八年級(jí)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考高分秘籍（人教版）：與三角形有關(guān)的線段大題專練（解析版）

專題-2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【人教版】專題2.1與三角形有關(guān)的線段大題專練（培優(yōu)強(qiáng)化30題）一、解答題1．（2021·重慶梁平·八年級(jí)期中）已知三角形兩邊的長(zhǎng)分別是4cm和9cm(1)求第三邊的取值范圍；(2)若第三邊的長(zhǎng)是偶數(shù)，求第三邊的長(zhǎng)；(3)求周長(zhǎng)的取值范圍（第三邊的長(zhǎng)是整數(shù)）．【答案】(1)第三邊的取值范圍是5cm<X<13cm(2)第三邊的長(zhǎng)為6cm，8cm，10cm，12cm．(3)18cm<周長(zhǎng)<26cm【分析】（1）根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊和三角形兩邊之差小于第三邊即可得到解答；（2）根據(jù)第三邊的取值范圍選出偶數(shù)即可；（3）利用第三邊的取值范圍再加上已知的三角形兩邊長(zhǎng)即可求得．（1）設(shè)第三邊長(zhǎng)為xcm，9-4=5（cm），9+4=13（cm），∴第三邊的取值范圍是5cm<x<13cm；（2）由題意可知，其中偶數(shù)為6，8，10，12，∴第三邊的長(zhǎng)為6cm，8cm，10cm，12cm．（3）周長(zhǎng)=4+9+第三邊，∵5cm<第三邊<13cm，∴18cm<周長(zhǎng)<26cm．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊的三邊關(guān)系，解決此題的關(guān)鍵是掌握第三邊的范圍：大于已知兩邊的差，小于兩邊的和．2．（2019·四川瀘州·八年級(jí)期中）已知a，b，c是ΔABC(1)若a，b，c滿足|a?b|+|b?c|=0，試判斷ΔABC(2)化簡(jiǎn)：|a?b?c|+|b?c?a|+|c?a?b|．【答案】(1)等邊三角形(2)a+b+c【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，可得出a＝b＝c，進(jìn)而得出結(jié)論；（2）利用三角形的三邊關(guān)系得到a?b?c＜0，b?c?a＜0，c?a?b＜0，然后去絕對(duì)值符號(hào)后化簡(jiǎn)即可．（1）∵|a?b|+|b?c|=0，∴a?b=0且b?c=0，∴a=b=c，∴Δ（2）∵a，b，c是ΔABC的三邊長(zhǎng)，∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，∴a?b?c<0，b?c?a<0，c?a?b<0，∴原式=b+c?a+a+c?b+a+b?c=a+b+c【點(diǎn)睛】此題考查絕對(duì)值非負(fù)性的應(yīng)用、三角形的三邊關(guān)系和三角形分類，利用三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，建立不等式解決問題．3．（2021·安徽·馬鞍山八中八年級(jí)期中）已知a，b，c分別為△ABC的三邊，且滿足a+b=3c?2，a?b=2c?6．(1)求c的取值范圍；(2)若△ABC的周長(zhǎng)為12，求c的值．【答案】(1)2<c<6(2)3.5【分析】（1）根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊得出3c-2＞c，任意兩邊之差小于第三邊得出|2c-6|＜c，列不等式組求解即可；（2）由△ABC的周長(zhǎng)為12，a+b=3c-2，4c-2=12，解方程得出答案即可．（1）∵a，b，c分別為△ABC的三邊，a+b=3c-2，a-b=2c-6，∴3c?2>c2c?6<c，解得：2<c<6．故c的取值范圍為2<c（2）∵△ABC的周長(zhǎng)為12，a+b=3c-2，∴a+b+c=4c-2=12，解得c=3.5．故c的值是3.5．【點(diǎn)睛】此題考查三角形的三邊關(guān)系，利用三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，建立不等式解決問題．4．（2021·廣西南寧·八年級(jí)期中）已知a，b，（1）若a，b，c滿足，（2）化簡(jiǎn)：|b?c?a|+|a?b+c|?|a?b?c|【答案】（1）△ABC是等邊三角形；（2）3a?3b+c【分析】（1）由性質(zhì)可得a=b，b=c，故△ABC為等邊三角形．（2）根據(jù)三角形任意兩邊和大于第三邊，任意兩邊差小于第三邊判定正負(fù)，再由絕對(duì)值性質(zhì)去絕對(duì)值計(jì)算即可．【詳解】（1）∵(a?b)∴(a?b)2=0∴a=b=c∴△ABC是等邊三角形．（2）∵a，b，∴b-c-a<0,a-b+c>0,a-b-c<0原式=|?(a+c?b)|+(a?b+c)?|?