清華工程流體力學(xué)課件不可壓縮流體的有旋

第四章不可壓縮流體的有旋流

動(dòng)和二維無(wú)旋流動(dòng)第一節(jié)流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析第二節(jié)有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)第三節(jié)無(wú)旋流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù)第四節(jié)二維平面流動(dòng)的流函數(shù)第五節(jié)基本的平面有勢(shì)流動(dòng)第六節(jié)平面勢(shì)流的疊加流動(dòng)12/5/2023工程流體力學(xué)歡迎進(jìn)入第四章的學(xué)習(xí)12/5/2023工程流體力學(xué)

流體由于具有易變形的特性（易流動(dòng)性），因此流體的運(yùn)動(dòng)要比工程力學(xué)中的剛體的運(yùn)動(dòng)復(fù)雜得多。在流體運(yùn)動(dòng)中，有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)是流體運(yùn)動(dòng)的兩種類(lèi)型。由流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析可知，有旋流動(dòng)是指流體微團(tuán)旋轉(zhuǎn)角速度的流動(dòng)，無(wú)旋流動(dòng)是指的流動(dòng)。實(shí)際上，黏性流體的流動(dòng)大多數(shù)是有旋流動(dòng)，而且有時(shí)是以明顯的旋渦形式出現(xiàn)的，如橋墩背流面的旋渦區(qū)，船只運(yùn)動(dòng)時(shí)船尾后形成的旋渦，大氣中形成的龍卷風(fēng)等等。但在更多的情況下，流體運(yùn)動(dòng)的有旋性并不是一眼就能看得出來(lái)的，如當(dāng)流體繞流物體時(shí)，在物體表面附近形成的速度梯度很大的薄層內(nèi)，每一點(diǎn)都有旋渦，而這些旋渦肉眼卻是觀察不到的。至于工程中大量存在著的紊流運(yùn)動(dòng)，更是充滿(mǎn)著尺度不同的大小旋渦。12/5/2023工程流體力學(xué)

流體的無(wú)旋流動(dòng)雖然在工程上出現(xiàn)得較少，但無(wú)旋流動(dòng)比有旋流動(dòng)在數(shù)學(xué)處理上簡(jiǎn)單得多，因此，對(duì)二維平面勢(shì)流在理論研究方面較成熟。對(duì)工程中的某些問(wèn)題，在特定條件下對(duì)黏性較小的流體運(yùn)動(dòng)進(jìn)行無(wú)旋處理，用勢(shì)流理論去研究其運(yùn)動(dòng)規(guī)律，特別是繞流物體的流動(dòng)規(guī)律，對(duì)工程實(shí)踐具有指導(dǎo)意義和應(yīng)用價(jià)值。因此，本章先闡述有旋流動(dòng)的基本概念及基本性質(zhì)，然后再介紹二維平面勢(shì)流理論。

12/5/2023工程流體力學(xué)第一節(jié)流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)分析剛體的一般運(yùn)動(dòng)可以分解為移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)兩部分。流體與剛體的主要不同在于它具有流動(dòng)性，極易變形。因此，任一流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中不但與剛體一樣可以移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，而且還會(huì)發(fā)生變形運(yùn)動(dòng)。所以，在一般情況下流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)可以分解為移動(dòng)、轉(zhuǎn)動(dòng)和變形運(yùn)動(dòng)三部分。12/5/2023工程流體力學(xué)一、表示流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)特征的速度表達(dá)式12/5/2023工程流體力學(xué)圖4-1分析流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)用圖

12/5/2023工程流體力學(xué)12/5/2023工程流體力學(xué)剪切變形速率、、、、、，引入記號(hào)，并賦予運(yùn)動(dòng)特征名稱(chēng)：線(xiàn)變形速率、、，、、，（4-1）（4-2）12/5/2023工程流體力學(xué)于是可得到表示流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)特征的速度表達(dá)式為旋轉(zhuǎn)角速度、、，（4-3）（4-4）12/5/2023工程流體力學(xué)12/5/2023工程流體力學(xué)二、流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解

