數(shù)學(xué)七年級下學(xué)期5.4 分式的基本性質(zhì)

專題5.4分式的基本性質(zhì)（知識講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握分式的基本性質(zhì)，并能利用分式的基本性質(zhì)將分式恒等變形，進而進行條件計算；理解并掌握分式變號的法則；理解并掌握分式的約分、最簡分式；對比分?jǐn)?shù)通分，掌握分式通分的基本運算。【知識要點】要點一、分式的基本性質(zhì)分式的分子與分母同乘(或除以)一個不等于0的整式，分式的值不變，這個性質(zhì)叫做分式的基本性質(zhì)，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）.特別說明：（1）分式基本性質(zhì)中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知條件中隱含著的條件，一般在解題過程中不另強調(diào)；M≠0是在解題過程中另外附加的條件，在運用分式的基本性質(zhì)時，必須重點強調(diào)M≠0這個前提條件.（2）在應(yīng)用分式的基本性質(zhì)進行分式變形時，雖然分式的值不變，但分式中字母的取值范圍有可能發(fā)生變化.例如：，在變形后，字母的取值范圍變大了.要點二、分式的變號法則對于分式中的分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變；改變其中任何一個或三個，分式成為原分式的相反數(shù).特別說明：根據(jù)分式的基本性質(zhì)有，.根據(jù)有理數(shù)除法的符號法則有.分式與互為相反數(shù).分式的符號法則在以后關(guān)于分式的運算中起著重要的作用.要點三、分式的約分，最簡分式與分?jǐn)?shù)的約分類似，利用分式的基本性質(zhì)，約去分子和分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分.如果一個分式的分子與分母沒有相同的因式（1除外），那么這個分式叫做最簡分式.特別說明：（1）約分的實質(zhì)是將一個分式化成最簡分式，即約分后，分式的分子與分母再沒有公因式.（2）約分的關(guān)鍵是確定分式的分子與分母的公因式.分子、分母的公因式是分子、分母的系數(shù)的最大公約數(shù)與相同因式最低次冪的積；當(dāng)分式的分子、分母中含有多項式時，要先將其分解因式，使之轉(zhuǎn)化為分子與分母是不能再分解的因式積的形式，然后再進行約分.要點四、分式的通分與分?jǐn)?shù)的通分類似，利用分式的基本性質(zhì)，使分式的分子和分母同乘適當(dāng)?shù)恼?，不改變分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，這樣的分式變形叫做分式的通分.特別說明：（1）通分的關(guān)鍵是確定各分式的最簡公分母：一般取各分母所有因式的最高次冪的積作為公分母.（2）如果各分母都是單項式，那么最簡公分母就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)與相同字母的最高次冪的乘積；如果各分母都是多項式，就要先把它們分解因式，然后再找最簡公分母.（3）約分和通分恰好是相反的兩種變形，約分是對一個分式而言，而通分則是針對多個分式而言.【典型例題】類型一、判斷分式變形是否正確 1、不改變分式的值，使下列分式的分子、分母都不含負(fù)號．①；②；③；④．【答案】①；②；③；④【分析】分式的基本性質(zhì)：分式的分子分母都乘以或除以同一個不為零的數(shù)或整式，分式的值不變，利用分式的基本性質(zhì)逐一分析即可得到答案.解：①；②；③；④【點撥】本題考查的是分式的基本性質(zhì)，掌握分式的基本性質(zhì)解決分式的三個符號問題是解題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式】填空：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不，從而求出答案．解：（1）；（2）．故答案為：（1）；（2）．【點撥】本題考查了分式的基本性質(zhì)，一定要熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，是一道基礎(chǔ)題．類型二、判斷分式變形成立條件2、下列等式的右邊是怎樣從左邊得到的？（1）；（2）．【答案】（1）由等式左邊的分式的分子分母都乘以y得到等式右邊的分式；（2）由等式左邊的分式的分子分母都除以x得到等式右邊的分式．【分析】（1）根據(jù)分式的性質(zhì)：分式的分子分母都乘以y，可得答案；（2）根據(jù)分式的性質(zhì)：分式的分子分母都除以x，可得答案．解：（1）因為，所以，是由等式左邊的分式的分子分母都乘以y得到等式右邊的分式；（2）因為，所以是由等式左邊的分式的分子分母都除以x得到等式右邊的分式．【點撥】本題考查了分式的基本性質(zhì)，利用了分式的基本性質(zhì)：分式的分子分母都乘以或除以同一個不為零的整式，分式的值不變．舉一反三：【變式】如果成立，則a的取值范圍是_______．【答案】【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)：分子分母同時除以一個不為0的數(shù)，分式的值不變，進行求解即可得到答案．解：由題意得，，解得，故答案為：．【點撥】本題主要考查了分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．類型三、利用分式的基本性質(zhì)判斷分式值的變化3、已知，求的值．【答案】【分析】由題意利用等式的性質(zhì)以及分式的基本性質(zhì)分別對兩式進行變形，并整體代換即可求解.解：由，變形可得即，所以.【點撥】本題考查等式的性質(zhì)以及分式的基本性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)以及運用整體思想進行分析是解題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式】若分式的值為，則把的值均擴大為原來的倍后，這個分式的值為____．