九年級數(shù)學知識點【北師大版】：一元二次方程的根的代數(shù)式求值綜合問題（培優(yōu)強化30題）（解析版）

2022-2023學年九年級數(shù)學上學期復習備考高分秘籍（月考+期中+期末）【北師大版】專題2.3一元二次方程的根的代數(shù)式求值綜合問題（培優(yōu)強化30題）一．選擇題（共10小題）1．（2022?啟東市二模）若關于x的一元二次方程ax2+2bx﹣2＝0的一個根是x＝2022，則一元二次方程a2（x+2）2+bx+2bA．2020 B．2021 C．2022 D．2023【分析】一元二次方程a2（x+2）2+bx+2b＝1變形為a（x+2）2+2b（x+2）﹣2＝0，由于關于x的一元二次方程ax2+2bx﹣2＝0的一個根是x＝2022，則關于（x+2）的一元二次方程a（x+2）2+2b（x+2）﹣2＝0的一個根是x＝2022，于是可判斷一元二次方程a2（x+2）2+bx+2【解析】一元二次方程a2（x+2）2+bx+2b＝1變形為a（x+2）2+2b（x所以此方程可看作關于（x+2）的一元二次方程，因為關于x的一元二次方程ax2+2bx﹣2＝0的一個根是x＝2022，所以關于（x+2）的一元二次方程a（x+2）2+2b（x+2）﹣2＝0的一個根是x＝2022，即x+2＝2022，解得x＝2020，所以一元二次方程a2（x+2）2+bx+2b故選：A．2．（2022?茌平區(qū)一模）已知a是方程x2﹣3x﹣1＝0的一個根，則代數(shù)式2a2﹣6a﹣1的值為（）A．1 B．﹣2 C．﹣2或1 D．2【分析】先根據(jù)一元二次方程解的定義得到a2﹣3a＝1，再把2a2﹣6a﹣1變形為2（a2﹣3a）﹣1，然后利用整體代入的方法計算．【解析】∵a是方程x2﹣3x﹣1＝0的一個根，∴a2﹣3a﹣1＝0，∴a2﹣3a＝1，∴2a2﹣6a﹣1＝2（a2﹣3a）﹣1＝2×1﹣1＝1．故選：A．3．（2022?永康市模擬）已知a是方程2x2﹣3x﹣5＝0的一個解，則﹣4a2+6a的值為（）A．10 B．﹣10 C．2 D．﹣40【分析】把x＝a代入方程求得2a2﹣3a＝5，然后根據(jù)﹣4a2+6a＝﹣2（2a2﹣3a）即可求解．【解析】把x＝a代入方程得：2a2﹣3a﹣5＝0，則2a2﹣3a＝5，則﹣4a2+6a＝﹣2（2a2﹣3a）＝﹣10．故選：B．4．（2022?渭濱區(qū)一模）若關于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一個根是2，則m+n的值是（）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1【分析】先根據(jù)一元二次方程解的定義得到4+2m+2n＝0，然后利用等式的性質(zhì)可得到m+n的值．【解析】∵關于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一個根是2，∴4+2m+2n＝0，∴2m+2n＝﹣4，∴m+n＝﹣2．故選：B．5．（2022?雙峰縣一模）若x＝0是關于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的解，則m的值為（）A．m＝±1 B．m＝0 C．m＝1 D．m＝﹣1【分析】先把x＝0代入一元二次方程得m2﹣1＝0，解方程得到m＝1或m＝﹣1，然后根據(jù)一元二次方程的定義確定m的值．【解析】把x＝0代入一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0得m2﹣1＝0，解得m＝1或m＝﹣1，因為m﹣1≠0，所以m的值為﹣1．故選：D．6．（2022春?淄川區(qū)期中）若關于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）有一根為2022，則方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5必有根為（）A．2022 B．2020 C．2019 D．2021【分析】對于一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5，設t＝x+1得到at2+bt+5＝0，利用at2+bt+5＝0有一個根為t＝2022得到x+1＝2022，從而可判斷一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5必有一根為x＝2021．