高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（必修一）：專題4.1 指數(shù)-重難點(diǎn)題型精講（教師版）

專題4.1指數(shù)-重難點(diǎn)題型精講1．根式(1)n次方根的定義與性質(zhì)(2)根式的定義與性質(zhì)2．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪注：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是指數(shù)概念的又一推廣，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是根式的一種新的寫法，不可理解為個a相乘.在這樣的規(guī)定下，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是表示相同意義的量，只是形式不同而已.3．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算(1)規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義以后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù).整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對于有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用，即對于任意有理數(shù)r，s，均有下面的運(yùn)算性質(zhì)：

①(a>0,r,s∈Q)；

②(a>0,r,s∈Q)；

③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).(2)指數(shù)冪的幾個常用結(jié)論：①當(dāng)a>0時，>0；

②當(dāng)a≠0時，=1，而當(dāng)a=0時，無意義；

③若(a>0,且a≠1)，則r=s；

④乘法公式仍適用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪.4．無理數(shù)指數(shù)冪及實(shí)數(shù)指數(shù)冪(1)無理數(shù)指數(shù)冪一般地，無理數(shù)指數(shù)冪(a>0,是無理數(shù))是一個確定的實(shí)數(shù).這樣，我們就將指數(shù)冪(a>0)中指數(shù)x的取值范圍從整數(shù)逐步拓展到了實(shí)數(shù).

