滬教版九年級上冊數(shù)學知識梳理（本學期匯編）-2022-2023學年九年級數(shù)學上冊期中期末挑戰(zhàn)滿分沖刺卷（滬教版上海專用）

滬教版九年級第一學期數(shù)學知識梳理匯編（含本學期三章內容）第24章相似三角形知識梳理【知識網(wǎng)絡】一、比例線段及比例的性質1.比例線段：（1）線段的比：如果選用同一長度單位量得兩條線段a，b的長度分別是m，n，那么就說這兩條線段的比是a:b=m:n，或寫成,其中a叫做比的前項;b叫做比的后項.（2）成比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段．（3）比例的項：已知四條線段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做組成比例的項，線段ａ，d叫做比例外項，線段ｂ，ｃ叫做比例內項，線段ｄ還叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例項．（4）比例中項：如果作為比例線段的內項是兩條相同的線段，即a:b=b:c或，那么線段ｂ叫做線段ａ和ｃ的比例中項．要點：通常四條線段a,b,c,d的單位應該一致，但有時為了計算方便，a,b的單位一致，c,d的單位一致也可以.2.比例的性質(1)比例的基本性質：(2)反比性質：(3)更比性質:或(4)合比性質:(5)等比性質:且3.平行線分線段成比例定理（1）三角形一邊的平行線性質定理:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例.（2）三角形一邊的平行線性質定理推論:平行于三角形一邊并且和其他兩邊相交的直線,所截得的三角形的三邊與原三角形三邊的對應成比例.（3）三角形一邊的平行線判定定理：如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.（4）三角形一邊的平行線判定定理推論：如果一條直線截三角形兩邊的延長線（這兩邊的延長線在第三邊的同側）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.（5）平行線分線段成比例定理：兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對應線段成比例.（6）平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行的直線所截，如果在一條直線上截得的線段相等，那么在另一條直線上截得的線段也相等.這幾個定理主要提出由平行線可得到比例式；反之,有比例可得到平行線.首先要弄清三個基本圖形：這三個基本圖形的用途是:1.由平行線產(chǎn)生比例式基本圖形(1):若l1//l2//l3，則或或或基本圖形(2):若DE//BC，則或或或基本圖形(3):若AC//BD，則或或或在這里必須注意正確找出對應線段，不要弄錯位置.2．由比例式產(chǎn)生平行線段基本圖形(2):若,,,,,之一成立，則DE//BC.基本圖形(3):若,,,,,之一成立，則AC//DB.要點：（1）平行線等分線段定理是平行線分線段成比例定理的特例；（2）平行線分線段成比例沒有逆定理；（3）由于平行線分線段成比例定理中，平行線本身沒有參與作比例，因此，有關平行線段的計算問題通常轉化到“A”、“X”型中.A型X型常用的比例式：.（4）判斷平行線的條件中，只能是被截的兩條直線的對應線段成比例(被判斷的平行線本身不能參與作比例).4.三角形的重心三角形三條中線的交點叫做三角形的重心.要點：（1）重心的性質：三角形的重心到一個頂點的距離，等于它到這個頂點對邊中點的距離的二倍；（2）重心的畫法：兩條中線的交點.二、黃金分割1.黃金分割是指把一條線段(AB)分成兩條線段，使其中較大的線段(AC)是原線段(AB)與較小線段(BC)的比例中項(AC2＝AB·BC)，C點為黃金分割點.2.黃金分割的求法①代數(shù)求法：已知：線段AB，求作：線段AB的黃金分割點C.分析：設C點為所求作的黃金分割點，則AC2＝AB·CB，設AB＝，AC＝x，那么CB＝－x，由AC2＝AB·CB，得：x2＝·(－x)整理后，得：x2＋x－＝0，根據(jù)求根公式，得：x＝∴(不合題意，舍去)即AC＝AB≈0.618AB，則C點可作.②黃金分割的幾何求法（尺規(guī)法）：已知：線段AB，求作：線段AB的黃金分割點C.作法：如圖：(1)過B點作BD⊥AB，使BD＝AB.(2)連結AD，在AD上截取DE＝DB.(3)在AB上截取AC＝AE.則點C就是所求的黃金分割點.