多面體 公開課教學(xué)設(shè)計(jì)

第八章立體幾何初步[數(shù)學(xué)文化]——了解數(shù)學(xué)文化的發(fā)展與應(yīng)用祖暅與祖暅原理祖暅[ɡènɡ]，又名祖暅之，字景爍，是我國南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家、科學(xué)家祖沖之的兒子.祖暅在求球體積時(shí)，使用了一個(gè)原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”，“冪”是截面積，“勢(shì)”是立體的高，意思是兩個(gè)同高的立體，如在等高處的截面積恒相等，則體積相等.更詳細(xì)點(diǎn)說就是，界于兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)立體，被任一平行于這兩個(gè)平面的平面所截，如果兩個(gè)截面的面積恒相等，則這兩個(gè)立體的體積相等.上述原理在中國被稱為祖暅原理.[讀圖探新]——發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象背后的知識(shí)觀察下面的圖片，這些圖片你都不陌生吧.小到精巧的家居裝飾，大到宏偉的龐大建筑；從遠(yuǎn)古的金字塔，到現(xiàn)代的國家大劇院、埃菲爾鐵塔，設(shè)計(jì)師、建筑師們匠心獨(dú)具，為我們留下了精美絕倫的建筑物，每當(dāng)看到這些建筑物都會(huì)給人以震撼的美.問題：那么設(shè)計(jì)師是如何設(shè)計(jì)這些建筑物的呢？應(yīng)用到哪些數(shù)學(xué)知識(shí)呢？鏈接：事實(shí)上，對(duì)于這些裝飾物、建筑物，我們都可以抽象為數(shù)學(xué)中的占有一定空間，具有一定形狀的立體幾何圖形，是我們本章要學(xué)習(xí)的重點(diǎn)內(nèi)容.

基本立體圖形第一課時(shí)多面體課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.利用實(shí)物、計(jì)算機(jī)軟件等觀察空間圖形，認(rèn)識(shí)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征.2.能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).在多面體概念的形成中，經(jīng)歷由具體到抽象，由一般到特殊的過程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng).教材知識(shí)探究觀察下列圖片：問題1.圖(1)(2)(3)中的物體的形狀有何特點(diǎn)？2.圖(4)(5)(6)(7)中的物體的形狀與(1)(2)(3)中的物體的形狀有何不同？3.圖(4)(5)(6)(7)中的物體是否可以看作平面圖形繞某定直線旋轉(zhuǎn)而成？提示1.由若干個(gè)平面多邊形圍成.2.(4)(5)(6)的表面是由平面與曲面圍成的，(7)的表面是由曲面圍成的.3.可以.1.空間幾何體我們研究空間幾何體就是研究其形狀和大小名稱定義空間幾何體在我們周圍存在著各種各樣的物體，它們都占據(jù)著空間的一部分.如果只考慮這些物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫做空間幾何體多面體由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.圍成多面體的各個(gè)多邊形叫做多面體的面；兩個(gè)面的公共邊叫做多面體的棱；棱與棱的公共點(diǎn)叫做多面體的頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)體一條平面曲線(包括直線)繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)面，封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫做旋轉(zhuǎn)體，這條定直線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸2.多面體棱柱eq\o(,\s\up10(上底面擴(kuò)大到和下底面全等),\s\do10(下底面擴(kuò)大到和上底面相似))棱臺(tái)eq\o(,\s\up10(上底面縮小為一個(gè)點(diǎn)),\s\do10(頂點(diǎn)擴(kuò)大到和下底面相似))棱錐多面體定義圖形及表示相關(guān)概念特殊情形棱柱有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱記作：棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′底面(底)：兩個(gè)互相平行的面?zhèn)让妫浩溆喔髅鎮(zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱棱錐有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐記作：棱錐S－ABCD底面(底)：多邊形面?zhèn)让妫河泄岔旤c(diǎn)的各個(gè)三角形面?zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：各側(cè)面的公共頂點(diǎn)正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)與底面中心的連線垂直于底面的棱錐棱臺(tái)用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺(tái)記作：棱臺(tái)ABCD－A′B′C′D′上底面：原棱錐的截面下底面：原棱錐的底面?zhèn)让妫浩溆喔髅鎮(zhèn)壤猓合噜弬?cè)面的公共邊頂點(diǎn)：側(cè)面與上(下)底面的公共頂點(diǎn)教材拓展補(bǔ)遺[微判斷]1.