【解析】由a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5得到a（x+1）2+b（x+1）+5＝0，對于一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5，設t＝x+1，所以at2+bt+5＝0，而關于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）有一根為x＝2022，所以at2+bt+5＝0有一個根為t＝2022，則x+1＝2022，解得x＝2021，所以一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5有一根為x＝2021．故選：D．7．（2021?東興區(qū)校級三模）若關于x的方程m（x+h）2+k＝0（m、h、k均為常數(shù)，m≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2，則方程m（x+h﹣3）2+k＝0的解是（）A．x1＝﹣6，x2＝﹣1 B．x1＝0，x2＝5 C．x1＝﹣3，x2＝5 D．x1＝﹣6，x2＝2【分析】用字母表示出原方程的解和要求解方程的解，根據(jù)代數(shù)式關系求解即可．【解析】解方程m（x+h）2+k＝0（m、h、k均為常數(shù)，m≠0）得，x＝﹣h±km∵此方程解是x1＝﹣3，x2＝2，∴﹣h?km=?3，﹣∵方程m（x+h﹣3）2+k＝0的解是x＝3﹣h±km∴x1＝3﹣3＝0，x2＝3+2＝5，故選：B．8．（2021秋?通城縣月考）關于m的一元二次方程7nm2﹣n2m﹣2＝0的一個根為2，則n2+n﹣2的值是（）A．25 B．26 C．27 D．1【分析】把x＝2代入已知方程得到n+1n=27，再利用完全平方公式得到n2+n﹣2＝（n+【解析】把m＝2代入方程7nm2﹣n2m﹣2＝0，得47n﹣2n2﹣2＝0，∴n2﹣27n+1＝0，∴n﹣27+即n+1n=∴n2+n﹣2＝（n+1n）2﹣2＝（27）故選：B．9．（2021秋?長葛市期中）若關于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根為x＝2021，則一元二次方程a（x+1）2+bx+b＝﹣2必有根為（）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【分析】對于一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）+2＝0，設t＝x+1得到at2+bt+2＝0，利用at2+bt+2＝0有一個根為t＝2021得到x+1＝2021，從而可判斷一元二次方程a（x+1）2+bx+b＝﹣2必有一根為x＝2020．【解析】對于一元二次方程a（x+1）2+bx+b＝﹣2即a（x+1）2+b（x+1）+2＝0，設t＝x+1，所以at2+bt+2＝0，而關于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根為x＝2021，所以at2+bt+2＝0有一個根為t＝2021，則x+1＝2021，解得x＝2020，所以一元二次方程a（x+1）2+bx+b＝﹣2必有一根為x＝2020．故選：B．10．（2022春?沙坪壩區(qū)校級期末）關于x的多項式N＝x﹣1，M＝2x2﹣ax﹣2，a為任意實數(shù)，則下列結(jié)論中正確的有（）個．①若M?N中不含x2項，則a＝﹣2；②不論x取何值，總有M≥N；③若關于x的方程M＝0的兩個解分別為x1＝t2，x2＝2t﹣3，則實數(shù)a的最小值為﹣8；④不論a取何值，關于x的方程（M+N）2﹣（M+N）＝6始終有4個不相同的實數(shù)解．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】M?N＝（x﹣1）（2x2﹣ax﹣2）＝2x3﹣（a+2）x2+（a﹣2）x+2，M?N中不含x2項，則a+2＝0，可判斷①正確；舉反例可判斷②錯誤；由t2+2t﹣3=a2，得a＝2（t+1）2﹣8，可判斷③正確；由（M+N）2﹣（M+N）＝6得（M+N﹣3）（M+N+2）＝0，即M+N﹣3＝0或M+N+2＝0，分別求出Δ的值，可判斷【解析】M?N＝（x﹣1）（2x2﹣ax﹣2）＝2x3﹣（a+2）x2+（a﹣2）x+2，若M?N中不含x2項，則a+2＝0，∴a＝﹣2，故①正確；當x＝0時，N＝﹣1，M＝﹣2，此時M＜N，故②錯誤；若關于x的方程2x2﹣ax﹣2＝0的兩個解分別為x1＝t2，x2＝2t﹣3，則t2+2t﹣3=a∴a＝2（t+1）2﹣8，∴當t＝﹣1時，a的最小值是﹣8，故③正確；由（M+N）2﹣（M+N）＝6得（M+N﹣3）（M+N+2）＝0，∴M+N﹣3＝0或M+N+2＝0，由M+N﹣3＝0得2x2+（1﹣a）x﹣6＝0，Δ＝（1﹣a）2+48＞0，∴M+N﹣3＝0有兩個不相同的實數(shù)根，由M+N+2＝0得2x2+（1﹣a）x﹣1＝0，Δ＝（1﹣a）2+8＞0，∴M+N+2＝0有兩個不同的實數(shù)根，∴（M+N）2﹣（M+N）＝6始終有4個不相同的實數(shù)解，故④正確，∴正確的有①③④，共3個，故選：C．