(b+c?a)|=a+c?b+a?b+c?b?c+a=3a?3b+c【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三條邊的關(guān)系以及絕對(duì)值化簡(jiǎn)，根據(jù)三角形任意兩邊和大于第三邊，任意兩邊差小于第三邊判定絕對(duì)值內(nèi)數(shù)值正負(fù)是解題的關(guān)鍵．5．（2021·安徽淮南·八年級(jí)期中）若a、b、c是△ABC的三邊，化簡(jiǎn)：|a﹣b+c|﹣2|c﹣a﹣b|+3|a+b+c|的值．【答案】2a+6c．【分析】先根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷出a﹣b+c，c﹣a﹣b及a+b+c的符號(hào)，再去絕對(duì)值符號(hào)，合并同類項(xiàng)即可．【詳解】解：∵a、b、c是△ABC的三邊，∴a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0，a+b+c＞0，∴原式＝a﹣b+c+2（c﹣a﹣b）+3a+3b+3c＝a﹣b+c+2c﹣2a﹣2b+3a+3b+3c＝2a+6c．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系和化簡(jiǎn)絕對(duì)值，熟知三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊是解答此題的關(guān)鍵．6．（2021·黑龍江·巴彥縣第一中學(xué)八年級(jí)期中）已知a，b，c為△ABC的三邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)a?b?c?【答案】-a+b+c【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，來判定絕對(duì)值里的式子的正負(fù)值，然后去絕對(duì)值進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：由三角形三邊關(guān)系可得：a-b-c＜0，b-c+a＞0，a+b-c＞0，∴原式=-(a-b-c)-(b-c+a)+(a+b-c)=-a+b+c-b+c-a+a+b-c=-a+b+c．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系，以及絕對(duì)值的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握三角形三角形兩邊之和大于第三邊．7．（2021·湖北·沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）已知，△ABC的三邊長(zhǎng)為4，9，x．（1）求x的取值范圍．（2）當(dāng)△ABC的周長(zhǎng)為偶數(shù)時(shí)，求x．【答案】（1）5＜x＜13；（2）7，9或11【分析】（1）直接根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)周長(zhǎng)為偶數(shù)，結(jié)合（1）確定周長(zhǎng)的值，從而確定x的值．【詳解】解：（1）∵三角形的三邊長(zhǎng)分別為4，9，x，∴9?4＜x＜9＋4，即5＜x＜13；（2）∵5＜x＜13，∴9＋4＋5＜△ABC的周長(zhǎng)＜9＋4＋13，即：18＜△ABC的周長(zhǎng)＜26；∵△ABC的周長(zhǎng)是偶數(shù)，∴△ABC的周長(zhǎng)可以是20，22或24，∴x的值為7，9或11．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，熟知三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解答此題的關(guān)鍵．8．（2019·安徽合肥·八年級(jí)期中）已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c．（1）若a，b，c滿足（a﹣b）2＋（b﹣c）2＝0，試判斷△ABC的形狀；（2）若a＝5，b＝2，且c為整數(shù)，求△ABC的周長(zhǎng)的最大值及最小值．【答案】（1）等邊三角形；（2）最大值13，最小值11【分析】（1）根據(jù)完全平方式的非負(fù)性即可得出結(jié)果；（2）根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得出答案．【詳解】解：（1）∵（a﹣b）2＋（b﹣c）2＝0，∴a﹣b＝0，b﹣c＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等邊三角形；（2）∵a＝5，b＝2，且c為整數(shù)，∴5﹣2＜c＜5＋2，即3＜c＜7，∴c＝4，5，6，∴當(dāng)c＝4時(shí)，△ABC周長(zhǎng)的最小值＝5＋2＋4＝11；當(dāng)c＝6時(shí)，△ABC周長(zhǎng)的最大值＝5＋2＋6＝13．【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根的非負(fù)性，三角形三邊關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，熟知相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．