(2)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：

整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)也適用于實(shí)數(shù)指數(shù)冪，區(qū)別只有指數(shù)的取值范圍不同.【題型1根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化運(yùn)算法則，進(jìn)行計算即可.【例1】（2022?揚(yáng)中市校級開學(xué)）下列根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化中，正確的是（）A．?x=(?x)?12B．x?C．(xy)?34D．4y2=1y【解題思路】由已知結(jié)合二次根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的相互轉(zhuǎn)化分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【解答過程】解：?x=?x12x?13（xy）?344y2=故選：C．【變式1-1】（2022?茂名模擬）下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是（）A．?x=(?x)12C．6y2=y【解題思路】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則化簡判斷即可．【解答過程】解：對于A：?x=?對于B：x?34=4(1對于C：6y2=|y對于D：[3(?x)2]34=((?x故選：B．【變式1-2】（2021秋?電白區(qū)期中）下列根式中，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化，正確的是（）A．?x=(?x)12C．x?34=【解題思路】利用根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的關(guān)系得出A?x=?x12（x＞0），6y2=(y【解答過程】解：A．?x=?x12（xB.6y2=(yC.x?34=4(1D.x?13故選：C．【變式1-3】（2021秋?水磨溝區(qū)校級月考）下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化，正確的是（）A．?x=(?x)12C．x?34=【解題思路】根據(jù)有理數(shù)指數(shù)冪與根式互化的運(yùn)算性質(zhì)對應(yīng)各個選項(xiàng)逐個化簡即可．【解答過程】解：選項(xiàng)A：由運(yùn)算性質(zhì)可得：?x=?x選項(xiàng)B：因?yàn)閤≤0，所以6x2=選項(xiàng)C：x?34=1x34選項(xiàng)D：x?13=1x13故選：C．【題型2指數(shù)式的化簡】【方法點(diǎn)撥】利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，進(jìn)行化簡計算即可．【例2】（2021秋?惠陽區(qū)校級月考）（112）0﹣（1﹣0.5﹣2）÷A．?13 B．13 C．43【解題思路】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可求出．【解答過程】解：原式＝1﹣（1﹣4）÷（32）2＝1+3×故選：D．【變式2-1】（2021秋?杭州期中）20+A．25 B．35?1 C．35+1 【解題思路】利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求解．【解答過程】解：原式=25+5+2﹣1＝故選：C．【變式2-2】（2021秋?龍湖區(qū)校級期末）設(shè)a＞0，b＞0，化簡(aA．?13a23 B．?3a23【解題思路】利用有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答過程】解：(a23b13)?(?a12b故選：D．【變式2-3】（2021秋?秦淮區(qū)校級月考）計算12A．1e B．e C．e2 D．【解題思路】根據(jù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)計算即可．【解答過程】解：原式=2+1﹣1+e?故選：B．【題型3根據(jù)指數(shù)式求參】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)所給的指數(shù)關(guān)系式，利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，化簡求解參數(shù)的值.【例3】（2021秋?海陵區(qū)校級月考）已知x7＝5，則x的值為（）A．5 B．75 C．?75 【解題思路】根據(jù)根式性質(zhì)計算即可．【解答過程】解：由根式的定義知x7＝5，則x=7故選：B．【變式3-1】（2021?廣東學(xué)業(yè)考試）已知x?23=A．±18 B．±8 C．344【解題思路】把已知等式變形，可得3x2=14【解答過程】解：由x?23=4，得∴x2=164故選：A．【變式3-2】（2022秋?諸暨市校級月考）若4a2?4a+1A．a(chǎn)≥12 B．a(chǎn)≤12 C【解題思路】先對4a2?4a+1=3(1?2a)3進(jìn)行化簡，然后根據(jù)絕對值方程|m|【解答過程】解：∵4a∴|2a﹣1|＝1﹣2a則2a﹣1≤0解得a≤故選：B．【變式3-3】（2021秋?聊城期中）若69a2A．（﹣∞，3） B．（﹣∞，13] C．[13，+∞） D．（13【解題思路】根據(jù)nan=a,n為奇數(shù)【解答過程】解：∵69a2?6a+1=∴1﹣3a≥0，∴a≤1故選：B．