棱柱的底面互相平行.()2.棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形.()3.有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐.()4.長方體是四棱柱，直四棱柱是長方體.()提示3.有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體才叫棱錐；4.上下底面為矩形的直四棱柱才是長方體.[微訓(xùn)練]1.下面多面體中，是棱柱的有()個(gè) 個(gè)個(gè) 個(gè)2.下列說法中正確的是()A.棱柱的面中，至少有兩個(gè)面互相平行B.棱柱中兩個(gè)互相平行的平面一定是棱柱的底面C.棱柱中一條側(cè)棱就是棱柱的高D.棱柱的側(cè)面一定是平行四邊形，但它的底面一定不是平行四邊形[微思考]1.面數(shù)最少的多面體是什么？2.把棱臺(tái)的各側(cè)棱延長，交于一點(diǎn)嗎？題型一棱柱的結(jié)構(gòu)特征【例1】下列說法正確的是()A.有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱B.有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱C.各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體D.九棱柱有9條側(cè)棱，9個(gè)側(cè)面，側(cè)面均為平行四邊形規(guī)律方法1.棱柱結(jié)構(gòu)特征的辨析方法(1)扣定義：判定一個(gè)幾何體是否為棱柱的關(guān)鍵是棱柱的定義.①看“面”，即觀察這個(gè)多面體是否有兩個(gè)互相平行的面，其余各面都是四邊形；②看“線”，即觀察每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊是否平行.(2)舉反例：通過舉反例，如與常見幾何體或?qū)嵨锬Ｐ?、圖片等不吻合，給予排除.2.棱柱概念的推廣(1)斜棱柱：側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.(2)直棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.(3)正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱.(4)平行六面體：底面是平行四邊形的四棱柱叫做平行六面體，即平行六面體的六個(gè)面都是平行四邊形.(5)長方體：底面是矩形的直棱柱叫做長方體.(6)正方體：棱長都相等的長方體叫做正方體.【訓(xùn)練1】下列命題中，正確的是()A.棱柱中所有的側(cè)棱都相交于一點(diǎn)B.棱柱中互相平行的兩個(gè)面叫做棱柱的底面C.棱柱的側(cè)面是平行四邊形，而底面不是平行四邊形D.棱柱的側(cè)棱相等，側(cè)面是平行四邊形題型二棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征eq\a\vs4\al(注意棱錐與棱臺(tái)的關(guān)系)【例2】(1)下列三種敘述，正確的有()①用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺(tái)；②兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)；③有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái).個(gè) 個(gè) 個(gè) 個(gè)(2)下列說法中，正確的是()①棱錐的各個(gè)側(cè)面都是三角形；②四面體的任何一個(gè)面都可以作為棱錐的底面；③棱錐的側(cè)棱平行.A.① B.①② C.② D.③規(guī)律方法判斷棱錐、棱臺(tái)形狀的兩個(gè)方法(1)舉反例法：結(jié)合棱錐、棱臺(tái)的定義，舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征的某些說法不正確.(2)直接法：棱錐棱臺(tái)定底面只有一個(gè)面是多邊形，此面即為底面兩個(gè)互相平行的面，即為底面看側(cè)棱相交于一點(diǎn)延長后相交于一點(diǎn)【訓(xùn)練2】下列關(guān)于棱錐、棱臺(tái)的說法：①棱臺(tái)的側(cè)面一定不會(huì)是平行四邊形；②由四個(gè)平面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；③棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐.其中正確說法的序號(hào)是________.題型三空間幾何體的平面展開圖eq\a\vs4\al(可實(shí)現(xiàn)“空間問題平面化”，這是我們解決空間問題的基本思想)【例3】(1)畫出如圖所示的幾何體的平面展開圖(畫出其中一種即可).(2)長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)沿表面爬行到點(diǎn)C1，求螞蟻爬行的最短路線長.規(guī)律方法(1)繪制展開圖：繪制多面體的平面展開圖要結(jié)合多面體的幾何特征，發(fā)揮空間想象能力或者是親手制作多面體模型.