一定是直角三角形嗎（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（北師大版）

第第頁專題1.5一定是直角三角形嗎（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）【知識(shí)點(diǎn)1】直角三角形的判定1.直角三角形的判定如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c滿足，那么這個(gè)三角形為直角三角形。2.利用邊角關(guān)系判斷直角三角形的步驟：（1）.找：找三角形三邊中的最長(zhǎng)邊；（2）.算：計(jì)算其他兩邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方；（3）.判：若兩者相等，則這個(gè)三角形是直角三角形。3.拓展當(dāng)兩短邊平方和大于最長(zhǎng)邊的平方時(shí)，該三角形為銳角三角形；當(dāng)當(dāng)兩短邊平方和小于最長(zhǎng)邊的平方時(shí)，該三角形為鈍角三角形【知識(shí)點(diǎn)2】勾股數(shù)勾股數(shù)滿足的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，勾股數(shù)有多數(shù)組構(gòu)成勾股數(shù)必須同時(shí)滿足兩個(gè)條件：三個(gè)數(shù)都是正整數(shù)；兩個(gè)較小的平方和等于最大數(shù)的平方.判別一組數(shù)是否為勾股步驟：（1）.看：看是不是三個(gè)正整數(shù)；（2）.找：找最大數(shù)；（3）.算：計(jì)算最大數(shù)的平方和兩個(gè)較小數(shù)的平方和；（4）.若兩者相等，則這個(gè)數(shù)是一組勾股數(shù)；否則，不是一組勾股數(shù)。【考點(diǎn)一】利用直角三角形的判定進(jìn)行判斷【例1】已知，，為的三邊長(zhǎng)，并且滿足條件，試判斷的形狀．【答案】等腰三角形或直角三角形等腰直角三角形.【分析】對(duì)已知等式運(yùn)用因式分解變形，得到，即a-b=0或a2+b2=c2，通過分析判斷即可解決問題．解：，，，，則a-b=0或a2+b2=c2，當(dāng)a-b=0時(shí)，△ABC為等腰三角形；當(dāng)a2+b2=c2時(shí)，△ABC為直角三角形．當(dāng)a-b=0且a2+b2=c2時(shí)，△ABC為等腰直角三角形．綜上所述，△ABC為等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形．【點(diǎn)撥】本題主要考查了因式分解在幾何中的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是：靈活變形、準(zhǔn)確分解、正確判斷．【舉一反三】【變式1】以下列各組數(shù)的長(zhǎng)為邊作三角形，不能構(gòu)成直角三角形的是（

）A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．9，12，15【答案】B【分析】先求出兩小邊的平方和，再求出最長(zhǎng)邊的平方，最后看看是否相等即可．解：A、32+42=52，故是直角三角形，不符合題意；B、42+52≠62，故不是直角三角形，符合題意；C、62+82=102，故是直角三角形，不符合題意；D、92+122=152，故是直角三角形，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)撥】此題主要考查了勾股定理逆定理，關(guān)鍵是掌握如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．【變式2】如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中（每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1），點(diǎn)A，B，C在格點(diǎn)上，連接AB，AC，BC，則△ABC的形狀是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．無法確定【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理求出AB、BC、AC，再根據(jù)勾股定理的逆定理計(jì)算可得出結(jié)論．解：由題意得：，，，∵，∴，∴∠BAC＝90°，∴為直角三角形．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查的了勾股定理和勾股定理的逆定理．掌握勾股定理和逆定理是解決問題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二】利用勾股定理的定義識(shí)別勾股數(shù)【例2】《九章算術(shù)》提供了許多整勾股數(shù)，如（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）等，并把一組勾股數(shù)中最大的數(shù)稱為“弦數(shù)”．后人在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究，得到如下規(guī)律：若m是大于1的奇數(shù)，把它平方后拆成相鄰的兩個(gè)整數(shù)，那么m與這兩個(gè)整數(shù)構(gòu)成組勾股數(shù)；若m是大于2的偶數(shù)，把它除以2后再平方，然后把這個(gè)平方數(shù)分別減1，加1得到兩個(gè)整數(shù)，那么m與這兩個(gè)整數(shù)構(gòu)成組勾股數(shù)．由上述方法得到的勾股數(shù)稱為“由m生成的勾股數(shù)”．根據(jù)以上規(guī)律，“由8生成的勾股數(shù)”的“弦數(shù)”為（）A．16 B．17 C．25 D．64【答案】B【分析】直接根據(jù)題意分別得出由8生成的勾股數(shù)”的“弦數(shù)”進(jìn)而得出答案．解：∵由8生成的勾股數(shù)”的“弦數(shù)”記為A，∴（）2＝16，16﹣1＝15，16+1＝17，故A＝17，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查勾股數(shù)問題．能理解題中的計(jì)算方式，并能依此計(jì)算是解決此題的關(guān)鍵．需注意在計(jì)算“由m生成的勾股數(shù)”時(shí)，m分奇偶計(jì)算方式不同．【舉一反三】【變式1】下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是(