證明：∵AC＝AE＝AD－AB而AD＝∴AC＝∴C點是線段AB的黃金分割點.要點：①一條線段有兩個黃金分割點.②這種分割之所以被人們稱為黃金分割，是因為黃金分割存在美學規(guī)律和具有實用價值.德國著名天文學家開普勒(Kepler，1571—1630)把這種分割稱為“神圣的比例”，說它是幾何中的瑰寶，大家也可以看一下課外的閱讀材料，體會一下黃金分割中所蘊含的美學.三、相似三角形1.相似多邊形(1)相似多邊形的特征：相似多邊形的對應角相等，對應邊的比相等.(2)相似多邊形的識別：如果兩個多邊形的對應角相等，對應邊的比相等，那么這兩個多邊形相似.(3)相似比：我們把相似多邊形對應邊的比稱為相似比.(4)相似多邊形的性質①相似多邊形的對應角相等，對應邊的比相等．②相似多邊形的周長比等于相似比．③相似多邊形的面積比等于相似比的平方．2.相似三角形（1）相似三角形的定義：形狀相同的三角形是相似三角形.（2）相似三角形的表示方法：用“∽”表示，讀作相似于.如：△ABC和△DEF相似，可以寫成△ABC∽△DEF，也可以寫成△DEF∽△ABC，讀作△ABC相似于△DEF.（3）相似三角形的性質：①相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等.②相似三角形對應邊上的高的比相等，對應邊上的中線的比相等，對應角的角平分線的比相等，都等于相似比.③相似三角形的周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.要點：相似三角形的性質是通過比例線段的性質推證出來的.（4）相似三角形的判定：①平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似；②如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似；③如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似；④如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似.⑤如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個三角形的斜邊和一條直角邊的比對應相等，那么這兩個直角三角形相似.（5）相似三角形應用舉例相似三角形的知識在實際生產(chǎn)和生活中有著廣泛的應用，可以解決一些不能直接測量的物體的長度問題，加深學生對相似三角形的理解和認識.要點：要判定兩個三角形是否相似，只需找到這兩個三角形的兩個對應角相等即可，對于直角三角形而言，若有一個銳角對應相等，那么這兩個三角形相似.四、實數(shù)與向量相乘1.實數(shù)與向量相乘的意義一般的，設為正整數(shù)，為向量，我們用表示個相加；用表示個相加.又當為正整數(shù)時，表示與同向且長度為的向量.要點：設P為一個正數(shù)，P就是將的長度進行放縮，而方向保持不變；—P也就是將的長度進行放縮，但方向相反.2.向量數(shù)乘的定義 一般地，實數(shù)與向量的相乘所得的積是一個向量，記作，它的長度與方向規(guī)定如下：（1）如果時，則：①的長度：；②的方向：當時，與同方向；當時，與反方向；（2）如果時，則：，的方向任意.實數(shù)與向量相乘，叫做向量的數(shù)乘.要點：（1）向量數(shù)乘結果是一個與已知向量平行（或共線）的向量；（2）實數(shù)與向量不能進行加減運算；（3）表示向量的數(shù)乘運算，書寫時應把實數(shù)寫在向量前面且省略乘號，注意不要將表示向量的箭頭寫在數(shù)字上面；（4）向量的數(shù)乘體現(xiàn)幾何圖形中的位置關系和數(shù)量關系.3.實數(shù)與向量相乘的運算律設為實數(shù)，則：（1）（結合律）；（2）（向量的數(shù)乘對于實數(shù)加法的分配律）；（3）（向量的數(shù)乘對于向量加法的分配律）4.平行向量定理（1）單位向量：長度為1的向量叫做單位向量.要點：任意非零向量與它同方向的單位向量的關系：，.（2）平行向量定理：如果向量與非零向量平行，那么存在唯一的實數(shù)，使.要點：（1）定理中，，的符號由與同向還是反向來確定.（2）定理中的“”不能去掉，因為若，必有，此時可以取任意實數(shù)，使得成立.（3）向量平行的判定定理：是一個非零向量，若存在一個實數(shù)，使，則向量與非零向量平行.（4）向量平行的性質定理：若向量與非零向量平行，則存在一個實數(shù)，使.（5）A、B、C三點的共線若存在實數(shù)λ，使.