四年級奧數(shù)教材

目錄第一講找規(guī)律〔一〕………2第二講找規(guī)律〔二〕……5第三講長方形和正方形〔一〕……8第四講長方形和正方形〔二〕……11第五講算式謎〔一〕………………14第六講算式謎〔二〕…………17第七講植樹問題〔一〕…………19第八講植樹問題〔二〕…………22能力測試〔一〕…………………25第九講和差問題〔一〕……28◆第十講和倍問題〔一〕……………31◆第十一講和倍問題〔二〕…………33◆第十二講差倍問題…………35◆第十三講年齡問題〔一〕…………38◆第十四講年齡問題〔二〕…………41◆第十五講復(fù)原問題〔一〕……………43◆第十六講復(fù)原問題〔二〕…………45◆能力測試〔二〕………48第17講周期問題〔一〕………2第18講周期問題〔二〕……7第19講假設(shè)問題〔一〕…………12第20講假設(shè)問題〔二〕………………16第21講計數(shù)問題〔一〕……………17第22講計數(shù)問題〔二〕…………19第23講容斥問題〔一〕…………23第24講容斥問題〔二〕……………26能力測試〔一〕……………26第25講行程問題〔一〕………28第26講行程問題〔二〕……31◆第27講平均數(shù)問題………………35◆第28講推理問題〔一〕……………37◆第29講推理問題〔二〕……………39◆第30講巧算〔一〕……40◆第31講巧算〔二〕……45◆第32講巧算〔二〕……45◆第33講巧算〔三〕……45◆第34講等量代換……45◆第35講拼拼算算……45◆能力測試〔二〕………63第一講找規(guī)律〔一〕事物的開展中有規(guī)律的，只有認為觀察事物，找到事物開展變化的規(guī)律，才能深入地了解和掌握它，從而找到解決問題的方法和途徑。在數(shù)學(xué)競賽中，常常出現(xiàn)按規(guī)律填數(shù)的題目，找規(guī)律的方法是根據(jù)數(shù)的前后〔可上下〕之間的聯(lián)系，找出其中的規(guī)律，求得相應(yīng)的數(shù)。例題與方法請找出以下各組數(shù)排列的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律在括號里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)?！?〕1，5，9，13，〔〕，21，25。〔2〕3，6，12，24，〔〕，96，192?！?〕1，4，9，16，25，〔〕，49，64，81。〔4〕2，3，5，8，12，17，〔〕，30，38?！?〕21，4，16，4，11，4，〔〕，〔〕?！?〕1，6，5，10，9，14，13，〔〕，〔〕。例2．根據(jù)下表中數(shù)的排列規(guī)律，在空格里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。132079178592475361261416〔1〕〔2〕例3．下面每個括號里兩個數(shù)按一定規(guī)律組合，在里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)?！?，13〕，〔17，5〕，〔14，8〕，〔，16〕。()25()81816102020()25()81816102020練習(xí)與思考1．找出下面各組數(shù)排列的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律在括號里填上適宜的數(shù)?！?〕1，4，3，6，5，〔〕，〔〕?！?〕1，4，16，64，〔〕。〔3〕11，3，8，3，5，3，〔〕，〔〕?！?〕0，1，3，8，21，〔〕。2．找規(guī)律，在空格里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。8175121610119714124129624〔1〕〔2〕3．下面括號里和兩個數(shù)是按一定規(guī)律組合，根據(jù)規(guī)律在里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)?！?〕〔8，7〕，〔6，9〕，〔10，5〕，〔，13〕。〔2〕〔1，3〕，〔5，9〕，〔7，13〕，〔9，〕。()11()15512186()11()1551218615(1)(2)(2)4591545915()15()501220第二講找規(guī)律〔二〕例1．請先計算下面一組算式的前三題，然后找出其中的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律直接寫出后六題的得數(shù)。1×8+1=12×8+2=123×8+3=1234×8+4=12345×8+5=123456×8+6=1234567×8+7=12345678×8+8=123456789×8+9=例2．請先計算下現(xiàn)的一組算式的第一題，然后找出其中的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律直接寫出后幾題的得數(shù)。12345679×9=1234679×27=1234679×36=12345679×54=12345679×18=12345679×45=12345679×72=12345679×63=12345679×81=例3．下面每行的數(shù)字是按一定規(guī)律排列下去的，請找出規(guī)律，并寫出第六、七、八的數(shù)字。第一行1第二行11第三行121第四行1331第五行14641第六行第七行第八行例4．有一列數(shù)組：〔1，1，1〕，〔2，4，16〕，〔3，9，81〕，…求第100組的三個數(shù)之和比第50組的三個數(shù)之和多多少？練習(xí)與思考找規(guī)律，寫得數(shù)。1×9=91×99=991×999=9991×9999=99991×99999=999991×999999=〔2〕11×11=111×111=1111×1111=11111×11111=111111×111111=2．找出規(guī)律后，直接填寫出括號內(nèi)的數(shù)。1999998÷9=222222〔〕99999〔〕÷9=333333〔〕99999〔〕÷9=444444〔〕99999〔〕÷9=555555〔〕99999〔〕÷9=666666〔〕99999〔〕÷9=777777〔〕99999〔〕÷9=888888〔〕99999〔〕÷9=9999993．找規(guī)律，寫算式。3=3+27×033=6+27×1333=9+27×123333=33333=333333=4．找出以下算式的規(guī)律，把算式填寫完整。19+9×9=100118+98×9=10001117+987×9=10000……〔〕+〔〕×9=10000001111114+〔〕×9=〔〕5．找規(guī)律，在里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)1243694812165□□□□612□□□□第三講長方形和正方形〔一〕同學(xué)們已經(jīng)學(xué)會長方形、正方形的周長與面積的計算，利用公式很容易算出它們的面積與周長。但在遇到一些較復(fù)雜的有關(guān)長方形和正方形的周長和面積計算時，一些同學(xué)就會感到棘手。這兩講我們將教給大家一些平移、轉(zhuǎn)化、分解、合并等技巧，使大家在解題中能順利地找到突破口，化難為易，化繁為簡。例1．有一塊長8分米，寬4分米的長方形紙板與兩塊邊長4分米的正方形拼也一個正方形。拼成的正方形的周長是多少分米？兩個大小數(shù)點相同的正方形拼成一個長方形后，周長比原來的兩個正方形周長的和減少6厘米。原來一個正方形的周長是多少厘米？求圖3和圖4的周長?！矄挝唬好住硤D3圖4圖7是一座廠房的平面圖，求這座廠房平面圖的周長。圖9是個多邊形，圖中每個角都是直角，它的周長是多少？一個正方形被分成3個大小、形狀完全不一樣的長方形〔如圖10〕，每個小長方形的周長都是24厘米，求這個正方形的周長。圖1011圖11是由四個一樣大的長方形和一個周長是4分米的小正方形拼成的一個邊長是11分米的大正方形。每個長方形的長和寬各是多少？周長是多少？11一根鐵絲長12厘米，能圍成幾種長和寬都是整厘米數(shù)的長方形，每咱長方形的長和寬各是幾厘米？圍成的正方形的邊長是幾厘米？