專題13 圖形變換綜合問題（原卷版）【浙江專用】

決勝2020年中考數(shù)學(xué)壓軸題全揭秘（浙江專用）專題13圖形變換綜合問題【例1】（2019?紹興）正方形ABCD的邊AB上有一動點E，以EC為邊作矩形ECFG，且邊FG過點D．在點E從點A移動到點B的過程中，矩形ECFG的面積（）A．先變大后變小 B．先變小后變大 C．一直變大 D．保持不變【例2】（2019?金華）圖2，圖3是某公共汽車雙開門的俯視示意圖，ME、EF、FN是門軸的滑動軌道，∠E＝∠F＝90°，兩門AB、CD的門軸A、B、C、D都在滑動軌道上，兩門關(guān)閉時（圖2），A、D分別在E、F處，門縫忽略不計（即B、C重合）；兩門同時開啟，A、D分別沿E→M，F(xiàn)→N的方向勻速滑動，帶動B、C滑動：B到達E時，C恰好到達F，此時兩門完全開啟，已知AB＝50cm，CD＝40cm．（1）如圖3，當(dāng)∠ABE＝30°時，BC＝cm．（2）在（1）的基礎(chǔ)上，當(dāng)A向M方向繼續(xù)滑動15cm時，四邊形ABCD的面積為cm2．【例3】（2019?寧波）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，點D在邊BC上，CD＝5，BD＝13．點P是線段AD上一動點，當(dāng)半徑為6的⊙P與△ABC的一邊相切時，AP的長為．【例4】（2019?舟山）如圖，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在個平面上，邊AC與EF重合，AC＝12cm．當(dāng)點E從點A出發(fā)沿AC方向滑動時，點F同時從點C出發(fā)沿射線BC方向滑動．當(dāng)點E從點A滑動到點C時，點D運動的路徑長為cm；連接BD，則△ABD的面積最大值為cm2．【例5】（2019?紹興）如圖，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，點M，N分別在邊AB，CD上，點E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，MN，EF交于點P，記k＝MN：EF．（1）若a：b的值為1，當(dāng)MN⊥EF時，求k的值．（2）若a：b的值為12，求k（3）若k的值為3，當(dāng)點N是矩形的頂點，∠MPE＝60°，MP＝EF＝3PE時，求a：b的值．【例6】（2019?臺州）如圖，正方形ABCD的邊長為2，E為AB的中點，P是BA延長線上的一點，連接PC交AD于點F，AP＝FD．（1）求AFAP（2）如圖1，連接EC，在線段EC上取一點M，使EM＝EB，連接MF，求證：MF＝PF；（3）如圖2，過點E作EN⊥CD于點N，在線段EN上取一點Q，使AQ＝AP，連接BQ，BN．將△AQB繞點A旋轉(zhuǎn)，使點Q旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點Q'落在邊AD上．請判斷點B旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點B'是否落在線段BN上，并說明理由．【例7】（2019?金華）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝142，點D，E分別在邊AB，BC上，將線段ED繞點E按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到EF．（1）如圖1，若AD＝BD，點E與點C重合，AF與DC相交于點O．求證：BD＝2DO．（2）已知點G為AF的中點．①如圖2，若AD＝BD，CE＝2，求DG的長．②若AD＝6BD，是否存在點E，使得△DEG是直角三角形？若存在，求CE的長；若不存在，試說明理由．【例8】（2019?衢州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，∠BAC＝60°，AD平分∠BAC交BC于點D，過點D作DE∥AC交AB于點E，點M是線段AD上的動點，連結(jié)BM并延長分別交DE，AC于點F、G．（1）求CD的長．（2）若點M是線段AD的中點，求EFDF（3）請問當(dāng)DM的長滿足什么條件時，在線段DE上恰好只有一點P，使得∠CPG＝60°？1．（2020?柯橋區(qū)模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，點P，Q在對角線BD上，且BQ=23BP，過點P作PH⊥AB于點H，連接HQ，以PH、HQ為鄰邊作平行四邊形PHQG，設(shè)BQ＝（1）若m＝2時，求此時PH的長．（2）若點C，G，H在同一直線上時，求此時的m值．（3）若經(jīng)過點G的直線將矩形ABCD的面積平分，同時該直線將平行四邊形PHQG的面積分成1：3的兩部分，求此時m的值．2．（2020?東陽市模擬）如圖，已知點A（0，8），B（16，0），點P是x軸上的一個動點（不與原點O重合），連結(jié)AP，把△OAP沿著AP折疊后，點O落在點C處，連結(jié)PC，BC，設(shè)P（t，0）．（1）如圖1，當(dāng)AP∥BC時，試判斷△BCP的形狀，并說明理由．