函數的奇偶性教學設計 公開課教學設計

第三節(jié)函數的基本性質第三課時函數的奇偶性（李波）一、教學目標（一）核心素養(yǎng)函數的奇偶性從圖形觀察開始,發(fā)現圖象典型特征,猜想出相關結論,通過數據驗證,給出證明全過程,最后生成概念.這一過程包含了發(fā)現、猜想、證明的數學思維方式,也培育了學生數學抽象、直觀想象、邏輯推理、數據分析等數學核心素養(yǎng).（二）學習目標1.了解奇函數、偶函數的定義2.運用奇偶性的定義判斷一些簡單函數的奇偶性3.結合函數單調性,解決函數的綜合問題（三）學習重點1.理解奇函數、偶函數的概念2.判斷函數的奇偶性（四）學習難點函數奇偶性的應用二、教學設計（一）課前設計1.預習任務（1）偶函數:一般地,如果對于函數的定義域內____一個,都有_______,那么函數就叫做偶函數.（2）奇函數:一般地,如果對于函數的定義域內____一個,都有_______,那么函數就叫做奇函數.詳解:（1）任意,;（2）任意,2．預習自測（1）作函數的圖象,初步判斷函數為奇函數還是偶函數.詳解:由圖象初步判斷為偶函數,為奇函數(二)課堂設計1.知識回顧（1）函數的定義（2）函數的單調性2.問題探究探究一偶函數、奇函數的概念生成●活動①觀察函數,圖象,探求對稱關系本質師:同學初中數學學習過圖形的對稱關系,請說出上圖的對稱關系生:,函數圖象關于軸對稱.師:如何驗證,圖象的對稱關系？生:可以把圖象畫在一張白紙上,沿著軸對折,軸兩邊的圖象重合.師:作圖會有誤差的情況出現,有更嚴謹的驗證方法嗎？（提示點的坐標）生:可以在圖象上取若干個點來驗證.師:圖象是由點構成的,研究圖象對稱關系,其實質是研究點的坐標對應關系.因此,我們在圖象上取點驗證,就涉及到以下幾個問題:第一,如何取點？不妨先取部分特殊點（整數點方便計算）:我們由函數解析式,取為整數時,計算相應的值,對應整數點在圖象中的位置進行觀察.::如下表:可以發(fā)現:為坐標的整數點位于函數圖象上,且這些整數點在圖象上的位置是關于軸對稱.第二,如何驗證？這些整數點關于軸對稱,從“形”上觀察:對折后“重合”,即點與點對折后合為一個點.因此在坐標系中這些點不是孤立的,是成對出現的,而且它們的相對位置“遠近高低”相同一致.“遠近”相同,是指點與軸的距離,即橫坐標的絕對值相等.“高低”一致,高度相等,是指點與軸的距離,即縱坐標的絕對值相等.從“數”上分析:由表中數據,“遠近”相同時,相應整數點橫坐標是互為相反數;“高低”一致時,相應整數點縱坐標是相等的.第三,嚴謹性.剛才我們對部分整數點進行了驗證,由特殊到一般的思想,我們可以驗證:在圖象上任取一點時,圖象上有一個點與之對應,當兩點的坐標滿足且時,它們對折之后才能重合.由的任意性,確定了相對應點的任意性,只有這樣我們才能說整個函數圖象關于軸對稱.當兩點投影到軸時,的取值范圍就是函數的定義域,其相互制約關系,也說明了定義域也有對稱關系,即定義域關于原點對稱.師:由以上探究發(fā)現,函數圖象對稱關系的本質,是由點的坐標數量關系決定的.若我們在圖象上任意取兩個點,若它們的坐標滿足且（兩點任意、橫相反、縱相等）,就可以說該圖象關于軸對稱,我們稱這類函數為偶函數.【設計意圖】圖象的對稱實質的研究,讓學生更深層次體會函數圖象與數量關系的本質聯系,進一步加深了函數對應關系這一核心思想的理解.