練習(xí)與思考把一個長10厘米，寬5厘米的長方形，分成兩個大小一樣的正方形，每個正方形的周長是多少？用一個長8厘米，寬4厘米的長方形與7個邊長4厘米的正方形，拼成一個大正方形。拼成的大正方形的周長是多少？求圖12、圖13的周長。圖14是一座樓房的平面圖，這座樓房平面圖的周長是多少米？1米把一個正方形分成甲、乙兩個局部〔如圖15〕，比擬甲、乙兩個局部1圖17圖17有兩個相同的長方形，長7厘米，寬3厘米，把它們按圖〔16〕的樣子重疊在一起，這個圖形的周長是多少厘米？一個正方形被分成6個大小、形狀完全一樣的長方形〔如圖17〕，每個長方形的周長都是14厘米。原來正文武的周長是多少厘米？一塊長方形布，周長是18米，長比寬多1米，這塊布的長是幾厘米？寬是幾米？用4個一樣大的長方形和一個小正方形，拼成一個邊長是16分米的大正方形〔如圖18〕，每個長方形的周長是多少？第四講長方形和正方形〔二〕4分米圖2一塊長方形土地，長是寬的2倍，中間有一座雕塑，雕塑的底面是一個正方形，周圍是草坪〔4分米圖21120圖1圖2是由6個相等的三角形拼成的圖形，求這個圖形的面積。圖3中大正方形比小正方形的邊長多4厘米，大正方形面積比小正方形多96平方厘米。大正方形和小正方形的面積各是多少？15厘米15厘米圖4圖34如圖4，正方形中套著一個長方形，正方形的邊長是15厘米，長方形的四個角的頂點，恰好分別把正方形四條邊都公成兩段，其中長的一段是短的2倍。這個長方形的面積是多少？如圖5，正方形ABCD的邊長為6分米，長方形BCEF和長方形AGHD的面積分別為24平方分米和20平方分米，求陰影局部和面積。一個邊長是7厘米的正方形紙片，最多能裁出多少個長是4厘米，寬是1厘米的紙條，請畫圖說明。練習(xí)與思考1.用長36厘米長的一根鐵絲圍成一個正方形，它的面積是多少？用這根鐵絲圍成一個長12厘米的長方形，它的面積是多少？2.有一個長方形的市民廣場，長100米，寬80米。廣場中間留了寬4米的人行道，把廣場平均分成四塊〔如圖6〕，每一塊的面積是多少？3.圖7是由12個相等的三角形拼成的，這個圖形的面積是多少？4.如圖8，大正方形的面積比小正方形多52平方分米，大正方形比小正方形的邊長多2分米。小正方形的面積是多少？大正方形的面積是多少？5.圖9是由9個小長方形組成的，按圖中編號，第1，2，3，4，5號的面積分別是1平方米，2平方米，3平方米，4平方米，5平方米，那么，第6號長方形和面積是多少呢？6.如圖10，一個正方形中套著一個長方形，正方形的邊長是16分米，長方形的四個角的頂點恰好把正方形四條邊都分成兩段，其中長的一段是短的3倍。陰影局部的面積是多少？7.圖11中陰影局部的面積是多少？8.把一塊長6分米，寬5分米的長方形鋼板，截成長3分米波，寬2分米的小長方形鋼板，最多能截幾塊？請畫圖說明。第5講算式謎〔一〕算式謎是一種有趣的數(shù)學(xué)問題，它的特點是在算術(shù)運算的式子中，使一些數(shù)字或運算符號“殘缺〞，要我們根據(jù)運算法那么，進行判斷推理，從而把“殘缺〞的算式補充完整。研究和解決算式謎問題，有利于培養(yǎng)我們觀察、分析、歸納、推理等思維能力。從這個意義上講，算式謎問題是一種很好的鍛煉思維的“體操〞。在下面算式的括號里填上適宜的數(shù)。〔1〕〔〕6〔〕〔〕〔2〕〔〕0〔〕〔〕+2〔〕15-3〔〕1680914857例2．A、B、C、D分別代表4個不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字，求使得下面算式成立A、B、C、D各自代表的數(shù)字。ABCDACD+CD1989例3．A、B、C、D分別代表不同的數(shù)字，它們各是什么數(shù)字時同上面的算式成立？ABCD-CDCABC例4．下面的算式中的“數(shù)〞、“學(xué)〞、“俱〞、“樂〞、“部〞這五個漢字各應(yīng)代表什么數(shù)字？1數(shù)學(xué)俱樂部×3數(shù)學(xué)俱樂部1例5．下面算式中不同的字母所找表的數(shù)字均不同，當(dāng)這些字母代表什么數(shù)時，算式成立？ABC×DCBEAFAGHFIGAA1〔1〔〕〔〕〔〕〕1〔〕21〔〕7〔〕〔〕〔〕0下面的算式中，相同的漢字代表相同的數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，求這個算式。新新×春春=新年年新練習(xí)與思考1．在□里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使等式成立。(1)□64(2)□□37□3-□□+48□8□0422．下面算式中不同的圖形代表不同的數(shù)，不同的字母代表不同的數(shù)，請將算式中的圖形或字母復(fù)原成數(shù)字。(1)1○2□(2)ABCD-□1△+ABED3○○EDCAD6〔〕×356〔〕×3533〔〕1〔〕8〔〕〔〕〔〕〔〕我愛數(shù)學(xué)×9學(xué)數(shù)愛我我愛數(shù)學(xué)×9學(xué)數(shù)愛我5abcde×31abcde4(1)(2)3□□□)8□07□3□□□)8□07□1□01□001639)6□□□□□□□□□□0(1)(2)6．下面算式中不同的漢字代表不同的數(shù)字，相同的漢字代表相同的數(shù)字，求出每個漢字所代表的數(shù)字。認認×真真=踏踏實實第六講算式謎〔二〕例1．在五個3之間，添不適當(dāng)?shù)倪\算符號+,-,×,÷和〔〕，使下面的算式成立。33333=6例2．將1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個不同的數(shù)字分別填在□中，使下面三個算式成立。+□=□–□=□×□=□例3．在1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個數(shù)字中，添上+、-兩種運算符號，使其結(jié)果都等于100〔數(shù)字的順序不能改變〕。123456789=100例4．在下面的式子里加上括號，使等式成立?！?〕7×9+12÷3-2=23〔2〕7×9+12÷3-2=75練習(xí)與思考1．從+、-、×、÷、〔〕中選出適宜的符號，添入以下算式的五個數(shù)字之間，使算式成立?！?〕33333=1〔2〕33333=5〔3〕55555=10〔1〕99999=202．把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這十個數(shù)字填到下面的圓圈內(nèi)，使三道算式成立〔每個數(shù)字只能用一次〕。○+○=○○-○=○○×○=○○3．在下面等號左邊的數(shù)字之間添上一些加號，使結(jié)果等于99〔數(shù)的順序不能改變〕。987654321=994．把一個乘號和七個號添在下面算式適宜的地方，使結(jié)果等于100〔數(shù)的順序不能改變〕。123456789=1005．把+、-、×、÷分別填在適當(dāng)?shù)膱A圈內(nèi)〔每個運算符號只能用一次〕，并在方框中填上適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，使兩個等式成立。9○13○7=10014○2○2=□6．在下面的算式中加上括號，使等式成立。〔1〕6+36÷3-2×4=6〔2〕6+36÷3-2×4=150第七講植樹問題〔一〕在一定長度的線路上，等距離地安排假設(shè)干個點植樹，植樹的棵數(shù)、株距〔相鄰兩棵樹之間的距離〕與線路的總長之間存在某種數(shù)量關(guān)系，研究這種數(shù)量關(guān)系的問題通常被稱為植樹問題。植樹問題一般分為線段上的植樹問題和環(huán)形線路上的植樹問題。1．線段上的植樹問題分以下三種情形討論：〔1〕如果植樹線路的兩端都要植樹，那么，植樹的棵數(shù)=線路和全長÷株距+1線路的全長=株距×〔植樹的棵數(shù)-1〕株距=線路的全長÷〔植樹的棵數(shù)-1〕〔2〕如果植樹線路的一端要植樹，另一端不要植樹，那么，植樹的棵數(shù)=線路和全長÷株距線路的全長=株距×植樹的棵數(shù)株距=線路的全長÷植樹的棵數(shù)〔3〕植樹的棵數(shù)=線路和全長÷株距-1線路的全長=株距×〔植樹的棵數(shù)+1〕株距=線路的全長÷〔植樹的棵數(shù)+1〕2．