)的采樣周期，如果T有多解，則選擇較大的采樣周期；3)

確定純滯后時(shí)間τ與采樣周期T之比的最大整數(shù)N；4)

求廣義對(duì)象的脈沖傳遞函數(shù)G(z)及閉環(huán)系統(tǒng)的期望脈沖傳遞函數(shù)Φ(z)

；5)

求數(shù)字控制器的脈沖傳遞函數(shù)D(z)。6.4常用多回路控制系統(tǒng)

在工業(yè)控制系統(tǒng)中，由于相當(dāng)一部分被控對(duì)象的動(dòng)態(tài)特性或工藝操作條件等原因，對(duì)控制系統(tǒng)提出了一些特殊的要求，這時(shí)需要在PID控制的基礎(chǔ)上，構(gòu)成多回路控制系統(tǒng)，其中串級(jí)控制和前饋－反饋控制在工業(yè)過程控制中具有廣泛的應(yīng)用。6.4.1串級(jí)控制系統(tǒng)串級(jí)控制是在單回路PID控制的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種控制結(jié)構(gòu)。當(dāng)系統(tǒng)中同時(shí)有幾個(gè)因素影響同一個(gè)被控量時(shí)，如果只控制其中一個(gè)因素，將難以滿足系統(tǒng)的控制性能。串級(jí)控制針對(duì)上述情況，在原控制回路中，需增加一個(gè)或幾個(gè)采用PID控制的內(nèi)回路，用以控制可能引起被控量變化的其他因素，從而有效地抑制了被控對(duì)象的時(shí)滯特性，提高了系統(tǒng)的快速性。圖6-15爐溫控制系統(tǒng)1.串級(jí)控制的結(jié)構(gòu)為了及時(shí)檢測系統(tǒng)中可能引起被控變化的某些因素并加以控制，本例在爐溫控制回路中，增加煤氣流量控制副回路，形成串級(jí)控制結(jié)構(gòu)，如圖6-16所示，圖中主控制器D1(s)和副回路控制器D2(s)分別表示溫度調(diào)節(jié)器TC和流量調(diào)節(jié)器FC的傳遞函數(shù)。圖6-16爐溫和煤氣流量的串級(jí)控制結(jié)構(gòu)圖2.數(shù)字串級(jí)控制算法計(jì)算機(jī)串級(jí)控制系統(tǒng)如圖6-17所示，圖中D1(z)和D2(z)是由計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)的數(shù)字控制器，通常采用PID控制規(guī)律，Gh(s)是零階保持器，T為采樣周期。

不管串級(jí)控制有多少級(jí)，計(jì)算的順序總是從最外面的回路向內(nèi)進(jìn)行。對(duì)圖6-17所示的雙回路串級(jí)控制系統(tǒng)，其計(jì)算順序?yàn)椋?/p>

圖6-17計(jì)算機(jī)串級(jí)控制系統(tǒng)1)計(jì)算主回路的偏差e1(k) 2)計(jì)算主回路控制器D1(z)的輸出u1(k) 其中Kp1

為比例增益，Ki1

=Kp1T/Ti1為積分系數(shù)，Kd1

=Kp1Td1/T為微分系數(shù)。3)計(jì)算副回路的偏差e2(k) 4)計(jì)算副回路控制器D2(z)的輸出u2(k)

其中Kp2為比例增益，Ki2=Kp2T/Ti2為積分系數(shù)，Kd2

=Kp2Td2/T為微分系數(shù)。(6-46)

(6-47)

(6-48)

(6-49)

(6-50)

(6-51)

3.

副回路微分先行串級(jí)控制算法為防止主控制器輸出（也就是副控制器的給定值）過大而引起副回路的不穩(wěn)定，同時(shí)，也為了克服對(duì)象慣性較大而引起調(diào)節(jié)品質(zhì)的惡化，在副回路的反饋通道中加入微分控制，稱為副回路微分先行，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖6-18所示。圖6-18副回路微分先行的串級(jí)控制系統(tǒng)微分先行部分的傳遞函數(shù)為

其中，Td2為副控制器（PID）的微分時(shí)間常數(shù)，a為微分放大系數(shù)。將上式離散化，整理可得

(6-52)

(6-53)

1)計(jì)算主回路的偏差e1(k)2)計(jì)算主回路控制器D1(z)的輸出u1(k) 3)計(jì)算微分先行部分的輸出y2d(k)

3)計(jì)算副回路的偏差e2(k)4)計(jì)算副回路控制器D2(z)的輸出u2(k) (6-54)

(6-55)

(6-56)

(6-57)

(6-58)

(6-59)

(6-60)

按偏差的反饋控制能夠產(chǎn)生作用的前提是，被控量必須偏離設(shè)定值。也就是說，在干擾的作用下，被控量必須先偏離設(shè)定值，然后通過偏差進(jìn)行控制，抵消干擾的影響。如果干擾不斷產(chǎn)生，則系統(tǒng)總是跟在干擾作用之后波動(dòng)，特別是系統(tǒng)滯后嚴(yán)重時(shí)波動(dòng)就更為嚴(yán)重。前饋控制則是按擾動(dòng)量進(jìn)行控制的，當(dāng)系統(tǒng)出現(xiàn)擾動(dòng)時(shí)，前饋控制就按擾動(dòng)量直接產(chǎn)生校正作用，以抵消擾動(dòng)的影響。這是一種開環(huán)控制形式，在控制算法和參數(shù)選擇合適的情況下，可以達(dá)到很高的精度。6.4.2前饋－反饋控制系統(tǒng)

1.