【答案】8【分析】根據(jù)題意，將分式中的x、y都換成2x、2y，再利用分式的基本性質(zhì)進行求解即可解答．解：由已知，=4，∵的值均擴大為原來的倍，∴分式的值為=，故答案為：8．【點撥】本題考查分式的基本性質(zhì)，熟練掌握分式的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．類型四、把分式的分子分母最高次項化為正數(shù)4、不改變分式的值，使分子、分母中次數(shù)最高的項的系數(shù)都化為正數(shù)．①；②；③；④．【答案】①；②；③；④【分析】分式的基本性質(zhì)：分式的分子分母都乘以或除以同一個不為零的數(shù)或整式，分式的值不變，從而可得分式的三個符號，同時改變兩個，分式的值不變，根據(jù)分式的基本性質(zhì)：①改變分式的分子與分式本身的符號，可得答案；②改變分式的分母與分式本身的符號，可得答案；③改變分式的分子與分母的符號，可得答案；④改變分式的分子與分母的符號，可得答案.解：①；②；③；④【點撥】本題考查的是利用分式的基本性質(zhì)把分子分母的最高次項的系數(shù)化為正數(shù)，掌握變形的方法是解題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式】若不改變分式的值，使分子與分母的最高次項的符號為正，則＝______．【答案】【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)解答．解：原式＝．【點撥】本題考查分式的應(yīng)用，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．類型五、把分式的分子分母各項的系數(shù)化為整數(shù)5、利用分式的基本性質(zhì)把下列各式的分子、分母中各項的系數(shù)都變?yōu)檎麛?shù)．（1）；

（2）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分子分母都乘以最小公倍數(shù)12，分式的值不變；（2）根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分子分母都乘以最小公倍數(shù)50，分式的值不變．解：（1）原式；（2）原式【點撥】本題主要考查分式的基本性質(zhì)的應(yīng)用，分式的基本性質(zhì)是分式約分和通分的依據(jù)，需要熟練掌握．舉一反三：【變式】不改變分式的值．將分式分子、分母中各項系數(shù)化為整數(shù)．則結(jié)果為______．【答案】【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分子、分母同時乘10即可．解：將分式分子、分母中各項系數(shù)化為整數(shù)．則結(jié)果為，故答案為：．【點撥】本題考查了分式的基本性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練運用分式基本性質(zhì)進行變形．類型六、最簡分式6、（1）有兩塊棉田，第一塊xhm2，收棉花mkg；第二塊yhm2，收棉花nkg．這兩塊棉田平均每公頃的棉產(chǎn)量是多少？（2）一件商品售價x元，利潤率為a%（a＞0），則這種商品每件的成本是多少元？【答案】（1）這兩塊棉田平均每公頃的棉產(chǎn)量是千克；（2）這種商品每件的成本是元．【分析】（1）直接利用總產(chǎn)量除以公頃數(shù)=平均每公頃的棉產(chǎn)量得出答案；（2）利用成本（1+a%）=售價，進而得出等式求出答案．解：（1）由題意可得：，答：這兩塊棉田平均每公頃的棉產(chǎn)量是千克；（2）設(shè)這種商品每件的成本是y元，根據(jù)題意可得：y（1+a%）=x，則y=，答：這種商品每件的成本是元．【點撥】本題主要考查了列代數(shù)式，以及分式的化簡，正確掌握成本與利潤關(guān)系是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式】給出下列分式：（1），（2），（3），（4），（5）其中最簡分式有__．（填序號）【答案】（2）【分析】先將分式因式分解，如果能約分不是最簡分式，如果不能進行因式分解，分子分母不能約分是最簡分式進行判斷即可．解：（1），不是最簡分式；（2）是最簡分式；（3）不是最簡分式；（4）不是最簡分式；（5）不是最簡分式；最簡分式有（2）．故答案為（2）．【點撥】本題考查分式的約分，因式分解，最簡分式，掌握分式的約分，因式分解，最簡分式概念是解題關(guān)鍵．類型七、約分7、約分(2)【答案】(1)；(2)【分析】（1）先找出分子分母的公因式，再將公因式約分即可；（2）先將分式的分子與分母因式分解，再約去分子與分母的公因式即可．解：(1)=；(2)=．【點撥】本題考查分式的約分，公因式，因式分解，約分是將分式的分子與分母中公因式消去，掌握約分，公因式，因式分解是解題關(guān)鍵．舉一反三：【變式】化簡分式＝_____．【答案】【分析】先將分子、分母因式分解，再約掉共同的因式即可．解：原式＝，故答案為．【點撥】本題主要考查分式的約分，規(guī)律方法總結(jié)：由約分的概念可知，要首先將分子、分母轉(zhuǎn)化為乘積的形式，再找出分子、分母的最大公因式并約去，注意不要忽視數(shù)字系數(shù)的約分．類型八、最簡公分母8、化簡：【答案】．【分析】將分子進行因式分解，然后約分即可．解：【點撥】本題考查了解二元一次方程組，分式的化簡，熟練掌握方程組的解法及分式的運算法則是解題的關(guān)鍵．舉一反三：【變式】對分式和進行通分，它們的最簡公分母為______．【答案】6x3y2【分析】先確定系數(shù)，再確定最簡公分母的字母和指數(shù)，可得答案．解：最簡公分母是6x3y2．故答案為：6x3y2．【點撥】本題主要考查了最簡公分母，掌握確定最簡公分母的步驟是解題的關(guān)鍵．即最簡公分母的系數(shù)就是各系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的最高次冪，所有不同的字母都寫在積里．類型九、通分9、與通分的結(jié)果是_______．【答案】【分析】找到最簡公分母，根據(jù)分式的結(jié)伴行知進行通分即可；解：，，最簡