●活動②偶函數概念的生成師:按照函數圖象對稱關系的本質,是由點的坐標數量關系決定的思想,及“兩點任意、橫相反、縱相等”的原則,能否定義偶函數.生:圖象關于軸對稱的函數為偶函數.師:函數以定義域優(yōu)先的原則,從數量關系上定義更嚴謹,參考函數單調性的定義.生:一般地,函數,定義域內任取,滿足且時,稱為偶函數.師:這位同學抓住了“兩點任意、橫相反、縱相等”的原則,我們在此基礎上進行提煉,“任取滿足”可以變形為.可把這個關系簡化為“與”,因此我們如下定義偶函數:一般地,函數定義域,（）都有時,那么稱為偶函數.師:若為偶函數,圖象滿足哪些性質呢？對應到函數的定義域呢？生:圖象關于軸對稱.函數的定義域關于對稱.師:這樣說可以嗎？（1）偶函數圖象關于軸對稱.（2）圖象關于軸對稱的函數是偶函數.（3）偶函數的定義域關于對稱.（4）定義域關于對稱的函數是偶函數.生:（1）由定義是正確的;（2）是定義推導的起源是正確的;（3）由圖象在軸投影的對應關系,或由定義“兩點任意、橫相反”知,是正確的;（4）函數,定義域關于原點對稱,圖象不關于軸對稱,不正確.【設計意圖】圖象的對稱關系的實質探究,讓學生從“形”定性的認識,到“數”的定量分析;研究圖象,就研究其構成元素所有點的坐標關系,由特殊點再到任意點,由函數對應關系的本質,深入到定義域,值域層面研究.整個探究過程由外到內、由形到數、由整體到局部、由特殊到一般的思想,體現了數學概念生成過程趣味橫生.●活動=3\*GB3③奇函數的概念生成師:由（4）知,并不是所有的函數都是偶函數,偶函數只是眾多函數中較典型的一類.請同學們觀察函數,圖象,完成下面兩個函數值對應表.師:請觀察,圖象,及函數值對應表特征,上圖有何對稱關系？如何驗證？生:,圖象關于原點成中心對稱關系,函數圖象整體圍繞著旋轉與原圖象重合.師:由上面的推導,函數圖象對稱關系的本質,是由點的坐標數量關系決定的.同學們能總結關于圖象關于原點對稱的本質關系嗎？生:在圖象上任取一點時,圖象上有一個點與之對應,當兩點的坐標滿足且時,它們對折之后才能重合.由點的任意性,確定了相對應點的任意性,只有這樣我們才能說整個函數圖象關于原點對稱.當兩點投影到軸時,的取值范圍就是函數的定義域,其相互制約關系,也說明了定義域也有對稱關系,即定義域關于原點對稱,也說明了值域也有對稱關系,即值域關于原點對稱.師:我們在圖象上任意取兩個點,若它們的坐標滿足且（兩點任意、橫相反、縱相反）,就可以說該圖象關于原點對稱,我們稱這類函數為奇函數.師:由偶函數定義,及“兩點任意、橫相反、縱相反”的原則,能否定義奇函數.生:一般地,函數定義域,（）都有時,那么稱為奇函數.師:若為奇函數,圖象滿足哪些性質呢？對應到函數的定義域呢？生:圖象關于原點對稱.函數的定義域關于原點對稱.師:這樣說可以嗎？（1）奇函數圖象關于原點對稱（2）圖象關于原點對稱的函數是奇函數（3）奇函數的定義域關于原點對稱（4）定義域關于原點對稱的函數是奇函數生:（1）由定義是正確的;（2）是定義推導的起源是正確的;（3）由圖象在軸投影的對應關系,或由定義“兩點任意、橫相反”知,是正確的;（4）也可能是偶函數,不正確.師:我們對偶函數、奇函數的定義作了介紹,我們稱函數的這類性質為奇偶性.奇偶性是一部分函數的性質,因此我們在判斷函數是否奇偶性？第一,圖象法.可以從圖象特征觀察:若圖像關于軸對稱,我們稱之為偶函數,否則該函數不是偶函數;若圖像關于原點對稱,我們稱之為奇函數,否則該函數不是偶函數;因此,從奇偶性的角度可以將函數分類:奇函數、偶函數、既是奇函數又是偶函數、既不是奇函數又不是偶函數（簡稱非奇非偶函數）.