前饋控制結(jié)構(gòu)前饋控制的典型結(jié)構(gòu)如圖6-19所示。圖中是Gn(s)被控對(duì)象擾動(dòng)通道的傳遞函數(shù)；Dn(s)是前饋控制的傳遞函數(shù)；G(s)是被控對(duì)象控制通道的傳遞函數(shù)，n、u、y分別為擾動(dòng)量、控制量、被控量。圖6-19前饋控制結(jié)構(gòu)為了便于分析擾動(dòng)量的影響，假定由偏差產(chǎn)生的控制量u1=0，則有若要使前饋?zhàn)饔猛耆a(bǔ)償擾動(dòng)作用，則應(yīng)使擾動(dòng)引起的被控量變化為零，即Y(s)=0，因此完全補(bǔ)償?shù)臈l件為

由此可得前饋控制器的傳遞函數(shù)

(6-61)

(6-62)

(6-63)

2.前饋－反饋控制結(jié)構(gòu)

采用前饋與反饋控制相結(jié)合的控制結(jié)構(gòu)，既能發(fā)揮前饋控制對(duì)擾動(dòng)的補(bǔ)償作用，又能保留反饋控制對(duì)偏差的控制作用。因?yàn)榍梆伩刂剖且粋€(gè)開環(huán)系統(tǒng)，所以在實(shí)際生產(chǎn)過程中很少單獨(dú)采用前饋控制的方案，通常采用前饋和反饋控制相結(jié)合的方案

圖6-20給出了前饋－反饋控制結(jié)構(gòu)，由圖可知，前饋－反饋控制結(jié)構(gòu)圖是在反饋控制的基礎(chǔ)上，增加了一個(gè)擾動(dòng)的前饋控制，由于完全補(bǔ)償?shù)臈l件未變，因此仍有圖6-20前饋－反饋控制結(jié)構(gòu)圖

實(shí)際應(yīng)用中，還常采用前饋－串級(jí)控制結(jié)構(gòu)，如圖6-21所示。圖中D1(s)、D2(s)分別為主、副控制器的傳遞函數(shù)；G1(s)

、G2(s)分別為主、副對(duì)象。圖6-21前饋－串級(jí)控制結(jié)構(gòu)圖3.數(shù)字前饋－反饋控制算法圖6-22是計(jì)算機(jī)前饋－反饋控制系統(tǒng)的方框圖，T

為采樣周期，Dn(z)為前饋控制器，D(z)為反饋控制器，Gh(s)為零階保持器。圖6-22計(jì)算機(jī)前饋－反饋控制系統(tǒng)方框圖若

令 ，則

由上式可得前饋控制器的微分方程

(6-64)

(6-65)

設(shè)純滯后時(shí)間τ是采樣周期T的整數(shù)倍，即，對(duì)上式離散化可得到差分方程

式中 (6-66)

計(jì)算機(jī)前饋－反饋控制的算法步驟：1)

計(jì)算機(jī)反饋控制的偏差e(k)

2)

計(jì)算反饋控制器（PID）的輸出u1(k)

3)

計(jì)算前饋調(diào)節(jié)器Dn(z)的輸出un(k)

4)

計(jì)算前饋－反饋調(diào)節(jié)器的輸出u(k)

(6-68)

(6-67)

(6-69)

(6-70)

(6-71)

(6-72)

預(yù)測控制是一類已廣泛應(yīng)用于工業(yè)生產(chǎn)的先進(jìn)控制技術(shù)。預(yù)測控制的基本出發(fā)點(diǎn)與傳統(tǒng)的PID控制不同，PID控制是根據(jù)偏差來確定當(dāng)前的控制輸入，而預(yù)測控制不但利用當(dāng)前的和過去的偏差值，而且還利用預(yù)測模型來預(yù)估過程的未來輸出值，以滾動(dòng)優(yōu)化確定當(dāng)前的最優(yōu)輸出策略。目前應(yīng)用最為廣泛的預(yù)測控制技術(shù)為模型預(yù)測控制，包括動(dòng)態(tài)矩陣控制（DMC）、模型算法控制（MAC）、廣義預(yù)測控制（GPC）等。

6.5模型預(yù)測控制將預(yù)測控制的各類算法形式的基本思想歸納起來體現(xiàn)在三個(gè)方面：預(yù)測模型、滾動(dòng)優(yōu)化、反饋校正，如圖6-23所示。圖6-23預(yù)測控制的基本結(jié)構(gòu)6.5.1模型預(yù)測控制的基本原理1.預(yù)測模型對(duì)于線性對(duì)象，如果已知其單位脈沖響應(yīng)的采樣值，如圖6-24所示，則可根據(jù)離散卷積和公式，寫出其輸入輸出間的關(guān)系6.5.2模型算法控制(MAC)

(6-73)

圖6-24系統(tǒng)的離散脈沖響應(yīng)預(yù)測模型(6-74)可以寫成

(6-74)

(6-75)

(6-76)

上式可用向量和矩陣表示為(6-77)

2.

