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新高考一卷逐題搞定第十八題真題展示記的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知.(1)若,求B;(2)求的最小值.【答案】(1);(2).【分析】(1)根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將化成,再結(jié)合,即可求出;(2)由(1)知,,,再利用正弦定理以及二倍角公式將化成,然后利用基本不等式即可解出.【詳解】(1)因?yàn)椋?,而,所以;?)由(1)知,,所以,而,所以,即有,所以所以.當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,所以的最小值為.優(yōu)秀模擬題1.(2022·天津·高考真題)在中,角A、B、C的對邊分別為a,b,c.已知.(1)求的值;(2)求的值;(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】(1)根據(jù)余弦定理以及解方程組即可求出;(2)由(1)可求出,再根據(jù)正弦定理即可解出;(3)先根據(jù)二倍角公式求出,再根據(jù)兩角差的正弦公式即可求出.【詳解】(1)因?yàn)?,即,而,代入得,解得:.?)由(1)可求出,而,所以,又,所以.(3)因?yàn)椋?,故,又,所以,,而,所以,故?.(2022·全國·高考真題)記的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,分別以a,b,c為邊長的三個正三角形的面積依次為,已知.(1)求的面積;(2)若,求b.【答案】(1)(2)【分析】(1)先表示出,再由求得,結(jié)合余弦定理及平方關(guān)系求得,再由面積公式求解即可;(2)由正弦定理得,即可求解.【詳解】(1)由題意得,則,即,由余弦定理得,整理得,則,又,則,,則;(2)由正弦定理得:,則,則,.3.(2022·北京·高考真題)在中,.(1)求;(2)若,且的面積為,求的周長.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用二倍角的正弦公式化簡可得的值,結(jié)合角的取值范圍可求得角的值;(2)利用三角形的面積公式可求得的值,由余弦定理可求得的值,即可求得的周長.(1)解:因?yàn)?,則,由已知可得,可得,因此,.(2)解:由三角形的面積公式可得,解得.由余弦定理可得,,所以,的周長為.4.(2022·全國·高考真題(文))記的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c﹐已知.(1)若,求C;(2)證明:【答案】(1);(2)證明見解析.【分析】(1)根據(jù)題意可得,,再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可解出;(2)由題意利用兩角差的正弦公式展開得,再根據(jù)正弦定理,余弦定理化簡即可證出.(1)由,可得,,而,所以,即有,而,顯然,所以,,而,,所以.(2)由可得,,再由正弦定理可得,,然后根據(jù)余弦定理可知,,化簡得:,故原等式成立.5.(2022·全國·高考真題(理))記的內(nèi)角的對邊分別為,已知.(1)證明:;(2)若,求的周長.【答案】(1)見解析(2)14【分析】(1)利用兩角差的正弦公式化簡,再根據(jù)正弦定理和余弦定理化角為邊,從而即可得證;(2)根據(jù)(1)的結(jié)論結(jié)合余弦定理求出,從而可求得,即可得解.【詳解】(1)證明:因?yàn)?,所以,所以,即,所以;?)解:因?yàn)椋桑?)得,由余弦定理可得,則,所以,故,所以,所以的周長為.6.(2022·全國·武功縣普集高級模擬預(yù)測(理))已知,.(1)若,且,時,與的夾角為鈍角,求的取值范圍;(2)若,函數(shù),求的最小值.【答案】(1)(2)的最小值為.【分析】(1)又與的夾角為鈍角,可得且與不能共線,列不等式求的范圍;(2)化簡得,利用將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù),利用二次函數(shù)性質(zhì)求值域.【詳解】(1)當(dāng)時,,若與的夾角為鈍角,則且與不能共線,,所以,又,所以,所以,當(dāng)與共線時,,故,所以與不共線時,.綜上:.(2)令,則而函數(shù)在上為增函數(shù),故當(dāng)時有最小值.故的最小值為.7.(2022·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測)已知.(1)求函數(shù)的值域;(2)若方程在上的所有實(shí)根按從小到大的順序分別記為,求的值.【答案】(1)(2)【分析】(1)首先利用二倍角的正弦公式化簡,以及換元得函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域;(2)首先由方程得,再利用三角函數(shù)的對稱性,得是等差數(shù)列,再求和.【詳解】(1)令,則,,,得,當(dāng),,單調(diào)遞減,當(dāng)時,,單調(diào)遞增。所以,所以,的值域是(2)由已知得,解得或(舍去),由得函數(shù)圖象在區(qū)間且確保成立的,對稱軸為在內(nèi)有11個根,數(shù)列構(gòu)成以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列.所以.8.(2022·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測)已知函數(shù),其中向量,.(1)求的解析式及對稱中心和單調(diào)減區(qū)間;(2)不等式在上恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1),對稱中心為,單調(diào)減區(qū)間是(2)【分析】(1)利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和正余弦的二倍角公式可得,再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解;(2)由題意可得:在上恒成立,求出的最值,轉(zhuǎn)化為,解之即可.【詳解】(1)
令,對稱中心又令,所以單調(diào)減區(qū)間是(2)不等式在上恒成立,,即在上恒成立,,因?yàn)椋裕?/p>