二．填空題（共10小題）11．（2022?成都模擬）若m是x2﹣2x﹣3＝0的一個實數(shù)根，則(m2【分析】將x＝m代入已知方程得到m2﹣2m＝3，m2﹣m＝3+m；然后將其代入所求的代數(shù)式進行化簡即可．【解析】依題意得：m2﹣2m﹣3＝0，∴m2﹣2m＝3，m2﹣m＝3+m，∴(＝3×＝3×1＝3．故答案是：3．12．（2021秋?曲靖期末）已知關于x的一元二次方程12022x2+3=2x2+b的根為±3，那么關于y的一元二次方程12022（y2+1）+3＝2（y2+1）+b的解【分析】根據(jù)關于x的一元二次方程12022x2+3=2x2+b【解析】∵關于x的一元二次方程12022∴關于y的一元二次方程12022（y2+1）+3＝2（y2+1）+b可得y2+1＝x2解得y＝﹣22和22．故答案為：﹣22和22．13．（2021秋?漢壽縣期末）已知x＝2是關于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一個根，并且等腰三角形ABC的腰和底邊長恰好是這個方程的兩個根，則△ABC的周長為14．【分析】先根據(jù)一元二次方程的解的定義把x＝2代入方程求出m的值，得到原方程為x2﹣8x+12＝0，再解此方程得到x1＝2，x2＝6，然后根據(jù)三角形三邊的關系得到△ABC的腰為6，底邊為2，再計算三角形的周長．【解析】∵2是關于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一個根，∴把x＝2代入方程整理得：4﹣4m+3m＝0，∴解得m＝4，∴原方程為：x2﹣8x+12＝0，∴方程的兩個根分別是2，6，又∵等腰三角形ABC的腰和底邊長恰好是這個方程的兩個根，∴若2是等腰三角形ABC的腰長，則2+2＝4＜6構(gòu)不成三角形，∴等腰三角形ABC的腰長為6，底邊長為2，∴三角形ABC的周長為：6+6+2＝14，故答案是：14．14．（2022春?閩清縣期末）若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一個根，則代數(shù)式m?1m的值是【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值；即用這個數(shù)代替未知數(shù)所得式子仍然成立；將m代入原方程即可求m?1【解析】把x＝m代入方程x2﹣x﹣1＝0可得：m2﹣m﹣1＝0，即m2﹣1＝m，∴m?1故答案為：1．15．（2021春?長興縣月考）已知下面三個關于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1，bx2+cx+a＝﹣3，cx2+ax+b＝2恰好有一個相同的實數(shù)根，則a+b+c的值為0．【分析】設這個相同的實數(shù)根為t，把x＝t代入3個方程得出a?t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a?t+b＝0，3個方程相加即可得出（a+b+c）（t2+t+1）＝0，即可求出答案．【解析】設這個相同的實數(shù)根為t，把x＝t代入ax2+bx+c＝1，bx2+cx+a＝﹣3，cx2+ax+b＝2得：a?t2+bt+c＝1，bt2+ct+a＝﹣3，ct2+a?t+b＝2，相加得：（a+b+c）t2+（b+c+a）t+（a+b+c）＝0，（a+b+c）（t2+t+1）＝0，∵t2+t+1＝（t+12）2∴a+b+c＝0，故答案是：0．16．（2021秋?海淀區(qū)校級月考）已知a是x2+x﹣2＝0的根，則代數(shù)式（a2+a）（a?2a+【分析】先利用一元二次方程根的定義得到a2＝﹣a+2，a2+a＝2，再利用通分和整體代入的方法進行計算即可．【解析】∵a是x2+x﹣2＝0的根，∴a2+a﹣2＝0．∴a2﹣2＝﹣a，a2+a＝2．∴（a2+a）（a?2＝2×（a2＝2×（?a＝4．故答案是：4．17．（2021秋?寶山區(qū)校級期中）已知p、q是實數(shù)，有且只有三個不同的x值滿足方程|x2+px+q|＝2，則q的最小值﹣2．