參考軌跡在模型算法控制中，控制系統(tǒng)的期望輸出是由當(dāng)前的實(shí)際輸出出發(fā)，向設(shè)定值光滑過渡的一條參考軌跡規(guī)定的。這條參考軌跡通常取為一階指數(shù)變化的形式，離散化的參考軌跡如圖6-25所示。

圖6-25參考軌跡與最優(yōu)化時(shí)刻以后參考軌跡序列的向量形式為

具有一階指數(shù)變化規(guī)律的的表達(dá)式為

(6-78)

(6-79)

3.

閉環(huán)預(yù)測從預(yù)測模型(6-77)得到的預(yù)測值沒有考慮到真實(shí)輸出信息的反饋，故稱為開環(huán)預(yù)測。開環(huán)預(yù)測的明顯缺點(diǎn)是：當(dāng)存在模型誤差、參數(shù)漂移、干擾和噪聲時(shí)，將會(huì)產(chǎn)生靜差，從而影響MAC控制的效果。因此，引入時(shí)刻的實(shí)際輸出值，與此時(shí)刻的模型輸出進(jìn)行比較后產(chǎn)生誤差，以此來修正模型預(yù)測值，這就構(gòu)成所謂的閉環(huán)預(yù)測。在時(shí)刻，輸出的閉環(huán)預(yù)測(6-80)

(6-81)

4.滾動(dòng)優(yōu)化和最優(yōu)控制律在MAC中，時(shí)刻的優(yōu)化準(zhǔn)則是要選擇未來個(gè)控制量，使在未來個(gè)時(shí)刻的預(yù)測輸出盡可能接近由參考軌跡所確定的期望輸出。MAC的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為(6-82)

(6-83)

(6-84)

(6-85)

(6-86)

圖6-26模型算法控制示意圖如果在優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)中，令，則稱為一步優(yōu)化模型算法控制，這時(shí)有(6-87)

(6-88)

(6-89)

(6-90)

(6-91)

如果對(duì)控制輸入存在約束，則可由以下公式計(jì)算實(shí)際控制作用(6-92)

1.

預(yù)測模型從被控對(duì)象的單位階躍響應(yīng)出發(fā)，對(duì)象的動(dòng)態(tài)特性可以通過一系列動(dòng)態(tài)系數(shù)，也就是單位階躍響應(yīng)在采樣時(shí)刻的值來描述，是階躍響應(yīng)的截?cái)帱c(diǎn)，稱為模型時(shí)域的長度，如圖6-27所示。對(duì)漸近穩(wěn)定的對(duì)象，在個(gè)采樣周期之后，系統(tǒng)輸出將趨于穩(wěn)定，即

6.5.3動(dòng)態(tài)矩陣控制(DMC)

圖6-27系統(tǒng)的離散階躍響應(yīng)在時(shí)刻，假定控制作用保持不變，對(duì)未來個(gè)時(shí)刻的輸出有初始預(yù)測值，那么，在控制增加量作用后系統(tǒng)的輸出預(yù)測值可由下式計(jì)算

(6-93)

圖6-28根據(jù)輸入控制增量預(yù)測輸出(6-94)

2.

滾動(dòng)優(yōu)化動(dòng)態(tài)矩陣控制采用了滾動(dòng)優(yōu)化的控制策略。在采樣時(shí)刻，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)為(6-95)

(6-96)

(6-97)

(6-98)

(6-99)

圖6-29動(dòng)態(tài)矩陣控制的優(yōu)化策略3.

反饋校正由于模型誤差、弱非線性以及其他實(shí)際過程中存在的不確定因素，按預(yù)測模型得到的預(yù)測值有可能偏離實(shí)際值，因此，如不及時(shí)利用實(shí)際輸出進(jìn)行反饋校正，進(jìn)一步的優(yōu)化就會(huì)建立在虛假的基礎(chǔ)上?？紤]到已作用于對(duì)象，對(duì)系統(tǒng)未來輸出的預(yù)測便要疊加上產(chǎn)生的影響，即由式(6-93)算出的。為此，到下一采樣時(shí)刻首先檢測對(duì)象實(shí)際輸出，并將其與預(yù)測模型式(6-93)計(jì)算的時(shí)刻預(yù)測輸出相比較，構(gòu)成預(yù)測誤差(6-100)

(6-101)

(6-102)

(6-103)

