4.4 數(shù)學(xué)歸納法（教學(xué)課件）（人教A版2019選擇性必修第二冊(cè)）

1第四章《數(shù)列》人教A版2019選擇性必修第二冊(cè)4.4數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法的概念，會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法解決證明問(wèn)題，體會(huì)數(shù)學(xué)歸納法的思想學(xué)習(xí)目標(biāo)環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

如何證明這個(gè)猜想呢?

我們自然會(huì)想到從n=5開(kāi)始一個(gè)個(gè)往下驗(yàn)證．

一般來(lái)說(shuō)，與正整數(shù)n有關(guān)的命題，當(dāng)n比較小時(shí)可以逐個(gè)驗(yàn)證，但當(dāng)n較大時(shí)，驗(yàn)證起來(lái)會(huì)很麻煩．特別是證明n取所有正整數(shù)都成立的命題時(shí)，逐一驗(yàn)證是不可能的．

因此，我們需要另辟蹊徑，尋求一種方法：通過(guò)有限個(gè)步驟的推理，證明n取所有正整數(shù)時(shí)命題都成立．我們先從多米諾骨牌游戲說(shuō)起．碼放骨牌時(shí)，要保證任意相鄰的兩塊骨牌，若前一塊骨牌倒下，則一定導(dǎo)致后一塊骨牌倒下．這樣，只要推倒第1塊骨牌，就可導(dǎo)致第2塊骨牌倒下；而第2塊骨牌倒下，就可導(dǎo)致第3塊骨牌倒下；……總之，不論有多少塊骨牌，都能全部倒下．環(huán)節(jié)二：觀察分析，感知概念思考1：在這個(gè)游戲中，能使所有多米諾骨牌全部倒下的條件是什么?可以看出，使所有骨牌都能倒下的條件有兩個(gè)：（1）第一塊骨牌倒下；（2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下．思考2：你認(rèn)為條件（2）的作用是什么?如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述它?這樣，只要第1塊骨牌倒下，其他所有的骨牌就能夠相繼倒下，事實(shí)上，無(wú)論有多少塊骨牌，只要保證（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下．假設(shè)有無(wú)限多塊多米諾骨牌，我們可以想象前一塊推倒后一塊的動(dòng)作將永遠(yuǎn)進(jìn)行下去．……思考4：歸納上述過(guò)程的共性，你能得出推理的一般結(jié)構(gòu)嗎?我們發(fā)現(xiàn)，上述過(guò)程蘊(yùn)含著一個(gè)與多米諾骨牌游戲的條件（2）類(lèi)似的遞推結(jié)構(gòu)：這里k是任意的，所有能使猜想成立的正整數(shù)都可以作為k，并且這樣的k也是存在的，因?yàn)閿?shù)“1”就是一個(gè)例子．一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對(duì)從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都成立，這種證明方法稱(chēng)為數(shù)學(xué)歸納法(mathematicalinduction)．環(huán)節(jié)三：抽象概括，形成概念思考5：數(shù)學(xué)歸納法中的兩個(gè)步驟之間有什么關(guān)系？環(huán)節(jié)四：辨析理解，深化概念在證明遞推步驟時(shí)，必須使用歸納假設(shè)，并把“證明的目標(biāo)”牢記在心．1．下列各題在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過(guò)程中，有沒(méi)有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，錯(cuò)在哪里？練習(xí)

第47頁(yè)注：第二步正確的證明方法如下：環(huán)節(jié)五：課堂練習(xí)，鞏固運(yùn)用分析：該問(wèn)題中涉及兩個(gè)字母x和n，x是正實(shí)數(shù)，n是大于1的正整數(shù)．一種思路是不求和，而直接通過(guò)n取特殊值比較Sn與n的大小關(guān)系，并作出猜想；另一種思路是先由等比數(shù)列的求和公式求出Sn，再通過(guò)n取特殊值比較Sn與n的大小關(guān)系后作出猜想，兩種做法都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明得到的猜想．環(huán)節(jié)六:歸納總結(jié)，反思提升問(wèn)題：請(qǐng)同學(xué)們回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容,并回答下列問(wèn)題：1.本節(jié)課學(xué)習(xí)的概念有哪些？2.在解決問(wèn)題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？1．知識(shí)清單：(1)數(shù)學(xué)歸納法的概念．(2)數(shù)學(xué)歸納法的步驟．2．方法歸納：歸納—猜想—證明．3．常見(jiàn)誤區(qū)：(1)對(duì)題意理解不到位導(dǎo)致n0的取值出錯(cuò)；(2)推證當(dāng)n＝k＋1時(shí)忽略n＝k時(shí)的假設(shè)．證明一個(gè)與正整數(shù)

有關(guān)的命題（1）證明當(dāng)

時(shí)命題成立對(duì)所有正整數(shù)

命題都成立。數(shù)學(xué)歸納法的結(jié)構(gòu)(2)假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立,證明當(dāng)時(shí)命題也成立。

兩個(gè)步驟缺一不可數(shù)學(xué)思想:

歸納思想，遞推思想，類(lèi)比思想

數(shù)學(xué)方法：數(shù)學(xué)歸納法：兩步驟

一結(jié)論數(shù)學(xué)知識(shí):無(wú)限遞推轉(zhuǎn)化為有限步驗(yàn)證實(shí)現(xiàn)由量變到質(zhì)變的飛躍環(huán)節(jié)七：目標(biāo)檢測(cè)，作業(yè)布置完成教材：第51頁(yè)

練習(xí)

第1,2,3,4題