高考數(shù)學一輪復習 第八章 平面解析幾何 8.4 直線與圓、圓與圓的位置關系課時提升作業(yè) 理試題

直線與圓、圓與圓的位置關系(25分鐘50分)一、選擇題(每小題5分,共35分)1.(2016·新鄉(xiāng)模擬)已知直線x-y-5=0與圓x2+y2-4x+6y-12=0相交于A,B兩點,則弦AB的長為()A.5 B.8 C.10 D.12【解析】選C.圓x2+y2-4x+6y-12=0可化為(x-2)2+(y+3)2=25,圓心坐標為(2,-3),半徑為5,直線x-y-5=0經(jīng)過圓心(2,-3),所以弦AB的長為10.2.(2016·廈門模擬)已知直線l過圓x2+(y-3)2=4的圓心,且與直線x+y+1=0垂直,則l的方程是()A.x+y-2=0 B.x-y+2=0C.x+y-3=0 D.x-y+3=0【解析】選D.圓x2+(y-3)2=4的圓心為點(0,3),又因為直線l與直線x+y+1=0垂直,所以直線l的斜率k=1.由點斜式得直線l:y-3=x-0,化簡得x-y+3=0.3.設曲線C的方程為(x-2)2+(y+1)2=9,直線l的方程為x-3y+2=0,則曲線上的點到直線l的距離為QUOTE的點的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.4【解題提示】先求圓心到直線的距離,然后再依據(jù)曲線上的點到直線l的距離,確定點的個數(shù).【解析】選B.(x-2)2+(y+1)2=9,得圓心坐標為(2,-1),半徑r=3,圓心到直線l的距離d=QUOTE=QUOTE=QUOTE.要使曲線上的點到直線l的距離為QUOTE,此時對應的點在直徑上,故有兩個點.4.若直線QUOTE+QUOTE=1通過點M(cosα,sinα),則()A.a2+b2≤1 B.a2+b2≥1C.QUOTE+QUOTE≤1 D.QUOTE+QUOTE≥1【解題提示】注意點M(cosα,sinα)在圓x2+y2=1上,即直線與圓相交或相切.【解析】選D.顯然點M(cosα,sinα)在圓x2+y2=1上,直線QUOTE+QUOTE=1過點M,即直線與圓相交或相切.所以QUOTE≤1,所以QUOTE+QUOTE≥1.5.(2016·許昌模擬)若圓C1:x2+y2+2ax+a2-4=0(a∈R)與圓C2:x2+y2-2by-1+b2=0(b∈R)恰有三條公切線,則a+b的最大值為()A.-3QUOTE B.-3 C.3 D.3QUOTE【解析】選D.易知圓C1的圓心為C1(-a,0),半徑為r1=2;圓C2的圓心為C2(0,b),半徑為r2=1.因為兩圓恰有三條公切線,所以兩圓外切,所以|C1C2|=r1+r2,即a2+b2=9.因為QUOTE≤QUOTE,所以a+b≤3QUOTE(當且僅當a=b=QUOTE時取“=”),所以a+b的最大值為3QUOTE.6.(2016·濮陽模擬)若直線y=kx與圓(x-2)2+y2=1的兩個交點關于直線2x+y+b=0對稱,則k,b的值分別為()A.QUOTE,-4 B.-QUOTE,4C.QUOTE,4 D.-QUOTE,-4【解析】選A.因為直線y=kx與圓(x-2)2+y2=1的兩個交點關于直線2x+y+b=0對稱,所以直線y=kx與直線2x+y+b=0垂直,且直線2x+y+b=0過圓心,所以QUOTE解得k=QUOTE,b=-4.7.(2016·鄭州模擬)動圓C經(jīng)過點F(1,0),并且與直線x=-1相切,若動圓C與直線y=x+2QUOTE+1總有公共點,則圓C的面積()A.有最大值8π B.有最小值2πC.有最小值3π D.有最小值4π【解析】選D.設圓心為C(a,b),半徑為r,r=|CF|=|a+1|,即(a-1)2+b2=(a+1)2,即a=QUOTEb2,所以圓心為QUOTE,r=QUOTEb2+1,圓心到直線y=x+2QUOTE+1的距離為d=QUOTE≤QUOTE+1,所以b≤-2(2QUOTE+3)或b≥2,當b=2時,rmin=QUOTE×4+1=2,所以Smin=πr2=4π.