專題02 探究三角形全等的判定方法壓軸題六種模型全攻略（解析版）2023-2024學年八年級數(shù)學上冊壓軸題攻略蘇科版

第第頁專題02探究三角形全等的判定方法壓軸題六種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一用SAS證明兩三角形全等】 1【考點二用ASA證明兩三角形全等】 3【考點三用AAS證明兩三角形全等】 6【考點四用SSS證明兩三角形全等】 8【考點五用HL證明兩直角三角形全等】 10【考點六添一個條件使兩三角形全等】 13【過關檢測】 16【典型例題】【考點一用SAS證明兩三角形全等】例題：（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，已知點，，，在一條直線上，，，．求證：【答案】見解析【分析】用邊角邊定理進行證明即可.【詳解】解：∵∴即：在和中∴.【點睛】本題考查邊角邊定理證明三角形全等，根據(jù)題意找到相應的條件是解題關鍵.【變式訓練】1．（2023·陜西西安·?？既＃┤鐖D，，，三點在同一直線上，，，．求證：．

【答案】見解析【分析】由平行線的性質(zhì)得到，由即可證明≌．【詳解】解：，，在和中，，．【點睛】本題考查全等三角形的判定，關鍵是掌握全等三角形的判定方法．2．（2023春·七年級課時練習）如圖，點E在上，，且，連接并延長，交的延長線于點F．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由得到，證明即可；（2）推導，即解題即可．【詳解】（1）證明：∵，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：，∴，∵，∴，∵∴，∵，∴，∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，靈活運用全等三角形的判定方法是解題的關鍵．【考點二用ASA證明兩三角形全等】例題：（2023春·廣東惠州·八年級?？计谥校┤鐖D，，點，點在上，，求證：．

【答案】見解析【分析】首先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，利用等式的性質(zhì)可得，然后再利用判定即可．【詳解】證明：∵，，，，即，在和中，，∴．【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．【變式訓練】1．（2023·校聯(lián)考一模）如圖，點A、、、在同一條直線上，若，，求證：．【答案】見解析【分析】由知，結合，，依據(jù)“”可判定≌，依據(jù)兩三角形全等對應邊相等可得．【詳解】證明：，，即，在和中，，，．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．2．（2023·浙江溫州·溫州市第八中學校考三模）如圖，在和中，，點B為中點，．(1)求證：．(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)4，見解析【分析】（1）根據(jù)判定即可；（2）根據(jù)和點B為中點即可求出．【詳解】（1）證明：∵，，，∴（2）解：∵，，∴，，∵點B為中點，∴，∴，∴；【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定條件是解答本題的關鍵．【考點三用AAS證明兩三角形全等】例題：（2023·廣東汕頭·廣東省汕頭市聿懷初級中學?？既＃┤鐖D，點E在邊上，，，．求證：【答案】證明見解析【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得出，即可利用“”證明．【詳解】證明：，，，，，，在和中，，．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題關鍵．【變式訓練】1．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）如圖，，，．

(1)求證：．(2)當，時，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)40°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，利用三角形全等的判定定理即可證明；（2）根據(jù)三角形全等的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可求解【詳解】（1）解：∵，∴，又∵，，∴．（2）解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握各知識點，利用好數(shù)形結合的思想是解本題的關鍵．2．（2023秋·八年級課時練習）如圖，已知點是線段上一點，，．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由得，即，從而即可證得；（2）由可得，，即可得到，從而即可得證．【詳解】（1）證明：，，，在和中，，；（2）解：，，，，．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．【考點四用SSS證明兩三角形全等】例題:（2023·云南玉溪·統(tǒng)考三模）如圖，點在一條直線上，，求證：．

【答案】見解析【分析】根據(jù)題意，運用“邊邊邊”的方法證明三角形全等．【詳解】證明：∵，∴，即，在和中∴．【點睛】本題主要考查三角形全等的判定，掌握全等三角形的判定方法解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的中點，．求證：．

【答案】見解析【分析】根據(jù)是的中點，得到，再利用證明兩個三角形全等．【詳解】證明：是的中點，，在和中，，【點睛】本題考查了線段中點，三角形全等的判定，其中對三角形判定條件的確定是解決本題的關鍵．2．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，已知，點分別在上，，．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）直接根據(jù)證明即可．（2）根據(jù)（1）得，然后證明即可．【詳解】（1）解：證明：在和中，

