數(shù)學(xué)七年級(jí)下學(xué)期4.15+《因式分解》全章復(fù)習(xí)與鞏固

專題4.15《因式分解》全章復(fù)習(xí)與鞏固（知識(shí)講解）【知識(shí)點(diǎn)一】因式分解與整式乘法的識(shí)別把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，叫因式分解。【知識(shí)點(diǎn)二】因式分解的方法（1）提取公因式法：（2）運(yùn)用公式法：平方差公式：；完全平方公式：（3）十字相乘法：（4）分組分解法：將多項(xiàng)式的項(xiàng)適當(dāng)分組后能提公因式或運(yùn)用公式分解。（5）運(yùn)用求根公式法：若的兩個(gè)根是、，則有：【知識(shí)點(diǎn)三】因式分解的一般步驟（1）如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，那么先提公因式；（2）提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運(yùn)用公式或十字相乘法；（3）對(duì)二次三項(xiàng)式，應(yīng)先嘗試用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法。（4）最后考慮用分組分解法?！镜湫屠}】類型一、因式分解的概念 1．對(duì)于①，②從左到右的變形，表述正確的是（

）A．都是因式分解 B．都是整式的乘法C．①是因式分解，②是整式的乘法 D．①是整式的乘法，②是因式分解【答案】D【分析】根據(jù)因式分解的定義（把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式，叫因式分解，也叫分解因式）判斷即可．解：①（x+3）（x-1）=x2+2x-3，從左到右的變形是整式的乘法，不是因式分解；②x-3xy=x（1-3y），從左到右的變形是因式分解；所以①是乘法運(yùn)算，②是因式分解．故選：D．【點(diǎn)撥】此題考查了因式分解．解題的關(guān)鍵是掌握因式分解的定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解．舉一反三：【變式1】下列式子從左到右變形是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】直接利用因式分解的定義結(jié)合整式乘法運(yùn)算法則進(jìn)而分析得出答案．解：A、，不符合因式分解的定義，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、，從左到右是因式分解，符合題意；C、，從左到右變形是整式的乘法運(yùn)算，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、，不符合因式分解的定義，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．【點(diǎn)撥】此題主要考查了因式分解的意義，正確掌握因式分解的意義是解題關(guān)鍵．【變式2】下列各因式分解的結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】將多項(xiàng)式寫成整式乘積的形式即是因式分解，且分解到不能再分解為止，根據(jù)定義依次判斷即可．解：=a（a+1）（a-1），故A錯(cuò)誤；，故B錯(cuò)誤；，故C正確；不能分解因式，故D錯(cuò)誤，故選：C．【點(diǎn)撥】此題考查因式分解的定義，熟記定義并掌握因式分解的方法及分解的要求是解題的關(guān)鍵．類型二、因式分解 2．因式分解：（1）；（2）【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式進(jìn)行因式分解即可；（2）利用完全平方公式進(jìn)行因式分解即可；解：（1）原式==（2）原式==【點(diǎn)撥】本題考查公因式法和公式法的綜合運(yùn)用，一個(gè)多項(xiàng)式有公因式先提取公因式，然后再用其他的方法進(jìn)行因式分解，掌握平方差公式和完全平方公式是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】（1）計(jì)算：；

