新高考一卷逐題搞定之第十八題教師版

新高考一卷逐題搞定第十八題真題展示記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將化成，再結(jié)合，即可求出；（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式將化成，然后利用基本不等式即可解出．【詳解】（1）因?yàn)椋?，而，所以；?）由（1）知，，所以，而，所以，即有，所以所以．當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為．優(yōu)秀模擬題1．（2022·天津·高考真題）在中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)余弦定理以及解方程組即可求出；（2）由（1）可求出，再根據(jù)正弦定理即可解出；（3）先根據(jù)二倍角公式求出，再根據(jù)兩角差的正弦公式即可求出．【詳解】（1）因?yàn)?，即，而，代入得，解得：．?）由（1）可求出，而，所以，又，所以．（3）因?yàn)椋?，故，又，所以，，而，所以，故?．（2022·全國·高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，分別以a，b，c為邊長的三個正三角形的面積依次為，已知．(1)求的面積；(2)若，求b．【答案】(1)(2)【分析】（1）先表示出，再由求得，結(jié)合余弦定理及平方關(guān)系求得，再由面積公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.【詳解】（1）由題意得，則，即，由余弦定理得，整理得，則，又，則，，則；（2）由正弦定理得：，則，則，.3．（2022·北京·高考真題）在中，．(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化簡可得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用三角形的面積公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周長.（1）解：因?yàn)?，則，由已知可得，可得，因此，.（2）解：由三角形的面積公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周長為.4．（2022·全國·高考真題（文））記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：【答案】(1)；(2)證明見解析．【分析】（1）根據(jù)題意可得，，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可解出；（2）由題意利用兩角差的正弦公式展開得，再根據(jù)正弦定理，余弦定理化簡即可證出．（1）由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．（2）由可得，，再由正弦定理可得，，然后根據(jù)余弦定理可知，，化簡得：，故原等式成立．5．（2022·全國·高考真題（理））記的內(nèi)角的對邊分別為，已知．(1)證明：；(2)若，求的周長．【答案】(1)見解析(2)14【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡，再根據(jù)正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論結(jié)合余弦定理求出，從而可求得，即可得解.【詳解】（1）證明：因?yàn)?，所以，所以，即，所以；?）解：因?yàn)椋桑?）得，由余弦定理可得，則，所以，故，所以，所以的周長為.6．（2022·全國·武功縣普集高級模擬預(yù)測（理））已知，．(1)若，且，時，與的夾角為鈍角，求的取值范圍；(2)若，函數(shù)，求的最小值．【答案】(1)(2)的最小值為.【分析】(1)又與的夾角為鈍角，可得且與不能共線，列不等式求的范圍；(2)化簡得，利用將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)性質(zhì)求值域.【詳解】（1）當(dāng)時，，若與的夾角為鈍角，則且與不能共線，，所以，又，所以，所以，當(dāng)與共線時，，故，所以與不共線時，.綜上：.（2）令，則而函數(shù)在上為增函數(shù)，故當(dāng)時有最小值.故的最小值為.7．（2022·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測）已知．(1)求函數(shù)的值域；(2)若方程在上的所有實(shí)根按從小到大的順序分別記為，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先利用二倍角的正弦公式化簡，以及換元得函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域；（2）首先由方程得，再利用三角函數(shù)的對稱性，得是等差數(shù)列，再求和.【詳解】（1）令，則，，，得，當(dāng)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增。所以，所以，的值域是（2）由已知得，解得或（舍去），由得函數(shù)圖象在區(qū)間且確保成立的，對稱軸為在內(nèi)有11個根，數(shù)列構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列．所以.8．（2022·吉林·東北師大附中模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中向量，．(1)求的解析式及對稱中心和單調(diào)減區(qū)間；(2)不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】(1)，對稱中心為，單調(diào)減區(qū)間是(2)【分析】(1)利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和正余弦的二倍角公式可得，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解；(2)由題意可得：在上恒成立，求出的最值，轉(zhuǎn)化為，解之即可.【詳解】（1）