第二,定義法.也可以從數量特征觀察:首先判定函數定義域是否關于原點對稱,若不對稱,則該函數為非奇非偶函數;若對稱,再判斷與關系:如果,則該函數為偶函數.如果,則該函數為奇函數.【設計意圖】偶函數的概念生成,為奇函數的概念引入奠定了基礎,有共同的思維方式,也有不同的內在體現,讓學生對函數奇偶性的概念生成過程,及本質內涵有更深的理解.探究二:函數奇偶性的判斷.●活動①定義法判斷函數奇偶性.例1判斷下列函數的奇偶性,并說明理由.（1）（2）【知識點】函數奇偶性【數學思想】【解題過程】解：（1）函數的定義域不關于原點對稱.為非奇非偶函數（2）函數的定義域關于原點對稱.為偶函數【思路點撥】由定義法判斷【答案】（1）非奇非偶函數；（2）偶函數同類訓練:判斷下列函數的奇偶性,并說明理由.（1）（2）【知識點】函數奇偶性【數學思想】【解題過程】解：（1）函數的定義域不關于原點對稱為非奇非偶函數（2）函數的定義域關于原點對稱為偶函數【思路點撥】定義法靈活運用【答案】（1）非奇非偶函數；（2）偶函數【設計意圖】讓學生明確定義法判斷函數奇偶性的步驟.●活動=2\*GB3②定義法、圖象法判斷函數奇偶性.例2:判斷函數的奇偶性【知識點】分段函數奇偶性【數學思想】化歸思想、數形結合思想【解題過程】解：的定義域關于原點對稱.當時,當時,綜上所述,,奇函數.【思路點撥】定義法、用圖象法【答案】奇函數同類訓練判斷函數的奇偶性【知識點】函數奇偶性【數學思想】化歸思想、數形結合思想【解題過程】解：當時,當時,綜上所述,,奇函數【思路點撥】對于較熟悉的函數,可以作函數圖象法判斷單調性.【答案】奇函數【設計意圖】定義法、圖象法靈活運用,判斷函數奇偶性.●活動=3\*GB3③利用性質法判斷函數奇偶性.例3判斷函數奇偶性.【知識點】性質法:對于兩個函數在定義域關于原點對稱的情形下,函數的奇偶性質,偶函數的和、差、積、商（分母不為零）仍為偶函數;奇函數的和、差仍為奇函數;奇（偶）數個奇函數的積、商（分母不為零）仍為奇（偶）函數;一個奇函數與偶函數的積為奇函數,這樣的方法稱為性質法.【數學思想】化歸思想【解題過程】解：函數的定義域關于原點對稱.記:,函數的定義域關于原點對稱.,為偶函數;,函數的定義域關于原點對稱.,為偶函數.性質法:為偶函數.【思路點撥】函數的定義域必須滿足定義域關于原點對稱,且定義域的交集為的定義域也必須關于原點對稱,判斷各分函數的奇偶性,再判斷復合后的奇偶性.【答案】偶函數同類訓練判斷奇偶性.【知識點】奇偶性判斷【數學思想】化歸思想【解題過程】函數的定義域關于原點對稱為奇函數.【思路點撥】可由性質法證明【答案】奇函數【設計意圖】在部分題目特別是選擇題、填空題判斷奇偶性時,性質法方便快捷,但此部分涉及到復合函數定義域的問題,對學生能力要求較高.探究三:函數綜合問題●活動①奇偶函數圖象問題例4如圖所示為偶函數的局部圖象,試比較與的大?。局R點】函數奇偶性【數學思想】數形結合思想【解題過程】解：作在的圖象關于軸對稱的圖象．由圖象知【思路點撥】利用奇偶性，找出另一區(qū)間的圖象【答案】同類訓練如圖所示為奇函數的局部圖象,試比較與的大小．【知識點】函數奇偶性【數學思想】數形結合思想【解題過程】解：法一:由圖象知,又是奇函數.,法二:因為是奇函數,故由對稱性可作出時的圖象,由圖象知．