)A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】A【分析】欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時(shí)還需驗(yàn)證兩小邊的平方和是否等于最長(zhǎng)邊的平方．解：A、，是勾股數(shù)，符合題意；B、不是正整數(shù)，故不是勾股數(shù)，不符合題意；C、，故不是勾股數(shù)，不符合題意；D、不是正整數(shù)，故不是勾股數(shù)，不符合題；故選：A．【點(diǎn)撥】此題主要考查了勾股數(shù)的定義，及勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是掌握勾股數(shù)：滿足的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．【變式2】在學(xué)習(xí)“勾股數(shù)”的知識(shí)時(shí)，小明發(fā)現(xiàn)了一組有規(guī)律的勾股數(shù)，并將它們記錄在如下的表格中．則當(dāng)時(shí)，的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根據(jù)表中的數(shù)據(jù)得出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律求出、的值，再求出答案即可．解：從表中可知：依次為，，，，，，，，，，，即，依次為，，，，，，即當(dāng)時(shí)，，依次為，，，，，，即當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股數(shù)，能根據(jù)表中數(shù)據(jù)得出，是解此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)三】勾股定理及其逆定理進(jìn)行求角的度數(shù)和線段長(zhǎng)度【例3】如圖，在四邊形中，，，，且，求的度數(shù).【答案】.【分析】首先根據(jù)勾股定理求出，然后由勾股定理逆定理可判定為直角三角形，問題得解.解：如圖，連接，在中，.因?yàn)?，所以，在中，，所以為直角三角形，，所?【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理及其逆定理，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解題關(guān)鍵.【舉一反三】【變式1】如圖，已知等腰△ABC的底邊BC=10cm，D是腰AC上一點(diǎn)，且CD=6cm，BD=8cm．判斷△BCD的形狀，并說明理由；求△ABC的周長(zhǎng)．【答案】(1)△BDC為直角三角形，理由見分析；(2)△ABC的周長(zhǎng)為=cm．【分析】（1）由BC=10cm，CD=8cm，BD=6cm，知道BC2=BD2+CD2，所以△BDC為直角三角形；（2）由此可求出AC的長(zhǎng)，周長(zhǎng)即可求出．（1）解：△BDC為直角三角形，理由如下，∵BC=10cm，CD=8cm，BD=6cm，而102=62+82，∴BC2=BD2+CD2．∴△BDC為直角三角形；（2）解：設(shè)AB=xcm，∵等腰△ABC，∴AB=AC=x，則AD=x-6，∵AB2=AD2+BD2，即x2=（x-6）2+82，∴x=，∴△ABC的周長(zhǎng)=2AB+BC=（cm）．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及逆定理的應(yīng)用解答．【變式2】已知，如圖，，C為上一點(diǎn)，與相交于點(diǎn)F，連接．，．（1）求證：；（2）已知，，，求的長(zhǎng)度．【答案】（1）證明見分析；（2）【分析】（1）先證明再結(jié)合證明從而可得結(jié)論；（2）先證明再證明從而利用等面積法可得的長(zhǎng)度.解：（1），而（2），，，【點(diǎn)撥】本題考查的是三角形的外角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，證明是解本題的關(guān)鍵.【考點(diǎn)四】勾股定理及其逆定理解決面積問題（弦圖問題）【例4】閱讀理解：我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，它被記載于我國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中，漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖1所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”（邊長(zhǎng)為c的大正方形中放四個(gè)全等的直角三角形，兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c）．請(qǐng)根據(jù)“趙爽弦圖”寫出勾股定理的推理過程；探索研究：小亮將“弦圖”中的2個(gè)三角形進(jìn)行了運(yùn)動(dòng)變換，得到圖2，請(qǐng)利用圖2證明勾股定理；問題解決：如圖2，若，，此時(shí)空白部分的面積為__________；如圖3，將這四個(gè)直角三角形緊密地拼接，形成風(fēng)車狀，已知外圍輪廓（實(shí)線）的周長(zhǎng)為24，，求該風(fēng)車狀圖案的面積．