第四章幾何圖形初步（知識歸納15題型突破）（原卷版）

第四章幾何圖形初步（知識歸納+15題型突破）1.了解并掌握立體圖形的分類，正方體的展開圖及三個方向看立體圖形畫圖與求小立方體．2.了解并掌握線段與線段的中點的定義，會求線段的和與差．3.了解并掌握角與角的中點的定義，會求角的和與差．一、柱、錐、球立體圖形：有些幾何圖形（圓柱、圓錐、球、長方體、正方體等）各部分不在一個平面內(nèi)，這樣的圖形叫立體圖形.棱柱、棱錐是常見的立體圖形.生活中常見的物體都是立體圖形.二、從正面、左面、上面看立體圖形能力要求：①會判斷簡單物體（直棱柱、圓柱、圓錐、球）的三視圖.②能根據(jù)三視圖描述基本幾何體或?qū)嵨镌?注意：①看的見得棱畫實線，看不見的棱畫虛線；②圓錐從上面看不要丟了圓心點.三.正方體的表面展開圖正方形展開圖的知識要點：1.正方體的表面展開圖一共有11種可能.第一類：有6種.特點：是4個連成一排的正方形，其兩側(cè)各有一個正方形.簡稱“141型”第二類：有3種.特點：是有3個連成一排的正方形，其兩側(cè)分別有1個和兩個相連的正方形;簡稱“132型”第三類：僅有一種.特點：是兩個連成一排的正方形的兩側(cè)又各有兩個連成一排的正方形；簡稱“222型”第四類：僅有1種，三個連成一排的正方形的一側(cè)，還有3個連成一排的正方形，可簡稱“33型”注：正方體展開圖中不能出現(xiàn)“7”字，“凹”字，“田”字形，如下圖：2.正方體展開圖找相對面的方法：（1）中間隔“一”是對面：中間相隔一個正方形的兩個正方形是相對面；（2）“Z”字兩端是對面：呈“Z”字形排列的四個正方形首尾兩個正方形是相對面；（3）間二、拐角鄰面知：中間隔兩個正方形的兩個正方形是相鄰面，呈拐角形狀的三個小正方形，只有一個相鄰正方形的兩個正方形是相鄰面.四.其他立體圖形的展開圖常見的幾何體的展開圖有圓柱、圓錐、棱柱、正方體、棱錐.特殊：球沒有展開圖①圓柱的表面展開圖是兩個圓（作底面）和一個長方形（作側(cè)面）.②圓錐的表面展開圖是一個圓（作底面）和一個扇形（作側(cè)面）③棱柱的表面展開圖是兩個完全相同的多邊形（作底面）和幾個長方形（作側(cè)面）五.點、線、面、體之間的轉(zhuǎn)化1.幾何體是由點、線、面構(gòu)成的.2.線分為直線和曲線，面分為平面和曲面.3.點、線、面之間的關(guān)系：點動成線，線與線相交成點；線動成面，面與面相交成線；面動成體，體是由面組成.六、直線、射線、線段的聯(lián)系與區(qū)別注意：表示直線和線段的兩個大寫字母可以交換位置.七、計數(shù)問題1.平面上有個點，其中任意三點不在一條直線上，則最多確定的直線條數(shù)為：．2.若在線段AB上增加一點，則增加2條線段，此時線段總條數(shù)為1＋2；若再增加一點，則又增加了3條線段，此時線段總條數(shù)為1＋2＋3；…；當(dāng)線段AB上增加到n個點(即增加n－2個點)時，線段的總條數(shù)為.用到類似知識點問題：單循環(huán)比賽場數(shù)問題、雙循環(huán)比賽場數(shù)問題、握手次數(shù)問題、多邊形對角線條數(shù)問題、車站設(shè)計票價問題等.八、基本性質(zhì)(1)直線的性質(zhì):兩點確定一條直線．(2)線段的性質(zhì):兩點之間，線段最短．細節(jié)剖析①本知識點可用來解釋很多生活中的現(xiàn)象.如：要在墻上固定一個木條，只要兩個釘子就可以了，因為如果把木條看作一條直線，那么兩點可確定一條直線.②連接兩點間的線段的長度，叫做兩點間的距離.（1）度量法：可用直尺先量出線段的長度,再畫一條等于這個長度的線段.（2）用尺規(guī)作圖法：用圓規(guī)在射線AC上截取AB=ａ，如下圖：十．線段的比較與運算（1）線段的比較：比較兩條線段的長短，常用兩種方法，一種是度量法；一種是疊合法.（2）線段的和與差：如下圖，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=ABBD.（3）線段的中點：把一條線段分成兩條相等線段的點，叫做線段的中點．如下圖，有：細節(jié)剖析①線段中點的等價表述：如上圖，點M在線段上，且有，則點M為線段AB的中點.②除線段的中點（即二等分點）外，類似的還有線段的三等分點、四等分點等.如下圖，點M,N,P均為線段AB的四等分點.十一．