數(shù)學(xué)建模,姜啟源第八章 離散模型

第八章離散模製8?1層次分析模型8.2循環(huán)比賽的名次8.3社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的沖量過(guò)程8.4效益的合理分配離散模型?離散模型：差分方程（第7章）、整數(shù)規(guī)劃（第4章）、圖論、對(duì)策論、網(wǎng)絡(luò)流、__?分析社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的有力工具?只用到代數(shù)、集合及圖論（少許）的知識(shí)8.1層次分析模型?日常工作、生活中的決策問題景?涉及經(jīng)濟(jì)、社會(huì)等方面的因素?作比較判斷時(shí)人的主觀選擇起相當(dāng)大的作用，各因素的重要性難以量化?Saaty于1970年代提出層次分析法AHP(AnalyticHierarchyProcess)?AHP——f種定性與定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化的分析方法④??數(shù)學(xué)模型戸i一.層次分析法的基本步驟例.選擇旅游地如何在3個(gè)目的地中按照景色、費(fèi)用、居住條件等因素選擇.方案層P;每層有若干元素，各層元素間的關(guān)系用相連的直線表示。?通過(guò)相互比較確定各準(zhǔn)則對(duì)目標(biāo)的權(quán)重，及各方案對(duì)每一準(zhǔn)則的權(quán)重。?將上述兩組權(quán)重進(jìn)行綜合，確定各方案對(duì)目標(biāo)的權(quán)重。層次分析法將定性分析與定量分析結(jié)合起來(lái)完成以上步驟，給出決策問題的定量結(jié)果。④??乂nA?成對(duì)比較陣要由4確定Cp...，的權(quán)向量?(t)?au層次分析法的基本步驟元素之間兩兩對(duì)比，對(duì)比采用相對(duì)尺度設(shè)要比較各準(zhǔn)則cpc2,...,cn對(duì)目標(biāo)O的重要性A=(aij)nxn,aij>0.a.-_121/214353_5A二1/41/711/21/31/31/5211_1/31/5311A是正互反陣選擇旅游地成對(duì)比較陣和權(quán)向量A=成對(duì)比較的不一致情況不一致1/211247al2=l/2(Q:C2)

一致比較a23=8(C2:C3)允許不一致，但要確定不一致的允許范圍考察完全致的情況㈧丨㈨1WnW(=l)=>wl9w2，?-wnw2w2W2令%A

=㈧丨W2ww=(wl,w2,--wfi)T

?權(quán)向量w■??-vv2成對(duì)比較陣和權(quán)向量成對(duì)比較完全一致的情況滿足ai，ajk=aik，i，j，k=H"，n的正互反陣A稱一致陣，如州!w22w2vv2W■w2冰,，州nw2?A的秩為1，A的唯一非零特征根為m?A的任一列向量是對(duì)應(yīng)于W的特征向量?A的歸_化特征向量可作為權(quán)向量對(duì)于不一致（但在允許范圍內(nèi)）的成對(duì)比較陣尤建議用對(duì)應(yīng)于最大特征根AAw=Aw的特征向量作為權(quán)向量w，即一致陣性質(zhì)④??Saaty等人提出1~9尺度一atj取值比較尺度^1，2，...，9及其互反數(shù)1，1/2,...，1/9?便于定性到定量的轉(zhuǎn)化：尺度a.123456789q:c,的重要性'J相同稍強(qiáng)強(qiáng)明顯強(qiáng)絕對(duì)強(qiáng)a,y=l，l/2，，...l/9-Cl.CJ的重要性與上面相反?心理學(xué)家認(rèn)為成對(duì)比較的因素不宜超過(guò)9個(gè)?用1<3，1?5，."1?17”..，1_(p=2,3,4,5)，d+0.1-d+0.9似=1，2,3,4)等27種比較尺度對(duì)若干實(shí)例構(gòu)造成對(duì)比較陣，算出權(quán)向量，與實(shí)際對(duì)比發(fā)現(xiàn)，1?9尺度較優(yōu)。一致性檢驗(yàn)對(duì)A確定不一致的允許范圍已知：/I階一致陣的唯一非零特征根為a可證：階正互反陣最大特征根/131，且/l=w時(shí)為一致陣定義一致性指標(biāo)：ci=1—1C7越大，不一致越嚴(yán)重n-1為衡量C/的大小，引入隨機(jī)一致性指標(biāo)/?/—隨機(jī)模擬得至形成A，計(jì)算CJ即得/?J。Saaty的結(jié)果如下n1234557891011RI000.580.901.121.241.321.411.451?491.51定義致性比率CR=CI/RI當(dāng)CR<0.1時(shí)，通過(guò)一致性檢驗(yàn)“選擇旅游地”中準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的權(quán)向量及一致性檢驗(yàn)最大特征根>^5.073準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)的成對(duì)比較陣12A=1/41/31/31/211/71/51/543375511/21/3211311權(quán)向量(特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T致獅國(guó)隨機(jī)一致性指標(biāo)7?Z=1.12（查表）一致性比率C^=0.018/1.12=0.016<0.1通過(guò)一致性檢驗(yàn)組合權(quán)向量記第2層（準(zhǔn)則）對(duì)第1層（目標(biāo)）的權(quán)向量為W（2）二（＜），?..，1V:2））3"同樣求第3層（方案）對(duì)第2層每一元素（準(zhǔn)則）的權(quán)向量方案層對(duì)C\（景色）方案層對(duì)（：2（費(fèi)用）的成對(duì)比較陣的成對(duì)比較陣_125一—11/31/8_B}=1/2121二311/31/51/21831權(quán)向量⑶