9．（2021·北京市海淀外國(guó)語實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期中）若三邊均不相等的三角形三邊a、b、c滿足a?b>b?c（a為最長(zhǎng)邊，c為最短邊），則稱它為“不均衡三角形”．例如，一個(gè)三角形三邊分別為7，5，4，因?yàn)??5>5?4，所以這個(gè)三角形為“不均衡三角形”．（1）以下4組長(zhǎng)度的小木棍能組成“不均衡三角形”的為________（填序號(hào)）①4cm，2cm，1cm②13cm，18cm，9cm③19cm，20cm，19cm④9cm，8cm，6cm（2）已知“不均衡三角形”三邊分別為2x+2，16，2x?6（x為整數(shù)）求x的值．【答案】（1）②；（2）10、12、13或14．【分析】（1）根據(jù)“不均衡三角形”的定義及三角形三邊關(guān)系逐一判斷即可得答案；（2）分別討論2x+2>16>2x?6，16>2x+2>2x?6，2x+2>2x?6>16三種情況；利用“不均衡三角形”的定義列不等式可求出x的取值范圍，結(jié)合x為整數(shù)即可得答案．【詳解】（1）①∵1+2<4，∴不能組成三角形，不符合題意，②∵18-13>13-9，∴能組成“不均衡三角形”，符合題意，③∵有兩條相等的邊，∴不能組成“不均衡三角形”，不符合題意，④∵9-8<8-6，∴不能組成“不均衡三角形”，不符合題意，故答案為：②（2）當(dāng)2x+2>16>2x?6，即7<x<11時(shí)，∵“不均衡三角形”三邊分別為2x+2，16，2x?6，∴2x+2?16>16?(2x?6)2x?6+16>2x+2解得：x>9，∴9<x<11，∵x為整數(shù)，∴x=10，當(dāng)16>2x+2>2x?6，即x<7時(shí)，∵“不均衡三角形”三邊分別為2x+2，16，2x?6，∴16?(2x+2)>2x+2?(2x?6)2x+2+2x?6>16，即x<3∴此不等式組無解，∴此種情況不存在，當(dāng)2x+2>2x?6>16，即x>11時(shí)，2x+2?(2x?6)>2x?6?162x?6+16>2x+2解得：x<15，∴11<x<15，∵x為整數(shù)，∴x的值為12或13或14，綜上所述：x的值為10、12、13或14．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的三邊關(guān)系及解一元一次不等式組，三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊；根據(jù)“不均衡三角形”的定義及三角形三邊關(guān)系列出不等式組并靈活運(yùn)用分類討論的思想是解題關(guān)鍵．10．（2020·江西·上饒市廣信區(qū)第七中學(xué)八年級(jí)期中）已知一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)分別為n+2，n+6，3n．（1）n+2________n+6；（填“＞”，“＝”或“＜”）（2）若這個(gè)三角形是等腰三角形，求它的三邊的長(zhǎng)；（3）若這個(gè)三角形的三條邊都不相等，且n為正整數(shù)，直接寫出n的最大值．【答案】（1）<；（2）5，9，9；（3）7【分析】（1）根據(jù)作差法比較即可；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分類討論；（3）根據(jù)三角形三邊關(guān)系討論即可．【詳解】（1）∵(n+2)?(n+6)=?4<0∴n+2<n+6；（2）①若n+2=3n，則n=1，此時(shí)三邊為3，3，7，不能構(gòu)成三角形，舍去；②若n+6=3n，則n=3，此時(shí)三邊為5，9，9，能構(gòu)成三角形，符合題意，故這個(gè)三角形是等腰三角形時(shí)，三邊為5，9，9；（3）由三角形三邊關(guān)系得；(n+2)?(n+6)<3n<(n+2)+(n+6)，解得43∵n為正整數(shù)，∴n的最大值是7．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握三角形成立的條件及三邊關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．11．（2021·云南省個(gè)舊市第二中學(xué)八年級(jí)期中）如圖所示，在△ABC中，已知點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別為邊BC，AD，CE的中點(diǎn)，且S△ABC=8cm【答案】2【分析】根據(jù)D是邊BC的中點(diǎn)，可得S△ABD=S△ACD=12S△ABC=4cm2．再由【詳解】解：∵D是邊BC的中點(diǎn)，∴S△ABD∵E是AD的中點(diǎn)，∴S△BDE=1∴S△BEC又∵F是CE的中點(diǎn)，∴S陰影【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形面積及三角形面積的等積變換，熟練掌握三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分是解題的關(guān)鍵．