【加固訓練】過點P(QUOTE,0)引直線l與曲線y=QUOTE相交于A,B兩點,O為坐標原點,當△AOB的面積取最大值時,直線l的斜率等于()A.QUOTE B.-QUOTE C.±QUOTE D.-QUOTE【解析】選B.因為S△AOB=QUOTE|OA||OB|sin∠AOB=QUOTEsin∠AOB≤QUOTE.當∠AOB=QUOTE時,△AOB面積最大.此時O到AB的距離d=QUOTE.設AB方程為y=k(x-QUOTE)(k<0),即kx-y-QUOTEk=0.由d=QUOTE=QUOTE得k=-QUOTE.二、填空題(每小題5分,共15分)8.(2016·衡水模擬)已知P(x,y)為圓(x-2)2+y2=1上的動點,則|3x+4y-3|的最大值為.【解析】設t=3x+4y-3,即3x+4y-3-t=0,由圓心(2,0)到直線3x+4y-3-t=0的距離d=1可得:QUOTE=1,解得t=8或t=-2,由題意可得-2≤t≤8,所以0≤|3x+4y-3|≤8.答案:89.在平面直角坐標系xOy中,圓C的方程為x2+y2-8x+15=0,若直線y=kx-2上至少存在一點,使得以該點為圓心,1為半徑的圓與圓C有公共點,則k的最大值是.【解析】圓C的標準方程為(x-4)2+y2=1,圓心為(4,0).由題意知(4,0)到kx-y-2=0的距離應不大于2,即QUOTE≤2.整理,得3k2-4k≤0.解得0≤k≤QUOTE.故k的最大值是QUOTE.答案:QUOTE【加固訓練】(2016·黃岡模擬)直線l1:y=x+a和l2:y=x+b將單位圓C:x2+y2=1分成長度相等的四段弧,則a2+b2=.【解析】由題意,得圓心(0,0)到兩條直線的距離相等,且每段弧的長度都是圓周的QUOTE,即QUOTE=QUOTE,QUOTE=cos45°=QUOTE,所以a2=b2=1,故a2+b2=2.答案:210.已知直線l:y=kx+1,圓C:(x-1)2+(y+1)2=12.則(1)不論k為何實數(shù),直線l和圓C總有個交點.(2)直線l被圓C截得的最短弦長等于.【解題提示】直線與圓的交點個數(shù)即為直線方程與圓方程聯(lián)立而組成的方程組解的個數(shù);最短弦長可用代數(shù)法或幾何法判定.【解析】(1)由QUOTE消去y得(k2+1)x2-(2-4k)x-7=0,因為Δ=[-(2-4k)]2+28(k2+1)>0,所以不論k為何實數(shù),直線l和圓C總有兩個交點.(2)設直線與圓交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,則直線l被圓C截得的弦長|AB|=QUOTE|x1-x2|=2QUOTE=2QUOTE,令t=QUOTE,則tk2-4k+(t-3)=0,當t=0時,k=-QUOTE,當t≠0時,因為k∈R,所以Δ=16-4t(t-3)≥0,解得-1≤t≤4,且t≠0,故t=QUOTE的最大值為4,此時|AB|最小為2QUOTE.答案:(1)兩(2)2QUOTE【一題多解】解答本題還可以用如下兩種方法解決:方法一:(1)圓心C(1,-1)到直線l的距離d=QUOTE,圓C的半徑R=2QUOTE,R2-d2=12-QUOTE=QUOTE,而在S=11k2-4k+8中,Δ=(-4)2-4×11×8<0,故11k2-4k+8>0對k∈R恒成立,所以R2-d2>0,即d<R,所以不論k為何實數(shù),直線l和圓C總有兩個交點.(2)由平面幾何知識,知|AB|=2QUOTE=2QUOTE,下同原題解析.答案:(1)兩(2)2QUOTE方法二:(1)因為不論k為何實數(shù),直線l總過點P(0,1),而|PC|=QUOTE<2QUOTE=R,所以點P(0,1)在圓C的內部,即不論k為何實數(shù),直線l總經(jīng)過圓C內部的定點P.所以不論k為何實數(shù),直線l和圓C總有兩個交點.