【分析】由方程|x2+px+q|＝2得到x2+px+q﹣2＝0，x2+px+q+2＝0，根據(jù)判別式得到Δ1＝p2﹣4q+8，Δ2＝p2﹣4q﹣8，依此可Δ2＝0，Δ1＝16，可得p2﹣4q﹣8＝0，依此可求q的最小值．【解析】∵|x2+px+q|＝2，∴x2+px+q﹣2＝0①，x2+px+q+2＝0②，∴Δ1＝p2﹣4q+8，Δ2＝p2﹣4q﹣8，∴Δ1＞Δ2，∵有且只有三個不同的x值滿足方程|x2+px+q|＝2，∴Δ2＝0，Δ1＝16，∴p2﹣4q﹣8＝0，∴q=14p當p＝0時，q的最小值﹣2．故答案為：﹣2．18．（2021秋?隆昌市校級月考）已知a是方程x2﹣2021x+1＝0的根，則2a2【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義得到a2﹣2021a+1＝0，即a2＝2021a﹣1，把a2＝2021a﹣1代入原式，化簡得a+1a?2，再通分得到原式=a2+1【解析】∵a是方程x2﹣2021x+1＝0的根，∴a2﹣2021a+1＝0，∴a2＝2021a﹣1，∴2＝2（2021a﹣1）﹣4041a+＝a+1=a=2021a?1+1＝2021﹣2＝2019．故答案為：2019．19．（2021?上杭縣模擬）我們知道，一元二次方程x2＝﹣1沒有實數(shù)根，即不存在一個實數(shù)的平方等于﹣1．若我們規(guī)定一個新數(shù)“i”，使其滿足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一個根為i），并且進一步規(guī)定：一切實數(shù)可以與新數(shù)進行四則運算，且原有運算律和運算法則仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2?i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，從而對于任意正整數(shù)n，我們可以得到i4n+1＝i4n?i＝i，同理可得i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1．那么i+i2+i3+i4+…+i2020+i2021的值為i．【分析】根據(jù)i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2?i＝（﹣1）?i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，2021÷4＝505…1，進而得出i2021＝i1，進而求出即可．【解析】依題意有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2?i＝（﹣1）?i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，∵2021÷4＝505…1，∴原式＝i﹣1﹣i+1+…+i﹣1﹣i+1+i＝i．故答案為：i．20．（2021?汝陽縣一模）已知實數(shù)a是一元二次方程x2﹣2016x+1＝0的根，求代數(shù)式a2﹣2015a?a2+1【分析】利用方程解的定義得到a2＝2016a﹣1，然后利用整體代入的方法計算代數(shù)式的值．【解析】∵a是方程x2﹣2016x+1＝0根，∴a2﹣2016a+1＝0，∴a2＝2016a﹣1，∴原式＝2016a﹣1﹣2015a?＝a﹣1﹣a＝﹣1．故答案是：﹣1．三．解答題（共10小題）21．（2022春?豐城市校級期末）已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一個根．求：（1）2a2﹣4040a﹣3的值；（2）代數(shù)式a2﹣2019a+2020【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的解的定義得到a2﹣2020a+1＝0，則a2＝2020a﹣1，然后把a2＝2020a﹣1代入原式即可求解；（2）可化簡得原式＝a+1【解析】（1）∵a是方程x2﹣2020x+1＝0的一個根，∴a2＝2020a﹣1，∴a2＝2020a﹣1，∴2a2﹣4040a﹣3＝2（2020a﹣1）﹣4040a﹣3＝4040a﹣2﹣4040a﹣3＝﹣5；（2）原式＝2020a﹣1﹣2019a+＝a+1=a=2020a?1+1＝2020﹣1＝2019．22．（2022?雙峰縣一模）先化簡，再求值：(a?2aa+1)÷a2【分析】根據(jù)題意先解方程求出a﹣a2的值，然后把代數(shù)式化簡，再把a﹣a2的值代入即可．【解析】∵a是方程x2∴a2﹣a?7∴a﹣a2=?