【題型4指數(shù)式的給條件求值問題】【方法點(diǎn)撥】利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)解決帶有附加條件的求值問題，一般有三種思路：(1)將條件中的式子用待求式表示出來，進(jìn)而代入化簡得出結(jié)論.(2)當(dāng)直接代入不易求解時，可以從總體上把握已知,式和所求式的特點(diǎn)，從而快速巧妙求解.一般先利用平方差、立方和(差)以及完全平方公式及其變形進(jìn)行化簡，再用整體代入法來求值.(3)適當(dāng)應(yīng)用換元法，能使公式的使用更清晰，過程更簡潔.【例4】（2021秋?昌吉州期末）已知a+1a=4A．2 B．2 C．?2 D．±【解題思路】推導(dǎo)出（a12?a?12）2【解答過程】解：∵a+1a∴（a12?a?12）2＝a+1∴a1故選：D．【變式4-1】（2022?長沙縣校級開學(xué)）若0＜a＜1，b＞0，且ab﹣a﹣b＝﹣2，則ab+a﹣b的值為（）A．22 B．±22 C．?2【解題思路】根據(jù)題意，由ab﹣a﹣b＝﹣2變形可得（ab﹣a﹣b）2＝a2b+a﹣2b﹣2＝4，由此求出a2b+a﹣2b的值，又由（ab+a﹣b）2＝a2b+a﹣2b+2，變形計算可得答案．【解答過程】解：根據(jù)題意，ab﹣a﹣b＝﹣2，則（ab﹣a﹣b）2＝a2b+a﹣2b﹣2＝4，則有a2b+a﹣2b＝6，又由（ab+a﹣b）2＝a2b+a﹣2b+2＝6+2＝8，則有ab+a﹣b＝±22，又由0＜a＜1，b＞0，ab+a﹣b＞0，則有ab+a﹣b＝22，故選：A．【變式4-2】（2021秋?泉山區(qū)校級月考）已知10m＝2，10n＝3，則10A．49 B．89 C．23 【解題思路】利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可得出．【解答過程】解：∵10m＝2，10n＝3，∴103m?2n2=103m2÷故選：D．【變式4-3】（2021秋?甌海區(qū)校級月考）已知實(shí)數(shù)a，b滿足(a+a2+1)(b+bA．﹣1 B．1 C．±1 D．0【解題思路】設(shè)m＝a+a2+1，n＝b+b2+1，則mn＝1，化簡1m=a2+1?【解答過程】解：∵實(shí)數(shù)a，b滿足(a+a2+1)(b+b2設(shè)m＝a+a2+1，n＝則1m=1a+a2+1所以m?1m=(a+a2+1)?（a2同理可得b=n?因?yàn)閙n＝1，所以n=1m，m所以a=m?1m2所以a+b=m?n2故選：D．【題型5指數(shù)冪等式及冪的方程問題】【方法點(diǎn)撥】指數(shù)方程常見的類型有：(1)f(x)=g(x)；(2)=0.其中類型(1)利用同底法解，類型(2)利用換元法解.【例5】（2021秋?興慶區(qū)校級期末）方程3x?1A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．1【解題思路】利用指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可解出．【解答過程】解：∵方程3x?1=19，∴3x﹣1＝3﹣2，∴x﹣1＝﹣2，∴x＝﹣1，因此方程3x?1故選：B．【變式5-1】（2021?閻良區(qū)校級自主招生）方程5x﹣1?103x＝8x的解集是（）A．{1，4} B．{14} C．{1，14} D．{4，【解題思路】先把103x轉(zhuǎn)化為53x23x，8x＝23x，然后再化簡求值即可．【解答過程】解：原方程可化為：5x﹣153x23x＝23x，即54x﹣1＝1，解得：x=1故選：B．【變式5-2】（2022春?汪清縣校級月考）方程4x﹣1=1A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1【解題思路】由4x﹣1=116=4﹣2，得x﹣1＝﹣2，由此能求出方程4x﹣【解答過程】解：∵4x﹣1=116=4∴x﹣1＝﹣2，∴x＝﹣1．故選：C．【變式5-3】（2021秋?青浦區(qū)期末）方程4x﹣10?2x+16＝0的解集是{1，3}．【解題思路】利用換元法將方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程進(jìn)行求解即可．【解答過程】解：由4x﹣10?2x+16＝0得（2x）2﹣10?2x+16＝0，設(shè)t＝2x，則t＞0，則原方程等價為t2﹣10t+16＝0，即（t﹣2）（t﹣8）＝0，解得t＝2或t＝8．由t＝2x＝2，解得x＝1．由t＝2x＝8，解得x＝3．故方程的解集為{1，3}．故答案為：{1，3}．【題型6指數(shù)冪等式的證明】【方法點(diǎn)撥】指數(shù)冪等式的證明中，設(shè)輔助參數(shù)是對數(shù)學(xué)問題的“層次性”的深刻認(rèn)識的體現(xiàn)，是把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為兩個或多個基本問題的重要分析方法.【例6】已知a＞0且a≠1，（2a）m＝a，（3a）m＝2a，求證：（32）mn＝2n【解題思路】由(3a)m(2a)m=2aa=2，得到（32）m【解答過程】證明：∵a＞0且a≠1，（2a）m＝a，（3a）m＝2a，∴(3a)∴（32）m＝2∴（32）mn＝[（32）m]n＝2∴（32）mn＝2n【變式6-1】已知6|m|3k2+2?m22+3k2【解題思路】由6|m|3k2+2?m22+3k【解答過程】證明：∵6|m|∴2|m|3k2+2?m兩邊平方可得：4m2（3k2+2﹣m2）＝（2+3k2）2，化為（3k2+2﹣2m2）2＝0，∴3k2+2＝2m2．【變式6-2】已知：a＞0，b＞0，且ab＝ba，求證：（ab）a【解題思路】根據(jù)分式指數(shù)冪的定義和運(yùn)算法則進(jìn)行證明即可．【解答過程】證明：要證明：（ab）a只要證明b(即證明（ab）a＝aa﹣b即aa即證明b