久⑶...M^3）最大特征根又2???Ai4125汐(2)0.2630.4750.0550.0900.1100.5950.0820.4290.6330J660.2770.2360.4290.1930J660.1290.6820.1420.1750.6680.0030.00103.0053.0023cik3.00930.0050w；3)(數(shù)學(xué)模型#組合權(quán)向量第3層對(duì)第2層的計(jì)算結(jié)果l?J=0.58(w=3)，(7人均可通過(guò)一致性檢驗(yàn)方案巧對(duì)目標(biāo)的組合權(quán)重為0.595x0.263+...=0.300方案層對(duì)目標(biāo)的組合權(quán)向量為(0.300,0.246,0.456)T數(shù)學(xué)模<)?，…乂))X2,…，m構(gòu)造矩陣w⑶?'...，<>]則第3層對(duì)第1層的組合權(quán)向量w(3)=w(3)w(2)第s層對(duì)第1層的組合權(quán)向量其中是由第p層對(duì)第!4?)=w(s)W{s^...w(3W2)戸1層權(quán)向量組成的矩陣層次分析法的基本步驟1）建工層次分析結(jié)構(gòu)模型深入分析實(shí)際問題，將有關(guān)因素自上而下分層（目標(biāo)一準(zhǔn)則或指標(biāo)一方案或?qū)ο螅?，上層受下層影響，而層?nèi)各因素基本上相對(duì)獨(dú)立。2）構(gòu)造成對(duì)比較陣用成對(duì)比較法和1~9尺度，構(gòu)造各層對(duì)上一層每一因素的成對(duì)比較陣。3）計(jì)算權(quán)向量并作一致性檢驗(yàn)對(duì)每一成對(duì)比較陣計(jì)算最大特征根和特征向量，作一致性檢驗(yàn)，若通過(guò)，則特征向量為權(quán)向量。4）計(jì)算組合權(quán)向量（作組合一致性檢驗(yàn)組合權(quán)向量可作為決策的定量依椐。二.層次分析法的廣泛應(yīng)用?應(yīng)用領(lǐng)域：經(jīng)濟(jì)計(jì)劃和管理，能源政策和分配，人才選拔和評(píng)價(jià)，生產(chǎn)決策，交通運(yùn)輸，科研選題，產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，教育，醫(yī)療，環(huán)境，軍事等。?處理問題類型：決策、評(píng)價(jià)、分析、預(yù)測(cè)等。?建立層次分析結(jié)構(gòu)模型是關(guān)鍵一步，要有主要決策層參與。?構(gòu)造成對(duì)比較陣是數(shù)量依據(jù)，應(yīng)由經(jīng)驗(yàn)豐富、判斷力強(qiáng)的專家給出。數(shù)學(xué)模例1國(guó)家實(shí)力分析國(guó)民軍事科技社會(huì)對(duì)外收入力量水平穩(wěn)定貿(mào)易國(guó)家綜名實(shí)力rn過(guò)河的放IA社會(huì)效益B2環(huán)境效益「美化C!-進(jìn)出方便ctd、jD3-舒適c9-I自豪感C8-—交往溝通C7IP§D2—安全可靠C.—/「建筑就業(yè)C5—\1）過(guò)河效益層次結(jié)構(gòu)④??經(jīng)芥效益Bx例3橫渡江河、海峽方案的抉擇-當(dāng)?shù)厣虡I(yè)Q—-岸間商業(yè)C3—-收入C2_—節(jié)省時(shí)間C!—橋梁D!過(guò)河代價(jià)層次結(jié)構(gòu)(2)經(jīng)濟(jì)代價(jià)社會(huì)代價(jià)環(huán)境代價(jià)過(guò)河的代價(jià)AQ數(shù)學(xué)模型例3橫渡江河、海峽方案的抉擇橋梁D,隧道d2渡船D2I對(duì)生態(tài)的破壞G——對(duì)水的污染^^1—汽車排放物—居民搬遷QI交通擁擠P5-沖擊生活方式C4—-沖擊渡船業(yè)P3-操作維護(hù)C2-—投入資金c!-（數(shù)學(xué)模型#三.層次分析法的若干問題?正互反陣的最大特征根是否為正數(shù)？特征向量是否為正向量？一致性指標(biāo)能否反映正互反陣接近一致陣的程度？?怎樣簡(jiǎn)化計(jì)算正互反陣的最大特征根和特征向量??為什么用特征向量作為權(quán)向量？?當(dāng)層次結(jié)構(gòu)不完全或成對(duì)比較陣有空缺時(shí)怎樣用層次分析法？一致性指標(biāo)C/二定義合理定理2a階正互反陣A的最大特征根2Mn，

