一階與二階系統(tǒng)舉例

中-一階與二階系統(tǒng)舉例自控前兩章的學(xué)習(xí)主要是打基礎(chǔ)，到了第三章才真正開始了自控這門課的核心內(nèi)容。在前兩章建立起系統(tǒng)模型后，接下來要進(jìn)行的就是認(rèn)識系統(tǒng)——即分析系統(tǒng)的性能指標(biāo)，第三章介紹了三種方法中的第一種——時域分析法。我們首先要明確本章講了哪些內(nèi)容。時域方法是最基本的方法，也是我們在分析時最先想到的方法，它可以直接提供系統(tǒng)時間響應(yīng)內(nèi)的所有內(nèi)容，直觀且明確，但是也有它的缺點，那就是這一方法必須要基于求解系統(tǒng)輸出的解析法，過程很是繁瑣，這一局限性也就決定了應(yīng)用時域法進(jìn)行分析的系統(tǒng)階數(shù)不能太高，所以本章我們研究對象只有一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)，其中二階系統(tǒng)是研究的重點。接下來分別給出一階系統(tǒng)和二階系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)和其性能指標(biāo)的定義，對系統(tǒng)輸入典型輸入信號，研究對應(yīng)響應(yīng)的情況，在這其中，最重點的是二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)，其余的響應(yīng)僅作了解即可。注意到性能指標(biāo)只能定量的描述一個系統(tǒng)響應(yīng)的情況，考慮前面所提到的對于一個系統(tǒng)的基本要求：“穩(wěn)、準(zhǔn)、快”。其中“快”——動態(tài)性能；“穩(wěn)”——基本要求；“準(zhǔn)”——穩(wěn)態(tài)要求，往后的內(nèi)容都是圍繞這三個字。對于“快”，其實就是系統(tǒng)的性能指標(biāo)，對于“穩(wěn)”，時域法介紹了赫爾維玆判據(jù)和勞斯判據(jù)，對于“準(zhǔn)”，介紹了穩(wěn)態(tài)誤差還有校正方法。以上就是本章的知識結(jié)構(gòu)，接下來我們來一一介紹。我們從最簡單的一階系統(tǒng)說起，以下是一階系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)：

一階系統(tǒng)中，只有特征參數(shù)：時間常數(shù)T。雖然有五個典型輸入信號，但一般我們只研究階躍輸入對應(yīng)的響應(yīng)，我們把階躍信號稱為“標(biāo)準(zhǔn)輸入”，其單位階躍響應(yīng)曲線如下：對于一階系統(tǒng)，對應(yīng)的性能指標(biāo)有兩個：上升時間和調(diào)節(jié)時間1.上升時間從終值的10%上升到終值的90%所用的時間。（此定義式基于非振蕩的動態(tài)過程，要區(qū)別于后續(xù)的振蕩動態(tài)過程）。在一階系統(tǒng)單位階躍曲線上表示如下：2.調(diào)節(jié)時間指第一次進(jìn)入誤差帶且信號以后都不出誤差帶的時間。在響應(yīng)曲線上表示為：注意：如上圖，調(diào)節(jié)時間不是到A點的時間，因為曲線在A點以后還有出了誤差帶的部分。而B點以后曲線再也不出誤差帶，所以調(diào)節(jié)時間應(yīng)該為到B點的時間。因為一階系統(tǒng)的響應(yīng)是單調(diào)的，并沒有振蕩，所以在一階系統(tǒng)中，并沒有超調(diào)量的概念，因為響應(yīng)曲線沒有超出穩(wěn)態(tài)值的部分。在一階系統(tǒng)求解對于五種輸入信號時對應(yīng)的響應(yīng)時，雖然這部分只做了解，但這一求解過程中要求掌握一個重要的計算方法：留數(shù)定理。該種方法其實就是用來分解部分分式的，通式為：接下來我們以求一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)的過程來說明留數(shù)定理怎么用：一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)為將上試分解為部分分式：注意重根分解后的列寫，還有C1、C2、C3分別為誰的分子。接下來就用留數(shù)定理來求C1、C2、C3，如下：1.有重根，先算重根重數(shù)r=2，首先要算通式中s1是啥，s1為對應(yīng)分母為0時的解，重根部分即為，則有s1=0，再后確定j，帶入通式計算，為下：（1）要算C2，則使j=0，有（2）要算C1，則使j=1，有2.無重根部分先求s1，令無重根部分分母TS+1=0，則s1=-1\T，這部分不要記通式，很簡單，就是此題即為注意：無重根部分最簡單，不用通式計算，直接用“2”的小公式就行；有重根的帶入通式計算，搞清楚r、j、s1，一般最高也就計算到重根為3.留數(shù)定理在后續(xù)的離散系統(tǒng)部分會經(jīng)常使用，所以今天著重講了一下。（大家可以試著計算一下一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)）。接下來聊一聊本章著重講解的二階系統(tǒng)，以下是二階系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)：