環(huán)形線路上的植樹問題，線路的全長、植樹的棵樹、株距之間的數(shù)量關(guān)系是：植樹的棵數(shù)=線路和全長÷株距線路的全長=株距×植樹的棵數(shù)株距=線路的全長÷植樹的棵數(shù)從以上數(shù)量叛亂中容易看出：植樹的棵樹，株距與線路的全長三個量中，只要知道其中的兩個量，就能求出第三個量。例1．在一條路的一邊種樹，從頭到尾一共種了45棵，相鄰兩棵樹之間相距5米，這條路長多少米？在一條長42米的街道兩邊，每隔6米插一面彩旗〔兩端不插〕，一共需要插多少面彩旗？在一個湖泊周圍筑成周長是3060米的大堤，堤上每隔6米栽柳樹1棵，然后在相鄰的兩棵柳樹之間栽桃樹2棵，大堤上栽柳樹和桃樹各多少棵？把一根木頭鋸成4段需要6分，如果要鋸成13段，需要多少分？小平和小亮同住在一幢大樓里，小平住五樓，小亮住四樓，小平每天回家要走80級臺階，小亮回家要走多少級臺階？練習(xí)與思考1．一條路長100米，在這條路的一旁從頭到尾每隔5米插1面彩旗，一共要插多少面彩旗？2．在一條長75米的長廊一邊擺花盆，起點和終點都擺，一共擺了26盆。相鄰兩盆花之間的距離相等，相鄰兩盆花之間相距多遠？3．在一條馬路的兩側(cè)種樹，每隔10米種一棵〔兩端都不種〕，這條馬路全長240米，一共需種多少棵樹？4．在一條道路的兩旁栽樹，一共栽了32棵，每隔8米栽一棵〔兩端各栽一棵〕，這條路長多少米？5．在一個魚塘周圍筑成周長是1200米的土堤，堤上每隔8米栽一棵楊樹，然后要相鄰兩棵楊樹中間栽一棵松樹。土堤上栽楊樹和松樹各多少棵？6．有4根木料，每根都鋸成6段，每鋸開一處需付鋸板費2元，全部鋸?fù)晷韪朵彴遒M多少錢？7．要把一根木頭鋸成5小段，每鋸一小段要用15分。李叔叔從上午8時10分開始鋸，中間不休息，鋸?fù)陼r是幾時幾分？8．小紅家所在的那座樓房，每上一層樓要走21個臺階，到小紅空要走126個臺階，小紅家住幾樓？9．一個人到一幢十層大樓的第八層辦事，不巧停電，電梯停開。如果這個人從第一層走到第四層要48秒，那么，他以同樣的速度從第四層走到第八層，需要多少秒？10．在一條路的一邊每隔8米放一盆花，連兩端在內(nèi)共放了16盆?，F(xiàn)在拿走花盆，種植小松樹，連兩端在內(nèi)共種了7棵，相鄰兩棵小松樹相距多遠？第8講植樹問題〔二〕例1．四年級學(xué)生260人排成十路縱隊做操，也就是每十個人一排，排成放多排。相鄰兩排之間相隔1米，這支隊伍長多少米？例2．時鐘4點鐘敲4下，6秒敲完，那么，8點鐘敲8下，幾秒敲完？例3．在一個正方形廣場四周安裝路燈，四個頂點都裝有一盞，這樣每邊都有15盞，四周共裝路燈多少盞？例4．一個老人以變的速度在公路上散步，他從第1根電線桿走到第12根電線桿用了22分。如果這個老人走了36分，那么，他應(yīng)該走到第幾根電線桿？〔相鄰兩根電線桿之間的距離相等。〕例5．兩棵樹相隔115米，中間原來沒有樹，現(xiàn)在中間以相等的距離增加22棵樹后，第16棵樹與第1棵樹之間相隔多少米？練習(xí)與思考在馬路的一邊擺一排菊花，一共5盆，再在每兩盆菊花中間擺3盆桂花，一共要擺我少盆桂花？五〔1〕班48名學(xué)生排成四路縱隊，相鄰兩排之間相隔2米，這支隊伍長多少米？時鐘6時敲6下，5秒敲完。那么，這只鐘12時敲12下，幾秒敲完？一位科學(xué)家在做一項實驗，他從下午9時30分開始做第一次記錄，以后每隔20分做一次記錄，他做第七次記錄時是幾時幾分？在一個正方形操場四周插彩旗，四個頂點都插一面，這樣每邊都有10面。四周共插彩旗多少面？小平以不變的速度在小路上散步，他從第1棵樹走到第7棵樹用了24分。如果他走了40分，應(yīng)該走到第幾棵樹？〔相鄰兩棵樹之間的距離相等?！硟煽脴湎喔?20米，在中間以相等的距離增加10棵樹后，第1棵樹與第7棵樹之間相隔多少米？要兩棵松樹之間以相等的距離擺放了14盆花〔松樹與相鄰花盆的間隔等于相鄰兩盆花的間隔〕，第1棵松樹與第5盆花相隔10米，那么，兩棵松樹相隔多遠？一座橋全長168米，方案在橋的兩側(cè)欄桿上各安裝16志廣告牌，每塊廣告牌的橫長為3米，靠近橋兩頭的廣告牌距離橋端都是15米。相鄰兩塊廣告牌之間相隔幾米？有一根180厘米長的繩子，從一端開始每隔3厘米作一記號，每隔4厘米也作一記號，然后將標有記號的地方剪斷，繩子共被剪成了多少段？能力測試〔一〕〔總分值100分，90分鐘完成〕填空題〔每題4分，共44分〕。1．1993個6月1日是星期二，那么，1994年2．一場排球賽，從19時30分開始，共進行了155分。這場比賽〔〕時〔〕分結(jié)束。3．找出下面各組數(shù)排列的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律在括號或方框里填上適宜的數(shù)。〔1〕8，12，16，20，〔〕?！?〕1，5，25，125，〔〕〔3〕1，4，9，16，25，36，49，〔〕〔4〕〔1，4〕，〔6，12〕，〔11，20〕，〔16，28〕，〔21，□〕，〔26，44〕?！?〕511631815844．用一塊長6米、寬3米的長方形鐵皮，拼成的大方形鐵皮的周長是〔5．兩個大小相同的正方形拼成一個長方形后，長方形的周長比原來的兩個正方形周長的和減少了10厘米，原來每個正方形的周長是〔〕。6．在一個湖泊周圍筑了一條大堤，堤上每隔4米栽柳樹一棵，然后在相鄰兩棵柳樹之間栽2棵桃樹，堤上一共栽了桃樹400棵。這條大堤長〔〕7．觀察算式，找出規(guī)律，在括號里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。19＋9×9=100118＋98×9=10001117＋987×9=10000…………〔〕＋〔〕×9=10000001111114＋〔〕×9=〔〕8．在括號里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使算式成立?！病?〔〕4＋1〔〕5〔〕2199．以下算式中，“數(shù)〞、“學(xué)〞、“俱〞、“樂〞、“部〞分別代表哪幾個數(shù)字，請?zhí)钤谙旅嫦鄳?yīng)的括號里。1數(shù)學(xué)俱樂部＋3數(shù)學(xué)俱樂部1數(shù)=〔〕，學(xué)=〔〕，俱=〔〕樂=〔〕，部=〔〕。10．在以下五個5之間，添上適當(dāng)?shù)倪\算符號＋、－、×、÷和〔〕，使算式成立。55555=1011．將01，2，3，4，5，6，這七個數(shù)字分別填入下面的七個□內(nèi)，使算式成立?！酢痢?□□÷□=□□二、判斷題〔對拓括號里打“√〞錯的打“×〞。每題3分，共9分。〕1．ACD＋CD=178，那么D只能等于9。〔〕2．用8分米長的鐵絲圍成的正方形，要比圍成的長方形的面積大?！病?．一個邊長是7厘米的正方形紙片，最多能裁出10個長是4厘米，寬是1厘米的小長方形紙條?！病硲?yīng)用題第1題11分，其余每題6分，共47分〕。下面是兩座樓房的平面圖，這兩個平面圖的周長各是多少？下面圖中的正方形被分成5個大小、形狀完全一樣的長方形，每個長方形的周長都是12厘米，求原來正方形的周長。如圖，正方形中套著一個長方形，正方形的邊長是8分米，長方形的四個角的頂點恰好把正方形四條邊分成兩段，其中長的一段是短的3倍。陰影局部的面積是多少平方分米？廣場上有一面大鐘，5時敲5下，8秒敲完。照這樣計算，11時敲11下，幾秒敲完？有6根木頭，把每根鋸成6段，每鋸開一處需付鋸板費6元。全部鋸?fù)晷韪朵彴遒M多少元？小趙和小王住在同一幢樓，相鄰兩層樓之間的臺階數(shù)相同，小趙住六樓，小王住三樓，小王每天回家要走40級臺階，小趙回家要走多級臺階？林林以不變的速度在小路上散步，小路邊有一排樹。他從第1棵樹走到第9棵樹用了32分。如果從第1棵樹算起，他走了60分，那么，應(yīng)該走到第幾棵樹？〔假定相鄰兩棵樹之間的距離都相等?！车?講和差問題例1．植樹節(jié)，育紅小學(xué)五、六年級學(xué)生共植樹106棵，六年級比五年級多植樹24棵，五、六年級各植樹多少棵？例2．小明期終考試，語文和數(shù)學(xué)的平均分數(shù)是97分，語文比數(shù)學(xué)系少6分，語文和數(shù)學(xué)各得了幾分？例3．一部書有上、中、下三冊，上冊比中冊貴1元，中冊比下冊貴2元，這部書售價32元。上、中、下三冊各多少元？例4．甲、乙兩筐香蕉共64千克，從甲筐里取出5千克放到乙筐里去，結(jié)果甲筐的香蕉還比乙筐的香蕉多2千克。甲、乙兩筐原有香蕉各多少千克？例5．這里有三道加法算式，當(dāng)正方形、三角形、圓形各代表什么數(shù)，才能使等式成立？