a是A為一致陣的充要條件。正互反陣的最大特征根是正數(shù)，特征向量是正向量。1.正互反陣的最大特征根和特征向量的性質(zhì)定理1正矩陣A的最大特征根2是正單根，對(duì)應(yīng)正特征向量M7，且lim—一=w,e二（1,1，…，1）Tk~^eAeH4-Tzzr,④??2.正互反陣最大特征根和特征向量的簡(jiǎn)化計(jì)算?精確計(jì)算的復(fù)雜和不必要?簡(jiǎn)化計(jì)算的思一致陣的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反陣的列向量都應(yīng)近似特征向量，可取其某種意義下的平均。和法-取列向量的算術(shù)平均—126例A=1/2141/61/41列向量歸一化0.60.6150.30.3080.10.0770.545—算術(shù)0.5870.364平均0.3240.0910.0891.769Aw=0.9740.286“1269+0974+026830.5870.3240.089=3.009Aw=又iv精確結(jié)果:tf=(0.588,0.322,0?090)t，1=3.010簡(jiǎn)根法——取列向量的幾何平均子十算冪法——迭代算法1)任取初始向量W(o)，fc:=O，設(shè)置精度￡?2)計(jì)算w(fc+1)

=3)歸一化wa-+n

=w(k+1)/tw-k+，)i~l4)若maxwf+1)-w”)<￡,停止；i否則，k:=k+l，轉(zhuǎn)21?(A;+l)5)計(jì)算=-tn

'=iw.3.特征向量作為權(quán)向量-成對(duì)比較的多步累積效應(yīng)問題一致陣＞1，權(quán)向量w=(wp^.wn)T9a^w/wjA不一致，應(yīng)選權(quán)向量w^w/wj與a#相差盡量小(對(duì)所有4/)。用擬合方法確定WminWj

G=l,…，")nnzzu\2w.IWJ非線性最小二乘線性化——對(duì)數(shù)最小二乘\2a.

-In—--Jmin玄丈InH't-(/=!,???,?)~1結(jié)果與根法相同多步累積效應(yīng)?按不同準(zhǔn)則確定的權(quán)向量不”同，特征向量有什么優(yōu)點(diǎn)。成對(duì)比較Ci:Cj（直接比較）步強(qiáng)度A2=（a;2））a^=Yaisa.