為進(jìn)一步分析流體微團(tuán)的分解運(yùn)動(dòng)及其幾何特征，對(duì)式(4-4)有較深刻的理解，現(xiàn)在分別說(shuō)明流體微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所呈現(xiàn)出的平移運(yùn)動(dòng)、線(xiàn)變形運(yùn)動(dòng)、角變形運(yùn)動(dòng)和旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。為簡(jiǎn)化分析，僅討論在平面上流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)。假設(shè)在時(shí)刻，流體微團(tuán)ABCD為矩形，其上各點(diǎn)的速度分量如圖4-2所示。由于微團(tuán)上各點(diǎn)的速度不同，經(jīng)過(guò)時(shí)間，勢(shì)必發(fā)生不同的運(yùn)動(dòng)，微團(tuán)的位置和形狀都將發(fā)生變化，現(xiàn)分析如下。12/5/2023工程流體力學(xué)1．平移運(yùn)動(dòng)圖4-2分析流體微團(tuán)平面運(yùn)動(dòng)用圖

a12/5/2023工程流體力學(xué)2．線(xiàn)變形運(yùn)動(dòng)

12/5/2023工程流體力學(xué)b12/5/2023工程流體力學(xué)

圖4-3流體微團(tuán)平面運(yùn)動(dòng)的分解(a)返回12/5/2023工程流體力學(xué)圖4-3流體微團(tuán)平面運(yùn)動(dòng)的分解(b)返回12/5/2023工程流體力學(xué)圖4-3流體微團(tuán)平面運(yùn)動(dòng)的分解(c)返回12/5/2023工程流體力學(xué)圖4-3流體微團(tuán)平面運(yùn)動(dòng)的分解(d)返回12/5/2023工程流體力學(xué)3．角變形運(yùn)動(dòng)

c12/5/2023工程流體力學(xué)12/5/2023工程流體力學(xué)4．旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)d12/5/2023工程流體力學(xué)12/5/2023工程流體力學(xué)12/5/2023工程流體力學(xué)

綜上所述，在一般情況下，流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)總是可以分解成：整體平移運(yùn)動(dòng)、旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)、線(xiàn)變形運(yùn)動(dòng)及角變形運(yùn)動(dòng)，與此相對(duì)應(yīng)的是平移速度、旋轉(zhuǎn)角速度、線(xiàn)變形速率和剪切變形速率。12/5/2023工程流體力學(xué)第二節(jié)有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)一、有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)的定義二、速度環(huán)量和旋渦強(qiáng)度12/5/2023工程流體力學(xué)一、有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)的定義流體的流動(dòng)是有旋還是無(wú)旋，是由流體微團(tuán)本身是否旋轉(zhuǎn)來(lái)決定的。流體在流動(dòng)中，如果流場(chǎng)中有若干處流體微團(tuán)具有繞通過(guò)其自身軸線(xiàn)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則稱(chēng)為有旋流動(dòng)。如果在整個(gè)流場(chǎng)中各處的流體微團(tuán)均不繞自身軸線(xiàn)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，則稱(chēng)為無(wú)旋流動(dòng)。這里需要說(shuō)明的是，判斷流體流動(dòng)是有旋流動(dòng)還是無(wú)旋流動(dòng)，僅僅由流體微團(tuán)本身是否繞自身軸線(xiàn)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)來(lái)決定，而與流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)軌跡無(wú)關(guān)，在圖4-4(a)中，雖然流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)軌跡是圓形，但由于微團(tuán)本身不旋轉(zhuǎn)，故它是無(wú)旋流動(dòng)；在圖4-4(b)中，雖然流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)軌跡是直線(xiàn)，但微團(tuán)繞自身軸線(xiàn)旋轉(zhuǎn)，故它是有旋流動(dòng)。在日常生活中也有類(lèi)似的例子，例如兒童玩的活動(dòng)轉(zhuǎn)椅，當(dāng)轉(zhuǎn)輪繞水平軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，每個(gè)兒童坐的椅子都繞水平軸作圓周運(yùn)動(dòng)，但是每個(gè)兒童始終是頭向上，臉朝著一個(gè)方向，即兒童對(duì)地來(lái)說(shuō)沒(méi)有旋轉(zhuǎn)。12/5/2023工程流體力學(xué)圖4-4流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)無(wú)旋流動(dòng)有旋流動(dòng)12/5/2023工程流體力學(xué)判斷流體微團(tuán)無(wú)旋流動(dòng)的條件是：流體中每一個(gè)流體微團(tuán)都滿(mǎn)足根據(jù)式（4-3），則有（4-8）12/5/2023工程流體力學(xué)二、速度環(huán)量和旋渦強(qiáng)度1．速度環(huán)量為了進(jìn)一步了解流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)，引入流體力學(xué)中重要的基本概念之一——速度環(huán)量。在流場(chǎng)中任取封閉曲線(xiàn)k，如圖4-5所示。速度沿該封閉曲線(xiàn)的線(xiàn)積分稱(chēng)為速度沿封閉曲線(xiàn)k的環(huán)量，簡(jiǎn)稱(chēng)速度環(huán)量，用表示，即