□+□+△+○=20……〔1〕□+△+△+○=17……〔2〕□+△+○+○=15……〔3〕練習(xí)與思考1．小紅家養(yǎng)了30只雞，母雞比公雞多8只。小紅養(yǎng)母雞、公雞各多少只？2．甲、乙、丙三個數(shù)，和為300，甲比乙大50，乙比丙大20，甲數(shù)是多少？3．甲、乙、丙三個同時參加儲蓄。甲、乙兩人共儲蓄220元，乙、丙兩人共儲蓄180元，甲、丙兩人共儲蓄200元。問：三人各儲蓄多少元？4．兩筐蘋果共重64千克，如果從第一筐中取出8千克放入第二筐后，那么，第一筐蘋果比第二筐少2千克。兩筐蘋果原來各有多少千克？5．小明比小華多30塊糖果，小明給小華25塊糖果，這時誰的糖果多？多幾塊？6．小強沿長與寬相差20米的游泳池池邊跑步5圈，作下水前的準備活動，他共跑了700米，游泳池的長和寬各是多少米？7．張寧同學(xué)期末考試成績?nèi)缦拢赫Z文和數(shù)學(xué)平均成績是94分，數(shù)學(xué)和外語平均成績是88分，外語和語文平均成績是86分。張寧同學(xué)語文、數(shù)學(xué)、外語各得多少分？8．兩個加數(shù)之和比一個加數(shù)大25，比另一個加數(shù)大52，這兩面三刀個加數(shù)的和與差各是多少？9．如果兩個數(shù)的和與差的積是77，這兩個數(shù)各是多少？10．△=8，你能根據(jù)下面兩道算式，算出□和○各表示幾嗎？□+□+△+○=46□+△+△+○=37第10講和倍問題〔一〕我們把幾個數(shù)的和及它們之間的倍數(shù)關(guān)系，求這幾個數(shù)各是多少的問題稱為和倍問題。解答和倍問題，要在條件中確定一個數(shù)為標準〔一般以小數(shù)作為標準〕，假定小數(shù)是1倍或1份，再根據(jù)其他幾個數(shù)與小數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，確定總和相當(dāng)于1倍數(shù)的多少倍，然后用除法求出小數(shù)，再算出其他各數(shù)。和倍問題的數(shù)量關(guān)系是：和÷〔倍數(shù)+1〕=小數(shù)小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)例1．六合農(nóng)場把98000千克糧食分別存入兩個倉庫，已條存入第一倉庫里的糧食是第二倉庫的3倍。兩個倉庫各存多少千克糧食？例2．被除數(shù)、除數(shù)、商三個數(shù)的和是212，商是2，被除數(shù)和除數(shù)各是多少？例3．三籃桃子共有117個，第一籃的桃子是第二籃的2倍，第三籃的桃子是第一籃的3倍。這三籃桃子各有多少個？例4．兩個數(shù)的和是682，其中一個加數(shù)的個位是0，假設(shè)把0去掉，那么與另一個加數(shù)相同。這兩個數(shù)各是多少？例5．有兩堆棋子，第一堆有67個，第二堆有53個。問：從第一堆中拿出多少個棋子放入第一堆，就能使第一堆的棋子是第二堆了2倍？練習(xí)與思考1．兩個數(shù)的和是160，大數(shù)是小數(shù)的3倍，求這兩個數(shù)。2．長方形的周長是36分米，長是寬的2倍，長方形的面積是多少平方分米？3．兩數(shù)相除，商3余4，如果被除數(shù)、除數(shù)、商及余數(shù)相加，和是43，求被除數(shù)和除數(shù)。4．姐姐和妹妹共有人民幣264元〔兩人都是整元的錢〕，姐姐的錢數(shù)的個位是0，如果姐姐把自己錢數(shù)的個位上的0去掉，恰好和妹妹的錢數(shù)相等。姐姐、妹妹各有人民幣多少元？5．甲、乙兩人共儲蓄人民幣1790元，甲取出540元后，乙的錢數(shù)比甲的3倍還多50元。甲、乙兩人原來各儲蓄多少元？6．王村原有水田325公頃，旱田155公頃，現(xiàn)在方案把一局部旱田改成水田，使全村水田的公頃數(shù)相當(dāng)于旱田的3倍，應(yīng)該把多少公頃旱田改成水田？7.甲、乙兩箱茶葉共84千克，如果從乙箱取出12千克放入甲箱，那么甲箱茶葉的重量是乙箱的2倍。兩箱原來各有茶呆多少千克？8．把一個減法算式里的被減數(shù)、減數(shù)與差相加，得數(shù)是990，減數(shù)是差的2倍，減數(shù)是多少？第11講和倍問題〔二〕例1．百貨公司賣出花布和白布共395米，賣出的花布是白布的4倍，花布每米6元，白布每米5元，賣出的花布和白布共值多少元？例2．甲、乙兩數(shù)之積為2500，是甲、乙兩數(shù)之和的20倍，而甲數(shù)又是乙數(shù)的4倍，甲、乙兩數(shù)各是多少？例3．甲、乙兩人共儲蓄1000元，甲取出240元，乙又存入80元，這時甲蓄儲的錢正好是乙的3倍。原來甲比乙多儲蓄多少元？例4．光明小學(xué)買來足球和籃球共30個，買來足球的個數(shù)比籃球的2倍少3個，學(xué)校買來足球的籃球各多少個？例5．大水池里有水2600立方米，小水池里有水1200立方米，如果大水池的水以每分23立方米的速度流入小水池，那么，多少分后小水池中的水是大水池的4倍？練習(xí)與思考1．甲瓶里有酒精470毫升，乙瓶里有酒精190毫升，為了使甲瓶的酒精是乙瓶酒精的2倍，應(yīng)該把甲瓶的酒精倒入乙瓶多少毫升？2．兩個自然數(shù)的和是286，其中一個數(shù)的末位數(shù)是0，如果把這個0去掉，所得的數(shù)與另一個數(shù)相同。原來兩個數(shù)的積是多少？3．甲、乙兩人存款數(shù)相等，如果取出30元，乙存入30元，那么，乙的存款數(shù)恰好是甲的5倍。甲、乙兩人這時各有存款多少元？4．有兩層書架，共186本書。如果從第一層拿走25本書后，第二層的書就比第一層的2倍還多11本。第二層有多少本書？5．甲、乙兩個冷藏庫共存雞蛋1570箱，從甲庫運走350箱后，這時乙?guī)齑娴碾u蛋比甲庫剩下的2倍還多80箱。甲、乙兩庫原來各存雞蛋多少箱？6．兩個數(shù)的和是13002，其中一個數(shù)的百位和十位上的數(shù)都是6，另一個數(shù)百位和十位上的數(shù)都是3，如果用0代替這兩個數(shù)里的6與3，那么，所得的一個數(shù)是另一個數(shù)的2倍，原來的兩個數(shù)各是多少？7．商店運來梨子、蘋果、香蕉共53千克，梨子的重量是蘋果的3倍少3千克，香蕉的重量是蘋果的2倍多2千克，梨子重多少千克？8．南水池有水3830立方米，北水池有水850立方米，如果南水池里的水以每分32立方米的速度流入北水池，那么，多少分后南水池中的水是北水池的3倍？9．面值10元的面值5元的鈔票假設(shè)干張，共175元。10元的張數(shù)是5元張數(shù)的3倍。這兩種鈔票各幾張？第12講差倍問題差÷〔倍數(shù)-1〕=小數(shù)小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù)例1．暑假里，兄弟兩人去池塘釣魚，哥哥比弟弟多釣20條，哥哥釣的條數(shù)是弟弟的3倍。哥哥與弟弟各釣了多少條魚？例2．參加學(xué)校課外舞蹈小組的同學(xué)，女生比男生多45人，女生比男生的4倍少15人，男、女生各有多少人？例3．兩堆煤重量相等，第一堆運走7噸，第二堆運走19噸以后，第一堆剩下的噸數(shù)是第二堆的3倍。兩堆煤現(xiàn)在各有多少噸？例4．一個畜牧場，原有山羊和綿羊的只數(shù)同樣多，如果賣出山羊200只，買進綿羊350只，那么綿羊的只數(shù)是山羊的6倍還多50只。畜牧場原有山羊、綿羊各多少只？例5．有兩筐桔子，如果從第一筐拿出9個放入第二筐，那么兩筐桔子的個數(shù)相等；如果從第二筐拿出12個放入第一筐，那么第一筐桔子的個數(shù)等于第二筐的2倍。原來每筐桔子各有多少個？練習(xí)與思考1.暑假里，哥哥做的數(shù)學(xué)題比弟弟多180道，哥哥做的數(shù)學(xué)題是弟弟的4倍多9道。兩人各做多少數(shù)學(xué)題？2.甲、乙兩人的錢一樣多，甲給乙30元，那么乙的錢是甲的5倍。甲、乙原來各有多少元？3．甲糧倉的大米比乙糧倉多600袋，如果從乙糧倉運出300袋給甲糧倉，那么，甲糧倉的大米是乙糧倉的2倍。兩糧倉原來各有大米多少袋？4．兩塊同樣長的花布，第一塊賣出25米，第二塊賣出7米，剩下的布，第二塊的長度是第一塊的3倍。這兩塊布原來各有多少米？5．兩個數(shù)的商是4，這兩個數(shù)的差是39。