圖6-30動(dòng)態(tài)矩陣控制的算法結(jié)構(gòu)在計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)中執(zhí)行動(dòng)態(tài)矩陣控制（DMC）算法之前，必須進(jìn)行以下離線計(jì)算：1)測試對(duì)象的階躍響應(yīng)，經(jīng)光滑后得到模型系數(shù)2)選擇優(yōu)化策略，計(jì)算控制系數(shù)向量3)選擇校正系數(shù)在線計(jì)算程序如圖6-31所示，注意在控制的第一步，由于沒有預(yù)測初值，也沒有誤差，故需進(jìn)行初始化。在主程序中的初始化程序中應(yīng)建立動(dòng)態(tài)矩陣控制算法的初始化標(biāo)志。

圖6-31動(dòng)態(tài)矩陣控制的算法框圖模糊邏輯控制（FuzzyLogicControl），又稱模糊控制（FuzzyControl），是以模糊集合論、模糊語言變量和模糊邏輯推理為基礎(chǔ)的一類計(jì)算機(jī)控制策略，模糊控制是一種非線性控制。“模糊”是人類感知萬物、獲取知識(shí)、思維推理、決策實(shí)施的重要特征，它比“清晰”所擁有的信息量更大，內(nèi)涵更豐富，更符合客觀世界。模糊控制不是采用純數(shù)學(xué)建模的方法，而是結(jié)合專家的知識(shí)和思維，進(jìn)行學(xué)習(xí)與推理、聯(lián)想和決策的過程，由計(jì)算機(jī)來辨識(shí)和建模，并進(jìn)行控制。因此，它屬于智能控制的范疇。6.6模糊控制1965年，美國的L．A．Zadeh創(chuàng)立了模糊集合論；1968～1973年期間他先后提出語言變量、模糊條件語句和模糊算法等概念和方法，使得某些以往只能用自然語言的條件語句形式描述的手動(dòng)控制規(guī)則可采用模糊條件語句形式來描述，從而使這些規(guī)則成為在計(jì)算機(jī)上可以實(shí)現(xiàn)的算法。1974年，英國的E．H．Mamdani首先將模糊控制應(yīng)用于鍋爐和蒸汽機(jī)的控制，在實(shí)驗(yàn)室獲得成功。這一開拓性的工作標(biāo)志著模糊控制論的誕生。6.6.1模糊控制概述

圖6-32給出了一個(gè)模糊控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)，由圖可知模糊控制器由模糊化、知識(shí)庫、模糊推理和清晰化（或稱去模糊化）四個(gè)功能模塊組成圖6-32模糊控制系統(tǒng)各模塊功能如下：1.模糊化模糊化模塊的功能是將輸入的精確量按某些算法轉(zhuǎn)換為模糊量。該模塊的輸入量包括了系統(tǒng)的參考輸入、系統(tǒng)輸出或狀態(tài)等。模糊化過程一般如下：1)首先對(duì)輸入量進(jìn)行處理，變換成模糊控制器要求的輸入量。例如，當(dāng)系統(tǒng)控制是按偏差控制時(shí)，計(jì)算偏差e=r-y。2)將上述已經(jīng)處理過的輸入量進(jìn)行尺度變換，使其變換到各自的論域。3)將變換到論域范圍的輸入量進(jìn)行模糊化處理，把原有的精確量變換成模糊量，并用相應(yīng)的模糊集合語言值來表示，例如{“正大”，“正中”，“正小”，“零”，“負(fù)小”，“負(fù)中”，“負(fù)大”}。2.知識(shí)庫知識(shí)庫包含應(yīng)用領(lǐng)域的知識(shí)和控制目標(biāo)，通常由數(shù)據(jù)庫和模糊控制規(guī)則庫兩部分組成。數(shù)據(jù)庫主要包括了各語言變量的隸屬函數(shù)、尺度變換因子，以及模糊空間的劃分?jǐn)?shù)等。模糊控制規(guī)則庫包括了用模糊語言變量表示的一系列控制規(guī)則，反映了控制專家的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)。3.模糊推理模糊推理是模糊控制器的核心，該推理過程是基于模糊邏輯中的蘊(yùn)含關(guān)系及推理規(guī)則來進(jìn)行的。4.清晰化（去模糊化）由于實(shí)際的控制量，也就是被控對(duì)象的輸入應(yīng)當(dāng)是精確量，清晰化的功能就是將模糊推理得到的模糊控制量變換為實(shí)際的控制量。它是把模糊量經(jīng)清晰化運(yùn)算后變換成論域范圍的清晰量，再經(jīng)尺度變換轉(zhuǎn)換成實(shí)際的控制量。圖6-32模糊控制系統(tǒng)

1.模糊集合在人類的思維中，有許多模糊的概念，如大、小、冷、熱等，都沒有明確的內(nèi)涵和外延——模糊集合有些概念則具有清晰的內(nèi)涵和外延，如男人和女人——普通集合(或經(jīng)典集合)6.6.2模糊控制的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

經(jīng)典集合可以用特征函數(shù)來描述，而模糊集合用隸屬函數(shù)來表示，記作μA(x)。μA(x)表示元素x屬于模糊集合A的程度。隸屬函數(shù)是模糊數(shù)學(xué)中最基本的概念，我們用隸屬函數(shù)來給出模糊集合：在論域U上的模糊集合A，由隸屬函數(shù)μA(x)來表征，μA(x)在[0,1]區(qū)間內(nèi)連續(xù)取值。μA(x)的大小反映了元素x對(duì)于模糊集合A的隸屬程度。