系統(tǒng)的時間響應(yīng)過程分為兩個部分：動態(tài)過程和穩(wěn)態(tài)過程。動態(tài)過程：系統(tǒng)在典型輸入信號作用下，初始量從初始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過程。穩(wěn)定系統(tǒng)的動態(tài)過程必定是衰減的。穩(wěn)態(tài)過程：典型輸入作用下，時間趨于無窮時輸出量的表現(xiàn)形態(tài)。這兩個過程都有其對應(yīng)的性能指標(biāo)，下面分別來看其性能指標(biāo)為什么：動態(tài)性能指標(biāo)：我們從二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線中來看，指標(biāo)共有五個。也就是共有四個關(guān)于時間的指標(biāo)，還有一個指標(biāo)是超調(diào)量。在這些指標(biāo)中調(diào)節(jié)時間定義和一階系統(tǒng)中的一致，我們來介紹一下剩下的三個。延遲時間td：第一次到達(dá)其峰值一半時所用的時間。對于以上的五個性能指標(biāo)，我們還需要知道以下的內(nèi)容：（我們把td、tr、tp、超調(diào)量定義為一組；把ts定義為二組）（1）一號組的指標(biāo)都是確定的，ts是不確定的，其與誤差帶的選取有關(guān)。（2）一號組指標(biāo)描述的是動態(tài)的過程，并且是動態(tài)開始的部分。ts描述作用是雙重的：不僅描述動態(tài)過程的長短，而且描述靜態(tài)過程在越過ts后是穩(wěn)的還是不穩(wěn)的。超調(diào)量描述的是系統(tǒng)的阻尼程度。（可以理解為物理中的阻力，其和峰值有關(guān)）。穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)：用穩(wěn)態(tài)誤差來描述，是系統(tǒng)的抗干擾精度或者抗干擾能力的一種度量。我們知道，極點在s域中的分布決定了系統(tǒng)是否穩(wěn)定，即極點位于s域左半平面時（不含在實軸的點），系統(tǒng)穩(wěn)定（可以用極點實數(shù)部分正負(fù)來表示）。所以在分析二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)前先將系統(tǒng)分類，我們用閉環(huán)傳遞函數(shù)來研究系統(tǒng)的極點，先來求系統(tǒng)的極點，使系統(tǒng)的特征方程為0（也就是閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母多項式為0），解得系統(tǒng)的根為：阻尼比的范圍決定了極點在s域中的位置，所以進(jìn)而將阻尼比和系統(tǒng)的阻尼程度掛鉤，將二階系統(tǒng)分為以下幾類，并且畫出對應(yīng)的單位階躍響應(yīng)曲線（這部分一定要牢牢記憶）：（1）極點在s域中分布和對應(yīng)響應(yīng)曲線分別如下：（2）

（3）

（4）

（5）-1<阻尼比<0此時響應(yīng)曲線是振蕩發(fā)散的。（6）阻尼比<-1此時響應(yīng)曲線是沒有振蕩的發(fā)散。（和上面的曲線區(qū)分開）雖然二階系統(tǒng)有以上那么多種，輸入信號也有五種，但是我們只著重研究一種情況，那就是“欠阻尼二階系統(tǒng)的單位系統(tǒng)階躍響應(yīng)”，這一部分內(nèi)容有很多公式需要記憶。以下的式子必須牢牢記憶：響應(yīng)C（t）

根據(jù)以上公式，可以發(fā)現(xiàn)，只要知道了阻尼比和自然頻率，所以的性能指標(biāo)就知道了，所以對于這部分的題，一般會已知峰值時間和超調(diào)量，進(jìn)而求出阻尼比和自然頻率，再讓你求其余指標(biāo)，所以要會由超調(diào)量求阻尼比的公式，還有根據(jù)峰值時間求自然頻率的公式