角的度量（1）角的定義：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊；此外，角也可以看作由一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而形成的圖形.（2）.平角與周角：如圖1所示射線OA繞點O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條直線時，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時，所形成的角叫做周角．(3)角的表示方法：角通常有三種表示方法：一是用三個大寫英文字母表示，二是用角的頂點的一個大寫英文字母表示，三是用一個小寫希臘字母或一個數(shù)字表示.例如下圖：細節(jié)剖析①角的兩種定義是從不同角度對角進行的定義；②當(dāng)一個角的頂點有多個角的時候，不能用頂點的一個大寫字母來表示.（4）角度制及角度的換算1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制.細節(jié)剖析①度、分、秒的換算是60進制，與時間中的小時分鐘秒的換算相同.②度分秒之間的轉(zhuǎn)化方法：由度化為度分秒的形式(即從高級單位向低級單位轉(zhuǎn)化)時用乘法逐級進行；由度分秒的形式化成度(即低級單位向高級單位轉(zhuǎn)化)時用除法逐級進行.③同種形式相加減：度加（減）度，分加（減）分，秒加（減）秒；超60進一，減一成60.（5）角的分類∠β銳角直角鈍角平角周角范圍0＜∠β＜90°∠β=90°90°＜∠β＜180°∠β=180°∠β=360°（6）畫一個角等于已知角（1）借助三角尺能畫出15°的倍數(shù)的角，在0～180°之間共能畫出11個角.（2）借助量角器能畫出給定度數(shù)的角.（3）用尺規(guī)作圖法.十二．角的比較與運算（1）角的比較方法:①度量法；②疊合法.（2）角的平分線：從一個角的頂點出發(fā)，把這個角分成相等的兩個角的射線，叫做這個角的平分線，例如：如下圖，因為OC是∠AOB的平分線，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.類似地，還有角的三等分線等.十三．角的互余互補關(guān)系余角補角（1）若∠1+∠2=90°，則∠1與∠2互為余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.（2）若∠1+∠2=180°，則∠1與∠2互為補角.其中∠1是∠2的補角，∠2是∠1的補角.（3）結(jié)論:同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的補角相等.細節(jié)剖析①余角(或補角)是兩個角的關(guān)系，是成對出現(xiàn)的，單獨一個角不能稱其為余角(或補角).②一個角的余角(或補角)可以不止一個，但是它們的度數(shù)是相同的.③只考慮數(shù)量關(guān)系，與位置無關(guān)．④“等角是相等的幾個角”，而“同角是同一個角”.十四.鐘面角鐘表中共有12個大格，把周角12等分、每個大格對應(yīng)30°的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6°，時針每小時轉(zhuǎn)30°，時針1分鐘轉(zhuǎn)0.5°.技巧：鐘面角問題一般可以看做是行程問題里的追擊問題.十五．方位角以正北、正南方向為基準，描述物體運動的方向，這種表示方向的角叫做方位角.細節(jié)剖析（1始邊旋轉(zhuǎn)方向是向東還是向西，三要確定旋轉(zhuǎn)角度的大小.（2）北偏東45°通常叫做東北方向，北偏西45°通常叫做西北方向，南偏東45°通常叫做東南方向，南偏西45°通常叫做西南方向.（3）方位角在航行、測繪等實際生活中的應(yīng)用十分廣泛.【題型一立體圖形的分類】例題：如圖，下列幾何體，是柱體的有______，球體的有______．（填序號）【變式訓(xùn)練】1.如圖所示，請將下列幾何體分類．2．下列是我們常見的幾何體，按要求將其分類（只填寫編號）．(1)如果按“柱”“錐球”來分，柱體有______，椎體有______，球有______；(2)如果按“有無曲面”來分，有曲面的有______，無曲面的有______．【題型二正方體幾種展開圖的識別】例題：下列圖形中，不是正方體的平面展開圖的是（