通常采用Zadeh表示法來表達(dá)論域U上的模糊集合，當(dāng)U為有限集{x1,x2,…,xn}時(shí)，

式中，μ(x1)/x1

并不表示分?jǐn)?shù)，而是表示論域中的元素x1與其隸屬度μ(x1)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系?！?”也不表示“求和”，而是表示模糊集合在論域U上的整體。例6-1在由整數(shù)1,2,…,10組成的論域中，即U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，討論“幾個(gè)”這一模糊概念。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，可以定量地給出它們的隸屬函數(shù)，模糊集合“幾個(gè)”可表示為

(6-105)

由上式可知，五個(gè)、六個(gè)的隸屬度為l，說明“幾個(gè)”表示五個(gè)、六個(gè)的可能性最大；而四個(gè)、七個(gè)對(duì)于“幾個(gè)”這個(gè)模糊概念的隸屬度為0.7；通常不采用“幾個(gè)”來表示一個(gè)、二個(gè)或九個(gè)、十個(gè)，因此它們的隸屬度為零。(6-105)

在論域U中，的元素集合稱為A的臺(tái)集，又稱為模糊集合A的支集。實(shí)際上，若某元素的隸屬函數(shù)值為零，即它不屬于這個(gè)集合，若用臺(tái)集來表示一個(gè)模糊集合，可使表達(dá)式簡單明了。例如模糊集合“幾個(gè)”可表示為

(6-106)

當(dāng)U為無限連續(xù)域時(shí)，Zadeh給出如下記法：

同樣，μA(x)/x不表示分?jǐn)?shù)，而表示論域上的元素與隸屬度之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；“”既不表示“積分”，也不是“求和”，而是表示論域U上的元素x與其隸屬度μA(x)對(duì)應(yīng)關(guān)系的一個(gè)總括。(6-107)

例6-2以年齡為論域，取U=[0,200]，Zadeh給出了“年老”O(jiān)與“年青”Y兩個(gè)模糊集合的隸屬函數(shù)μo(u)

、μY(u)為（見圖6-33）

圖6-33“年青”與“年老”的隸屬函數(shù)曲線

采用Zadeh表示法，“年老”O(jiān)與“年青”Y兩個(gè)模糊集可寫為2.模糊集合的運(yùn)算和基本性質(zhì)

對(duì)于給定論域U上的模糊集合A、B、C，借助于隸屬函數(shù)定義它們之間的運(yùn)算如下：

(1)相等，都有

μA(x)

=μB(x)

，則稱A與B相等，記作A=B

(2)包含，都有μA(x)

>=μB(x)，則稱A包含B，記作

(3)空集，都有μA(x)

=0，則稱A為模糊空集，記作(4)并集，都有則稱C是A與B的并集，記作

(5)交集，都有

則稱C是A與B的交集，記作(6)補(bǔ)集，都有，則稱B是A的補(bǔ)集，記作(7)直積，若有兩個(gè)模糊集合A和B，其論域分別為X和Y，則稱定義在積空間X×Y上的模糊集合A×B為A和B的直積，其隸屬度函數(shù)或直積的概念和運(yùn)算可以推廣到多個(gè)集合的直積。類似于普通集合運(yùn)算，模糊集合的運(yùn)算也具有以下基本性質(zhì)。(1)分配律(2)結(jié)合律(3)交換律(4)吸收律(5)冪等律(6)同一律其中X表示論域全集，φ表示空集。(7)達(dá)摩根律(8)雙重否定律

以上運(yùn)算性質(zhì)和普通集合的運(yùn)算性質(zhì)完全相同，但是在普通集合中成立的排中律和矛盾律對(duì)于模糊集合不再成立，即3.隸屬函數(shù)正確地確定隸屬函數(shù)，是運(yùn)用模糊集合理論解決實(shí)際問題的基礎(chǔ)。隸屬函數(shù)是對(duì)模糊概念的定量描述，我們遇到的模糊概念不勝枚舉，然而準(zhǔn)確地反映模糊概念的模糊集合的隸屬函數(shù)，卻無法找到統(tǒng)一的模式。隸屬函數(shù)的確定有多種方法，常用的有模糊統(tǒng)計(jì)法、例證法等。不同的方法所得到的結(jié)果是不相同的，但隸屬函數(shù)確定是否合適，主要看其是否符合實(shí)際，并在應(yīng)用中檢驗(yàn)其效果。圖6-34常用的隸屬函數(shù)(a)三角形(b)梯形(c)高斯型(d)廣義鈴型

三角形隸屬度函數(shù)由三個(gè)參數(shù)來描述

參數(shù)[a,b,c](a<b<c)決定了三角形隸屬度函數(shù)的三個(gè)角的x坐標(biāo)。圖6-34a顯示的是MATLAB的FuzzyLogicToolbox中的triangle(x,20,60.80)定義的三角形隸屬度函數(shù)。(6-108)

