數(shù)學七年級下學期4.15+《因式分解》全章復習與鞏固

專題4.15《因式分解》全章復習與鞏固（知識講解）【知識點一】因式分解與整式乘法的識別把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫因式分解?！局R點二】因式分解的方法（1）提取公因式法：（2）運用公式法：平方差公式：；完全平方公式：（3）十字相乘法：（4）分組分解法：將多項式的項適當分組后能提公因式或運用公式分解。（5）運用求根公式法：若的兩個根是、，則有：【知識點三】因式分解的一般步驟（1）如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運用公式或十字相乘法；（3）對二次三項式，應先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。（4）最后考慮用分組分解法?！镜湫屠}】類型一、因式分解的概念 1．對于①，②從左到右的變形，表述正確的是（

）A．都是因式分解 B．都是整式的乘法C．①是因式分解，②是整式的乘法 D．①是整式的乘法，②是因式分解【答案】D【分析】根據(jù)因式分解的定義（把一個多項式化成幾個整式積的形式，叫因式分解，也叫分解因式）判斷即可．解：①（x+3）（x-1）=x2+2x-3，從左到右的變形是整式的乘法，不是因式分解；②x-3xy=x（1-3y），從左到右的變形是因式分解；所以①是乘法運算，②是因式分解．故選：D．【點撥】此題考查了因式分解．解題的關鍵是掌握因式分解的定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解．舉一反三：【變式1】下列式子從左到右變形是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】直接利用因式分解的定義結合整式乘法運算法則進而分析得出答案．解：A、，不符合因式分解的定義，故此選項錯誤；B、，從左到右是因式分解，符合題意；C、，從左到右變形是整式的乘法運算，故此選項錯誤；D、，不符合因式分解的定義，故此選項錯誤．故選：B．【點撥】此題主要考查了因式分解的意義，正確掌握因式分解的意義是解題關鍵．【變式2】下列各因式分解的結果正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】將多項式寫成整式乘積的形式即是因式分解，且分解到不能再分解為止，根據(jù)定義依次判斷即可．解：=a（a+1）（a-1），故A錯誤；，故B錯誤；，故C正確；不能分解因式，故D錯誤，故選：C．【點撥】此題考查因式分解的定義，熟記定義并掌握因式分解的方法及分解的要求是解題的關鍵．類型二、因式分解 2．因式分解：（1）；（2）【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式進行因式分解即可；（2）利用完全平方公式進行因式分解即可；解：（1）原式==（2）原式==【點撥】本題考查公因式法和公式法的綜合運用，一個多項式有公因式先提取公因式，然后再用其他的方法進行因式分解，掌握平方差公式和完全平方公式是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】（1）計算：；