式中——在封閉曲線(xiàn)上的速度矢量；——速度與該點(diǎn)上切線(xiàn)之間的夾角。速度環(huán)量是個(gè)標(biāo)量，但具有正負(fù)號(hào)。（4-9）12/5/2023工程流體力學(xué)圖4-5沿封閉曲線(xiàn)的速度環(huán)量在封閉曲線(xiàn)k上的速度矢量

速度與該點(diǎn)上切線(xiàn)之間的夾角12/5/2023工程流體力學(xué)速度環(huán)量的正負(fù)不僅與速度方向有關(guān)，而且與積分時(shí)所取的繞行方向有關(guān)。通常規(guī)定逆時(shí)針?lè)较驗(yàn)镵的正方向，即封閉曲線(xiàn)所包圍的面積總在前進(jìn)方向的左側(cè)，如圖4-5所示。當(dāng)沿順時(shí)針?lè)较蚶@行時(shí)，式（4-9）應(yīng)加一負(fù)號(hào)。實(shí)際上，速度環(huán)量所表征的是流體質(zhì)點(diǎn)沿封閉曲線(xiàn)K運(yùn)動(dòng)的總的趨勢(shì)的大小，或者說(shuō)所反映的是流體的有旋性。由于和，則代入式（4-9），得（4-10）12/5/2023工程流體力學(xué)2．旋渦強(qiáng)度沿封閉曲線(xiàn)Ｋ的速度環(huán)量與有旋流動(dòng)之間有一個(gè)重要的關(guān)系，現(xiàn)僅以平面流動(dòng)為例找出這個(gè)關(guān)系。如圖4-6所示，在平面上取一微元矩形封閉曲線(xiàn)，其面積，流體在A點(diǎn)的速度分量為和，則B、C和D點(diǎn)的速度分量分別為：12/5/2023工程流體力學(xué)圖4-6沿微元矩形的速度環(huán)量

12/5/2023工程流體力學(xué)于是，沿封閉曲線(xiàn)反時(shí)針?lè)较駻BCDA的速度環(huán)量將

、、、和、、、各值代入上式，略去高于一階的無(wú)窮小各項(xiàng)，再將式（4-3）的第三式代入后，得然后將式（4-11）對(duì)面積積分，得

（4-11）（4-12）12/5/2023工程流體力學(xué)于是得到速度環(huán)量與旋轉(zhuǎn)角速度之間關(guān)系的斯托克斯定理：沿封閉曲線(xiàn)的速度環(huán)量等于該封閉周線(xiàn)內(nèi)所有的旋轉(zhuǎn)角速度的面積積分的二倍，稱(chēng)之為旋渦強(qiáng)度I，即和式中——在微元面積的外法線(xiàn)上的分量。

（4-13）12/5/2023工程流體力學(xué)