?（I2步強(qiáng)度J

戸1aisasrC￡通過(guò)Cs與C;的比較更能反映Q#Cj的強(qiáng)度w=（<、）,4°-步強(qiáng)度體現(xiàn)多步累積效應(yīng)Vi,j,U〉K><afC

=1,…"）當(dāng)足夠大，#第f行元素反映Cj的權(quán)重O求?^的行和c定理1lim-——=w特征向量體現(xiàn)多步累積效應(yīng)eAe

一4.不完全層次結(jié)構(gòu)中組合權(quán)向量的計(jì)算完全層次結(jié)構(gòu)：上層每一元素與下層所有元素相關(guān)聯(lián)不完全層次結(jié)構(gòu)設(shè)第2層對(duì)第1層權(quán)向量M7(2)=(>P1(2)^2(2))r

已定第3層對(duì)第2層權(quán)向量汐l(3)=o11(3),13(3\0)汐2(3)=(0,0，似23(3)，狄24(3/已得討論由w(2)，W(3)=(m^(3)，汐2

⑶)計(jì)算第3層對(duì)第1層權(quán)向量作(3)的方法P/2只作教學(xué)，P4只作科研，p3兼作教學(xué)、科研。c1?c2支配元素的數(shù)目不等考察一個(gè)特例：若CPC2重要性相同，＞r(2)=(l/2，l/2)r，力相同，公正的評(píng)價(jià)應(yīng)為：P1:P2:P3:P4=1:1:2:1?不考慮支配元素?cái)?shù)目不等的影響仍用w(3)=W(3)1V(2)計(jì)算0⑷⑶=(l/6，l/6,5/12，l/4)r?支配元素越多權(quán)重越大教學(xué)、科研任務(wù)由上級(jí)安排用支配元素?cái)?shù)目?內(nèi)對(duì)w⑵加權(quán)修正?1=3,^=2,iv(2)

=,n2Hf))Tl(n^}+m2u/2))w(2)=(3/5,2/5)r再用W(3J=W(3)w(2)計(jì)算一)=(l/5，l/5,2/5，l/5)r?支配元素越多權(quán)重越小教學(xué)、科研靠個(gè)人積極性5.殘缺成對(duì)比較陣的處理（數(shù)學(xué)模型#_12e[=>12例A=1/212c=1/21201/21輔助矩陣w3/w]1/216為殘缺元素Cw=AwxcAw=Aw'220—A=1/21201/22㈡A=3,w=(0.5714,0.2857,0.1429)'a{J,i字j，a}j

豐3^ij

=<0,ij,=3+1,i=jm^A第Z行中淤J個(gè)數(shù)6.更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu)?遞階層次結(jié)構(gòu)：層內(nèi)各元素獨(dú)立，無(wú)相互影響和支配；層間自上而下、逐層傳遞，無(wú)反饋和循環(huán)。?更復(fù)雜的層次結(jié)構(gòu)：層內(nèi)各元素間存在相互影響或支配；層間存在反饋或循環(huán)。汽車行歡性能剎車轉(zhuǎn)向加速性能運(yùn)丨行?(t)?制動(dòng)方向盤底盤二發(fā)動(dòng)機(jī)車輪減震裝置I_I_L__I_I1汽車11汽車211汽車/I層次分析法的優(yōu)點(diǎn)?系統(tǒng)性-將對(duì)象視作系統(tǒng)，按照分解、比較、判斷、綜合的思維方式進(jìn)行決策——系統(tǒng)分析（與機(jī)理分析、測(cè)試分析并列）;?實(shí)用性——定性與定量相結(jié)合，能處理傳統(tǒng)的優(yōu)化方法不能解決的問題；?簡(jiǎn)潔性——計(jì)算簡(jiǎn)便，結(jié)果明確，便于決策者直接了解和掌握。層次分析法的局限?囿舊——只能從原方案中選優(yōu)，不能產(chǎn)生新方案；?粗-定性化為定量，結(jié)果粗糙；?主觀-主觀因素作用大，結(jié)果可能難以服人。3->2,4->58.2循環(huán)比賽的名次??支球隊(duì)循環(huán)賽，每場(chǎng)比賽只計(jì)勝負(fù)，沒有平局。?根據(jù)比賽結(jié)果排出各隊(duì)名次方法1:尋找按箭頭方向通過(guò)全部頂點(diǎn)的路徑。312456146325……6支球隊(duì)比賽結(jié)果方法2:計(jì)算得分：1隊(duì)勝4場(chǎng)，2,3隊(duì)各勝3場(chǎng)，4,5隊(duì)各勝2場(chǎng)，6隊(duì)勝1場(chǎng)。2,3隊(duì)，4,5隊(duì)無(wú)法排名排名132456合理嗎■H4循環(huán)比賽的結(jié)果——競(jìng)賽圖每對(duì)頂點(diǎn)間都有邊相連的有向圖33名次｛（1，2,3）｝并列名次{1,2,3,4}3個(gè)頂點(diǎn)的競(jìng)賽圖｛（1，2），（3,4）｝｛1，2,3,4｝?1?具有唯一的完全路徑，如⑴；競(jìng)賽圖的?雙向連通圖——任一對(duì)頂點(diǎn)存在兩條有3種形式向路徑相互連通，如(4);?其他，如(2),(3)□競(jìng)賽圖的性質(zhì)?必存在完全路徑；?若存在唯一的完全路徑，則由它確定的頂點(diǎn)順序與按得分排列的順序一致，如(1)。(數(shù)夢(mèng)模型聲雙向連通競(jìng)賽圖G=(V,E)的名次排序鄰接矩陣A=4000111000110(4)1000得分向量S=Ae,e-