）A．

B．C．

D．

【變式訓(xùn)練】1.下列圖形中不能折疊成正方體的是（

）A．

B．

C．

D．

2.2022年11月，黨的二十大報告熱詞雙語說逐漸更新，第①期提到了“中國式現(xiàn)代化”，將這六個漢字分別寫在某正方體的表面上，如圖所示是它的一種展開圖，則在原正方體中，與“國”字所在面相對面上的漢字是（）A．式 B．現(xiàn) C．代 D．化3.如圖的正方體紙盒，只有三個面上印有圖案，下面四個平面圖形中，經(jīng)過折疊能圍成此正方體紙盒的是（

）A．B．

C．

D．

4.如圖，已知一個正方體是三個面分別標有〇、◎、※三種圖案，則它的展開圖可能是（）A．B．C．D．【題型三從三個方向看幾何體】例題：如圖所示幾何體，從正面看是（

）A．

B．

C．

D．

【變式訓(xùn)練】1.如圖，是一個幾何體從正面、左面、上面看得到的圖形，則這個幾何體是（

）A． B． C． D．2.如圖是由5個相同的正方體組成的立體圖形，從正面看到的平面圖形是（

）．A． B． C． D．3．如圖所示的物體是一個幾何體，則從正面看到的圖形是（

）．A． B． C． D．4.如圖所示的幾何體從正面看到的圖形（）A． B． C． D．【題型四畫三個方向看幾何體的圖形】例題：如圖，是由若干個完全相同的小正方體組成的一個幾何體，請畫出這個幾何體從正面看、從左面看和從上面看到的平面圖形．（用陰影表示）【變式訓(xùn)練】1.如圖是由11個大小相同的小立方塊搭成的幾何體．從正面、左面、上面觀察該幾何體，分別在方格紙中畫出你所看到的幾何體的形狀圖．2.如圖是由7個完全相同的小正方體搭成的幾何體，請分別畫出從正面、左面和上面看到的這個幾何體的形狀圖．【題型五根據(jù)三視圖求原幾何體的表面積和體積】例題：如圖，是一個幾何體分別從正面、左面、上面看的形狀圖．(1)該幾何體名稱是；(2)根據(jù)圖中給的信息，求該幾何體的表面積和體積．【變式訓(xùn)練】1.如圖，是某幾何體的展開圖．（1）畫出這個幾何體從正面，左面，上面看到的平面圖形；（2）求這個幾何體的體積（結(jié)果保留）．2．如圖是3個幾何體的平面展開圖．(1)請寫出對應(yīng)幾何體的名稱：①；②；③(2)圖③中，側(cè)面展開圖的寬（較短邊）為，圓的半徑為，求圖③所對應(yīng)幾何體的表面積．（結(jié)果保留）【題型六畫直線、射線、線段】例題：已知A，B，C，D四點．(1)畫線段，射線，直線；(2)連接，與直線交于點E；(3)連接，并延長與射線交于點F．【變式訓(xùn)練】1.如圖，平面上有四個點，根據(jù)下列語句畫圖：(1)畫線段交于點；(2)作射線；(3)取一點，使點既在直線上又在直線上；(4)在線段延長線上作線段．2.如圖，平面內(nèi)四點A、B、C、D，根據(jù)下列語句畫圖：(1)畫直線；(2)畫射線；(3)畫線段；(4)延長線段與直線相交于點E．【題型七兩點確定一條直線、兩點之間線段最短】例題：要在墻上定一根木條，至少要用兩顆釘子，這是因為．【變式訓(xùn)練】1.生活中有下列現(xiàn)象如圖所示．對于這個現(xiàn)象，請你用數(shù)學(xué)知識解釋．2.如圖，學(xué)生要去博物館參觀，從學(xué)校A處到博物館B處的路線共有（1）（2）（3）三條．假設(shè)行走的速度不變，為了節(jié)約時間，盡快從A處趕到B處，你認為應(yīng)該走第條路線（只填編號），理由是．3.如圖：“小草青青，足下留情”，為抄近路踐踏草坪是一種不文明的現(xiàn)象，請你用數(shù)學(xué)知識解釋出這一不文明現(xiàn)象的原因是：，【題型八線段的應(yīng)用】例題：2022年9月8日，隨著列車從鄭州港區(qū)段鳴笛出發(fā)，鄭許市域鐵路開始空載試運行，未來“雙城生活模式”指日可待．圖中展示了鄭許市域鐵路的其中五個站點，若要滿足乘客在這五個站點之間的往返需求，鐵路公司需要準備種不同的車票．【變式訓(xùn)練】1.由汕頭開往廣州東的D7511動車，運行途中須?？康能囌疽来问牵荷穷^→潮汕→普寧→汕尾→深圳坪山→東莞→廣州東．那么要為D7511動車制作的車票一共有（