12．（2021·廣西賀州·八年級(jí)期中）如圖，已知AD、AE分別是△ABC的高和中線，△ABE的面積為12cm2，AD＝4.8cm，∠CAB＝90°，AB＝6cm．求：(1)BC的長(zhǎng)；(2)△ABC的周長(zhǎng)．【答案】(1)10cm(2)24cm【分析】（1）根據(jù)等面積法求得BE，進(jìn)而根據(jù)AE是三角形的中線，即可求解；（2）根據(jù)等面積法求得AC=8cm，進(jìn)而根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可求解．（1）∵△ABE的面積為12cm2，AD是△ABC的高，AD＝4.8cm，∴BE＝S?ABE12AD＝5cm，∵AE是△ABC（2）∵AD是△ABC的高，AD＝4.8cm，BC＝10cm∴△ABC的面積：12BC?AD＝24cm2，∵在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝6cm，∴△ABC的面積：12AB?AC＝24cm2∴AC＝8cm，∴△ABC的周長(zhǎng)：AC＋【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中線，三角形的高線的相關(guān)計(jì)算，等面積法計(jì)算求得三角形的高是解題的關(guān)鍵．13．（2021·廣西·靖西市教學(xué)研究室八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，CD，CE，CF分別為△ABC的高線、角平分線和中線．(1)寫出圖中所有相等的角和相等的線段，說明理由；(2)當(dāng)BF＝4cm，CD＝5cm時(shí)，求△ABC的面積．【答案】(1)圖中所有相等的角：∠BCE＝∠ACE，∠CDB＝∠ADC＝90°相等的線段為：BF＝AF．理由見解析(2)20cm2【分析】（1）根據(jù)角平分線定義、三角形的高線和三角形的中線定義解決問題即可；（2）根據(jù)三角形的面積公式列式求解即可．(1)解：圖中所有相等的角：∠BCE＝∠ACE，∠CDB＝∠ADC＝90°，相等的線段為：BF＝AF．∵CE是△ABC的角平分線，∴∠BCE＝∠ACE．∵CD是△ABC的高，∴∠CDB＝∠ADC＝90°．∵CF是△ABC的中線，∴BF＝AF．(2)解：∵BF＝AF，BF＝4cm，CD＝5cm，∴BA＝2BF＝2×4＝8cm，.∴S△ABC＝12BA?C＝12＝20cm2．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的角平分線、中線和高線，三角形的面積等知識(shí)，熟記概念是解題的關(guān)鍵．14．（2021·安徽·馬鞍山八中八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，D、E分別是邊AB、AC上一點(diǎn)，將△ABC沿DE折疊，使點(diǎn)A落在邊BC上．若∠A=55°，求∠1+∠2+∠3+∠4四個(gè)角和的度數(shù)？【答案】235°【分析】依據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得△ABC中，∠B+∠C=125°，即可得出∠1+∠2+∠3+∠4的度數(shù)．【詳解】解：∵∠A=55°，∴△ABC中，∠B+∠C=125°，又∵∠1+∠2+∠B=180°，∠3+∠4+∠C=180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°-（∠B+∠C）=360°-125°=235°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，綜合運(yùn)用各定理是解答此題的關(guān)鍵．15．（2021·云南昭通·八年級(jí)期中）如圖所示，AD，CE是△ABC的兩條高，AB＝6cm，BC＝12cm，CE＝9cm．（1）求△ABC的面積；（2）求AD的長(zhǎng)．【答案】（1）27；（2）4.5【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式進(jìn)行求解即可；（2）利用面積法進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）由題意得：S△ABC（2）∵S△ABC∴27=1解得AD=4.5cm【點(diǎn)睛】本題主要考查了與三角形高有關(guān)的面積求解，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握三角形面積公式．16．（2021·安徽省六安皋城中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，AD是△ABC的邊BC上的中線，已知AB=5，AC=3．（1）邊BC的取值范圍是；（2）△ABD與△ACD的周長(zhǎng)之差為；（3）在△ABC中，若AB邊上的高為2，求AC邊上的高．【答案】（1）2<BC<8；（2）2；（3）?