(2)由平面幾何知識知過圓內定點P(0,1)的弦,只有和AC(C為圓心)垂直時才最短,而此時點P(0,1)為弦AB的中點,由勾股定理,知|AB|=2QUOTE=2QUOTE,即直線l被圓C截得的最短弦長為2QUOTE.答案:(1)兩(2)2QUOTE(20分鐘40分)1.(5分)若圓C1:x2+y2-2ax+a2-9=0(a∈R)與圓C2:x2+y2+2by+b2-1=0(b∈R)內切,則ab的最大值為()A.QUOTE B.2 C.4 D.2QUOTE【解析】選B.圓C1:x2+y2-2ax+a2-9=0(a∈R).化為:(x-a)2+y2=9,圓心坐標為(a,0),半徑為3.圓C2:x2+y2+2by+b2-1=0(b∈R),化為x2+(y+b)2=1,圓心坐標為(0,-b),半徑為1,因為圓C1:x2+y2-2ax+a2-9=0(a∈R)與圓C2:x2+y2+2by+b2-1=0(b∈R)內切,所以QUOTE=3-1,即a2+b2=4,ab≤QUOTE(a2+b2)=2.所以ab的最大值為2.2.(5分)已知直線x+y-k=0(k>0)與圓x2+y2=4交于不同的兩點A,B,O是坐標原點,且有|QUOTE+QUOTE|≥QUOTE|QUOTE|,那么k的取值范圍是()A.(QUOTE,+∞) B.[QUOTE,+∞)C.[QUOTE,2QUOTE) D.[QUOTE,2QUOTE)【解析】選C.設A(x1,y1),B(x2,y2),由QUOTE消去y,得2x2-2kx+k2-4=0.所以x1+x2=k,x1·x2=QUOTE,Δ=4k2-8(k2-4)>0,所以0<k<2QUOTE.QUOTE+QUOTE=(x1+x2,y1+y2)=(x1+x2,2k-x1-x2)=(k,k),QUOTE=(x2-x1,y2-y1)=(x2-x1,x1-x2),由題意可得:QUOTE≥QUOTE·QUOTE,解得k≥QUOTE.所以k∈[QUOTE,2QUOTE).3.(5分)(2016·太原模擬)已知:點P是直線l:3x+4y+13=0上的動點,PA是圓C:x2+y2-2x-2y-2=0的一條切線,A是切點,那么△PAC的面積的最小值是.【解析】圓的標準方程為(x-1)2+(y-1)2=4,則圓心坐標為C(1,1),半徑R=2,則△PAC的面積S=QUOTEPA·AC=QUOTE×2PA=PA,所以要使△PAC的面積最小,則PA最小,即PC最小即可,此時最小值為圓心C到直線的距離d=QUOTE=QUOTE=4,即PC=d=4,此時PA=QUOTE=QUOTE=QUOTE=2QUOTE.即△PAC的面積最小值為S=2QUOTE.答案:2QUOTE【加固訓練】設M={(x,y)|y=QUOTE,a>0},N={(x,y)|(x-1)2+(y-QUOTE)2=a2,a>0},則M∩N≠?時,a的最大值與最小值分別為,.【解析】因為集合M={(x,y)|y=QUOTE,a>0},所以集合M表示以O(0,0)為圓心,半徑為r1=QUOTEa的上半圓.同理,集合N表示以O′(1,QUOTE)為圓心,半徑為r2=a的圓上的點.這兩個圓的半徑隨著a的變化而變化,但|OO′|=2.如圖所示,當兩圓外切時,由QUOTEa+a=2,得a=2QUOTE-2;當兩圓內切時,由QUOTEa-a=2,得a=2QUOTE+2.所以a的最大值為2QUOTE+2,最小值為2QUOTE-2.答案:2QUOTE+22QUOTE-24.(12分)(2016·平頂山模擬)已知圓x2+y2-4x+2y-3=0和圓外一點M(4,-8).(1)求圓心坐標和半徑長.(2)過點M作直線與圓交于A,B兩點,若|AB|=4,求直線AB的方程.【解析】(1)圓x2+y2-4x+2y-3=0化為標準方程為:(x-2)2+(y+1)2=8,圓心為P(2,-1),半徑r=2QUOTE.(2)①若割線斜率存在,設AB:y+8=k(x-4),即kx-y-4k-8=0.設AB的中點為N,則|PN|=QUOTE=QUOTE,由|PN|2+QUOTE=r2,得k=-QUOTE