那么，這兩個數(shù)中較小的一個數(shù)是多少？6．小英的故事書的本數(shù)是小娟的3倍。如果小英借給小娟10本故事書，小娟的故事書的本數(shù)等于小英的3倍。小英、小娟原來各有故事書多少本？7．水果店有重量相等的蘋果和梨子各一筐，蘋果賣出60千克，梨子又放入40千克，結(jié)果梨子的重量是蘋果的3倍。原來蘋果、梨子各有多少千克？8．四〔1〕班和四〔2〕班原有圖書的本數(shù)一樣多。后來，四〔1〕班又買事新書126本，而四〔2〕班從本班原有的書中取出234本借給四〔3〕班。這時，四〔1〕班圖書的本數(shù)是四〔2〕班的3倍。四〔1〕班和四〔2〕班原來各有圖書多少本？9．一天，甲、乙、丙三人去郊外釣魚，甲比乙多釣6條，丙釣的魚是甲的2倍，比乙多釣22條。他們?nèi)艘还册灹硕嗌亵~？10．甲對乙說：“你給我100元，我的錢將比你多1倍。〞乙答復(fù)說：“你只要給我10元，我的錢就比你多5倍。〞問：兩人各有多少元？第13講年齡問題〔一〕日常生活中到處存在著數(shù)學(xué)，一些關(guān)于年齡的數(shù)學(xué)趣題，尤其使人迷戀。大象對長頸鹿說：“我現(xiàn)在的年齡，等于我像你那么大時你的年齡的2倍，而等你長到我這么大時，我倆的年齡之和是63歲。〞你能根據(jù)大象的話，算出大象與長頸鹿的年齡嗎？小鯨魚說：“媽媽，我到您現(xiàn)在這么大時，您就31歲啦！〞鯨魚媽媽說：“我像你那么大年齡時，你只有1歲。〞你能根據(jù)他們的對話，算出鯨魚媽媽和小鯨魚現(xiàn)在各是多少歲嗎？年齡問題生動有趣，又往往是和差、倍數(shù)等問題的綜合，因此需要靈活地解決。例1．媽媽今年43歲，女兒今年11歲，幾年后媽媽的年齡是女兒的3倍？幾的前媽媽的年齡是女兒的5倍？例2．今年，父親的年齡是女兒的4倍，3年前，父親和女兒年齡的和是49歲。父親、女兒今年各是多少歲？例3．一家有三口人，三個人年齡之和是72歲，媽媽和爸爸同歲，媽媽的年齡是孩子的4倍。三人各是多少歲？例4．王英5年前的年齡等于李明7年后的年齡，王英4年后與李明3年前的年齡和是35歲。王英、李明二人今年各幾歲？例5．哥哥與弟弟兩人3年后的年齡和是27歲。弟弟今年的年齡等于兩人的年齡差。哥哥和弟弟今年各幾歲？練習(xí)現(xiàn)思考1．小紅今年14歲，爸爸41歲。幾年前爸爸的年齡是小紅的4倍？2．父親今年38歲，兒子今年10歲。幾年之后，父親的年齡是兒子的3倍？3．父子兩人的年齡和是64歲，兒子年齡的3倍比父親多8歲。父子兩人的年齡各是多少歲？4．爸爸比小剛大25歲，爸爸的年齡比小剛年齡的5倍少3歲。爸爸多少歲？5．小麗今年7歲，小麗媽媽今年35歲。小麗多少歲時，媽媽的年齡是小麗的8倍？6．4年前，媽媽的年齡是娟娟的4倍，娟娟今年12歲，今年媽媽的年齡是小麗的幾倍？7．爸爸今年35歲，媽媽今年31歲。當(dāng)爸爸和媽媽年齡之和等于98歲時，爸爸和媽媽各是多少歲？8．哥哥5年前的年齡等于妹妹7年后的年齡，哥哥4年后與妹妹3年前年齡的和是35歲。求哥哥、妹妹今年的年齡？9．今年哥哥16歲，弟弟比哥哥小3歲，多少年后兄弟兩年齡的和為45歲？那時哥哥和弟弟各幾歲？10．甲的年齡比乙的年齡的3倍少4歲，甲7年前的年齡和乙9年后的年齡相等。甲、乙現(xiàn)在各是多少歲？第14講年齡問題〔二〕例1．祖父和父親、父親和孫子年齡的差是一樣的，又知祖父和孫子的年齡之和為84歲，這個歲數(shù)再加上孫子的年齡，正好是100歲。問：三人的年齡各是多少歲？例2．祖孫三人的年齡加在一起正好是100歲，祖父過的年數(shù)正好等于孫子過的月數(shù)，兒子過的星期數(shù)正好等于孫子過的天數(shù)。問：三人的年齡各是多少歲？例3．王叔叔對小明說：“我15年前的歲數(shù)和你6年后的歲數(shù)相同。7年前，我的年齡是你的年齡的8倍。〞小明今年多少歲？王叔叔今年多少歲？例4．小英一家由小英的她的父母組成。小英的父親比母親大3歲。今年全家年齡的總和是71歲，8年前這個家庭的年齡總和是49歲。今年小英多少歲？父親多少歲？母親多少歲？練習(xí)與思考1．今年小明和媽媽的年齡和是42歲，6年前，媽媽的年齡是小明年齡的14倍。小明和媽媽今年各多少歲？2．李老師的年齡比小紅年齡的2倍多8歲，李老師10年前的年齡和小紅8年后的年齡相等。小紅今年幾歲？3．15年前父親的年齡是兒子的7倍，10年后父親的年齡是兒子的2倍。父親、兒子現(xiàn)在各多少歲？4．大馬年齡是小馬年齡的4倍，再過20年大馬的年齡比小馬的2倍小14歲。大馬、小馬現(xiàn)在各多少歲？5．四個人年齡之和是77歲，最小的是10歲，最大的與最小的年齡之和比另外兩人年齡之和大7歲。最大的年齡是多少歲？6．4年前，母親的年齡是芳芳的4倍，芳芳今年12歲了。今年母親的年齡是芳芳年齡的幾倍？7．哥哥對弟弟說：“當(dāng)我是你今年的歲數(shù)那一年，你剛剛3歲。〞弟弟對哥哥說：“當(dāng)我長到你今年的歲數(shù)時，你就是15歲了。〞哥哥、弟弟今年各多少歲？第15講復(fù)原問題〔一〕復(fù)原問題是指條件中只說明了中間的開展過程和最后結(jié)果，要求最初狀態(tài)的一類問題。解答這類問題逆向思維很重要，通常要運用倒推法〔復(fù)原法〕，即從最后一步出發(fā)，一步一步倒著往前推算，逐步倒著往前推算，逐步靠攏條件，直到問題解決。例1．某數(shù)加上6，乘以6，減去6，除以6，其結(jié)果等于6，求某數(shù)。例2．有一位老人說：“把我的年齡加上14后除以3，再減去26，最后用25乘，恰巧是100歲。〞這位老人今年多少歲？例3．在做一道加法式題時，某學(xué)生把個位上的5看作9，把十位上的8看作3，結(jié)果所得的和是123。正確的答案是多少？例4．工人們修一段路，第一天修了公路全長的一半還多2千米，第二天修了余下了一半還少1千米，還剩20千米沒有修完。公路的全長是多少千米？練習(xí)與思考1．某數(shù)加上10，乘以10，減去10，除以10，結(jié)果等于10。這個數(shù)是多少？2．《小學(xué)生數(shù)學(xué)報》少年數(shù)學(xué)愛好者俱樂部成立的年份數(shù)加上2后，縮小100倍，再擴大4倍，最后減去25，正好是55。這個俱樂部成立于哪一年？3．有一個說：“把我的年齡加上28后除以15，再用8乘，就是32歲。〞這個人多少歲？4．小明在做一道加法計算題時，把個位上的4看作7，十位上的8看作2，結(jié)果和是306。正確的答案應(yīng)該是多少？5．王大爺去糧站買米，糧站的陳叔叔因粗心，錯把一袋米少算了20千克，把另一袋米多算了3千克，合計賣給王大爺60千克米。王大爺實際購置了多少千克米？6．一捆電線，第一次用去全長了一半多3米，第二次用去余下的一半多5米，還剩下7米。這捆電線原來長多少米？7．有一籃雞蛋，第一次取出一半多2個，第二次取出余下的一半多2個，第三次拿出8個，籃里還剩2個雞蛋?；@里原來有多少個雞蛋？8．小剛買毛巾用去所帶錢的一半，買手帕用去2元錢，買香皂用去剩余錢的一半，這時還剩4元錢。小剛買毛巾用去多少錢？一共帶了多少錢？9．某倉庫運出三次原料，第一次運出總數(shù)的一半，第二次運出余下的一半，第三次運出前兩次運完后余下的一半，最后把剩下的原料分給甲、乙兩個工廠，甲廠得6噸，是乙廠的2倍。倉庫原有原料多少噸？10．把假設(shè)干個面包分給甲、乙、丙三個人吃，甲吃了全部的一半多1個，乙吃了剩余的一半多1個，丙吃了最后剩余的一半多1個，這樣面包剛好全部吃完。原來有幾個面包？第16講復(fù)原問題〔二〕例1．甲、乙、丙三個組共有圖書90本，如果乙組向甲組借3本后，又送給丙組5本，結(jié)果三個組所有圖書的本數(shù)剛好相等。甲、乙、丙三個組原來各有圖書多少本？例2．甲、乙兩個車站共停了195輛汽車，如果從甲站開到乙站36輛，又從乙站開出45輛汽車，這時乙站停了汽車輛數(shù)是甲站的2倍。原來甲、乙兩站各停放多少輛汽車？例3．一筐魚連筐重122千克，賣出一半魚后，再賣出剩下的魚的地半，這時連筐還重35千克。原來筐和魚各重多少千克？練習(xí)與思考1．小亮在計算一道除法題的時候，把除數(shù)36寫成62，結(jié)果重到的商是30余12。正確的商應(yīng)該是多少？2．小明在做一道減法題的時候，把被減數(shù)個位上的4錯寫成7，把十位的1錯寫成5，把百位上的3錯寫成2，這樣，他算得的差是143。正確的差應(yīng)該是多少？3．