梯形隸屬度函數(shù)用四個(gè)參數(shù)來描述

參數(shù)決定了梯形隸屬度函數(shù)的四個(gè)角的坐標(biāo)。圖6-34b顯示定義的梯形隸屬度函數(shù)。參數(shù)[a,b,c,d](a<b<c<d)決定了梯形隸屬度函數(shù)的四個(gè)角的x坐標(biāo)。圖6-34b顯示的是trapezoid(x,10,20,60.95)定義的梯形隸屬度函數(shù)。(6-109)

高斯型隸屬度函數(shù)用兩個(gè),參數(shù)[c,σ]來描述

其中c表示隸屬度函數(shù)的中心，σ決定函數(shù)的寬度，圖6-34c繪出gaussian(x,50,20)定義的高斯型隸屬度函數(shù)。 (6-110)

廣義的鈴型隸屬度函數(shù)用三個(gè)參數(shù)來描述

其中參數(shù)b通常為正，圖6-34d繪出定義的廣義鈴型隸屬度函數(shù)。

(6-111)

4.模糊關(guān)系客觀世界的各事物之間普遍存在著聯(lián)系，描寫事物之間聯(lián)系的數(shù)學(xué)模型之一就是關(guān)系。關(guān)系常用符號(hào)R表示。由X到Y(jié)的關(guān)系R，可用序?qū)?x,y)來表示，其中x∈X

,

y∈Y

。所有有關(guān)系R的序?qū)梢詷?gòu)成一個(gè)R集。在集X與集Y中各取出一元素排成序?qū)?，所有這樣序?qū)Φ募辖凶鯴和Y的直積集（也稱笛卡爾乘積集），記為顯然，R集是X和Y的直積集的一個(gè)子集，即n元模糊關(guān)系R是定義直積上的模糊集合，它可以表示為

(6-112)

當(dāng)是有限集合時(shí)，定義在X×Y上的二元模糊關(guān)系可用如下的階矩陣來表示：

這樣的矩陣稱為模糊矩陣，其元素均為隸屬度函數(shù)。(6-113)

例6-3設(shè)某地區(qū)人的身高論域X={140，150，160，170，180}（單位為cm），體重論域Y={40，50，60，70，80}（單位為kg），表6-1為身高與體重的相互關(guān)系，它是從X到Y(jié)上的一個(gè)模糊關(guān)系R。表6-1某地區(qū)人的身高與體重的相互關(guān)系用模糊矩陣表示上述模糊關(guān)系R時(shí)，可寫為

由于模糊關(guān)系是定義在直積空間上的模糊集合，所以它也遵從一般模糊集合的運(yùn)算，下面介紹模糊關(guān)系的合成運(yùn)算。設(shè)X,Y,Z是論域，R是X到Y(jié)的一個(gè)模糊關(guān)系，S是Y到Z的一個(gè)模糊關(guān)系，則R到S的合成T也是一個(gè)模糊關(guān)系。記它具有隸屬度

(6-114)

其中“∨”是并的符號(hào)，它表示對(duì)所有y取最大值或上界值，“*”是二項(xiàng)積算子，因此上面的合成稱為合成，也可寫成“*”算子通?？梢匀∧：换虼鷶?shù)積。若模糊集合A和B，對(duì)應(yīng)的模糊交和代數(shù)積分別定義如下：模糊交代數(shù)積若“*”算子是取模糊交，則R到S的合成

這稱為max-min合成，是最常用的合成方法。(6-115)

當(dāng)X,Y,Z為有限時(shí)，模糊關(guān)系的合成可用模糊矩陣的合成來表示。設(shè)采用max-min合成，則有

5．模糊推理

在模糊推理中有兩類重要的推理方法，一類是廣義取式推理（GMP，GeneralizedModusPonens），另一類是廣義拒式推理（GMT，GeneralizedModusTollens）。在模糊控制中主要采用GMP推理。GMP推理規(guī)則前提1： xisA'前提2： ifxisAthenyisB結(jié)論： yisB'這里A'和A是論域X中的模糊集合，B'和B是論域Y中的模糊集合。為了實(shí)現(xiàn)模糊推理，需解決以下兩個(gè)問題。

(1)關(guān)系生成規(guī)則模糊蘊(yùn)涵關(guān)系A(chǔ)→B表示了模糊推理的前提2，它應(yīng)是X到Y(jié)的模糊關(guān)系R(x,y)。關(guān)系生成規(guī)則可以采用模糊蘊(yùn)涵關(guān)系的運(yùn)算。

(2)推理合成規(guī)則由模糊關(guān)系R(x,y)

＝A→B和前提１中的得到Y(jié)上的模糊集，即

式中“"為模糊關(guān)系合成算子，而R為模糊蘊(yùn)涵關(guān)系，則

(6-116)

(6-117)

對(duì)于有限集有

(6-118)

在模糊控制廣泛使用Mamdani算法。在該算法中，關(guān)系生成規(guī)則為推理合成規(guī)則為將關(guān)系生成規(guī)則和推理合成規(guī)則合并在一起，則有