）A．6種 B．7種 C．21種 D．42種2.乘特快列車從濟南西站出發(fā)，沿途經(jīng)過泰安站、曲阜東站、滕州東站，最后到達棗莊站，那么從濟南西站到棗莊站這段線路的火車票價格最多有（

）A．種 B．種 C．種 D．種【題型九與線段中點的有關(guān)計算】例題：如圖，線段，C是線段上一點，，M是的中點，N是的中點(1)圖中共有條線段(2)求線段的長【變式訓(xùn)練】1.如圖，已知線段上有兩點，，且，點，分別為，的中點，．求的長．2.已知，在線段上．(1)如圖，共有________條線段；(2)如圖，．①比較線段的大?。篲_______（填“>”“=”或“<”）；②若，，則的長為________；(3)若，且為的中點，求與的數(shù)量關(guān)系．（溫馨提醒：重新畫圖）．【題型十角的概念及表示方法】例題：下列說法中，正確的是（

）A．一個周角就是一條射線 B．平角是一條直線C．角的兩邊越長，角就越大 D．也可以表示為【變式訓(xùn)練】1.如圖所示，回答下列問題：(1)寫出能用一個字母表示的角：________________；(2)寫出以點B為頂點的角________________；(3)圖中共有______________個小于平角的角．2.根據(jù)給出的圖回答下列問題：(1)表示成，這樣的表示方法是否正確？如果不正確，應(yīng)該怎樣改正？(2)圖中哪個角可以用一個字母來表示？(3)以為頂點的角有幾個？請表示出來．(4)與是同一個角嗎？請說明理由．(5)圖中共有幾個小于平角的角？【題型十一鐘面角】例題：8點30分時刻，鐘表上時針與分針所組成的角為度．【變式訓(xùn)練】1.李老師從家出發(fā)去單位上班，到單位的時間是，那么這段時間，分針走了°，時針走了°．2.我校下午到校時間為14時10分，則此時刻鐘表上的時針與分針的夾角為度．【題型十二三角板中角度計算問題】例題：將一副直角三角尺如圖放置，若，則等于．【變式訓(xùn)練】1.如圖，直角三角板的直角頂點O在直線上，線段，是三角板的兩條直角邊，射線是的平分線．(1)當(dāng)時，求的度數(shù)；(2)當(dāng)時，_________（用含α的式子表示）．2.如圖所示，以直線上的一點O為端點，在直線的上方作射線，使．將一塊直角三角尺的直角頂點放在點O處，且直角三角尺（）在直線的上方．設(shè)．(1)當(dāng)時，求的大??；(2)若時，求的值．【題型十三與角平分線的有關(guān)計算】例題：已知O為直線上一點，是直角，平分．(1)如圖①，若，則__________；若，則__________；與的數(shù)量關(guān)系為__________；