拉普拉斯變換與連續(xù)時間系統(tǒng)課件

拉普拉斯變換與連續(xù)時間系統(tǒng)課件信號與系統(tǒng)多媒體教學(xué)課件

第六章Part3內(nèi)容要點

雙邊拉普拉斯變換的定義和收斂域單邊拉普拉斯變換及其性質(zhì)拉普拉斯逆變換微分方程和電路的s域求解

LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及其性質(zhì)

LTI系統(tǒng)的框圖表示2023/12/33第6章拉普拉斯變換與連續(xù)時間系統(tǒng)6.0引言6.1拉普拉斯變換的定義6.2單邊拉普拉斯變換6.3拉普拉斯變換的性質(zhì)作業(yè)一2023/12/34第6章拉普拉斯變換與連續(xù)時間系統(tǒng)6.4拉普拉斯逆變換6.5微分方程的求解作業(yè)二2023/12/35第6章拉普拉斯變換與連續(xù)時間系統(tǒng)6.6電路的s域求解6.7雙邊拉普拉斯變換作業(yè)三2023/12/36第6章拉普拉斯變換與連續(xù)時間系統(tǒng)6.8LTI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及其性質(zhì)6.9LTI系統(tǒng)的框圖表示作業(yè)四2023/12/37§6.6電路的s域求解利用拉氏變換進行電路分析的兩種方法應(yīng)用基爾霍夫定律寫出描述電路網(wǎng)絡(luò)特性的微分方程，然后采用拉普拉斯變換來求解該方程，再通過逆變換得到時域解建立電路的s域等效模型，在此模型上建立的電路方程將是一個代數(shù)方程，求解更方便2023/12/38§6.6電路的s域求解電路的微分方程解法【例6-27】已知下圖所示的RC電路，t=0時開關(guān)閉合接入一直流電壓V，假設(shè)電容C上的初始電壓為vC(0-)=V0。求t≥0時的輸出vC(t)，并指出零輸入響應(yīng)vC,zi(t)和零狀態(tài)響應(yīng)vC,zs(t)2023/12/39§6.6電路的s域求解【例6-27】(續(xù))解：應(yīng)用KVL，可得該電路的微分方程利用時域微分性質(zhì)作拉普拉斯變換得VC,zi(s)

VC,zs(s)

2023/12/310§6.6電路的s域求解【例6-27】(續(xù))部分分式展開,得求ILT得2023/12/311§6.6電路的s域求解s域等效模型根據(jù)電路元件的阻抗R與電壓v(t)和電流i(t)的關(guān)系建立元件的s域等效模型，然后根據(jù)KCL和KVL直接寫出s域的代數(shù)方程電阻的s域等效模型電容的s域等效模型電感的s域等效模型電源的s域等效模型2023/12/312§6.6電路的s域求解s域等效模型電阻的s域等效模型電阻的R、v(t)、i(t)關(guān)系及LT電阻的s域模型圖2023/12/313§6.6電路的s域求解s域等效模型電容的s域等效模型電容的C、v(t)、i(t)關(guān)系及LT電容的s域模型圖2023/12/314§6.6電路的s域求解s域等效模型電感的s域等效模型電感的L、v(t)、i(t)關(guān)系及LT電感的s域模型圖2023/12/315§6.6電路的s域求解s域等效模型電源的s域等效模型電壓源的s域模型圖電流源的s域模型圖2023/12/316§6.6電路的s域求解【例6-28】應(yīng)用s域模型求解例6-27解：應(yīng)用元件的s域模型，可得到s域等效電路根據(jù)電路可求出環(huán)路電流為2023/12/317§6.6電路的s域求解【例6-28】(續(xù))根據(jù)電路可直接寫出輸出電壓為

2023/12/318§6.6電路的s域求解【例6-29】已知圖示電路中L=0.5H，C=0.05F,R1=5Ω,R2=2Ω,并假設(shè)開關(guān)在t=0之前一直處于閉合狀態(tài)，現(xiàn)將開關(guān)斷開。求t≥0時電感中的電流i(t)解：確定電路的起始狀態(tài)vC(0-)=10Vi(0-)=2A2023/12/319§6.6電路的s域求解【例6-29】(續(xù))s域等效電路根據(jù)等效電路求電流Back2023/12/320§6.7雙邊拉普拉斯變換雙邊拉普拉斯變換的必要性非因果信號和系統(tǒng)的問題不能用單邊拉普拉斯變換來討論應(yīng)用雙邊拉普拉斯變換要注意的問題收斂域2023/12/321§6.7雙邊拉普拉斯變換收斂域特性雙邊拉普拉斯變換的性質(zhì)雙邊拉普拉斯逆變換