（2）因式分解：．【答案】（1）6a＋13；（2）2x（3x－2y）【分析】（1）分別運用平方差公式和完全平方公式展開，再合并同類項即可完成；（2）用提公因式法即可分解因式．解：（1）原式＝4－a2＋a2＋6a＋9＝6a＋13；（2）原式＝2x（3x－2y）．【點撥】本題考查了運用乘法公式進行整式的乘法及因式分解，熟練掌握兩個乘法公式：平方差公式及完全平方公式、提公因式法是解題的關鍵．【變式2】分解因式：；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先變形，再提公因式法；（2）先提公因式，再逆用完全平方公式．x(x-y)+y(y-x)=x(x-y)-y(x-y)=(x－y)(x-y)=(x-y)2；5a2b-20ab2+20b3=5b(a2-4ab+4b2)=5b(a-2b)2．【點撥】本題主要考查因式分解，熟練掌握提公因式法、公式法進行因式分解是解決本題的關鍵．3．因式分解（1）（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)平方差公式分解；（2）將看作一個整體，先將括號展開化簡，再利用十字相乘法逐步分解．解：（1）==；（2）====【點撥】本題考查了因式分解，解題的關鍵是掌握平方差公式，十字相乘法，解題時要注意整體思想的運用．舉一反三：【變式1】把下列各式分解因式：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先提公因式，然后了利用完全平方公式進行因式分解，解題得到答案．（2）利用平方差公式進行因式分解，即可得到答案．解：（1）原式==；（2）原式==．【點撥】本題考查了因式分解的方法，解題的關鍵是熟練掌握提公因式法、公式法進行因式分解．【變式2】（1）分解因式：．（2）分解因式：．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先利用完全平方公式化簡，進而利用平方差公式分解因式即可；（2）先提公因式x，然后根據(jù)十字相乘法的分解方法和特點分解因式．解：（1）原式；（2）原式．【點撥】此題主要考查了公式法以及十字相乘法分解因式，正確運用公式是解題關鍵．運用十字相乘法分解因式時，要注意觀察，嘗試，并體會它實質是二項式乘法的逆過程．類型三、因式分解的應用 3．計算：（1）×××…××；（2）【答案】（1）；（2）1【分析】（1）先根據(jù)平方差公式分解，算出結果后計算乘法即可得到答案；（2）利用完全平方公式分解計算．解：（1）×××…××====；（2）===1．【點撥】此題考查因式分解進行有理數(shù)的混合計算，正確掌握因式分解的方法：平方差公式和完全平方公式是解題的關鍵．舉一反三：【變式1】用簡便方法進行計算．（1）21.4×2.3+2.14×27+214×0.5．（2）．（3）（）×…×（）．（4）1952+195×10+52．【答案】（1）214；（2）2；（3）；（4）40000【分析】（1）把2.14×27、214×0.5化為21.4×2.7、21.4×5的形式，逆運用乘法的分配律比較簡便；（2）把分母因式分解后，再約分；（3）先把每個括號利用平方差公式寫成積的形式，再約分；（4）把195×10寫成2×195×5，再利用完全平方公式求解．解：（1）原式＝21.4×2.3+21.4×2.7+21.4×5，＝21.4×（2.3+2.7+5），＝21.4×10，＝214；（2）原式＝，＝，＝2；（3）原式＝（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×...×（1+）×（1﹣），＝，＝，＝；（4）原式＝1952+2×195×5+52，＝（195+5）2，＝2002，＝40000．【點撥】本題主要考查了因式分解的應用，準確分析計算是解題的關鍵．【變式2】用簡便方法計算．（1）（2）【答案】（1）45.8；（2）-20；【分析】（1）利用平方差公式進行計算；（2）提出，然后進行計算即可.解：（1）=（7.29+2.71）（7.29-2.71）=10×4.58=45.8；（2）===-20【點撥】本題考查了利用因式分解進行簡便計算，掌握因式分解的方法是關鍵.4．求證:對于任意自然數(shù)n，(n+7)2-(n-5)2都能被24整除.【分析】把所給式子利用平方差公式展開，看因數(shù)里有沒有24即可．證明：=24(n+1)，∴能被24整除.舉一反三：【變式1】已知a、b、c是△ABC的三邊長，且a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0，試判斷△ABC的形狀，并證明你的結論．【答案】△ABC是等邊三角形．證明見解析【分析】直接利用因式分解法將原式變形進而分解因式即可.解：△ABC是等邊三角形，理由：∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0∴a2+b2+c2﹣2ba﹣2bc+b2=0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2=0，則a=b，b=c，故a=b=c，則△ABC是等邊三角形．【點撥】此題主要考查了因式分解的應用，正確分解因式是解題關鍵．【變式2】若關于的二次三項式能分解成兩個整系數(shù)的一次多項式的積，則有多少個可能的取值？【答案】，，有6個可能的取值.【分析】借助“十字相乘法”分解：對于二次項系數(shù)為1多項式，把常數(shù)項-12分成兩個因數(shù)的積，再將這兩個數(shù)相加，恰好等于一次項系數(shù).解：，，，，，∴，，有6個可能的取值.【點撥】本題考查了因式分解－十字相乘法，關鍵是把常數(shù)項分成兩個因數(shù)的積，再將這兩個數(shù)相加，恰好等于一次項系數(shù).5．已知，求的值.【答案】【分析】將等式左邊分組，分解成兩個完全平方式的和的形式，然后利用非負數(shù)的性質即可得出關于a、b的方程，求出a、b的值，最后在代入計算即可．解：因為，所以，所以，，所以，，所以.【點撥】本題考查了因式分解的應用，熟記完全平方公式的特點，將原式轉化為兩個完全平方式的和等于0的形式是解決此題的關鍵．舉一反三：【變式1】研究下列算式：你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律，請你將找出的規(guī)律用含字母的代數(shù)式表示，且加以說明．【答案】，理由見解析.【分析】通過觀察可發(fā)現(xiàn)上述算式存在如下規(guī)律：4n（n+1）+1=（2n+1）2．解：4×1×（1+1）+1=32=（2×1+1）2；4×2×（2+1）+1=52=（2×2+1）2；4×3×（3+1）+1=72=（2×3+1）2；4×4×（4