=10【分析】（1）直接根據(jù)三角形三邊關(guān)系進(jìn)行解答即可；（2）根據(jù)三角形中線將△ABD與△ACD的周長(zhǎng)之差轉(zhuǎn)換為AB和AC的差即可得出答案；（3）設(shè)AC邊上的高為?，根據(jù)三角形面積公式列出方程求解即可．【詳解】解：（1）∵△ABC中AB=5，AC=3，∴5?3<BC<5+3即2<BC<8，故答案為：2<BC<8；（2）∵△ABD的周長(zhǎng)為AB+AD+BD，△ACD的周長(zhǎng)為AC+AD+CD，∵AD是△ABC的邊BC上的中線，∴BD=CD，∴AB+AD+BD-(AC+AD+CD)=AB?AC=5?3=2，故答案為：2；（3）設(shè)AC邊上的高為?，根據(jù)題意得：12即12解得?=10【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊關(guān)系，三角形的中線，三角形的高等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)是解本題的關(guān)鍵．17．（2021·安徽·六安市輕工中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，△ADC的周長(zhǎng)比△ABD的周長(zhǎng)少6cm，AB與AC的和為18cm，求AC的長(zhǎng)【答案】AC=6【分析】根據(jù)中線的定義知CD=BD，結(jié)合三角形周長(zhǎng)公式知AB?AC=6；因?yàn)锳B與AC的和為18cm，則可求出AC的長(zhǎng)度．【詳解】解：∵AD是BC邊上的中線，∴D是BC的中點(diǎn)，CD=BD，∵△ADC的周長(zhǎng)比△ABD的周長(zhǎng)少6cm，即：AB+BD+AD?(AC+AD+DC)=6cm，∴AB?AC=6①，∵AB與AC的和為18cm，即：AB+AC=18②，②－①得：AC=6cm．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的角平分線、中線和高，三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對(duì)頂點(diǎn)的連線叫做三角形中線．18．（2021·四川自貢·八年級(jí)期中）如圖，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC邊上的高，CE是AB邊上的中線，AB＝12cm，BC＝20cm，AC＝16cm，求：（1）AD的長(zhǎng)；（2）△BCE的面積．【答案】（1）485【分析】（1）利用面積法得到12AD?BC＝12AB?AC，然后把AB＝12cm，BC＝20cm，AC＝16cm代入可求出（2）由于三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，所以S△BCE＝12S△ABC【詳解】解：（1）∵∠BAC＝90°，AD是BC邊上的高，∴12AD?BC＝12AB?∴AD＝12×1620＝48（2）∵CE是AB邊上的中線，∴S△BCE＝12S△ABC＝12×12【點(diǎn)睛】本題考查三角形中線的性質(zhì)，涉及等積法，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．19．（2021·湖北孝感·八年級(jí)期中）如圖，已知△ABC中，AB＝15，BC＝20（1）畫出△ABC的高AD和CE；（2）若AD＝5，求CE的長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）20【分析】（1）根據(jù)三角形高的定義畫圖；（2）利用面積法進(jìn)行計(jì)算，即可得到答案；【詳解】解：（1）如圖：

（2）∵S△ABC=12AD?BC=12CE?∴CE=20×515【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-基本作圖，熟練掌握基本作圖是解決問題的關(guān)鍵．也考查了三角形的面積．20．（2021·江西·上饒市第四中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，在三角形ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，D是BC的中點(diǎn)，E點(diǎn)在邊AB上．（1）若三角形BDE的周長(zhǎng)與四邊形ACDE的周長(zhǎng)相等，求線段AE的長(zhǎng)．（2）若三角形ABC的周長(zhǎng)被DE分成的兩部分的差是2cm，求線段AE的長(zhǎng)．【答案】（1）2cm；（2）1cm或3cm．【分析】（1）由圖可知三角形BDE的周長(zhǎng)=BE+BD+DE，四邊形ACDE的周長(zhǎng)=AE+AC+DC+DE，BD=DC，所以BE=AE+AC，則可解得AE=2cm；（2）由三角形ABC的周長(zhǎng)被DE分成的兩部分的差是2，可得方程①BE=AE+AC+2或②BE=AE+AC?2．解得AE=1cm或2cm．