由式（4-11）可導(dǎo)出另一個(gè)表示有旋流動(dòng)的量，稱(chēng)為渦量，以表示之。它定義為單位面積上的速度環(huán)量，是一個(gè)矢量。它在Z軸方向的分量為對(duì)于流體的空間流動(dòng)，同樣可求得X和Y軸方向渦量的分量和。于是得即（4-14）（4-15）12/5/2023工程流體力學(xué)也就是說(shuō)，在有旋流動(dòng)中，流體運(yùn)動(dòng)速度的旋度稱(chēng)為渦量。由此可見(jiàn)，在流體流動(dòng)中，如果渦量的三個(gè)分量中有一個(gè)不等于零，即為有旋流動(dòng)。如果在一個(gè)流動(dòng)區(qū)域內(nèi)各處的渦量或它的分量都等于零，也就是沿任何封閉曲線(xiàn)的速度環(huán)量都等于零，則在這個(gè)區(qū)域內(nèi)的流動(dòng)一定是無(wú)旋流動(dòng)。下面舉兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子來(lái)說(shuō)明速度環(huán)量和旋渦強(qiáng)度的物理意義，以及有旋流動(dòng)和無(wú)旋流動(dòng)的區(qū)別。12/5/2023工程流體力學(xué)【例4-1】一個(gè)以角速度按反時(shí)針?lè)较蜃飨駝傮w一樣的旋轉(zhuǎn)的流動(dòng)，如圖4-7所示。試求在這個(gè)流場(chǎng)中沿封閉曲線(xiàn)的速度環(huán)量，并證明它是有旋流動(dòng).(解)【例4-2】一個(gè)流體繞O點(diǎn)作同心圓的平面流動(dòng)，流場(chǎng)中各點(diǎn)的圓周速度的大小與該點(diǎn)半徑成反比，即，其中C為常數(shù)，如圖4-8所示。試求在流場(chǎng)中沿封閉曲線(xiàn)的速度環(huán)量，并分析它的流動(dòng)情況。(解)12/5/2023工程流體力學(xué)【解】在流場(chǎng)中對(duì)應(yīng)于任意兩個(gè)半徑和的圓周速度各為和，沿圖中畫(huà)斜線(xiàn)扇形部分的周界ABCDA的速度環(huán)量可見(jiàn)，在這個(gè)區(qū)域內(nèi)是有旋流動(dòng)。又由于扇形面積于是

上式正是斯托克斯定理的一個(gè)例證。

以上結(jié)論可推廣適用于圓內(nèi)任意區(qū)域內(nèi)。返回例題12/5/2023工程流體力學(xué)圖4-7有旋流動(dòng)中速度環(huán)量的計(jì)算圖4-8無(wú)旋流動(dòng)中速度環(huán)量的計(jì)算返回例題12/5/2023工程流體力學(xué)【解】沿扇形面積周界的速度環(huán)量可見(jiàn)，在這區(qū)域內(nèi)是無(wú)旋流動(dòng)。這結(jié)論可推廣適用于任何不包圍圓心O的區(qū)域內(nèi)，例如。若包有圓心()，該處速度等于無(wú)限大，應(yīng)作例外來(lái)處理?，F(xiàn)在求沿半徑的圓周封閉曲線(xiàn)的速度環(huán)量

上式說(shuō)明，繞任何一個(gè)圓周的流場(chǎng)中，速度環(huán)量都不等于零，并保持一個(gè)常數(shù)，所以是有旋流動(dòng)。但凡是繞不包括圓心在內(nèi)的任何圓周的速度環(huán)量必等于零，故在圓心O點(diǎn)處必有旋渦存在，圓心是一個(gè)孤立渦點(diǎn)，稱(chēng)為奇點(diǎn)。返回例題12/5/2023工程流體力學(xué)第三節(jié)無(wú)旋流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù)如前所述，在流場(chǎng)中流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)角速度在任意時(shí)刻處處為零，即滿(mǎn)足的流動(dòng)為無(wú)旋流動(dòng)，無(wú)旋流動(dòng)也稱(chēng)為有勢(shì)流動(dòng)。