【思路點撥】利用奇偶性，找出另一區(qū)間的圖象【答案】【設計意圖】由于奇函數、偶函數圖象的對稱性,因而如果知道一個函數是奇函數或偶函數,只要把它的定義域分成關于原點對稱的兩部分,得出函數在一部分上的性質和圖象,就可推出這個函數在另一部分上的性質和圖象．●活動=2\*GB3②函數奇偶性的應用例5若是定義在上的奇函數,當時,,求函數的解析式．【知識點】利用奇偶性求解析式【數學思想】轉化與化歸思想【解題過程】解：法一:是定義在上的奇函數,,.當時,,．∴函數的解析式為.法二:是定義在上的奇函數,,.令,若,則,且.,,即．,時,．∴函數的解析式為.【思路點撥】在未知范圍內取值，利用轉化到已知范圍內的函數解析式求解；也可以用圖象對稱關系，待定系數法求解析式?！敬鸢浮客愑柧毴羰嵌x在上的偶函數,且.當時,,求函數的解析式.【知識點】利用奇偶性求解析式【數學思想】轉化與化歸思想【解題過程】解：時,,．∴函數的解析式為【思路點撥】在未知范圍內取值，利用轉化到已知范圍內的函數解析式求解；也可以用圖象對稱關系，待定系數法求解析式?！敬鸢浮俊驹O計意圖】此類問題的一般做法是:①“求誰設誰”,即在哪個區(qū)間求解析式,就設在哪個區(qū)間內．②要利用已知區(qū)間的解析式進行代入．③利用的奇偶性寫出或,從而解出．●活動=3\*GB3③函數奇偶性與單調性的綜合的應用.例6設定義在上的奇函數在區(qū)間上單調遞減,若,求實數的取值范圍．【知識點】奇偶性在抽象函數中的應用【數學思想】轉化與化歸思想【解題過程】解：在上的奇函數,且在上單調遞減【思路點撥】列不等式組解得范圍【答案】同類訓練設定義在上的偶函數,當時,單調遞減,若成立,求的取值范圍．【知識點】奇偶性在抽象函數中的應用【數學思想】轉化與化歸思想【解題過程】解：在上為偶函數,在單減,,解得【思路點撥】利用偶函數的性質求解【答案】例7設是定義在上的增函數,且對任意都有（1）求,并證明在上是奇函數.（2）若,解關于的不等式.【知識點】奇偶性在抽象函數中的應用【數學思想】轉化與化歸思想【解題過程】（1）解：令,得令,對任意的實數有在上是奇函數.（2）令在上是增函數,【思路點撥】【答案】（1）0；（2）同類訓練已知函數對一切,都有.（1）判斷函數的奇偶性;（2）若,用表示.【知識點】奇偶性在抽象函數中的應用【數學思想】轉化與化歸思想【解題過程】解：（1）定義域關于原點對稱.令,,得令,,即,為奇函數（2）,,為奇函數.【思路點撥】抽象函數單調性的判斷方法:利用函數奇偶性的定義,找準方向（盡量構造與）,巧妙賦值,合理靈活地變形配湊,找到與關系,得出結論.【答案】（1）奇函數；（2）【設計意圖】函數單調性的實質是自變量的變化與函數變化的內在統一性,解答這類題的思路是:先由函數的奇偶性將不等式兩邊都變成只含“”的式子,然后根據函數的單調性列出不等式(組)求解．3.課堂總結知識梳理（1）探究奇函數、偶函數的概念生成（2）判斷函數奇偶性（3）函數的綜合應用重難點歸納（1）理解奇函數、偶函數的定義（2）判斷函數奇偶性（三）課后作業(yè)基礎型自主突破1.若函數,則函數在其定義域內是（）A.單調遞增的偶函數B.單調遞增的奇函數C.單調遞減的偶函數D.單調遞減的奇函數【知識點】函數奇偶性【數學思想】數形結合思想【解題過程】解:在單減，奇函數【思路點撥】利用圖象翻折變換【答案】D2.已知函數是定義在上的偶函數,且,則下列各式一定成立的是（）A.B.C.D.