（2）在點P的運動過程中，當(dāng)∠PCB＝90°時，求t的值．（3）如圖2，過點B作BH⊥直線CP，垂足為點H，連結(jié)AH，在點P的運動過程中，是否存在AH＝BC？若存在，求出t的值：若不存在，請說明理由．3．（2020?永康市一模）如圖1，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，點E，F(xiàn)分別為AB，AD邊上任意一點，現(xiàn)將△AEF沿直線EF對折，點A對應(yīng)點為點G．（1）如圖2，當(dāng)EF∥BD，且點G落在對角線BD上時，求DG的長；（2）如圖3，連接DG，當(dāng)EF∥BD且△DFG是直角三角形時，求AE的值；（3）當(dāng)AE＝2AF時，F(xiàn)G的延長線交△BCD的邊于點H，是否存在一點H，使得以E，H，G為頂點的三角形與△AEF相似，若存在，請求出AE的值；若不存在，請說明理由4．（2020?寧波模擬）如圖，矩形ABCD中．AB＝6，BC＝8，在所給的3個矩形中分別畫1個菱形，要求菱形的頂點都在矩形的邊上，且畫出菱形后整個圖形分別符合下列條件，并在橫線上直接寫出菱形的面積．①是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形；②既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形且菱形四個頂點落在矩形不同邊上；③是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形且菱形面積最大．S＝；S＝；S＝．5．（2020?寧波模擬）如圖，正方形ABCD的邊長為1，E是CD邊上一點，先把正方形ABCD沿線段AE剪開，再將四邊形ABCE沿某一條線段m剪開，使剪開后的三塊圖形能以不重疊、無縫隙的方式重新拼成與原圖形不全等的菱形或矩形．設(shè)DE＝x．（1）當(dāng)x＝0.5時，求所拼菱形的邊長，并在圖中畫出線段m的位置．（2）當(dāng)所拼矩形的一邊長為0.8時，求矩形的另一邊長和x的值．（3）舉例說明存在分?jǐn)?shù)x，能使所拼菱形或矩形的邊長都是分?jǐn)?shù)．6．（2020?寧波模擬）如果三角形的兩個內(nèi)角α與β滿足α﹣β＝90°，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)互余三角形”．（1）若△ABC是“準(zhǔn)互余三角形”，∠A＞90°，∠B＝20°，求∠C的度數(shù)；（2）如圖①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝5，點D是BC延長線上一點．若△ABD是“準(zhǔn)互余三角形”，求CD的長；（3）如圖②，在四邊形ABCD中，AC，BD是對角線，AC＝4，CD＝5，∠BAC＝90°，∠ACD＝2∠ABC，且△BCD是“準(zhǔn)互余三角形”，求BD的長．7．（2020?金東區(qū)模擬）如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝82．點D，E分別在邊AB，AC上，將線段ED繞點E按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連結(jié)BF，BF的中點為G．（1）當(dāng)點E與點C重合時．①如圖1，若AD＝BD，求BF的長．②當(dāng)點D從點A運動到點B時，求點G的運動路徑長．（2）當(dāng)AE＝3，點G在△DEF一邊所在直線上時，求AD的長．8．（2020?黃巖區(qū)模擬）圖1是某小型汽車的側(cè)面示意圖，其中矩形ABCD表示該車的后備箱，在打開后備箱的過程中，箱蓋ADE可以繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為70°時，箱蓋ADE落在AD′E′的位置（如圖2所示）．已知AD＝60厘米，DC＝40厘米，求點D'到BC的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34）10．（2020?柯橋區(qū)模擬）如圖①是一個小箱子ABCDE放在桌面MN上的示意圖，BC這部分可彎曲，在彎曲時形成一段圓弧，設(shè)圓弧所在圓的圓心為O，線段AB，CD均與圓弧相切，點B，C分別為切點，小箱子蓋面CD與桌面MN平行，此時CD距離桌面14cm，已知AB的長10cm，CD的長為25.2cm．（1）如圖①，求弧BC的長度（結(jié)果保留π）．（2）如圖②，若小箱子ABCDE打開后弧BC所對的圓心角度數(shù)為60°，求小箱子頂端D到桌面MN的距離DH（結(jié)果保留一位小數(shù)）．（參考數(shù)據(jù)：3≈1.7311．（2020?椒江區(qū)模擬）如圖，在四邊形ADBC中，BA平分∠DBC，且∠BDA＝∠BAC＝90°，點E是BC的中點，連接DE交AB于點F．（1）求證：AB2＝BD?BC；（2）當(dāng)∠DBA＝30°時，求BFBA（3）是否存在點F，使F是AB的三等分點？若存在，請求出∠DBA的度數(shù)；若不存在，請說明理由；（4）求∠BDE的最大值．12．（2020?