用max-min合成運(yùn)算，用隸屬度函數(shù)可表示為(6-119)

例6-4設(shè)有一電加熱爐，存在“如果爐溫低，則應(yīng)施加高電壓”的經(jīng)驗(yàn)規(guī)則，試問當(dāng)爐溫為“非常低”時(shí)，應(yīng)怎樣施加電壓?解設(shè)x，y分別表示“爐溫”“和“電壓”，其論域?yàn)閄和Y，并有X=Y={1，2，3，4，5}設(shè)A表示爐溫低的模糊集合，A’表示“爐溫非常低”，B表示“高電壓”，并定義A=“爐溫低”A'=“爐溫非常低” B=“高電壓”則本例的問題就可用“ifxisAthenyisB，xisA'，求y'=?”來描述。

模糊蘊(yùn)涵關(guān)系在A'下的模糊結(jié)果 屬于“高電壓”模糊集。對(duì)于兩個(gè)以上模糊輸入變量稱為多輸入模糊推理。特別是兩輸入的情況，在模糊控制中用得比較普遍。其一般形式是如下的GMP推理，即前提1： xisA'andyisB'前提2： ifxisAandyisBthenzisC結(jié)論： zisC'這里A'和A，B'和B，C'和C分別是論域X，Y，Z上的模糊集合。 結(jié)果前提2中的“xisAandyisB”可以看成直積空間X×Y上的模糊集合，記為A×B，其隸屬度函數(shù)為

這時(shí)模糊蘊(yùn)涵關(guān)系是三元模糊關(guān)系，可記為A×B

→

C，即有以下關(guān)系生成規(guī)則對(duì)于結(jié)論C'，可以由以下模糊推理求出，即用隸屬度函數(shù)表示為對(duì)于多輸入多規(guī)則的模糊推理，能通過多輸入單規(guī)則模糊推理的組合獲得，可以用模糊規(guī)則的模糊關(guān)系得并來計(jì)算。設(shè)“ifzisAiandyisBithenzisCi”的模糊蘊(yùn)涵關(guān)系定義為這表明，是定義在X×Y×Z上的模糊蘊(yùn)涵關(guān)系?？紤]n條模糊規(guī)則的總的模糊蘊(yùn)涵關(guān)系為

最后可求得模糊推理的結(jié)論為例6-7設(shè)輸入量為x和y，輸出量為z，x、y、z均為模糊變量，存在兩條控制規(guī)則：R1：ifzisA1andYisB1thenzisC1R2：ifzisA2andYisB2thenzisC2且已知

若新的輸入

求C'。解本例具有兩條模糊控制規(guī)則，均為雙輸入單輸出Mamdani型規(guī)則，其推理過程如下：計(jì)算每條規(guī)則的模糊蘊(yùn)涵關(guān)系Ri(i=1，2)為了便于計(jì)算，將P1表示成則有同理，可得 即即

在確定性控制系統(tǒng)中，根據(jù)輸入變量和輸出變量的個(gè)數(shù)，可分為單變量控制系統(tǒng)和多變量控制系統(tǒng)。在模糊控制系統(tǒng)中也可類似地劃分為單變量模糊控制和多變量模糊控制。

1.單變量模糊控制器（SVFC：SingleVariableFuzzyController）將其輸入變量的個(gè)數(shù)定義為模糊控器的維數(shù)，如圖6-35所示。

圖6-35單變量模糊控制器6.6.3模糊控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與原理(1)一維模糊控制器

其輸入變量往往選擇為輸入給定和被控量的偏差量e。由于僅僅采用偏差值，很難反映過程的動(dòng)態(tài)特性品質(zhì)，因此，所能獲得的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能是不能令人滿意的。這種一維模糊控制器往往被用于一階被控對(duì)象。(2)二維模糊控制器兩個(gè)輸入變量基本上都選用偏差e和偏差變化ec，由于它們能夠較嚴(yán)格地反映受控過程中輸出變量的動(dòng)態(tài)特性，因此，在控制效果上要比一維控制器好得多，也是目前采用較廣泛的一類模糊控制器。(3)三維模糊控制器三個(gè)輸入變量分別為系統(tǒng)偏差量e、偏差變化量ec和偏差變化的變化率ecc。由于這種模糊控制器結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，推理運(yùn)算時(shí)間長，因此除非對(duì)動(dòng)態(tài)特性要求特別高的場合，一般較少選用三維模糊控制器。2.多變量模糊控制器（MVFC：MultiVariableFuzzyController）要直接設(shè)計(jì)一個(gè)多變量模糊控制器是相當(dāng)困難的，可利用模糊控制器本身的解耦特點(diǎn)，通過模糊關(guān)系方程求解。在控制器結(jié)構(gòu)上實(shí)現(xiàn)解耦，即將一個(gè)多輸入多輸出（MIMO）的模糊控制器分解成若干個(gè)多輸入單輸出（MISO）的模糊控制器，這樣可采用單變量模糊控制器方法設(shè)計(jì)。本小節(jié)主要介紹單變量二維模糊控制器的原理。由圖6-32可知，模糊控制器主要包括輸入量模糊化接口、知識(shí)庫、推理機(jī)、輸出清晰化接口四個(gè)部分。圖6-32模糊控制系統(tǒng)1.模糊化接口模糊控制器的精確量輸入必須經(jīng)過模糊化接口后，轉(zhuǎn)換成一個(gè)模糊量才能用于模糊控制，具體可按模糊化等級(jí)進(jìn)行模糊化。例如，設(shè)x的取值為[a，b]區(qū)間，由下式

