數(shù)學(xué)七年級(jí)下學(xué)期第13講分式方程(一)

第13講分式方程(核心考點(diǎn)講與練)一．分式方程的定義分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．判斷一個(gè)方程是否為分式方程主要是看這個(gè)方程的分母中是否含有未知數(shù)．二．分式方程的解求出使分式方程中令等號(hào)左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個(gè)值叫方程的解．注意：在解方程的過程中因?yàn)樵诎逊质椒匠袒癁檎椒匠痰倪^程中，擴(kuò)大了未知數(shù)的取值范圍，可能產(chǎn)生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解．三．解分式方程（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗(yàn)；④得出結(jié)論．（2）解分式方程時(shí)，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應(yīng)如下檢驗(yàn)：①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．所以解分式方程時(shí)，一定要檢驗(yàn)．四．換元法解分式方程1、解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理．2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時(shí)候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)．五．分式方程的增根（1）增根的定義：在分式方程變形時(shí)，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，即代入分式方程后分母的值為0或是轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值的根，叫做原方程的增根．（2）增根的產(chǎn)生的原因：對于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時(shí)，無意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件．當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會(huì)出現(xiàn)增根．（3）檢驗(yàn)增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡公分母，看最簡公分母是否為0，如果為0，則是增根；如果不是0，則是原分式方程的根．六．由實(shí)際問題抽象出分式方程由實(shí)際問題抽象出分式方程的關(guān)鍵是分析題意找出相等關(guān)系．（1）在確定相等關(guān)系時(shí)，一是要理解一些常用的數(shù)量關(guān)系和一些基本做法，如行程問題中的相遇問題和追擊問題，最重要的是相遇的時(shí)間相等、追擊的時(shí)間相等．（2）列分式方程解應(yīng)用題要多思、細(xì)想、深思，尋求多種解法思路．七．分式方程的應(yīng)用1、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)、列、解、驗(yàn)、答．必須嚴(yán)格按照這5步進(jìn)行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設(shè)和答敘述要完整，要寫出單位等．2、要掌握常見問題中的基本關(guān)系，如行程問題：速度＝路程時(shí)間；工作量問題：工作效率＝工作量工作時(shí)間等等．列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點(diǎn)，要學(xué)會(huì)分析題意，提高理解能力．一．分式方程的定義（共2小題）1．（2021春?羅湖區(qū)期末）有下列方程：①；②；③；④．屬于分式方程的有（）A．①② B．②③ C．③④ D．②④2．（2018秋?惠民縣期末）觀察分析下列方程：①x+＝3；②x+＝5；③x+＝7，請利用他們所蘊(yùn)含的規(guī)律，寫出這一組方程中的第n個(gè)方程是．二．分式方程的解（共2小題）3．（2021秋?如皋市期末）已知關(guān)于x的方程的解是正數(shù)，那么m的取值范圍為（）A．m＞﹣6且m≠3 B．m＜6 C．m＞﹣6且m≠﹣3 D．m＜6且m≠﹣24．（2021秋?啟東市期末）若關(guān)于x的方程﹣＝0無解，則m的值是．三．解分式方程（共5小題）5．（2021秋?通州區(qū)期末）把分式方程﹣＝1化為整式方程正確的是（）A．1﹣（1﹣x）＝1 B．1+（1﹣x）＝1 C．1﹣（1﹣x）＝x﹣2 D．1+（1﹣x）＝x﹣26．（2021秋?高郵市期末）解分式方程：（1）；（2）．7．（2021春?溧陽市期末）解下列分式方程：（1）+＝1；（2）﹣1＝．8．（2021秋?虎林市校級(jí)期末）已知關(guān)于x的方程．（1）已知m＝4，求方程的解；（2）若該方程無解，試求m的值．9．（2021秋?叢臺(tái)區(qū)校級(jí)期末）閱讀材料：一般情形下等式＝1不成立，但有些特殊實(shí)數(shù)可以使它成立，例如：x＝2，y＝2時(shí)，＝1成立，我們稱（2，2）是使＝1成立的“神奇數(shù)對”．