∴．（2）解：由（1）知，∴

，

在和中，

∴，

∴．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟記全等三角形的性質(zhì)與判定是解題關鍵．【考點五用HL證明兩直角三角形全等】例題：（2023·全國·九年級專題練習）如圖，在和中，于A，于D，，與相交于點O．求證：．【答案】見解析【分析】由即可證明．【詳解】證明：∵，，∴，在和中，，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握直角三角形全等的判定是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·廣東河源·八年級統(tǒng)考期中）如圖，點A，D，B，E在同一直線上，．(1)求證：；(2)，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先說明，再根據(jù)即可證明結論；（2）由（1）可知，再利用平角的性質(zhì)即可解答．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，在和中，∴．（2）解：∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平角的性質(zhì)等知識點，熟練掌握全等三角形的判斷與性質(zhì)是解題的關鍵．2．（2023春·七年級單元測試）如圖，已知相交于點O，，于點M，于點N，．(1)求證：；(2)試猜想與的大小關系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)可證明；（2）根據(jù)證明可得結論．【詳解】（1）證明：∵，∴，即，∵，，∴，在和中，，∴；（2）解：，理由如下：∵，∴，在和中，，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．【考點六添一個條件使兩三角形全等】例題：（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，D在上，E在上，且，補充一個條件______后，可用“”判斷．

【答案】或【分析】由于兩個三角形已經(jīng)具備，，故要找邊的條件，只要不是這兩對角的夾邊即可．【詳解】解：∵，，∴若用“”判斷，可補充的條件是或；故答案為：或．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，熟知掌握判定三角形全等的條件是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023·黑龍江雞西·校考三模）如圖，點在一條直線上，已知，請你添加一個適當?shù)臈l件_________使得．（要求不添加任何線段）

【答案】（答案不唯一）【分析】由可得，再根據(jù)三角形全等的證明，可知可以添加條件為：兩邊及其夾角（）、兩邊及一邊（）即可解答．【詳解】解：∵，∴，∵，∴可添加條件為：可證明或可證明．故答案為：（答案不唯一）．【點睛】本題主要考查的是三角形全等判定，掌握證明全等三角形的方法有：,特別是不能判定三角形全等是解題的關鍵．2．（2023·北京大興·統(tǒng)考二模）如圖，點，，，在一條直線上，，，只需添加一個條件即可證明，這個條件可以是________（寫出一個即可）．【答案】或或或（答案不唯一）．【分析】根據(jù)，或添加條件即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，即，則有邊角兩個條件，要添加一個條件分三種情況，（1）根據(jù)“”，則可添加：，（2）根據(jù)“”，則可添加：或，（3）根據(jù)“”，則可添加：，故答案為：或或或（答案不唯一）．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，解此題的關鍵是熟練掌握全等三角形的幾種判斷方法．3．（2023秋·八年級課時練習）如圖，已知，要使用“”證明，應添加條件：_______________；要使用“”證明，應添加條件：_______________________．【答案】（或）（或）【分析】根據(jù)：斜邊與直角邊對應相等的兩個直角三角形全等，使，已知，，添加的條件是直角邊相等即可；要使用“”，需要添加角相等即可．【詳解】解：已知，，要使用“”，添加的條件是直角邊相等，故答案為：（或）；要使用“”，需要添加角相等，添加的條件為：（或）．故答案為：（或）．【點睛】本題考查了全等三角形的判定．本題的關鍵是，全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應相等，則必須再找一組對邊對應相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應鄰邊．【過關檢測】一、選擇題1．（2023·湖南永州·統(tǒng)考三模）判定三角形全等的方法有（

）①；②；③；④；⑤A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①③④⑤【答案】A【分析】根據(jù)判定三角形全等的方法分析即可求解．【詳解】解：判定三角形全等的方法有①；②；③；④，故選：A．【點睛】本題考查了判定三角形全等的方法，熟練掌握判定三角形全等的判定定理是解題的關鍵．2．（2023春·廣東佛山·八年級校考期中）如圖，，要根據(jù)“”證明，則還需添加一個條件是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)利用“”證明，則需要有一直角邊對應相等，斜邊對應相等，結合已知條件進行分析即可【詳解】解：添加條件，根據(jù)現(xiàn)有條件只有一條邊對應相等，不能用“”證明，故A不符合題意；添加條件，根據(jù)現(xiàn)有條件只有兩直角邊對應相等，不能用“”證明，故B不符合題意；添加條件，理由是：∵，∴，在和中，，∴，故C符合題意；添加條件，根據(jù)現(xiàn)有條件只有一條邊對應相等，不能用“”證明，故A不符合題意；故選：C．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定，注意用“”證明兩直角三角形全等時，一定要有一直角邊對應相等，斜邊對應相等．3．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考三模）如圖，已知，添加一個條件，不能使的是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圖形可知證明已經(jīng)具備了一個公共角和一對相等邊，因此可以利用、、證明兩三角形全等．【詳解】解：，，∴可以添加，此時滿足；添加條件，此時滿足；添加條件，此時滿足，添加條件不能使；故選：D．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，是一道開放題，解題的關鍵是牢記全等三角形的判定方法．4．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，點E在外部，點D在的邊上，交于F，若，，則（