Back2023/12/322§6.7.1收斂域特性性質(zhì)1：收斂域內(nèi)不能包含任何極點如果在收斂域內(nèi)存在極點，則X(s)在該點的值為無窮大，它就不可能收斂。這說明收斂域是以極點為邊界的。2023/12/323§6.7.1收斂域特性性質(zhì)2：信號x(t)的拉普拉斯變換X(s)的收斂域為s平面上平行于jω軸的帶狀區(qū)域X(s)的收斂域僅與復(fù)變量s的實部(即

)有關(guān)，而與s的虛部無關(guān)，這說明收斂域的邊界必然是平行于虛軸jω的直線2023/12/324§6.7.1收斂域特性性質(zhì)3：如果x(t)是一個時限信號，并且絕對可積，則X(s)的收斂域為全s平面2023/12/325§6.7.1收斂域特性性質(zhì)4：如果x(t)是一個雙邊信號，并且X(s)存在，則X(s)的收斂域一定是由s平面的一條帶狀區(qū)域所組成，即滿足

1<

<

2將雙邊信號x(t)分為因果信號x(t)u(t)和反因果信號x(t)u(-t)兩個分量，則2023/12/326§6.7.1收斂域特性性質(zhì)4(續(xù))假設(shè)x(t)為指數(shù)階信號當(dāng)

1<

<

2時雙邊信號的拉氏變換收斂當(dāng)

1>2時雙邊拉普拉斯變換不存在2023/12/327§6.7.1收斂域特性性質(zhì)5：如果x(t)是一個因果信號或右邊信號，則X(s)的收斂域在其最右邊極點的右邊性質(zhì)6：如果x(t)是一個反因果信號或左邊信號，則X(s)的收斂域在其最左邊極點的左邊2023/12/328§6.7.1收斂域特性【例6-30】已知信號x(t)=e-a|t|,a

R,求雙邊拉普拉斯變換X(s)，畫出零極點圖，并標(biāo)明收斂域解：雙邊指數(shù)信號x(t)波形如圖所示2023/12/329§6.7.1收斂域特性【例6-30】(續(xù))將x(t)分解為因果信號和非因果信號兩部分，根據(jù)例6-1和例6-2，它們各自的雙邊LT為雙邊指數(shù)信號x(t)的LT為Back2023/12/330§6.7.2雙邊拉普拉斯變換的性質(zhì)線性性質(zhì)時移性質(zhì)ROC：至少Rx

RhROC：RxROC：RxROC：Rh2023/12/331§6.7.2雙邊拉普拉斯變換的性質(zhì)復(fù)頻域(s域)移位性質(zhì)尺度變換性質(zhì)ROC：Rx+Re(s0)ROC：aRx2023/12/332§6.7.2雙邊拉普拉斯變換的性質(zhì)時域微分性質(zhì)復(fù)頻域(s域)微分性質(zhì)ROC：至少RxROC：Rx2023/12/333§6.7.2雙邊拉普拉斯變換的性質(zhì)卷積性質(zhì)時域積分性質(zhì)ROC：至少Rx

RhROC：Rx{Re(s)>0}Back2023/12/334§6.7.3雙邊拉普拉斯逆變換雙邊拉普拉斯逆變換的求法利用已知的變換表利用拉普拉斯變換的性質(zhì)利用拉普拉斯變換收斂域性質(zhì)2023/12/335§6.7.3雙邊拉普拉斯逆變換以s的多項式之比表示的雙邊拉氏變換進行部分分式展開根據(jù)收斂域確定對應(yīng)展開項的逆變換極點位于收斂域的左邊，逆變換為因果信號極點位于收斂域的右邊，逆變換為反因果信號2023/12/336§6.7.3雙邊拉普拉斯逆變換【例6-31】已知雙邊拉普拉斯變換，求逆變換x(t)解：部分分式展開X(s)有兩個極點，ROC有三種可能2023/12/337§6.7.3雙邊拉普拉斯逆變換【例6-31】(續(xù))ROC1:Re(s)>-1兩極點均對應(yīng)于因果信號2023/12/338§6.7.3雙邊拉普拉斯逆變換【例6-31】(續(xù))ROC2:-2<Re(s)<-1極點p1=-1對應(yīng)于反因果信號，極點p2=-2對應(yīng)于因果信號2023/12/339§6.7.3雙邊拉普拉斯逆變換【例6-31】(續(xù))ROC3:Re(s)<-2兩極點均對應(yīng)于反因果信號2023/12/340§6.7.3雙邊拉普拉斯逆變換【例6-32】已知信號的雙邊拉普拉斯變換，且信號的傅里葉變換存在，求逆變換x(t)解：部分分式展開X(s)有三個單極點，其ROC有四種可能性。但信號存在傅里