請完成下列問題：（1）數(shù)對（，4），（1，1）中，使＝1成立的“神奇數(shù)對”是（，4）；（2）若（5﹣t，5+t）是使＝1成立的“神奇數(shù)對”，求t的值；（3）若（m，n）是使＝1成立的“神奇數(shù)對”，且a＝b+m，b＝c+n，求代數(shù)式（a﹣c）2﹣12（a﹣b）（b﹣c）的最小值．四．換元法解分式方程（共4小題）10．（2021春?奉化區(qū)校級(jí)期末）用換元法解分式方程+1＝0時(shí)，如果設(shè)＝y(tǒng)，那么原方程可以變形為整式方程（）A．y2﹣3y﹣1＝0 B．y2+3y﹣1＝0 C．y2﹣y﹣1＝0 D．y2+y﹣1＝011．（2020?浙江自主招生）方程的實(shí)數(shù)根是12．（2021春?玄武區(qū)校級(jí)期中）換元法是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要而且應(yīng)用十分廣泛的解題方法，我們通常把未知數(shù)或變數(shù)稱為元．所謂換元法，就是解題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使得復(fù)雜問題簡單化．換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元．例如解方程組，設(shè)m＝，n＝，則原方程組可化為，解之得，即所以原方程組的解為．運(yùn)用以上知識(shí)解決下列問題：（1）求值：＝．（2）方程組的解為．（3）分解因式：（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1＝（x+2）4．（4）解方程組．（5）已知關(guān)于x、y的方程組的解是，求關(guān)于x、y的方程組的解．五．分式方程的增根（共2小題）13．（2021秋?萊蕪區(qū)期末）關(guān)于x的分式方程+5＝有增根，則m的值為（）A．5 B．4 C．3 D．114．（2021秋?新邵縣期末）若關(guān)于x的方程有增根，則m等于．六．由實(shí)際問題抽象出分式方程（共3小題）15．（2021秋?黃石期末）小明和小強(qiáng)為端午節(jié)做粽子，小強(qiáng)比小明每小時(shí)少做2個(gè)，已知小明做100個(gè)粽子的時(shí)間與小強(qiáng)做90個(gè)所用的時(shí)間相等，小明、小強(qiáng)每小時(shí)各做粽子多少個(gè)？假設(shè)小明每小時(shí)做x個(gè)，則可列方程得（）A． B． C． D．七．分式方程的應(yīng)用（共4小題）16．（2021秋?通州區(qū)期末）某校八年級(jí)學(xué)生去距學(xué)校15km的課外實(shí)踐基地活動(dòng)，一部分學(xué)生騎自行車先走，過了45min后，其余學(xué)生乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)．已知汽車的速度是騎車學(xué)生速度的4倍，求騎車學(xué)生的速度．17．（2021秋?泰興市期末）甲、乙兩公司為“見義勇為基金會(huì)”各捐款30000元．乙公司比甲公司人均多捐20元．給出如下兩個(gè)信息：①甲公司的人數(shù)比乙公司的人數(shù)多20%；②甲、乙兩公司的人數(shù)之比為6：5；請從以上兩個(gè)信息中選擇一個(gè)作為條件，求甲、乙兩公司的人數(shù)各有多少人？你選擇的條件是（填序號(hào)），并根據(jù)你選擇的條件給出求解過程．18．（2021秋?高郵市期末）為了給抗疫工作提供保障，某工廠每天生產(chǎn)防護(hù)服的效率比原先提高了20%，現(xiàn)在生產(chǎn)2400套防護(hù)服所用的時(shí)間比原先生產(chǎn)2200套防護(hù)服所用的時(shí)間少1天．問原先每天生產(chǎn)多少套防護(hù)服？19．（2021秋?蘇州期末）第十一屆江蘇書展在蘇州國際博覽中心設(shè)有400個(gè)展臺(tái)，并在全省多地線上、線下同步舉行．本屆書展設(shè)置了“讀經(jīng)典、學(xué)四史、童心向黨和百年輝煌”等活動(dòng)．為保障書展的準(zhǔn)備工作比原計(jì)劃提前2天完成，每天準(zhǔn)備展臺(tái)的個(gè)數(shù)需比原計(jì)劃增加25%．（1）求原計(jì)劃每天準(zhǔn)備展臺(tái)的個(gè)數(shù)，（2）為滿足讀者購書需求，某廠裝訂A，B兩種圖書共6000本，其中A種圖書數(shù)量不多于B種圖書數(shù)量的，裝訂一本A種圖書成本為10元，裝訂一本B種圖書成本為15元．設(shè)裝訂A種圖書x（本），問x為何值時(shí)，兩種圖書裝訂總成本y（元）最低，最低裝訂總成本為多少元？分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練一．選擇題（共6小題）1．（2021春?羅湖區(qū)期末）有下列方程：①；②；③；④．屬于分式方程的有（）A．①② B．②③ C．③④ D．②④2．（2021春?鎮(zhèn)江期末）2020年初，受疫情影響，醫(yī)用防護(hù)服生產(chǎn)車間有7人不能到廠生產(chǎn)．為了應(yīng)對疫情，已復(fù)產(chǎn)的工人加班生產(chǎn)，由原來每天工作8小時(shí)增加到10小時(shí)，每人每小時(shí)完成的工作量不變．原來生產(chǎn)車間每天生產(chǎn)防護(hù)服800套，現(xiàn)在每天生產(chǎn)防護(hù)服650套．