【答案】(1)見詳解；(2)見詳解；(3)52；(4)24．【分析】（1）運(yùn)用等面積法計(jì)算即可；（2）連接大正方形一條對(duì)角線，運(yùn)用等面積法化簡(jiǎn)計(jì)算即可；（3）先用勾股定理計(jì)算出c，再利用計(jì)算面積即可；（4）將風(fēng)車周長(zhǎng)表示出來，其中a=OC=3，得到b、c的等量關(guān)系，再結(jié)合勾股定理求解出b，最后計(jì)算面積即可．解：（1）證明：由圖可知，每個(gè)直角三角形的面積為，空白小正方形的面積為，整個(gè)圍成的大正方形的面積為，∵，即，故；（2）如下圖所示，連接大正方形一條對(duì)角線DE可知，其中，，，，代入可得，，即；（3）由圖2可知，，∵，，∴由勾股數(shù)可知：c=8，則=100，∴，故空白部分的面積為52；（4）由題意可知，風(fēng)車的周長(zhǎng)為，其中OC=a=3，代入上式可得c+b=9，則c=9-b，且，即，將c=9-b代入得，，解得b=4，則．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的證明與運(yùn)用，靈活掌握等面積法在證明勾股定理中的作用是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】問題情境：把四個(gè)直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c的直角三角形拼成如圖的兩個(gè)正方形和，設(shè)每個(gè)直角三角形的面積為，小正方形的面積為，大正方形的面積為S．嘗試解決：請(qǐng)你寫出、，S之間存在的關(guān)系；根據(jù)三角形和正方形的面積公式，試用含a，b，c的關(guān)系式表示、和S；合作探究：綜合（1），（2）可得一個(gè)等式，對(duì)這個(gè)等式進(jìn)行化簡(jiǎn)可以證明勾股定理，請(qǐng)你寫出這個(gè)等式，并寫出化簡(jiǎn)過程；若，，你能求出的值嗎？試試看．【答案】(1)；(2)，，；(3)，化簡(jiǎn)過程見分析；(4)的值為6【分析】（1）根據(jù)大正方形的面積等于4個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和，可得得S、、的關(guān)系；（2）根據(jù)，，求解即可；（3）根據(jù)（1）（2）得，化簡(jiǎn)即得答案；（4）把，代入求解即可．解：（1）∵大正方形的面積等于4個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和，∴；（2），，；（3）由（1）（2）的關(guān)系式可得：，∴；（4）把，代入得，∴，∵，∴∴．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的證明，運(yùn)用整體思想、方程思想是解題的關(guān)鍵．【變式2】綠都農(nóng)場(chǎng)有一塊菜地如圖所示，現(xiàn)測(cè)得AB＝12m，BC＝13m，CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°，求這塊菜地的面積．【答案】24m2【分析】連接AC，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再利用勾股定理的逆定理證明△CAB為直角三角形，然后根據(jù)菜地的面積=S△CAB-S△ADC進(jìn)行計(jì)算即可解答．解：如圖，連接AC，∵CD＝4m，AD＝3m，∠D＝90°，∴AC＝＝＝5m．∴SRt△ADC＝＝6m2．在△CAB中，AC＝5m，AB＝12m，BC＝13m，∴，∴△CAB為直角三角形，且∠CAB＝90°，∴SRt△CAB＝＝30m2，∴菜地的面積＝S△CAB－S△ADC＝24m2．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)五】勾股定理的證明【例5】將兩個(gè)全等的直角三角形按如圖所示的方式放置，三角形的長(zhǎng)直角邊記為a，短直角邊記為b，斜邊記為c．(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)連接，試通過各部分圖形面積之間的數(shù)量關(guān)系驗(yàn)證勾股定理．【答案】(1)，理由見分析；(2)見分析．【分析】（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，求出，可得，問題得證；（2）連接，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，，，然后根據(jù)梯形面積的不同表示方法得出等式，整理后即可驗(yàn)證勾股定理．（1）解：；理由：∵，∴，∴，∴，即；（2）解：連接，，∵，∴，，，∴，又∵，∴，整理得：．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，整式的混合運(yùn)算，勾股定理等知識(shí)，掌握全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【舉一反三】【變式1】我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅如圖所示的用4個(gè)全等的直角三角形拼成的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”．在中，，若，請(qǐng)你利用這個(gè)圖形說明．【分析】根據(jù)題意，可在圖中找出等量關(guān)系，由大正方形的面積等于中間的小正方形的面積加上四個(gè)直角三角形的面積，列出等式化簡(jiǎn)即可得出勾股定理的表達(dá)式．解：∵大正方形面積為，直角三角形面積為，小正方形面積為，∴，即．【點(diǎn)撥】本題考查了對(duì)勾股定理的證明，解決問題的關(guān)鍵是在圖中找出等量關(guān)系．【變式2】如圖，已知C、B、D在同一條直線上，且．求證：；若設(shè)，試?yán)眠@個(gè)圖形驗(yàn)證勾股定理．【