在解題過程中，常常給多面體的頂點(diǎn)標(biāo)上字母，先把多面體的底面畫出來，然后依次畫出各側(cè)面，便可得到其平面展開圖.(2)由展開圖復(fù)原幾何體：若是給出多面體的平面展開圖，來判斷是由哪一個(gè)多面體展開的，則可把上述過程逆推.同一個(gè)幾何體的平面展開圖可能是不一樣的，也就是說，一個(gè)多面體可有多個(gè)平面展開圖.(3)求從幾何體的表面上一點(diǎn)，沿幾何體表面運(yùn)動(dòng)到另一點(diǎn)，所走過的最短距離，常將幾何體沿某條棱剪開，使兩點(diǎn)展在一個(gè)平面上，轉(zhuǎn)化為求平面上兩點(diǎn)間的最短距離問題.【訓(xùn)練3】如圖是三個(gè)幾何體的側(cè)面展開圖，請(qǐng)問各是什么幾何體？一、素養(yǎng)落地1.通過棱柱、棱錐、棱臺(tái)的定義和空間結(jié)構(gòu)特征的學(xué)習(xí)，重點(diǎn)培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)及提升直觀想象素養(yǎng).2.在理解的基礎(chǔ)上，要牢記棱柱、棱錐、棱臺(tái)的定義，能夠根據(jù)定義判斷幾何體的形狀.3.棱柱、棱臺(tái)、棱錐關(guān)系圖二、素養(yǎng)訓(xùn)練1.下列說法錯(cuò)誤的是()A.多面體至少有四個(gè)面B.六棱柱有6條側(cè)棱，6個(gè)側(cè)面，側(cè)面為平行四邊形C.長方體、正方體都是棱柱D.三棱柱的側(cè)面為三角形2.下列說法正確的是________(填序號(hào)).①底面是正多邊形的棱錐為正棱錐；②各側(cè)棱都相等的棱錐為正棱錐；③各側(cè)面都是等腰三角形的棱錐為正棱錐；④各側(cè)面都是全等的等腰三角形的棱錐是正棱錐；⑤底面是正多邊形且各側(cè)面全等的棱錐為正棱錐.3.下列幾何體中，________是棱柱，________是棱錐，______是棱臺(tái)(僅填相應(yīng)序號(hào)).4.對(duì)棱柱而言，下列說法正確的序號(hào)是________.①棱柱中任意兩個(gè)側(cè)面都不可能互相平行；②所有的棱長都相等；③棱柱中至少有兩個(gè)面的形狀完全相同；④相鄰兩個(gè)面的交線叫做側(cè)棱.基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1.四棱柱有幾條側(cè)棱，幾個(gè)頂點(diǎn)()A.四條側(cè)棱、四個(gè)頂點(diǎn) B.八條側(cè)棱、四個(gè)頂點(diǎn)C.四條側(cè)棱、八個(gè)頂點(diǎn) D.六條側(cè)棱、八個(gè)頂點(diǎn)2.觀察如圖所示的四個(gè)幾何體，其中判斷不正確的是()A.①是棱柱 B.②不是棱錐C.③不是棱錐 D.④是棱臺(tái)3.如圖所示，在三棱臺(tái)A′B′C′－ABC中，截去三棱錐A′－ABC，則剩余部分是()A.三棱錐 B.四棱錐C.三棱柱 D.組合體4.五棱柱中，不同在任何側(cè)面且不同在任何底面的兩頂點(diǎn)的連線稱為它的對(duì)角線，那么一個(gè)五棱柱對(duì)角線的條數(shù)共有() 5.棱臺(tái)不具備的特點(diǎn)是()A.兩底面相似 B.側(cè)面都是梯形C.側(cè)棱都相等 D.側(cè)棱延長后都交于一點(diǎn)二、填空題6.若棱臺(tái)上、下底面的對(duì)應(yīng)邊之比為1∶2，則上、下底面的面積之比是________.7.一個(gè)棱柱有10個(gè)頂點(diǎn)，所有的側(cè)棱長的和為60cm，則每條側(cè)棱長為_______cm.8.如圖，M是棱長為2cm的正方體ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中點(diǎn)，沿正方體表面從點(diǎn)A到點(diǎn)M的最短路程是________cm.三、解答題9.如圖所示，長方體ABCD－A1B1C1D1.(1)這個(gè)長方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？(2)用平面BCNM把這個(gè)長方體分成兩部分，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱，并用符號(hào)表示；如果不是，請(qǐng)說明理由.10.如圖，在邊長為2a的正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，沿圖中虛線將3個(gè)三角形折起，使點(diǎn)A，B，C重合，重合后記為點(diǎn)P.(1)折起后形成的幾何體是什么幾何體？(2)這個(gè)幾何體共有幾個(gè)面，每個(gè)面的三角形有何特點(diǎn)？(3)每個(gè)面的三角形面積為多少？能力提升11.從正方體ABCD－A1B1C1D1的8個(gè)頂點(diǎn)中任意取4個(gè)不同的頂點(diǎn)，這4個(gè)頂點(diǎn)可能是：(1)矩形的4個(gè)頂點(diǎn)；(2)每個(gè)面都是等邊三角形的四面體的4個(gè)頂點(diǎn)；(3)每個(gè)面都是直角三角形的四面體的4個(gè)頂點(diǎn)；(4)有三個(gè)面是等腰直角三角形，有一個(gè)面是等邊三角形的四面體的4個(gè)頂點(diǎn).其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為________.12.如圖，在三棱錐V－ABC中，VA＝VB＝VC＝4，∠AVB＝∠AVC＝∠BVC＝30°，過點(diǎn)A作截面△AEF，求△AEF周長的最小值.創(chuàng)新猜想13.(多填題、開放題)如圖所示的是