【詳解】解：（1）由圖可知三角形BDE的周長(zhǎng)=BE+BD+DE，四邊形ACDE的周長(zhǎng)=AE+AC+DC+DE，又三角形BDE的周長(zhǎng)與四邊形ACDE的周長(zhǎng)相等，D為BC中點(diǎn)，∴BD=DC，BE+BD+DE=AE+AC+DC+DE，即BE=AE+AC，又∵AB=10cm，AC=6cm，BE=AB?AE，∴10?AE=AE+6，∴AE=2cm．（2）由三角形ABC的周長(zhǎng)被DE分成的兩部分的差是2，可得方程①當(dāng)BE=AE+AC+2時(shí)，即：10?AE=AE+6+2，解得：AE=1cm，②當(dāng)BE=AE+AC?2時(shí)．即：10?AE=AE+6?2，解得AE=3cm．故AE長(zhǎng)為1cm或3cm．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中線性質(zhì)，三角形周長(zhǎng)的計(jì)算，關(guān)鍵是要學(xué)會(huì)分類討論的思想思考問題．21．（2021·貴州黔東南·八年級(jí)期中）如圖，AD是△ABC的中線，E是AD的中點(diǎn)，連接EB，EC，CF⊥BE于點(diǎn)F．若BE＝9，CF＝8，求△ACE的面積．【答案】18【分析】根據(jù)三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分的知識(shí)進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵CF⊥BE于點(diǎn)F．BE＝9，CF＝8，∴S△BCE＝12BE?CF＝12∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，∴S△EBD＝S△ECD＝12S△EBC＝18∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∴S△ACE＝S△ECD＝18，答：△ACE的面積18．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形面積及三角形中線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是明確三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．22．（2021·福建省福州楊橋中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，AD為△ABC中線，AB＝12cm，AC＝9cm，△ACD的周長(zhǎng)為27cm，求△ABD的周長(zhǎng)．【答案】△ABD的周長(zhǎng)為30cm【分析】利用中線定義可得BD=CD，進(jìn)而可得AD+DC=AD+BD，然后再求△ABD的周長(zhǎng)即可．【詳解】解：∵△ACD的周長(zhǎng)為27cm，∴AC+DC+AD=27cm，∵AC=9cm，∴AD+CD=18cm，∵AD為△ABC的中線，∴BD=CD，∴AD+BD=18cm，∵AB=12cm，∴AB+AD+BD=30cm，∴△ABD的周長(zhǎng)為30cm．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的中線，關(guān)鍵是掌握三角形的中線定義．23．（2021·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)期中）圖①、圖②、圖③均是4×4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中按要求畫圖，不要求寫出畫法，并保留作圖痕跡．（1）在圖①中的邊BC上找到格點(diǎn)D，并連結(jié)AD，使AD平分△ABC的面積．（2）在圖②中的邊AC上找到一個(gè)點(diǎn)E，連結(jié)BE，使BE平分△ABC的面積．（3）在圖③中的邊AB上找到一個(gè)點(diǎn)F，連結(jié)CF，使CF平分△ABC的面積．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）找到BC中點(diǎn)連接起來即可；（2）找到AC中點(diǎn)連接即可；（3）根據(jù)矩形的性質(zhì)找出AB中點(diǎn)即可；【詳解】（1）點(diǎn)D如圖①所示；（2）點(diǎn)E如圖②所示；（3）點(diǎn)F如圖③所示．【點(diǎn)睛】本題主要考查了方格作圖和三角形中線的性質(zhì)，準(zhǔn)確作圖是解題的關(guān)鍵．24．（2021·全國(guó)·八年級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AE為邊BC上的高，點(diǎn)D為邊BC上的一點(diǎn)，連接AD．（1）當(dāng)AD為邊BC上的中線時(shí)，若AE=6，△ABC的面積為30，求CD的長(zhǎng)；（2）當(dāng)AD為∠BAC的角平分線時(shí)，若∠C=66°，∠B=36°，求∠DAE的度數(shù)．【答案】（1）5；（2）15°【分析】（1）利用三角形的面積公式求出BC即可解決問題；（2）先根據(jù)三角形內(nèi)角和求得∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)AD平分∠BAC，AE⊥BC，求得∠BAE，∠BAD的度數(shù)，最后根據(jù)∠DAE=∠BAE-∠BAD計(jì)算即可．