【知識點】偶函數性質【數學思想】數形結合思想【解題過程】解：是定義在上的偶函數∴f3【思路點撥】奇偶性與單調性相結合【答案】C3.若是偶函數,則的單調增區(qū)間是_______.【知識點】函數奇偶性、單調性【數學思想】分類討論思想【解題過程】解：當時，，非奇非偶函數函數當時，為二次函數，且為偶函數，單調增區(qū)間【思路點撥】，對二次項系數分類討論，結合一次函數、二次函數圖象性質求單調區(qū)間【答案】4.下列函數中是奇函數,且在內單調遞增的函數是（）A.B.C.D.【知識點】函數的奇偶性【數學思想】化歸思想【解題過程】解：奇函數，在非奇非偶函數；偶函數【思路點撥】常見函數類型，其奇偶性、單調性要靈活掌握【答案】D5.函數均為奇函數,定義域都為（）,則為（）A.奇函數B.偶函數C.非奇非偶函數D.無法判斷奇偶性【知識點】抽象函數的定義域【數學思想】化歸思想【解題過程】解：均為奇函數,定義域都為滿足，關于原點對稱的定義域為關于原點對稱奇函數【思路點撥】復合函數奇偶性，定義域優(yōu)先的原則，再對比關系【答案】A6.已知函數在內是減函數,函數是偶函數,則（）A.B.C.D.【知識點】函數奇偶性、圖象對稱性【數學思想】化歸思想【解題過程】解：是偶函數，則關于對稱在，離越近函數值越大【思路點撥】利用圖象平移，結合奇偶性解題【答案】C能力型師生共研7.已知函數是定義在上的不恒為零的偶函數,且對任意實數都有,則的值為_______【知識點】函數奇偶性【數學思想】等價變換思想【解題過程】解：令：；令：；令：【思路點撥】利用函數奇偶性，代特殊值計算【答案】08.已知f（x）是奇函數，當x＞0時，f（x）=x|x-2|．（1）求f（-3）；（2）求當x＜0時，f（x）的解析式．【知識點】函數奇偶性的性質；函數解析式的求解及常用方法【數學思想】等價轉化思想【解題過程】解：（1）∵f（x）是奇函數，當x＞0時，f（x）=x|x-2|，∴f（-3）=-f（3）=-3；（2）∵y=f（x）是R上的奇函數，當x＜0時，f（x）=-f（-x）=-（-x）|-x-2|=x|x+2|【思路點撥】【答案】（1）f（-3）=-3；（2）f（x）=x|x+2|探究型多維突破9.定義在上的函數,當時,,且對任意都有（1）求證:;（2）求證:對任意,恒有（3）若,求的取值范圍【知識點】抽象函數綜合問題【數學思想】化歸思想【解題過程】（1）證明：;（2）證明：,則,由（1）及已知,對任意恒有（3）解：任取,且在上是增函數【思路點撥】抽象函數的奇偶性、單調性綜合應用【答案】（3）10.二次函數的圖象頂點為,且圖象在軸上截得的線段長為8.（1）求函數的解析式;（2）令（=1\*ROMANI）求函數在上的最小值;（=2\*ROMANII）若當時,不等式恒成立,試求實數的取值范圍.【知識點】二次函數綜合問題【數學思想】分類討論思想【解題過程】解：（1）設與軸交點坐標為,由根與系數的關系:,解得（2）（=1\*ROMANI）當a≤0時,;當a≥2時,（=2\*ROMANII）=1\*GB3①當時,恒成立,只需要,即,=2\*GB3②當時,恒成立,只需要,即,=3\*GB3③當時,恒成立,只需要即,即矛盾由=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③:【思路點撥】結合二次函數圖象單調區(qū)間求解【答案】（1）