小蘭問一位老師今年多大年紀，老師說：“把我的年齡除以6后加上14，再乘以3，最后減去27，是33歲。〞這位老師多少歲？4．操場上放了一些花盆，第一次搬走了全部的一半多8盆，第二次搬走了余下的一半少4盆，將剩下了擺成6排，每排恰好放2盆。原來有多少個花盆？5．甲、乙、丙三個小朋友共有年歷片120張，如果甲給乙13張，乙給丙23張后，他們每人的張數(shù)相等。原來三人各有年歷片幾張？6．甲、乙、丙共有72元錢，甲拿出與乙同樣多的錢給乙，乙再拿出與丙同樣多的錢給丙，這時三人的錢數(shù)同樣多。甲、乙、丙三人原來各有多少錢？7．甲、乙兩個車站共停了90輛汽車，如果從乙站開到甲站12輛汽車，又從甲站開出30輛汽車，這時甲站停的汽車輛數(shù)是乙站的3倍。原來甲、乙兩站各停了多少輛汽車？8．甲、乙兩個車站共停了90輛汽車，如果從甲站開到乙站38輛汽車后，乙站開到甲站14輛，這時兩站停的汽車輛數(shù)相等。兩站原來各停了多少輛汽車？9．某車間分成甲、乙兩個組，因生產(chǎn)需要，把甲組工人的一半調(diào)到乙組去了，后來改變工作程序，又把乙組工人中的25人調(diào)到了甲組，這時甲組有45人，乙組有22人。甲、乙兩個組原來各有多少人？10．一個水桶里面裝有水，連桶稱是5千克，把水加到原來的4倍，連桶稱是11千克。桶里原來有多少千克水？桶有多重？能力測試〔二〕〔總分值100分，90分鐘完成〕一、填空題〔每題2分，共20分〕。1．白兔的只數(shù)是黑兔的4倍，〔〕的只數(shù)是1份，〔〕的只數(shù)是4份，白兔和黑兔一共有〔〕份，白兔比黑兔多〔〕份。2．紅花和黃花共有120朵，紅花的朵數(shù)是黃花的5倍，黃花有〔〕朵，紅花有〔〕朵。3．公雞和母雞共有52只，公雞比母雞少8只，公雞有〔〕只，母雞有〔〕只。4．故事書和科技書一共有84本，故事書比科技書多6本，故事書有〔〕本，科技書有〔〕本。5．山羊的只數(shù)比綿羊多45只，山羊的只數(shù)是綿羊的4倍，綿羊有〔〕只，山羊有〔〕只。6．排球的個數(shù)比足球少30個，足球的個數(shù)是排球的6倍，排球有〔〕個，足球有〔〕個。7．甲數(shù)除以乙數(shù)商是7，〔〕是1份，〔〕是7份，〔〕比〔〕多6份。8．甲、乙兩數(shù)的和是180，甲數(shù)除以乙數(shù)商是9，甲、乙兩數(shù)的差是〔〕9．今年父親比兒子大25歲，三年后，父親比兒子大〔〕歲。10．小東是小學(xué)四年級的學(xué)生，他和爸爸今年年齡的和是48歲，三年前，兩人年齡的和是〔〕歲。二、應(yīng)用題〔每題8分，共80分〕。1．南京長江大橋分為上下兩層，上層是公路橋，下層是鐵路橋。鐵路橋和公路橋共長11270米。鐵路橋比公路橋長2270米。南京長江大橋的鐵路橋和公路橋各長多少米？2．大房間面積比小房間大36平方米，大房間的面積是小房間的3倍。大小房間各有多少平方米？3．甲、乙兩船共載乘客623人，假設(shè)甲船增加34人，乙船減少57人，那么，兩船乘恰好相等。兩船原來各有乘客多少人？4．父親經(jīng)兒子大30歲，明年父親的年齡是兒子的3倍。兒子今年多少歲？5．小玲做一道減法題的時候，把減數(shù)個位上的9錯寫成6，十位上的6錯寫成9，得到的差是578。請你算一算，正確的差是多少？6．甲、乙、丙三個組共有圖書90本，如果乙組向甲組借3本后，又送給丙組5本，那么，三個組的圖書數(shù)剛好相等。甲、乙、丙三個組原來各有圖書多少本？7．兩個數(shù)的和是616，其中一個數(shù)個位數(shù)是0，如果把0去掉，就與另一個數(shù)相同。這兩個數(shù)各是多少？8．甲桶油重24千克，乙桶油重16千克，要使甲桶油的重量是乙桶油的3倍，需要從乙桶倒入甲桶多少千克？9．甲、乙兩筐蘋果的重量相同，甲筐賣出7千克，乙筐賣出19千克以后，甲筐余下的重量是乙筐的3倍。甲、乙兩筐蘋果原來各有多少千克？10．小亮和他爸爸、媽媽今年的年齡分別是6歲、35歲和31歲。多少年后爸爸、媽媽的年齡和是小亮年齡的5倍？第17講周期問題〔一〕我們知道，一年有12個月，從一月開始，一月、二月、三月、……十二月；每周有七天，從星期一開始，星期一、星期二、……星期天。在日常生活中有許多類似這樣重復(fù)出現(xiàn)的現(xiàn)象，一些數(shù)、圖形的變化也是周而復(fù)始地循環(huán)出現(xiàn)的，我們把這種特殊的規(guī)律性問題稱為周期問題。解答這類題目只有找到規(guī)律，才能獲得正確的方法。例1．●●○●●○●●○……上面黑、白兩色小球探險一定的規(guī)律排列著，其中第90個是〔〕例2．有同樣大小的紅、白黑珠共150個，按先5個紅的，再4個白的，再3個黑的排列著。第144個珠是什么顏色？例3．有249朵花，按5朵紅花、9朵黃花、13朵綠花的順序排列，最后一朵花是什么顏色的？例4．有同樣大小的紅、黃、藍彈子共180個，按先4個紅的，再2個黃的，再3個藍的排列著。三種顏色的彈子各有多少個？例5．共產(chǎn)黨好共產(chǎn)黨好共產(chǎn)黨好……社會主義好社會主義好社會……上表中，將每列上下兩個字組成一組，例如，第一組為〔共，社〕，第二組為〔產(chǎn)，會〕，那么，第128組是〔〕練習(xí)與思考1．根據(jù)圖中物體的排列規(guī)律，填空。(2)□○△□○△……第55個是〔〕2.把1～100號的卡片依次發(fā)給小紅、小芳、小華、小明四個人，1號發(fā)繪小紅，16號發(fā)給誰？38號呢？3．四〔1〕班六位同學(xué)在進行報數(shù)游戲，他們圍成一圈，小娟報“1”，小華報“2”，小麗報“3”，小勇報“4”，小強報“5”，小琳報“6”，每位報的數(shù)總比前一位多1。“72”是誰報的？“190”呢？4．一些黑白珠子按一定規(guī)律排列〔如圖〕，如果這些珠子共有50個，那么倒數(shù)第六個珠子是什么顏色？●●●○●●●○●●●○……5．有同樣大小的紅、白、黑珠共90個，按先3個紅的，后2個白的，再1個黑的排列。黑珠共有幾個？第68個珠子是什么顏色？6．有100朵花，按4朵紅花，3朵綠花，5朵黃花，2朵紫花的順序排列，最后一朵是什么顏色的花？四種花各有幾朵？ABCDABCD……12312312……7．第26列的字母和數(shù)字各是什么？8．如下圖，每列上、下兩個字〔字母〕組成一組，例如，第1組是〔我，A〕，第二組是〔們，B〕，我們愛科學(xué)我們愛科學(xué)我們……ABCDEFGABCDE……第26組是什么？第18講周期問題〔二〕例1．10個2連乘的積的個位數(shù)是幾？例2．1998年元旦是星期四，1998年元旦是星期幾？例3．黑珠、白珠共185個串成一串，排列如圖：○●○○○●○○○●○○○……ABCDE123487659101112ABCDE1234876591011121615141317181920…………例5．有一個1111位的數(shù)，各位數(shù)字都是1，這個數(shù)除以6余數(shù)是幾？商的末位數(shù)字是幾？練習(xí)與思考1．42個8連乘以積的個位數(shù)是幾？2．99個999連乘，所得積的個位數(shù)字是幾？3．1988年2月1日是星期日，1992年2月1日是星期幾？1998年2月1日呢？4．如果時鐘現(xiàn)在表示的時間是18時整，那么，分針旋轉(zhuǎn)1990圈以后是幾時？5．黑珠、白珠共150個串成一串，排列如圖：○●●○○●●○○●●○○……最后一個是什么顏色的？這一串共有多少個白珠，多少個黑珠？6．英文字母A、B、C、D探險BCDABAACDABAACDABAACD…排列，共250個字母，最后一個字母是什么？A、B、C、D各多少個？7．按表中的順序排下去，數(shù)“1998”在下面兩個表中各出現(xiàn)在哪個字母的位置上？ABCDABCD246814121016182022282624…………ABCD1234765891011141312…………8．一個200位的數(shù)，每位上的數(shù)字都是3，用它除以7，余數(shù)是幾？商的末位數(shù)字是幾？9．3×3×3×…×3共85個3相乘，加上4×4×4×…×4共80個4相乘，它們和的個位數(shù)是幾？10．小紅數(shù)左手的手指，大拇指為1，食指為2，中指為3，無名指為4，小指為5，然后換向，無名指為6，中指為7，食指為8，大拇指為9，再換向，食指為10，…這樣，數(shù)到2000停在哪個手指上？第19講假設(shè)問題〔一〕假設(shè)法是解容許用題時經(jīng)常用到的一種方法。