(1，1,…，l)r5U)

=Ae=(2,2，1，1)7~1級(jí)得分向量?2)=⑴=(3,2，1，2/?2級(jí)得分向量aiJ-'1，EE0,vt.tE<IJX=(w",夂)r?3)=(3,3,2,3)7，/4)-(5,5,3,3廣?5)=(8,6,3,5/，5(6)=(9,8,5,8/?7)=(13，13,8,9)\?8)=(21，17,9，13/s(k}

=A廣"=A^ek

400，/)?雙向連通競(jìng)賽圖的名次排序5U)

=A^=Ake?對(duì)于n(>3)個(gè)頂點(diǎn)的雙向連通競(jìng)賽圖，存在正整數(shù)r，使鄰接矩陣A滿足AAO，A稱素陣?素陣A的最大特征根為正單A、根2,對(duì)應(yīng)正特征向量且7Lr排名為{1，2,4,3}{1,2,3,4}?->^s{k\歸一化后)Q用S排名乂=1?4，s

=(0.323,0280,0.167,0.230/1r\—0110_\0011A=0001^31000(4)83社會(huì)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)的沖量過(guò)程例能源利用系統(tǒng)的預(yù)測(cè)能源利用量；—能源價(jià)格；介一能源生產(chǎn)率；v4—環(huán)境質(zhì)量；v5一工業(yè)產(chǎn)值；V6一就業(yè)機(jī)會(huì)；v7—人口總數(shù)。系統(tǒng)的元素一圖的頂點(diǎn)元素間的影響——帶方向的弧影響的正反面——弧旁的+、-號(hào)影響——直接影響符號(hào)——客觀規(guī)律；方針政策帶符號(hào)鋪，1=__接矩陣A［頂點(diǎn)集⑽集c1，若v,v)為a..U=<-1，若V,.v;為—0,<若v,.vE_0-11-1000_-10000000-100100A-0000001100001000000011000000定性模型某時(shí)段^增加導(dǎo)致下時(shí)段v,.增加減少某時(shí)段下時(shí)段增加1單位導(dǎo)致增加~單位-0.7000-2000000100加權(quán)有向圖g2w=0000000.31.200001.50定量模型01.50000：0o；麟_特例^7w-沖量過(guò)程(PulseProcess)V----V-研究由某元素變化引起的系統(tǒng)的演變過(guò)程vXO-在時(shí)段(的值；Pi(t)-V，■在時(shí)段f的改變量(沖量)vi(t+X)=vi(t)+pi(t+\),?=l,2,---,n,Z=0,l,2,---nnp,刎："A⑴，或Pj(t+l)=YjauPi^i=li=]v(0=(柳沖)，…，vJO),p(0=(_，p2(0，..■，凡⑼沖量過(guò)程模型v{t