五、向量的線性運算1.向量的線性運算定義向量的加法、減法、實數(shù)與向量相乘以及它們的混合運算叫做向量的線性運算.要點：（1）如果沒有括號，那么運算的順序是先將實數(shù)與向量相乘，再進行向量的加減.（2）如果有括號，則先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行．2.向量的分解平面向量基本定理：如果是同一平面內兩個不共線（或不平行）的向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數(shù)，使得.要點：（1）同一平面內兩個不共線（或不平行）向量叫做這一平面內所有向量的一組基底.一組基底中，必不含有零向量．(2)一個平面向量用一組基底表示為形式，叫做向量的分解，當相互垂直時，就稱為向量的正分解.(3)以平面內任意兩個不共線的向量為一組基底，該平面內的任意一個向量都可表示成這組基底的線性組合，基底不同，表示也不同．3.用向量方法解決平面幾何問題（1）利用已知向量表示未知向量用已知向量來表示另外一些向量，除利用向量的加、減、數(shù)乘運算外，還應充分利用平面幾何的一些定理，因此在求向量時要盡可能轉化到平行四邊形或三角形中，利用三角形中位線、相似三角形對應邊成比例等平面幾何的性質，把未知向量轉化為與已知向量有直接關系的向量來求解．（2）用向量方法研究平面幾何的問題的“三步曲”：①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，將平面幾何問題轉化為向量問題.②通過向量運算，研究幾何元素的關系.③把運算結果“翻譯”成幾何關系.第25章銳角的三角比知識梳理【知識網(wǎng)絡】【要點梳理】一、銳角三角比1.正弦、余弦、正切、余切的定義如右圖，在Rt△ABC中，∠C=900，如果銳角A確定：(1)∠A的對邊與斜邊的比值是∠A的正弦，記作sinA＝EQ\f(∠A的對邊,斜邊)(2)∠A的鄰邊與斜邊的比值是∠A的余弦，記作cosA＝EQ\f(∠A的鄰邊,斜邊)(3)∠A的對邊與鄰邊的比值是∠A的正切，記作tanA＝EQ\f(∠A的對邊,∠A的鄰邊)(4)∠A的鄰邊與對邊的比值是∠A的余切，記作cotA＝EQ\f(∠A的鄰邊,∠A的對邊)要點：(1)正弦、余弦、正切、余切是在一個直角三角形中定義的，其本質是兩條線段的比值，它只是一個數(shù)值，其大小只與銳角的大小有關，而與所在直角三角形的大小無關.(2)sinA、cosA、tanA、cotA是一個整體符號，即表示∠A四個三角函數(shù)值，書寫時習慣上省略符號“∠”，但不能寫成sin·A，對于用三個大寫字母表示一個角時，其三角函數(shù)中符號“∠”不能省略，應寫成sin∠BAC，而不能寫出sinBAC.(3)sin2A表示(sinA)2，而不能寫成sinA2.(4)三角函數(shù)有時還可以表示成等.2.銳角三角比的定義銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù).要點：1.函數(shù)值的取值范圍對于銳角A的每一個確定的值，sinA有唯一確定的值與它對應，所以sinA是∠A的函數(shù).同樣，cosA、tanA、cotA也是∠A的函數(shù)，其中∠A是自變量，sinA、cosA、tanA、cotA分別是對應的函數(shù).其中自變量∠A的取值范圍是0°＜∠A＜90°，函數(shù)值的取值范圍是0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0，cotA>0.2．銳角三角函數(shù)之間的關系：余角三角函數(shù)關系：“正余互化公式”如∠A+∠B=90°，那么：sinA=cosB；cosA=sinB；tanA=cotB,cotA=tanB.同角三角函數(shù)關系：sin2A＋cos2A=1；3.30°、45°、60°角的三角函數(shù)值∠A30°45°60°sinAcosAtanA1cotA130°、45°、60°角的三角函數(shù)值和解30°、60°直角三角形和解45°直角三角形為本章重中之重，是幾何計算題的基本工具，三邊的比借助銳角三角函數(shù)值記熟練.二、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形．解直角三角形的依據(jù)是直角三角形中各元素之間的一些相等關系，如圖：角角關系：兩銳角互余，即∠A+∠B=90°；邊邊關系：勾股定理，即；邊角關系：銳角三角函數(shù)，即要點：解直角三角形，可能出現(xiàn)的情況歸納起來只有下列兩種情形：(1)已知兩條邊(一直角邊和一斜邊；兩直角邊)；(2)已知一條邊和一個銳角(一直角邊和一銳角；斜邊和一銳角)．