所謂“假設(shè)法〞就是依據(jù)題目中的條件或結(jié)論作出某種設(shè)想，然后按照條件進行推算，根據(jù)數(shù)量上出現(xiàn)的矛盾，再適當(dāng)調(diào)整，從而長到正確答案。我們看這樣一道題：在同一個籠子里的，有假設(shè)干雞和兔。從籠子上看有30個頭，從籠子下數(shù)有70只腳。這個籠子里裝有雞、兔各多少只？這樣的問題屬于“雞兔同籠〞問題，解決這類問題通常用假設(shè)法。我們可以先假設(shè)籠子里全部都是雞，根據(jù)雞、兔的總只數(shù)可以算出在假設(shè)條件下共有多少只腳，結(jié)果一定比的問好腳數(shù)少，每差2只腳就說明有1只兔，所以，用所差的腳數(shù)除以2，就可以求出兔的只數(shù)，從而可以求出雞的只數(shù)。也可以先假設(shè)全部都是兔，按照前面的方法推算出雞的只數(shù)。用假設(shè)法解答雞兔同籠問題的根本數(shù)量關(guān)系式是：兔數(shù)=〔實際腳數(shù)-每只雞腳數(shù)×雞兔總數(shù)〕÷〔每只兔子腳數(shù)-每只雞腳數(shù)〕雞數(shù)=〔每只兔子腳數(shù)×雞兔總數(shù)-實際腳數(shù)〕÷〔每只兔子腳數(shù)-每只雞腳數(shù)〕例1．本講開始例舉題目。例2．王芳有2分、5分的硬幣共40枚，一共是1元2角5分。兩種硬幣各有多少枚？例3．王老師帶了51名同學(xué)去公園劃船，共租了11條船，每條大船坐6人，每條小船坐4人。請你算一算，他們租了大船、小船各幾條？例4．一批鋼材，用小卡車裝載，要用45輛；如果用大卡車裝載，只需用36輛。每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，這批鋼材有多少噸？例5．王老師從家到學(xué)校上班，出發(fā)時他看看表，發(fā)現(xiàn)如果步行，每分行80米，他將遲到5分；如果騎自行車，第分行200米，他可以提前7分到校。王老師出發(fā)時離上班時間有多少分？練習(xí)與思考1．雞兔共100只，共有腳284只，雞兔各有多少只？2．2元、5元的人民幣共27張，全計99元。2元、5元的人民幣各有多少張？3．用一元錢買8分郵票和4他郵票，共買了17張。買的4分郵票與8分郵票相差多少張？4．電影院一天售出甲、乙兩種電影票共1700張，共收款7800元。甲種票每張6元，乙種票每張4元。甲、乙兩種電影票各售出多少張？5．田甜這學(xué)期的21次測驗成績?nèi)际?分或5分〔老師采用5分評分制〕，總共加起來是100分。她得了多少次5分？6．王師傅有2元，5元，10元的人民幣共118張，共計500元，其中5元與10元的張數(shù)相等。三種人民幣各有多少張？7．張老師帶了55個學(xué)生去劃船，共乘從10只船，其中大船坐6人，小船坐4人。大船和小船各幾只？8．有一堆土，用大汽車運，要運50次；如果用小汽車運，要運80次。每輛大汽車比小汽車多運3噸，這堆土有多少噸？9．李老師從學(xué)校到教委去開會，出發(fā)時他看一下表，發(fā)現(xiàn)如果步行每分行行100米，他將遲到6分；如果騎自行車每分行200米，可以提前3分到達。李老師出發(fā)時離開會有多少時間？10．松鼠采松子，晴天每天可采用20個，雨天每天可采12個，它一連幾天采了112松子，平均每天采14個。這幾天當(dāng)中有幾天下雨？第20講假設(shè)問題〔二〕例1．三、四、五年級同學(xué)共植樹108棵。三年級比四年級少植18棵，五年級比三年級多植30棵，三個年級同學(xué)各植樹多少棵？例2．每個大油桶可裝油4千克，每個小油桶可裝油2千克，大桶和小桶共50個，大桶比小桶共多裝油20千克。大、小油桶各多少個？例3．搬運1000只玻璃瓶，規(guī)定平安運到一只可得搬運費3角，但打碎一只，不僅不給搬運費，還要賠5角。如果運完后共得運費260元，那么，搬運中打碎了幾只玻璃瓶？例4．水果糖每千克2.4元，奶糖每千克3.2元，某單位買進水果糖和奶糖共200千克，付款時發(fā)現(xiàn)買奶糖比水果糖多用220元，兩種糖各買進多少千克？例5．雞兔同籠，雞比兔多14只，共有腳136只，雞兔各有多少只？練習(xí)與思考1．小明、小宇、小虹、小葉到森林里去采蘑菇。他們共采了80個蘑菇，小明比小宇少采了8個，小虹比小明少采14個，小葉和小虹采的一樣多。他們每人采了多少個蘑菇？2．三筐蘋果共130個，第二筐內(nèi)的蘋果數(shù)是第一筐的3倍，第三筐的蘋果數(shù)是第二筐的2倍多10個，三筐蘋果各有多少個？3．小紅有一個小儲蓄箱，一天，她把儲蓄箱里存的錢全倒出來了。數(shù)一數(shù)，二分硬幣和五分硬幣共152枚，算一算，五分硬幣比二分硬幣多少60分，兩種硬幣各多少枚？4．學(xué)校組織參觀，全校共720人參加。一輛大轎車比一輛小卡車多載20人。6輛大轎車和8輛小卡車載的人數(shù)相等。如果都乘小卡車需要幾輛？5．某次數(shù)學(xué)競賽共20道題，評分標準是：每做對一道題得5分，每做錯或不做一題扣1分。李強參加了這次競賽，得了64分。李強做對了幾道題？6.辦公室買水瓶和茶杯共花了136元，每只水瓶14元，每只茶杯2元，買的茶杯比水瓶多36只。買水瓶和茶杯各多少只？7．某電視機廠每天生產(chǎn)電視機500臺，在質(zhì)量評比中，每生產(chǎn)一臺合格電視機記5分，每生產(chǎn)一臺不合格電視機扣18分。該廠四天評比中得了9931分，這四天生產(chǎn)了多少臺合格電視機？8．雞兔同籠，共有腳138只，雞比兔多12只。雞兔各有多少只？9．六〔2〕班42個同學(xué)參加植樹，男生平均每人種3棵，女生平均每人種2棵，男生比女生多種56棵，男、女生各多少人？10．小王、小李兩人射擊比賽，約定每中一發(fā)記20分，脫靶一發(fā)那么扣12分。兩人各打了10發(fā)，共得208分，小王比小李多得64分。小王、小李兩各打中幾發(fā)？第21講計數(shù)問題〔一〕我們已經(jīng)認識了角、三角形、長方形、正方形等根本圖形，當(dāng)這些圖形重疊交錯在一起時，就構(gòu)成了錯綜復(fù)雜的幾何圖形，要想準確地計算出這類圖形中所包括的某一種根本圖形的個數(shù)，就需要認真觀察，靈活地運用有關(guān)的根本概念和知識，并學(xué)會運用一些正常的解題思考方法，掌握數(shù)圖形的規(guī)律，這樣才能獲得正確的計數(shù)結(jié)果。數(shù)出下面各圖中線段的總條數(shù)。數(shù)一數(shù)，圖中有多少條線段。ABABCD1D2D3D4D5D6D7數(shù)一數(shù)圖中共有多少線線段。A5OA5OA1A2A3A4練習(xí)與思考數(shù)一數(shù)，各圖中有多少條線段。(1)C2C1C2C1C19ABC3…C182．如果線段AB上共有8個點〔包括A、B兩點〕，那么，共有多少條線段？3．乘火車從南京到上海，途中共有5個站〔不包括南京、上?！?，共有多少條不同的路段？BDBDCEA..〔2〕(1)〔4〔4〕〔3〕〔6〔6〕〔5〕5．?dāng)?shù)一數(shù)，各圖中有幾個銳角。6．某班有35個學(xué)生，現(xiàn)將34個學(xué)生排成一隊，另外一個站在隊外，如果把每個學(xué)生看成一點，那么，這35個學(xué)生可以組成多少條線段？第22講計數(shù)問題〔二〕分別數(shù)出下面各圖中長方形的個數(shù)。數(shù)一數(shù)下左圖中有多少個正方形。數(shù)一數(shù)，圖中有多少個三角形。數(shù)一數(shù)，圖中有多少個三角形。如圖，從甲地到乙地有2條路可走，從乙地到丙地有3條路可走；從甲地到丁地有4條路可走，從丁地到丙地有2條路可去。從甲地到丙地共有多少種不同的走法？練習(xí)與思考1．?dāng)?shù)一數(shù)，圖中有多少個長方形?！?〕〔2〕2．?dāng)?shù)一數(shù)，圖中有多少個正方形。3.數(shù)一數(shù)，圖中有多少個三角形。4．?dāng)?shù)一數(shù)，下左圖中有三角形、平等四邊形、梯形各多少個。5．聯(lián)結(jié)A、B、C、D四個城市的道路如下圖：〔1〕從A城經(jīng)B城到C城的不同走共有多少種？〔2〕從A城到C城的不同走法共有多少種？