鄧州市一模）（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE均為等邊三角形，點B，D，E在同一直線上．填空：①線段BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系為；②∠BEC＝°．（2）【類比探究】如圖2，△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，點B，D，E在同一直線上．請判斷線段BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系及∠BEC的度數(shù)，并給出證明．（3）【解決問題】如圖3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，點D在AB邊上，DE⊥AC于點E，AE＝3．將△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)DE所在直線經(jīng)過點B時，點C到直線DE的距離是多少？（要求畫出示意圖并直接寫出答案）13．（2020?豐臺區(qū)模擬）如圖，點D是等邊△ABC內(nèi)一點，將線段AD繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，連結(jié)CD并延長交AB于點F，連結(jié)BD，CE．（1）求證：△ACE≌△ABD；（2）當(dāng)CF⊥AB時，∠ADB＝140°，求∠ECD的度數(shù)．14．（2020?黃巖區(qū)模擬）已知△ABC是邊長為4的等邊三角形，邊AB在射線OM上，且OA＝6，點D是射線OM上的動點，當(dāng)點D不與點A重合時，將△ACD繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△BCE，連接DE，設(shè)OD＝m．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，△CDE的形狀是三角形．（2）探究證明如圖2，當(dāng)6＜m＜10時，△BDE的周長是否存在最小值？若存在，求出△BDE周長的最小值；若不存在，請說明理由．（3）解決問題是否存在m的值，使△DEB是直角三角形？若存在，請直接寫出m的值；若不存在，請說明理由．15．（2020?河南模擬）某校八年級數(shù)學(xué)興趣小組在研究等腰直角三角形與圖形變換時，作了如下研究：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D為直線BC上一動點（點D不與B，C重合），以AD為腰作等腰直角三角形DAF，使∠DAF＝90°，連接CF．（1）觀察猜想如圖1，當(dāng)點D在線段BC上時，①CF與BC的位置關(guān)系；②CF，DC，BC之間的數(shù)量關(guān)系為（直接寫出結(jié)論）；（2）數(shù)學(xué)思考如圖2，當(dāng)點D在線段CB的延長線上時，（1）中的①、②結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結(jié)論再給予證明．（3）拓展延伸如圖3，當(dāng)點D在線段BC的延長線上時，將△DAF沿線段DF翻折，使點A與點E重合，連接CE，若已知4CD＝BC，AC＝22，請求出線段CE的長．16．（2020?拱墅區(qū)模擬）如圖1，已知O為正方形ABCD的中心，分別延長OA到點F，OD到點E，使OF＝2OA，OE＝2OD，連結(jié)EF，將△FOE繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α角得到△F′OE′（如圖2）．（1）探究AE'與BF'的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（2）當(dāng)α＝30°時，求證：△AOE'為直角三角形．17．（2020?營口模擬）把兩個全等的等腰直角三角板△ABC和△EFG（其直角邊長均為4）疊放在一起（如圖1），且使三角板EFG的直角頂點G與三角板ABC的斜邊中點O重合．現(xiàn)將三角板EFG繞O點順時針方向旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角α滿足條件：0°＜α＜90°），四邊形CHGK是旋轉(zhuǎn)過程中兩三角板的重疊部分（如圖2）．在上述旋轉(zhuǎn)過程中，BH與CK有怎樣的數(shù)量關(guān)系？四邊形CHGK的面積有何變化？證明你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．18．（2019?柯橋區(qū)模擬）如圖甲，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點P，且PA＝2，PB=3，PC＝1，求∠BPC的度數(shù)和等邊三角形ABC（1）李明同學(xué)做了如圖乙的輔助線，將△BPC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，如圖乙所示，連接PP'，可說明△APP'是