這兩種情形的共同之處：有一條邊．因此，直角三角形可解的條件是：至少已知一條邊．三、解直角三角形的應用解直角三角形的知識應用很廣泛，關鍵是把實際問題轉化為數(shù)學模型，善于將某些實際問題中的數(shù)量關系化歸為直角三角形中的邊角關系是解決實際應用問題的關鍵.1.解這類問題的一般過程(1)弄清題中名詞、術語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學模型.(2)將已知條件轉化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關系，把實際問題轉化為解直角三角形的問題.(3)根據(jù)直角三角形(或通過作垂線構造直角三角形)元素(邊、角)之間的關系解有關的直角三角形.(4)得出數(shù)學問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，得出實際問題的解.2.常見的應用問題(1)坡度：；坡角:.(2)方位角：(3)仰角與俯角：要點：1．解直角三角形的常見類型及解法：已知條件解法步驟Rt△ABC兩邊兩直角邊(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜邊，一直角邊(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一邊一角一直角邊和一銳角銳角、鄰邊(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，銳角、對邊(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜邊、銳角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，2．用解直角三角形的知識解決實際問題的基本方法是：把實際問題抽象成數(shù)學問題(解直角三角形)，就是要舍去實際事物的具體內容，把事物及它們的聯(lián)系轉化為圖形(點、線、角等)以及圖形之間的大小或位置關系．借助生活常識以及課本中一些概念(如俯角、仰角、傾斜角、坡度、坡角等)的意義，也有助于把實際問題抽象為數(shù)學問題．當需要求解的三角形不是直角三角形時，應恰當?shù)刈鞲撸比切螢橹苯侨切卧偾蠼猓?．銳角三角函數(shù)的應用用相似三角形邊的比的計算具有一般性，適用于所有形狀的三角形，而三角函數(shù)的計算是在直角三角形中解決問題，所以在直角三角形中先考慮三角函數(shù)，可以使過程簡潔。如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函數(shù)值相等進行代換很簡單：∵∴∵∴∵∴第26章二次函數(shù)知識梳理1.二次函數(shù)定義：如果y＝x2＋bx＋c(，b，c為常數(shù)，≠0)，那么y叫做x的二次函數(shù)2.二次函數(shù)的圖象：二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象是對稱軸平行于y軸的一條拋物線拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.②平行于軸(或重合)的直線記作.特別地，軸記作直線.③頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同求拋物線的頂點、對稱軸：∴頂點坐標對稱軸是直線3.二次函數(shù)的性質二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的性質對應在它的圖象上，有如下性質：二次函數(shù)的圖象及性質拋物線開口方向當>0時開口向上，并向上無限延伸；當＜0時開口向下，并無限向下延伸。頂點坐標（0，0）（0，c）（-m，0）（-m，k）（，）對稱軸y軸y軸直線x=-m直線x=-m直線最值＞0X=0時X=0時X=-m時X=-m時時，＜0X=0時X=0時X=-m時X=-m時時，增減性＞0在對稱軸左側，y隨x的增大而減小 在對稱軸右側，y隨x的增大而增大＜0在對稱軸左側，y隨x的增大而增大在對稱軸右側，y隨x的增大而增大4.二次函數(shù)y=x2+bx+c（≠0）的系數(shù)，b，c，△與拋物線的關系決定開口方向：當＞0時開口向上，＜0時開口向下。，b、b同時決定對稱