（2）因式分解：．【答案】（1）6a＋13；（2）2x（3x－2y）【分析】（1）分別運(yùn)用平方差公式和完全平方公式展開，再合并同類項(xiàng)即可完成；（2）用提公因式法即可分解因式．解：（1）原式＝4－a2＋a2＋6a＋9＝6a＋13；（2）原式＝2x（3x－2y）．【點(diǎn)撥】本題考查了運(yùn)用乘法公式進(jìn)行整式的乘法及因式分解，熟練掌握兩個(gè)乘法公式：平方差公式及完全平方公式、提公因式法是解題的關(guān)鍵．【變式2】分解因式：；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先變形，再提公因式法；（2）先提公因式，再逆用完全平方公式．x(x-y)+y(y-x)=x(x-y)-y(x-y)=(x－y)(x-y)=(x-y)2；5a2b-20ab2+20b3=5b(a2-4ab+4b2)=5b(a-2b)2．【點(diǎn)撥】本題主要考查因式分解，熟練掌握提公因式法、公式法進(jìn)行因式分解是解決本題的關(guān)鍵．3．因式分解（1）（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)平方差公式分解；（2）將看作一個(gè)整體，先將括號(hào)展開化簡，再利用十字相乘法逐步分解．解：（1）==；（2）====【點(diǎn)撥】本題考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是掌握平方差公式，十字相乘法，解題時(shí)要注意整體思想的運(yùn)用．舉一反三：【變式1】把下列各式分解因式：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先提公因式，然后了利用完全平方公式進(jìn)行因式分解，解題得到答案．（2）利用平方差公式進(jìn)行因式分解，即可得到答案．解：（1）原式==；（2）原式==．【點(diǎn)撥】本題考查了因式分解的方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握提公因式法、公式法進(jìn)行因式分解．【變式2】（1）分解因式：．（2）分解因式：．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先利用完全平方公式化簡，進(jìn)而利用平方差公式分解因式即可；（2）先提公因式x，然后根據(jù)十字相乘法的分解方法和特點(diǎn)分解因式．解：（1）原式；（2）原式．【點(diǎn)撥】此題主要考查了公式法以及十字相乘法分解因式，正確運(yùn)用公式是解題關(guān)鍵．運(yùn)用十字相乘法分解因式時(shí)，要注意觀察，嘗試，并體會(huì)它實(shí)質(zhì)是二項(xiàng)式乘法的逆過程．類型三、因式分解的應(yīng)用 3．計(jì)算：（1）×××…××；（2）【答案】（1）；（2）1【分析】（1）先根據(jù)平方差公式分解，算出結(jié)果后計(jì)算乘法即可得到答案；（2）利用完全平方公式分解計(jì)算．解：（1）×××…××====；（2）===1．【點(diǎn)撥】此題考查因式分解進(jìn)行有理數(shù)的混合計(jì)算，正確掌握因式分解的方法：平方差公式和完全平方公式是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】用簡便方法進(jìn)行計(jì)算．（1）21.4×2.3+2.14×27+214×0.5．（2）．（3）（）×…×（）．（4）1952+195×10+52．【答案】（1）214；（2）2；（3）；（4）40000【分析】（1）把2.14×27、214×0.5化為21.4×2.7、21.4×5的形式，逆運(yùn)用乘法的分配律比較簡便；（2）把分母因式分解后，再約分；（3）先把每個(gè)括號(hào)利用平方差公式寫成積的形式，再約分；（4）把195×10寫成2×195×5，再利用完全平方公式求解．解：（1）原式＝21.4×2.3+21.4×2.7+21.4×5，＝21.4×（2.3+2.7+5），＝21.4×10，＝214；（2）原式＝，＝，＝2；（3）原式＝（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×（1+）×（1﹣）×...×（1+）×（1﹣），＝，＝，＝；（4）原式＝1952+2×195×5+52，＝（195+5）2，＝2002，＝40000．【點(diǎn)撥】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式2】用簡便方法計(jì)算．（1）（2）【答案】（1）45.8；（2）-20；【分析】（1）利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算；（2）提出，然后進(jìn)行計(jì)算即可.解：（1）=（7.29+2.71）（7.29-2.71）=10×4.58=45.8；（2）===-20【點(diǎn)撥】本題考查了利用因式分解進(jìn)行簡便計(jì)算，掌握因式分解的方法是關(guān)鍵.4．求證:對(duì)于任意自然數(shù)n，(n+7)2-(n-5)2都能被24整除.【分析】把所給式子利用平方差公式展開，看因數(shù)里有沒有24即可．證明：=24(n+1)，∴能被24整除.舉一反三：【變式1】已知a、b、c是△ABC的三邊長，且a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0，試判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論．【答案】△ABC是等邊三角形．證明見解析【分析】直接利用因式分解法將原式變形進(jìn)而分解因式即可.解：△ABC是等邊三角形，理由：∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）=0∴a2+b2+c2﹣2ba﹣2bc+b2=0，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2=0，則a=b，b=c，故a=b=c，則△ABC是等邊三角形．【點(diǎn)撥】此題主要考查了因式分解的應(yīng)用，正確分解因式是解題關(guān)鍵．【變式2】若關(guān)于的二次三項(xiàng)式能分解成兩個(gè)整系數(shù)的一次多項(xiàng)式的積，則有多少個(gè)可能的取值？【答案】，，有6個(gè)可能的取值.【分析】借助“十字相乘法”分解：對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1多項(xiàng)式，把常數(shù)項(xiàng)-12分成兩個(gè)因數(shù)的積，再將這兩個(gè)數(shù)相加，恰好等于一次項(xiàng)系數(shù).解：，，，，，∴，，有6個(gè)可能的取值.【點(diǎn)撥】本題考查了因式分解－十字相乘法，關(guān)鍵是把常數(shù)項(xiàng)分成兩個(gè)因數(shù)的積，再將這兩個(gè)數(shù)相加，恰好等于一次項(xiàng)系數(shù).5．已知，求的值.【答案】【分析】將等式左邊分組，分解成兩個(gè)完全平方式的和的形式，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可得出關(guān)于a、b的方程，求出a、b的值，最后在代入計(jì)算即可．解：因?yàn)?，所以，所以，，所以，，所?【點(diǎn)撥】本題考查了因式分解的應(yīng)用，熟記完全平方公式的特點(diǎn)，將原式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)完全平方式的和等于0的形式是解決此題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式1】研究下列算式：你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律，請(qǐng)你將找出的規(guī)律用含字母的代數(shù)式表示，且加以說明．【答案】，理由見解析.【分析】通過觀察可發(fā)現(xiàn)上述算式存在如下規(guī)律：4n（n+1）+1=（2n+1）2．解：4×1×（1+1）+1=32=（2×1+1）2；4×2×（2+1）+1=52=（2×2+1）2；4×3×（3+1）+1=72=（2×3+1）2；4×4×（4