當(dāng),即時,取得最小值,最小值為,當(dāng),即時,取得最大值,最大值為,即,得,即實(shí)數(shù)m的取值范圍是9.(2022·湖南·模擬預(yù)測)函數(shù)的初相為,且對任意的實(shí)數(shù)x都成立.(1)求的最小值;(2)在(1)的條件下,函數(shù)左平移個單位后,縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)伸長為原米的4倍,得到函數(shù)的圖象,求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間以及最小值.【答案】(1)2(2)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為,最小值為【分析】(1)根據(jù)函數(shù)的初相為,得到,又由對任意的實(shí)數(shù)x都成立,化得,根據(jù)確定的最小值;(2)由函數(shù)左平移個單位,再把橫坐標(biāo)伸長為原來的4倍后,得到函數(shù)解析式,從而可求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和最小值.【詳解】(1)∵函數(shù)的初相為,∴,∴,.又對任意的實(shí)數(shù)x都成立,則有恒成立,,,即,又,∴當(dāng)時,有最小值為2.(2)由(1)可知,函數(shù)左平移個單位后,得到的函數(shù)縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)伸長為原來的4倍,得到.,整理可得,∴在上的單調(diào)遞增區(qū)間為.由,可得,∴當(dāng)時,函數(shù)取得最小值.10.(2022·湖南·模擬預(yù)測)已知.(1)求證:;(2)若已知,求的值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)根據(jù)兩角和與差的正弦公式展開,整理變形即可得證;(2)根據(jù)角的取值范圍和同角三角函數(shù)的關(guān)系,先求出,然后再利用兩角和的余弦公式即可求解.【詳解】(1)∵,,∴
①,②,②-①得,則.(2)∵,∴,則.11.(2022·浙江紹興·一模)已知函數(shù).(1)若,求的值;(2)若在銳角中,角,,所對的邊分別為,,,已知,,求的周長的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式可得,進(jìn)而即可求解;(2)由(1)和可得或,求出角A,利用正弦定理可得周長,結(jié)合角B的范圍即可求解.【詳解】(1)由,因?yàn)?,故;?),而,即,故或,由,得或(舍去),由正弦定理得,故,,周長,為銳角三角形,則,,.12.(2022·四川綿陽·一模(理))在銳角中,角,,所對的邊為,,,且.(1)證明:;(2)求的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)由正弦定理化簡可得,所以,即可證明.(2)因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形,可求出的范圍,即可求出的范圍,由正弦定理化簡,令,,由函數(shù)的單調(diào)性即可求出的取值范圍.【詳解】(1)∵,由正弦定理,得,即,∴,∴或(舍),即,∴,∴.(2)由銳角△ABC,可得,,.即,∴.∵.令,,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,所以當(dāng),當(dāng),∴.13.(2022·浙江·模擬預(yù)測)已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與軸的非負(fù)半軸重合,且在終邊上.(1)求的值;(2)若函數(shù),求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】(1)(2),【分析】(1)根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義求,并根據(jù)兩角和差的正切公式運(yùn)算求解;(2)利用三角恒等變換化簡整理可得,再結(jié)合最小正周期、正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間運(yùn)算求解.【詳解】(1)由題意可得:,且為第二象限角,∴,則.(2)由(1)得:∴的最小正周期∵,則∴的單調(diào)遞減區(qū)間為.14.(2022·河南·模擬預(yù)測(理))在中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且,.(1)若,求的周長;(2)若內(nèi)切圓、外接圓的半徑分別為r,R,求的取值范圍.【答案】(1)的周長為;(2)的取值范圍為.【分析】(1)根據(jù)余弦定理列方程,結(jié)合已知條件可求,由此求的周長;(2)根據(jù)正弦定理可得,根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)及三角形面積公式可得,利用二次函數(shù)性質(zhì)求的取值范圍.【詳解】(1)由余弦定理可得,又,,,所以,所以,,所以的周長為;(2)由正弦定理可得,所以,設(shè)的面積為,由內(nèi)切圓的性質(zhì)可得,又,所以,所以,又,,所以,因?yàn)?,,,所以,令,則,,所以,所以,所以,所以的取值范圍為.15.(2022·河南·模擬預(yù)測(理))已知函數(shù).(1)求函數(shù)的對稱中心及最小正周期;(2)若,,求的值.【答案】(1)函數(shù)的對稱中心為,,函數(shù)的最小正周期為;(2).【分析】(1)根據(jù)三角恒等變換公式化簡函數(shù)的解析式,結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)的對稱中心及最小正周期;(2)由(1)可得,結(jié)合兩角差正弦函數(shù),二倍角公式,同角關(guān)系化簡可求.【詳解】(1),,,令,,可得,,又,所以函數(shù)的對稱中心為,,函數(shù)的最小正周期;(2)因?yàn)椋?,所以,所以,所以,所以,所以,因?yàn)?,所以,故,所以,所以或,又,?16.(2022·四川省成都市第模擬預(yù)測(文))在①;②;③這三個條件中任選一個,補(bǔ)充在下列問題中,并解答下面兩個問題.(1)求角;(2)在中,內(nèi)角的對邊分別是,若已知,求的值.【答案】(1)選擇①,;選擇②③,;(2)若選①,;選擇②③,.【分析】(1)根據(jù)正余弦定理,結(jié)合選擇的條件,進(jìn)行邊角互化,即可容易求
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