令，對稱中心又令，所以單調(diào)減區(qū)間是（2）不等式在上恒成立，，即在上恒成立，，因?yàn)椋裕?/p>

當(dāng)，即時，取得最小值，最小值為，當(dāng)，即時，取得最大值，最大值為，即，得，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是9．（2022·湖南·模擬預(yù)測）函數(shù)的初相為，且對任意的實(shí)數(shù)x都成立．(1)求的最小值；(2)在（1）的條件下，函數(shù)左平移個單位后，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原米的4倍，得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間以及最小值．【答案】(1)2(2)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，最小值為【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的初相為，得到，又由對任意的實(shí)數(shù)x都成立，化得，根據(jù)確定的最小值；（2）由函數(shù)左平移個單位，再把橫坐標(biāo)伸長為原來的4倍后，得到函數(shù)解析式，從而可求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和最小值．【詳解】（1）∵函數(shù)的初相為，∴，∴，．又對任意的實(shí)數(shù)x都成立，則有恒成立，，，即，又，∴當(dāng)時，有最小值為2．（2）由（1）可知，函數(shù)左平移個單位后，得到的函數(shù)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的4倍，得到．，整理可得，∴在上的單調(diào)遞增區(qū)間為．由，可得，∴當(dāng)時，函數(shù)取得最小值．10．（2022·湖南·模擬預(yù)測）已知．(1)求證：；(2)若已知，求的值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)根據(jù)兩角和與差的正弦公式展開，整理變形即可得證；(2)根據(jù)角的取值范圍和同角三角函數(shù)的關(guān)系，先求出，然后再利用兩角和的余弦公式即可求解.【詳解】（1）∵，，∴

①，②，②-①得，則．（2）∵，∴，則．11．（2022·浙江紹興·一模）已知函數(shù).(1)若，求的值；(2)若在銳角中，角，，所對的邊分別為，，，已知，，求的周長的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】(1)根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角的余弦公式可得，進(jìn)而即可求解；(2)由(1)和可得或，求出角A，利用正弦定理可得周長，結(jié)合角B的范圍即可求解.【詳解】（1）由，因?yàn)?，故；?），而，即，故或，由，得或（舍去），由正弦定理得，故，，周長，為銳角三角形，則，，.12．（2022·四川綿陽·一模（理））在銳角中，角，，所對的邊為，，，且．(1)證明：；(2)求的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由正弦定理化簡可得，所以，即可證明.（2）因?yàn)椤鰽BC為銳角三角形，可求出的范圍，即可求出的范圍，由正弦定理化簡，令，，由函數(shù)的單調(diào)性即可求出的取值范圍．【詳解】（1）∵，由正弦定理，得，即，∴，∴或（舍），即，∴，∴．（2）由銳角△ABC，可得，，．即，∴．∵．令，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以當(dāng)，當(dāng)，∴．13．（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，且在終邊上.(1)求的值；(2)若函數(shù)，求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】(1)(2)，【分析】（1）根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義求，并根據(jù)兩角和差的正切公式運(yùn)算求解；（2）利用三角恒等變換化簡整理可得，再結(jié)合最小正周期、正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間運(yùn)算求解.【詳解】（1）由題意可得：，且為第二象限角，∴，則.（2）由（1）得：∴的最小正周期∵，則∴的單調(diào)遞減區(qū)間為.14．（2022·河南·模擬預(yù)測（理））在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，．(1)若，求的周長；(2)若內(nèi)切圓、外接圓的半徑分別為r，R，求的取值范圍．【答案】(1)的周長為；(2)的取值范圍為.【分析】(1)根據(jù)余弦定理列方程，結(jié)合已知條件可求，由此求的周長；(2)根據(jù)正弦定理可得，根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)及三角形面積公式可得，利用二次函數(shù)性質(zhì)求的取值范圍.【詳解】（1）由余弦定理可得，又，，，所以，所以，，所以的周長為；（2）由正弦定理可得，所以，設(shè)的面積為，由內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，又，所以，所以，又，，所以，因?yàn)?，，，所以，令，則，，所以，所以，所以，所以的取值范圍為.15．（2022·河南·模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的對稱中心及最小正周期；(2)若，，求的值．【答案】(1)函數(shù)的對稱中心為，，函數(shù)的最小正周期為；(2).【分析】(1)根據(jù)三角恒等變換公式化簡函數(shù)的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)的對稱中心及最小正周期；(2)由(1)可得，結(jié)合兩角差正弦函數(shù)，二倍角公式，同角關(guān)系化簡可求.【詳解】（1），，，令，，可得，，又，所以函數(shù)的對稱中心為，，函數(shù)的最小正周期；（2）因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，故，所以，所以或，又，?16．（2022·四川省成都市第模擬預(yù)測（文））在①；②；③這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下列問題中，并解答下面兩個問題.(1)求角；(2)在中，內(nèi)角的對邊分別是，若已知，求的值.【答案】(1)選擇①，；選擇②③，；(2)若選①，；選擇②③，.【分析】（1）根據(jù)正余弦定理，結(jié)合選擇的條件，進(jìn)行邊角互化，即可容易求