第23講容斥問題〔一〕容斥問題涉及到一個重要的原理——包含與排除原理，也稱為容斥原理，即當(dāng)兩個計數(shù)局部有重復(fù)包含時，為了不重復(fù)地計數(shù)，應(yīng)從它們的和中排除重復(fù)局部。這一講我們先介紹容斥原理1對n個事物，如果采用兩種不同的分類標準：按性質(zhì)a分類與性質(zhì)b分類〔如圖1〕，那么，具有性質(zhì)a或性質(zhì)b的事物的個數(shù)=Na+Nb-Nab。例1．一個班有55名學(xué)生，訂閱《小學(xué)生數(shù)學(xué)報》的有12人，訂閱《今日少年報》的有9人，兩種報紙都訂閱的有5人?！?〕訂閱報紙的總?cè)藬?shù)有多少？〔2〕兩種報紙都沒訂閱的有多少人？例2．一個旅行社有36人，其中會英語的有24人，會俄語的有18人，兩樣都不會的有4人，兩樣都會的有多少人？例3．在1到100的全部自然數(shù)中，既不是6的倍數(shù)也不是5的倍數(shù)的數(shù)有多少個？例4．藝術(shù)節(jié)那天，學(xué)校的畫廊里展了了每個年級學(xué)生的圖畫作品，其中有23幅畫不是五年級的，有21幅畫不是六年級的，五、六年級參展的畫共有8幅。其他年級參展的畫共有多少幅？練習(xí)與思考將邊長分別為4厘米和5厘米的正方形紙片局部重疊，蓋在桌面上〔如圖6〕，重疊的局部為9平方厘米，兩塊正方形紙片蓋住桌面的總面積是多少平方厘米？2．二〔2〕班有50名學(xué)生，下課后每人都至少做完了一門作業(yè)，其中做完語文作業(yè)的有35人，做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有40人，兩種作業(yè)都做完的有多少人？3．有62名學(xué)生，其中會彈鋼琴的有11名，會吹豎笛的有56名，兩樣都不會的有4名，兩樣都會的有多少名？4．某校選出50名學(xué)生參加區(qū)作文比賽和數(shù)學(xué)比賽，作文比賽獲獎的有14人，數(shù)學(xué)比賽獲獎的有12人，有3人兩項比賽都獲獎的，兩項比賽都沒獲獎的有多少人？5．四〔1〕班有40個學(xué)生，其中有25人參加數(shù)學(xué)小組，23人參加航模水組，有19人兩個小組都參加了，那么，有多少人兩個小組都沒有參加？6．在一次數(shù)學(xué)測驗中，所有同學(xué)都答了第1、2兩題，其中答對第1題的有35人，答對第2題的有28人，這兩題都答對的有20人，沒有人兩題都答錯。一共有多少人參加了這次數(shù)學(xué)測驗？7．一個俱樂部里，會下中國象棋的有69人，會下國際象棋的有52人，這兩種棋都不會下的有12人，都會下的有30人。這個俱樂部里有多少人？8．某班上體育課，全班排成4行〔每行的人數(shù)相等〕，小芳排的位置是：從前面數(shù)第6個，從后面數(shù)第7個。這個班共有多少名學(xué)生？9．在1到200的全部自然數(shù)中，既不是8的倍數(shù)也不是5的倍數(shù)的數(shù)有多少個？10．科技節(jié)那天，學(xué)校的科技室里展出了每個年級學(xué)生的科技作品，其中有114件不是一年級的，有96件不是二年級的，一、二年級參展的作品共32件。其他年級參展的作品共有多少件？第24講容斥問題〔二〕這一講介紹容斥原理2n個事物，如何采用三種不同的分類標準：按性質(zhì)a分類、性質(zhì)b分類與性質(zhì)c分類〔如圖1〕，那么，具有性質(zhì)a或b或c的事物的個數(shù)=(Na+Nb=Nc)-(Nab=Nbc=Nca)+Nabc。例1．五〔1〕班的全體學(xué)生進行了短跑、游泳、籃球三個工程的測試，有4名學(xué)生在這三個工程上都沒有到達優(yōu)秀，其余每人至少有一個工程到達優(yōu)秀，這局部學(xué)生到達優(yōu)秀的工程和人數(shù)如下表：短跑游泳籃球短跑、游泳游泳、籃球籃球、短跑短跑、游泳、籃球17人18人15人6人6人6人2人求全班人數(shù)。例2．某班有學(xué)生50人，參加無線電小組，航模小組和生物小組的人數(shù)分別是20人、20人和12人，其中既參加無線電小組又參加航模小組的有4人，既參加航模小組又參加生物小組的有5人，既參加生物小組又參加無線電小組的有3人。全班每人都至少參加了以上三個小組中的某一個，那么，三個小組參加的學(xué)生有多少人？例3．一個體育鍛煉小組有35名男生，規(guī)定他們至少參加籃球、排球、足球三個球隊中的一個。結(jié)果參加籃球隊的有16人，參加排球隊的有11人，參加足球隊的有20人，其中有4人既參加了排球隊又參加了籃球隊，有3人既參加了排球隊又參加了足球隊，沒有人三個球隊都參加。既參加籃球隊又參加足球隊的有多少人？例4．松山小學(xué)45名學(xué)生參加數(shù)學(xué)、作文、美術(shù)競賽。有21人參加數(shù)學(xué)競賽，15人參加作文競賽，其中7人既參加作文競賽又參加數(shù)學(xué)競賽，3人既參加作文競賽又參加美術(shù)競賽，但沒有一人既參加數(shù)學(xué)競賽又參加美術(shù)競賽。〔1〕只參加數(shù)學(xué)競賽的有多少人？〔2〕只參加作文競賽的有多少人？〔3〕只參加美術(shù)競賽的有多少人？練習(xí)與思考1．有30名運發(fā)動、其中18人會三級跳遠，16人會撐桿跳高，10人三級跳遠、撐桿跳高都不會。既會三級跳遠又會撐桿跳高的運發(fā)動有多少名？2．操場上的學(xué)生排成10路縱隊做操，每路縱隊的人數(shù)同樣多，小明站在第4路縱隊，從排頭數(shù)他是第13人，從后往前數(shù)他是第8人。操場上有多少人在做操？3．一個年級有120人愛好數(shù)學(xué)，100人愛好語文，85人愛好美術(shù)，30人既愛好數(shù)學(xué)又愛好語文，20人既愛好語文又愛好美術(shù)，35人既愛好美術(shù)又愛好數(shù)學(xué)，有18人三個學(xué)科都愛好。請問：這個年級中數(shù)學(xué)、語文、美術(shù)三個學(xué)科至少愛好一個學(xué)科的學(xué)生有多少人？4．某班全體學(xué)生進行了數(shù)學(xué)、語文、英語三個科目的測試，有8名學(xué)生在這三個科目上都沒有到達優(yōu)秀，其余每人至少有一個科目到達優(yōu)秀，這局部學(xué)生到達優(yōu)秀的科目和人數(shù)如下表：數(shù)學(xué)語文英語數(shù)學(xué)、語文語文、英語英語、數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)、語文、英語2016164453全班一共有多少名學(xué)生？5．第三小隊的學(xué)生有20人，手中分別拿有紅、黃藍三種顏色的球，手中有紅球、黃球、藍球折學(xué)生人數(shù)分別為10人、10人、6人，其中手中既有紅球又有黃球的有3人，既有黃球又有藍球的有2人，既有藍球又有紅球的有4人。全隊每人手里都至少有一種顏色的球，那么，手中三種顏色的球都有多少人？6．某班50名同學(xué)全部參加數(shù)學(xué)、語文、美術(shù)三個課外興趣小組，參加數(shù)學(xué)小組的有29人，參加語文小組的有21人，參加美術(shù)小組的有25人，有17人既參加數(shù)學(xué)小組又參加美術(shù)小組，有15人既參加數(shù)學(xué)小組又參加語文小組，有10人既參加語文小組又參加美術(shù)小組。三個小組都參加的有多少人？7．有學(xué)生30名，他們中有局部學(xué)生參加了乒乓球，羽毛球、排球三個訓(xùn)練小組，各組人數(shù)分別為14人、12人、10人，其中既參加羽毛球小組又參加排球小組的有4人，既參加羽毛球小組又參加乒乓球小組的有6人，既參加乒乓球小組又參加排球小組的有5人，三個小組都參加的有1人。這些學(xué)生中這三個小組都沒有參加的有幾人？8．某外語學(xué)習(xí)班有40名學(xué)員，規(guī)定他們至少學(xué)習(xí)英語、日語、德語中的一咱。結(jié)果學(xué)習(xí)英語的有20人，學(xué)習(xí)日語的有12人，學(xué)習(xí)德語的有18人，其中有5人既學(xué)習(xí)了英語又學(xué)習(xí)了日語，有2人既學(xué)習(xí)了日語又學(xué)習(xí)了德語，沒有人同時學(xué)習(xí)三咱語言。既學(xué)習(xí)英