）．

A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)題意得到，，然后根據(jù)證明．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，，∴，∴在和中，，∴，故選：D．【點睛】此題主要考查全等三角形的判定，解題的關鍵是熟知全等三角形的判定定理．5．（2023春·上海寶山·七年級校考期中）如圖，已知，，從①，②，③，④這四個條件中再選一個使，符合條件的有（

）

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)已知條件知道一邊，一角，添加得條件后，只要不是邊邊角，即可證明．【詳解】解：∵，∴,即，①∵，，∴，故①正確；添加③，則添加④，則添加條件②，不能證明，故選：C．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關鍵．二、填空題6．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，與相交于點，且是的中點，則與全等的理由是________．

【答案】/邊角邊【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理求解即可．【詳解】解：∵是的中點，∴在和中，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了全等三角形的判定，熟記全等三角形的判定定理是解題的關鍵．7．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）如圖，點、、、在同一直線上，，，添加一個條件，使，這個條件可以是______．（只需寫一種情況）

【答案】或或或（答案不唯一）【分析】先證明及，然后利用全等三角形的判定定理分析即可得解．【詳解】解∶或或或，理由是∶∵，∴，∵，∴即，當時，有，則，當時，則，當時，則，當時，則，故答案為∶或或或．【點睛】本題考查了對全等三角形的判定定理的應用，掌握全等三角形的判定定理有，，，是解題的關鍵．8．（2023秋·浙江杭州·八年級?？奸_學考試）如圖，已知，要說明，

（1）若以“”為依據(jù)，則需添加一個條件是__________；（2）若以“”為依據(jù)，則需添加一個條件是__________．【答案】【分析】（1）根據(jù)可添加一組角相等，故可判定全等；（2）根據(jù)可添加一組角相等，故可判定全等；【詳解】解：（1）已知一組角相等和一個公共邊，以“”為依據(jù)，則需添加一組角，即故答案為：；（2）已知一組角相等，和一個公共邊，以“”為依據(jù)，則需添加一組角，即．故答案為：．【點睛】本題主要考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：．添加時注意：不能判定兩個三角形全等．9．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，把兩根鋼條的中點連在一起，可以做成一個測量工件內(nèi)槽的工具（卡鉗）．在圖中，若測量得，則工件內(nèi)槽寬_________．

【答案】【分析】根據(jù)三角形全等的判定可知，從而得到．【詳解】解：由題意可知，，，故答案為：．【點睛】本題考查全等三角形的應用，熟記全等三角形的判定與性質(zhì)是解決問題的關鍵．10．（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，在中，，，，分別是，，上的點，且，，若，則的度數(shù)為_____．

【答案】/92度【分析】由條件可證明，再結合外角的性質(zhì)可求得，再利用三角形內(nèi)角和可求得．【詳解】解：，，在和中，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，利用條件證得是解題的關鍵．三、解答題11．（2023·浙江衢州·三模）已知：如圖，與的頂點A重合，．求證：．

【答案】見解析【分析】證明，可以得到，即可得到．【詳解】證明：∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是掌握全等三角形的證明方法．12．（2023春·廣東茂名·七年級校聯(lián)考階段練習）如圖，，，．求證

(1)；(2)．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）利用證明三角形全等即可；（2）利用全等三角形的性質(zhì)證明，再平行線的判定即可證明．【詳解】（1）證明：∵，∴；在與中，，∴；（2）證明：由（1）可知，，∴，∴．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，掌握“證明兩個三角形全等”是解本題的關鍵．13．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，在中，，點是的中點，點在上．

(1)與全等嗎？說明你的理由；(2)請說明的理由．【答案】(1)，見解析(2)見解析【分析】（1）由點是的中點可得，又，可證；（2）由（1）中可得，又，可證，從而得證．【詳解】（1），理由如下：∵是的中點，∴，在和中，，∴；（2）由（1）知，∴，即，在和中，∴，∴．【點睛】本題考查全等三角形的證明，掌握全等三角形的證明方法是解題的關鍵．14．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，已知：AB＝AC，BD＝CD，E為AD上一點．(1)求證：△ABD≌△ACD；(2)若∠BED＝50