變換為取值在[－6，6]間的整數(shù)y。(6-120)

變換為取值在[－6，6]間的整數(shù)y，再將y模糊化為七級(jí)，相應(yīng)的模糊量為：－6稱為負(fù)大，記為NL；－4稱為負(fù)中，記為NM；－2稱為負(fù)小，記為NS；

0稱為適中，記為ZO；

2稱為正小，記為PS；

4稱為正中，記為PM；

6稱為正大，記為PL。因此，對(duì)于模糊輸入變量y，其模糊子集為y={NL，NM，NS，ZO，PS，PM，PL}。模糊子集可用表6-2表示，表中的數(shù)為對(duì)應(yīng)元素在對(duì)應(yīng)模糊集中的隸屬度。

表6-2模糊變量y不同等級(jí)的隸屬度值2.知識(shí)庫知識(shí)庫由數(shù)據(jù)庫和規(guī)則庫兩部分組成。數(shù)據(jù)庫所存放的是所有輸入輸出變量的全部模糊子集的隸屬度的量值，若論域?yàn)檫B續(xù)域，則為隸屬函數(shù)。對(duì)于以上例子，需將表6-3中內(nèi)容存放于數(shù)據(jù)庫，在規(guī)則推理的模糊關(guān)系方程的求解過程中，向推理機(jī)提供數(shù)據(jù)。

規(guī)則庫存放了模糊控制規(guī)則，在推理時(shí)為“推理機(jī)”提供控制規(guī)則。模糊控制器的規(guī)則是基于專家知識(shí)或手動(dòng)操作經(jīng)驗(yàn)來建立的，它是人的直覺推理的一種語言表示形式。模糊規(guī)則通常由一系列的關(guān)系詞連接而成，如if-then、else、also、and、or等。關(guān)系詞必須經(jīng)過“翻譯”，才能將模糊規(guī)則數(shù)值化。

如果某模糊控制器的輸入變量為e（誤差）和ec（誤差變化），相應(yīng)的語言變量為E與EC，控制變量u的語言變量為U，有下述一族模糊規(guī)則：

R1：ifEisNLandECisNLthenUisPLR2：ifEisNLandECisNMthenUisPLR3：ifEisNLandECisNSthenUisPMR4：ifEisNLandECisZOthenUisPM…R49：ifEisPLandECisPLthenUisNLR1：ifEisNLandECisNLthenUisPLR2：ifEisNLandECisNMthenUisPLR3：ifEisNLandECisNSthenUisPMR4：ifEisNLandECisZOthenUisPM…R49：ifEisPLandECisPLthenUisNL

通常把if分稱為“前提部”；而then部分稱為“結(jié)論部”，控制系統(tǒng)的全部模糊規(guī)則可寫成模糊關(guān)系矩陣R。3.推理機(jī)推理機(jī)是模糊控制器中，根據(jù)輸入模糊量和知識(shí)庫（數(shù)據(jù)庫和規(guī)則庫）完成模糊推理，并求解模糊關(guān)系方程，從而獲得模糊控制量的功能部分。

最簡單的單輸入單輸出的控制系統(tǒng)如圖6-36a所示，控制規(guī)則可用“如A則B”語言來描述，若輸入為A1，則輸出為

圖6-36模糊控制系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系a)單輸入單輸出b)雙輸入單輸出(6-121)

雙輸入單輸出的控制系統(tǒng)表示如圖6-36b所示，其控制規(guī)則可用“如A且B則C”型控制語言來描述。若輸入為A1、B1

則輸出C1為 圖6-36模糊控制系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系a)單輸入單輸出b)雙輸入單輸出(6-122)

4.清晰化接口通過模糊決策所得到的輸出是模糊量，要進(jìn)行控制必須經(jīng)過清晰化接口將其轉(zhuǎn)換成精確量。若通過模糊決策所得的輸出量為

經(jīng)常采用下面三種方法，將其轉(zhuǎn)換成精確的執(zhí)行量。(6-123)

(1)選擇隸屬度大的原則若對(duì)應(yīng)的模糊決策的模糊集C中，元素滿足 則取u*（精確量）作為輸出控制量。如果這樣的隸屬度最大點(diǎn)u*不唯一，就取它們的平均值或[u1*,u2*]的中點(diǎn)(u1*+u2*)/2作為輸出執(zhí)行量，其中(6-124)

這種方法簡單、易行、實(shí)時(shí)性好，但它概括的信息量少。例如，若則按最大隸屬度原則應(yīng)取執(zhí)行量u*=4。又如，若

則按平均值法，應(yīng)取(2)加權(quán)平均原則