【詳解】解：（1）∵AE⊥BC，AE=6，△ABC的面積為30，∴12×BC×AE∴12×BC∴BC=10，∵AD是△ABC的中線，∴CD=12BC（2）∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-36°-66°=78°∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC∵AE⊥BC，∴∠AEB=90°，∴∠BAE=90°-∠B=54°，∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=54°-39°=15°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的面積，三角形的中線與高等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中基礎(chǔ)題．25．（2021·河北石家莊·八年級(jí)期中）如圖，△ABC的面積為30，AD是△ABC的中線，BE是△ABD的中線，EF⊥BC于點(diǎn)F．（1）求△BDE的面積．（2）若EF=5，求CD的長(zhǎng)．【答案】（1）152【分析】（1）由中線性質(zhì)可得S△ABD=12S△ABC，S△BED=12S△（2）由三角形面積公式S△BDE=12BD?EF，即152=52BD，可得【詳解】解：（1）∵AD是△ABC的中線，∴SΔABD∵BE是△ABD的中線，∴SΔBDE（2）∵EF⊥BC，∴SΔBDE=1∴BD=3．∵AD是△ABC的中線，∴CD=BD=3．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中線性質(zhì)，三角形面積計(jì)算，掌握中線的性質(zhì)以及三角形面積計(jì)算公式是解題關(guān)鍵．26．（2020·廣西柳州·八年級(jí)期中）如圖，AD為△ABC的中線，AB=12cm，△ABD和△ADC的周長(zhǎng)差是4cm，求△ABC的邊AC的長(zhǎng)(AC<AB)．【答案】8cm【分析】由三角形中線的定義得到BD=CD，根據(jù)△ABD和△ADC的周長(zhǎng)差是4cm即可求得結(jié)論．【詳解】解：∵AD為△ABC的中線，∴BD=CD，∵△ABD和△ADC的周長(zhǎng)差是4cm，∴AB+AD+BD–(AC+AD+CD)=AB+AD+BD–AC–AD–BD=AB–AC=4cm，∵AB=12cm，∴AC=AB–4cm=8cm．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形中線的定義，根據(jù)三角形中線的定義得到BD=CD是解決問題的關(guān)鍵．27．（2019·廣東·廣州市白云區(qū)六中珠江學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，四邊形ABCD中，∠ABC和∠BCD的平分線交于點(diǎn)O．（1）如果∠A=130°，∠D=110°，求∠BOC的度數(shù)；（2）請(qǐng)直接寫出∠BOC與∠A+∠D的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）120°；（2）∠BOC=【分析】（1）先由四邊形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠DCB=120°，再由角平分線定義得出∠OBC+∠OCB=60°，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠O=120°即可；（2）方法同（1）【詳解】解：（1）∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°，且∠A+∠D=130°+110°=240°，∴∠ABC+∠BCD=360°-（∠A+∠D）=360°-240°=120°，∵OB，OC分別是∠ABC和∠BCD的平分線，∴∠OBC+∠OCB=12∴∠O=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-60°=120°；（2）∠BOC=1證明：在四邊形ABCD中，∠A+∠B+∠C+∠D=360°∴∠ABC+∠DCB=360°?(∠A+∠D)∵OB，OC分別是∠ABC和∠BCD的平分線，∴∠OBC+∠OCB=1∴∠BOC=180°?(∠OBC+∠OCB)=【點(diǎn)睛】此題主要考查了四邊形內(nèi)角和定理，三角形的內(nèi)角和定理以及角平分線的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：三角形的內(nèi)角和是180°；一個(gè)角的角平分線把這個(gè)角分成兩個(gè)大小相等的角．28．（2021·山東臨沂·八年級(jí)期中）如圖所示，已知AD，AE分別是△ABC的高和中線，AB=3cm，AC=4cm，BC=5cm，∠CAB=90°．(1)求AD的長(zhǎng)．(2)求△ABE的面積．【答案】（1）125cm；（2）3c