求原來生產(chǎn)車間的工人有多少人？在這個(gè)問題中，設(shè)原來生產(chǎn)車間的工人有x人．則根據(jù)題意可得方程為（）A． B． C． D．3．（2021春?鹽城期末）5G網(wǎng)絡(luò)引領(lǐng)時(shí)代發(fā)展．5G網(wǎng)絡(luò)峰值速率為4G網(wǎng)絡(luò)峰值速率的10倍，在峰值速率下傳輸100兆數(shù)據(jù)，5G網(wǎng)絡(luò)比4G網(wǎng)絡(luò)快9秒，求這兩種網(wǎng)絡(luò)的峰值速率．設(shè)4G網(wǎng)絡(luò)的峰值速率為每秒傳輸x兆數(shù)據(jù)，根據(jù)題意，可列方程為（）A． B． C． D．4．（2021春?建鄴區(qū)校級(jí)期末）若關(guān)于x的分式方程＝+1有增根，則這個(gè)增根是（）A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝﹣15．（2021春?偃師市期末）若關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是（）A．m≤5 B．m＜5且m≠3 C．m≠3 D．m≤5且m≠36．（2021春?修水縣期末）關(guān)于x的分式方程+＝4的解為正實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．m＞﹣4 B．m＜4 C．m＜4且m≠1 D．m＜4且m≠2二．填空題（共4小題）7．（2021?淮安）方程＝1的解是．8．（2009?濱州）解方程時(shí)，若設(shè)，則方程可化為．9．（2021春?江都區(qū)月考）若關(guān)于x的分式方程＝+1的解為非負(fù)數(shù)，則a的取值范圍．三．解答題（共5小題）10．（2021秋?贊皇縣期末）2021年4月8日世界園藝博覽會(huì)在揚(yáng)州拉開了帷幕，世園會(huì)以“綠色城市，健康生活”為主題，吸引了大批游客游覽，世園會(huì)成人一日票分為平日票和指定日票，其中平日票比指定日票便宜30元/張．某一售票點(diǎn)在5月份售出平日票4萬元，指定日票2.6萬元，且售出的平日票數(shù)量是指定日票的2倍，這一售票點(diǎn)售出的平日票和指定日票各多少張？11．（2021秋?如皋市期末）為慶祝建黨100周年，學(xué)校組織初二學(xué)生乘車前往距學(xué)校132千米的某革命根據(jù)地參觀學(xué)習(xí)．二班因事耽擱，比一班晚半小時(shí)出發(fā)，為了趕上一班，平均車速是一班平均車速的1.2倍，結(jié)果和一班同時(shí)到達(dá)．求一班的平均車速是多少千米/時(shí)？12．（2021春?溧陽市期末）解下列分式方程：（1）+＝1；（2）﹣1＝．13．（2001?蘇州）用換元法解方程題組B能力提升練一．填空題（共4小題）1．（2021春?沭陽縣期末）關(guān)于x的方程＝2的解是非負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是．2．（2021春?南京期末）若關(guān)于x的分式方程＝有增根，則實(shí)數(shù)m的值是．3．（2021春?無錫月考）為參加無錫2021馬拉松比賽，小林與小雨兩名同學(xué)，在學(xué)校運(yùn)動(dòng)場400米環(huán)形跑道上進(jìn)行訓(xùn)練，兩人各自以恒定的速度沿逆時(shí)針方向跑步，小雨每秒鐘比小林少跑3米，小林每圈花費(fèi)的時(shí)間比小雨少30秒，則小林跑步的速度為每秒米．二．解答題（共9小題）4．（2019秋?海安市期末）定義：若兩個(gè)分式的和為n（n為正整數(shù)），則稱這兩個(gè)分式互為“n階分式”．例如，分式與互為“3階分式”．（1）分式與互為“5階分式”；（2）設(shè)正數(shù)x，y互為倒數(shù)，求證：分式與互為“2階分式”；（3）若分式與互為“1階分式”（其中a，b為正數(shù)），求ab的值．5．（2018秋?邗江區(qū)校級(jí)月考）（換元法）解方程：（x2﹣3x）2﹣2（x2﹣3x）﹣8＝0解：設(shè)x2﹣3x＝y(tǒng)則原方程可化為y2﹣2y﹣8＝0解得：y1＝﹣2，y2＝4當(dāng)y＝﹣2時(shí)，x2﹣3x＝﹣2，解得x1＝2，x2＝1當(dāng)y＝4時(shí)，x2﹣3x＝4，解得x1＝4，x2＝﹣1∴原方程的根是x1＝2，x2＝1，x3＝4，x4＝﹣1，根據(jù)以上材料，請解方程：（1）（2x2﹣3x）2+5（2x2﹣3x）+4＝0．（2）x2﹣3x+5+＝06．（2021秋?河?xùn)|區(qū)期末）某藥店用4000元購進(jìn)若干包一次性醫(yī)用口罩，很快售完，該店又用7500元錢購進(jìn)第二批這種口罩，所進(jìn)的包數(shù)比第一批多50%，每包口罩的進(jìn)價(jià)比第一批每包口罩的進(jìn)價(jià)多0.5元，則該藥店購進(jìn)的第一批醫(yī)用口罩有多少包？7．（2021春?秦都區(qū)期末）某單位為美化環(huán)境，計(jì)劃對面積為1200平方米的區(qū)域進(jìn)行綠化，現(xiàn)安排甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)來完成．已知甲隊(duì)每天能完成綠化的面積是乙隊(duì)每天能完成綠化的面積的1.5倍，并且在獨(dú)立完成面積為360平方米區(qū)域的綠化時(shí)，甲隊(duì)比乙隊(duì)少用3天．（1）甲、乙兩工程隊(duì)每天能綠化的面積分別是多少平方