+1)=v(t)+p(t

+1)p(t

+1)=p(t)W

或p{t

+1)=p(t)A能源利用系統(tǒng)的預(yù)測(cè)v(t

+1)=+1)簡(jiǎn)單沖量過(guò)程——初始沖量〆0)中某個(gè)分量為1，其余為0的沖量過(guò)程p(t+l)=p(t)A設(shè)v(0)=p(0)若開始時(shí)能源利用量有突然增加，預(yù)測(cè)系統(tǒng)的演變能源利用系統(tǒng)的P(0和v(0tPiPip.AAAPlV.v2V3V4V701000000100000010-11-10001-11-10002140010-12-21-110-131-11-10103-32-211-1④??簡(jiǎn)單沖量過(guò)程S的穩(wěn)定性?任意時(shí)段s的各元素的值和沖量是否為有限(穩(wěn)定)?S不穩(wěn)定時(shí)如何改變可以控制的關(guān)系使之變?yōu)榉€(wěn)定p(t+l)=p{t)wv(r+l)=v(0+p(r+l)s沖量穩(wěn)定~對(duì)任意//，Ip#)陏界值穩(wěn)定JZL-S值穩(wěn)定~對(duì)任意i,t,Iv{(t)

I有界沖量穩(wěn)定p{t)=p(0)Wz

4S的穩(wěn)定性取決于W的特征根記W的非零特征根為2④??簡(jiǎn)單沖量過(guò)程S的穩(wěn)定性?S沖量穩(wěn)定^121<1?S沖量穩(wěn)定<^I2I<1且均為單根?S值穩(wěn)定aS沖量穩(wěn)定且M等于1A=對(duì)于能源利用系統(tǒng)的鄰接矩陣A特征多項(xiàng)式0-11-10000000000-1000010000010001000001001000010000/(k)=z?a5-m)/⑴=-2J⑵=764(1,2)能源利用系統(tǒng)存在沖量不穩(wěn)定的簡(jiǎn)單沖量過(guò)程④??簡(jiǎn)單沖量過(guò)程的穩(wěn)定性改進(jìn)的玫瑰形圖帶符號(hào)的有向圖雙向連通，且存在一個(gè)位于所有回路上的中心頂點(diǎn)?；芈烽L(zhǎng)度?構(gòu)成回路的邊數(shù)^7回路符號(hào)?構(gòu)成回路的各有向邊符號(hào)+1或-1之乘積介?長(zhǎng)度為A:的回路符號(hào)和使介不等于0的最大整數(shù)?S*沖量穩(wěn)定ar

=±1，

ak

二-a。.ar_k(k?若S7中量穩(wěn)定，則S"值穩(wěn)定ofak矣1k=]④??簡(jiǎn)單沖量過(guò)程V的穩(wěn)定性0^=0，a2=

(-1)vlv2^("1)v2p1

=1^3-(+I)ylv3v5vl+(_l)vlv4v7vl+(+l)viv3v2vi=l，仏=0,a5=l，r=5?S'沖量穩(wěn)定3ar=

±1，

ak=-ar-ar.k(Z;=l,2,--,r-l)a2*—a5■a3

S*沖量不穩(wěn)定v廣利用量，>?2~價(jià)格(-I)vlv2^(+l)vlv2(由鼓勵(lì)利用變?yōu)橄拗评?^?2=-10A的特征多項(xiàng)式/(/l)=^2(A5+A3-/l2-l)A=0,0，l，±Z，(-l±V^)/2QS"沖量穩(wěn)定?=>D<1且為單根?S*沖量穩(wěn)定<=>121<1且均為單根'+^6?S*沖量穩(wěn)定=>ar

=±1,ak=-ar

-ak(k=H

--r-1)?若Si中量穩(wěn)定，則Si直穩(wěn)定臺(tái)ak其1k二1V32^35^45{a{,a2,a3,a4,a5}=

{0,-1,1,0,1}0S*值不穩(wěn)定!急豊pa3，a5=l=>a3，a5

=_I(+1)v3v5_>V1)v3v5v3—能源生產(chǎn)率v5_工業(yè)產(chǎn)值c)f3v5違反客觀規(guī)律能源利用系統(tǒng)的值不應(yīng)穩(wěn)定?8.4效益的合理分配例甲乙丙三人合作經(jīng)商，若甲乙合作獲利7元，甲丙合作獲利5元，乙丙合作獲利4元，三人合作獲利11元。又知每人單干獲利1元。問三人合作時(shí)如何分配獲利?記甲乙丙三人分配為X=(xpx2,x3)+x2