(a?2a＝{a(a+1)?2aa+1}÷(a?1)=a2=a(a?1)a+1＝a﹣a2，∴代數(shù)式的值為?723．（2020秋?鳳凰縣校級期末）若方程x2+ax+b＝0和x2+bx+a＝0只有一個公共根，則（a+b）200的值是多少？【分析】設出公共根x0構(gòu)造二元一次方程組，解出符合條件的公共根．【解析】設公共根為x0，則x0①﹣②，得（a﹣b）（x0﹣1）＝0，當a＝b時，兩方程完全一樣，不合題意；當x0＝1時，a+b＝﹣1，則（a+b）200＝1．答：（a+b）200的值是1．24．（2020春?湖州月考）若m是方程x2﹣2x﹣15＝0的一個根，求代數(shù)式(m+5?16【分析】先解一元二次方程，求出m的值，化簡代數(shù)式后代入求值．【解析】∵x2﹣2x﹣15＝0，∴（x﹣5）（x+3）＝0．∴x＝5或x＝﹣3．由于m是方程的一個根，所以m＝5或﹣3．∵(m+5?=25?=(3+m)(3?m)＝﹣2（3+m）﹣2＝﹣6﹣2m﹣2．當m＝5時，原代數(shù)式無意義；當m＝﹣3時，原式＝﹣6﹣2×（﹣3）﹣2＝0﹣2＝﹣2．25．（2018秋?漢濱區(qū)期末）若a是方程x2﹣2018x+1＝0的一個根，求代數(shù)式a2﹣2019a+a【分析】先把x＝a代入方程，可得a2﹣2018a+1＝0，進而可得可知a2﹣2018a＝﹣1，進而可求a2﹣2019a＝﹣a﹣1，a2+1＝2018a，然后把a2﹣2019a與a2+1的值整體代入所求代數(shù)式求值即可．【解析】把x＝a代入方程，可得：a2﹣2018a+1＝0，所以a2﹣2018a＝﹣1，a2+1＝2018a，所以a2﹣2019a＝﹣a﹣1，所以a2﹣2019a+a2+12018=?a﹣1+2018a201826．（2022春?霍邱縣期末）定義：若一個一元二次方程的“某一個根”是另一個一元二次方程的一個根，則稱這兩個方程為“友好方程”．已知關于x的一元二次方程x2＝3x與x2﹣2x+m﹣1＝0是“友好方程”，求m的值．【分析】首先解得第一個方程，然后利用友好方程的定義代入第二個方程求得m的值即可．【解析】x2＝3x，解得x1＝0，x2＝3，將x1＝0代入x2﹣2x+m﹣1＝0中，得m＝1；將x2＝3代入x2﹣2x+m﹣1＝0中，得m＝﹣2；所以m的值為1或﹣2．27．（2022春?建鄴區(qū)期末）已知關于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1（m為常數(shù)）．（1）若它的一個實數(shù)根是關于x的方程2（x﹣m）﹣4＝0的根，求m的值；（2）若它的一個實數(shù)根是關于x的方程2（x﹣n）﹣4＝0的根，求證：m+n≥﹣2．【分析】（1）先解一次方程得到x＝m+2，然后把x＝m+2代入一元二次方程得到（m+2﹣1）（m+2﹣2）＝m+1，然后解關于m的方程即可；（2）先解一次方程得到x＝n+2，把x＝n+2代入方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1得到m＝n2+n﹣1，所以m+n＝n2+2n﹣1，利用配方法得到m+n＝（n+1）2﹣2，然后根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)可得到結(jié)論．【解答】（1）解：解關于x的方程2（x﹣m）﹣4＝0得x＝m+2，把x＝m+2代入方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1得（m+2﹣1）（m+2﹣2）＝m+1，整理得m2＝1，解得m＝1或m＝﹣1；（2）證明：解關于x的方程2（x﹣n）﹣4＝0得x＝n+2，把x＝n+2代入方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1得（n+2﹣1）（n+2﹣2）＝m+1，整理得m＝n2+n﹣1，所以m+n＝n2+2n﹣1＝（n+1）2﹣2，因為（n+1）2≥0，所以m+n的最小值為﹣2．28．（2021秋?上思縣期末）已知2是關于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一個根，而這個方程的兩個根恰好是等腰△ABC的兩條邊長．（1）求m的值；（2）求△ABC的周長．【分析】（1）直接把x＝2代入方程x2﹣2mx+3m＝0可求出m的值；（2）先解方程x2﹣8x+12＝0，解得x1＝2，x2＝6，再利用三角形三邊的關系確定等腰三角形的腰與底，然后計算它的周長．【解析】（1）把x＝2代入方程得4﹣4m+3m＝0，解得m＝4；（2）當m＝4時，原方程變?yōu)閤2﹣8x+12＝0，解得x1＝2