+X.=11Xj+x2

>7Xj+>5>4x2.>1解不唯一(5,3，3)(4,4,3)(5,4,2)\數(shù)學(xué)模型#(1)Shapley合作對(duì)策④??r⑻?子集s的獲利集合/={1，2,…，《}V子集K/，3實(shí)函數(shù)v⑴滿足v（夕）二0V（51U52）>V（5,）+V（52）,5,U[I,v]-n人合作對(duì)策，v?特征函數(shù)?zi人從HZ）得到的分配，滿足X=E-X,-=V(Z)x.>v(/)，

i=1，2，".Shapley合作對(duì)策公理化方法0Shapley值數(shù)學(xué)模xi~[w(H)[v⑴-V(5\/)]，i=1,2,…nseS((n—5)!(5-1)!n\s?子集S中的元素?cái)?shù)目，包含f的所有子集[v⑴-v(s\

z)]?i對(duì)合作S的“貢獻(xiàn)”(/es)W(|5()~由Is|決定的“貢獻(xiàn)”的權(quán)重④??三人(/={1，2,3})經(jīng)商中甲的分配介的計(jì)算X1=SW(|_)[V⑴

一V(5\l)]SE

5|11U21U37V⑴17511V(5\1)0114V⑴-V(5\1)1647S1223wO)1/31/61/61/3w4y)[vO)-v(s\1)]1/312/37/3?^=13/3類似可得x2=23/6，x3=17/6④??合作對(duì)策的應(yīng)用例1污水處理費(fèi)用的合理分擔(dān)三城鎮(zhèn)地理位置示意圖<——20km-><-38km?污水處理，排入河流?三城鎮(zhèn)可單獨(dú)建處理廠，或聯(lián)合建廠（用管道將污水由上游城鎮(zhèn)送往下游城鎮(zhèn)）0?污水量，￡?管道長(zhǎng)度建廠費(fèi)用P1=73G?-712管道費(fèi)用P2=0.66（30-5lL93KB................I，--I，，---——岑數(shù)學(xué)模型污水處理的5種方案1)單獨(dú)建廠C(l)=73.5°712

=230,C(2)=160,C(3)=230總投資D}

=

C(l)+C(2)+C⑶=6202)1，2合作C(l，2)=73.(5+3)0-712+0.66.5051

?20=350總投資D2=C(l，2)+C(3)=5803)2,3合作C(2,3)=73.(3+5)0712

+0.66.3051.38-365總投資D3=C(l)+C(2,3)=5954)1，3合作C(l，3)=73-(5+5)0712+0.66?5051

-58=463>C⑴+C(3)=460合作不會(huì)實(shí)現(xiàn)^3/VS/<7城3建議：心按5:3:5分擔(dān)，禹為由城1，2擔(dān)負(fù)城2建議：J3由城1，2按5:3分擔(dān)，J2由城1擔(dān)負(fù)城1計(jì)算：城3分擔(dān)^^5/13=174<€(3),城2分擔(dān)^x3/13+rf3x3/8=132<C(2),城1分擔(dān)名x5/13+t/3x5/8+rf2=250>C(l)5)三城合D5

=

C(l，2,3)=73?(5+3+5)0712

+論.50'20作總投資+0.66(5+3)0'51

-38=556ns最小，應(yīng)聯(lián)合建廠/>5如何分擔(dān)?r

建廠費(fèi)：rf1=73x(5+3+5)°-712=453D5

\1巧2管道費(fèi)：d2=0.66x5°51

x20=30t2-?3管道費(fèi)：rf3=0.66x(5+3)0-51x38=73C(l)=230C(2)=160C⑶=230不同意Shapley合作對(duì)策集合/={1，2,3}特征函數(shù)v⑷?聯(lián)合(集0建廠比單獨(dú)建廠節(jié)約的投資v(夕)=0,v(l)=v⑵=v⑶=0v(lu2)=C(l)+C(2)-C(l,2)=230+160-350=40v(2U3)=C(2)+C(3)-C(2,3)=160+230-365=25v(lU3)=0v(7)=C(l)+C(2)+C(3)-C(l，2,3)=230+160+230-556=64X=(Xl，x2，x3)~三城從節(jié)約投資v(Z)中得到的分配計(jì)算城1從節(jié)約投資中得到的分配Xj=19.7,x2=32.1,^3=12.2x2最大，如何解釋？4三城在總投資556中的分擔(dān)城1C(l)-xx=210.4,城2C(2)-x2=127?8,城3C(3)-x3=217.8S11U21U3Iv(s)040064v(s\1)00025V(5*)-V(5\1)0400391，1223崎）1/31/61/61/3w(H)[v⑴-vCs\l)]06.7013合作對(duì)策的應(yīng)用例2派別在團(tuán)體中的權(quán)重90人的團(tuán)體由3個(gè)派別組成，人數(shù)分別為40,30,20人。團(tuán)體表決時(shí)需過(guò)半數(shù)的贊成票方可通過(guò)。若每個(gè)派別的成員同時(shí)投贊成票或反對(duì)票，用Shapley合作對(duì)策計(jì)算各派別在團(tuán)體中的權(quán)重。團(tuán)體/={1，2,3}，依次代表3個(gè)派別定義特征函數(shù)=1，0,s的成員超過(guò)45否則v(夕)=0,v(l)=v(2)=v(3)=0,v(lU2)=v(lU3)=v(2U3)=v(/)=1權(quán)重x.-x2-x3-1/3雖然3派人數(shù)相差很大Shapley合作對(duì)策小結(jié)優(yōu)點(diǎn)：公正、合理，有公理化基礎(chǔ)。缺點(diǎn)：需要知道所有合作的獲利，即要定義/={1，2，..川的所有子集供2M個(gè))的特征函數(shù)，實(shí)際上常做不到。如^個(gè)單位治理污染，通常知道第/方單獨(dú)治理的投資％和打方共同治理的投資F，及第彷不參加時(shí)其余7/-1方的投資^(i=l,2,...n).確定共同治理時(shí)各方分擔(dān)的費(fèi)用。若定義特征函數(shù)為合作的獲利(節(jié)約的投資)，則有v(f)-0(/-1，2,...詠V(/)=tx-r，v(/\0=sy;—Z：i=lj右i其它v⑹均不知道，無(wú)法用Shapley合作對(duì)策求解④??求解合作對(duì)策的其他方法設(shè)只知道無(wú)f參加時(shí)方合作的獲利及B=v(I)~全體合作的獲利記b=

(/?!，???,bn)求各方對(duì)獲利B的分配x=(x,,x2，…，xn),xt

>0例.甲乙丙三人合作經(jīng)商，若甲乙合作獲利7元，甲丙合作獲利5元，乙丙合作獲利4元，三人合作獲利11元。問三人合作時(shí)如何分配獲利？即已知B=11，b=(4,5,7),求x=(xt,x2，x3)（2）協(xié)商解以介1方合作的獲利為下限模型求解1^=B1A/W=4的下限y%.-x.>b.「°l]厶’丨1

=>A%?>y,A=?a<.?10_y%-x>bljUuinn將剩余獲利Bh

平均分配例.6=(4,5,7)，B=11x=(4,3,l),B-^.=3,x=x+(Ul)=(5A2)11Rx+—(召一2?_及一A+-n—nn（3）Nash解記＜7=????,＜）為現(xiàn)狀點(diǎn)（談判時(shí)的威懾點(diǎn)）在此基礎(chǔ)上“均勻地”分配全體合作的獲利忍模maxW（x.-d）型s.t.^xt=B

X=di

+丄（B_2X）,n岣=0平均分配獲利B3）Nasl^￥=＞2）協(xié)商解④??（4）最小距離解記$=（足，...,元）為%的上限型s.t.若令xt=B-b.

0第/方的邊際效益例.b=(4,5,7),B=Hx=(7,6,4)，^x;—5二6,x=x—(2,2,2)=(5,4,2)n-JZL-1V，；

zBnn4）最小距離解=>2）協(xié)商解_____________