一、速度勢(shì)函數(shù)引入

二、速度勢(shì)函數(shù)的性質(zhì)12/5/2023工程流體力學(xué)一、速度勢(shì)函數(shù)引入由數(shù)學(xué)分析可知，是成為某一標(biāo)量函數(shù)全微分的充分必要條件。則函數(shù)稱(chēng)為速度勢(shì)函數(shù)。因此，也可以說(shuō)，存在速度勢(shì)函數(shù)的流動(dòng)為有勢(shì)流動(dòng)，簡(jiǎn)稱(chēng)勢(shì)流。根據(jù)全微分理論，勢(shì)函數(shù)的全微分可寫(xiě)成于是得（4-16）

12/5/2023工程流體力學(xué)按矢量分析對(duì)于圓柱坐標(biāo)系，則有于是

從以上分析可知，不論是可壓縮流體還是不可壓縮流體，也不論是定常流動(dòng)還是非定常流動(dòng)，只要滿(mǎn)足無(wú)旋流動(dòng)條件，必然存在速度勢(shì)函數(shù)。

（4-17）

（4-18）

12/5/2023工程流體力學(xué)二、速度勢(shì)函數(shù)的性質(zhì)（1）不可壓縮流體的有勢(shì)流動(dòng)中，勢(shì)函數(shù)滿(mǎn)足拉普拉斯方程，勢(shì)函數(shù)是調(diào)和函數(shù)。將式（4-16）代入到不可壓縮流體的連續(xù)性方程（3-28）中，則有式中為拉普拉斯算子，式（4-19）稱(chēng)為拉普拉斯方程，所以在不可壓流體的有勢(shì)流動(dòng)中，速度勢(shì)必定滿(mǎn)足拉普拉斯方程，而凡是滿(mǎn)足拉普拉斯方程的函數(shù)，在數(shù)學(xué)分析中稱(chēng)為調(diào)和函數(shù)，所以速度勢(shì)函數(shù)是一個(gè)調(diào)和函數(shù)。(4-19)12/5/2023工程流體力學(xué)

從上可見(jiàn)，在不可壓流體的有勢(shì)流動(dòng)中，拉普拉斯方程實(shí)質(zhì)是連續(xù)方程的一種特殊形式，這樣把求解無(wú)旋流動(dòng)的問(wèn)題，就變?yōu)榍蠼鉂M(mǎn)足一定邊界條件下的拉普拉斯方程的問(wèn)題。

12/5/2023工程流體力學(xué)

（2）任意曲線(xiàn)上的速度環(huán)量等于曲線(xiàn)兩端點(diǎn)上速度勢(shì)函數(shù)值之差。而與曲線(xiàn)的形狀無(wú)關(guān)。根據(jù)速度環(huán)量的定義，沿任意曲線(xiàn)AB的線(xiàn)積分這樣，將求環(huán)量問(wèn)題，變?yōu)榍笏俣葎?shì)函數(shù)值之差的問(wèn)題。對(duì)于任意封閉曲線(xiàn)，若A點(diǎn)和B點(diǎn)重合，速度勢(shì)函數(shù)是單值且連續(xù)的，則流場(chǎng)中沿任一條封閉曲線(xiàn)的速度環(huán)量等于零，即。12/5/2023工程流體力學(xué)第四節(jié)二維平面流動(dòng)的流函數(shù)

一、流函數(shù)的引入對(duì)于流體的平面流動(dòng)，其流線(xiàn)的微分方程為,將其改寫(xiě)成下列形式（4-20）在不可壓縮流體的平面流動(dòng)中，速度場(chǎng)必須滿(mǎn)足不可壓縮流體的連續(xù)性方程，即或（4-21）由數(shù)學(xué)分析可知，式（4-21）是（）成為某函數(shù)全微分的充分必要條件，以表示該函數(shù)，則有

（4-22）函數(shù)稱(chēng)為流場(chǎng)的流函數(shù)。由式（4-22）可得（4-23）12/5/2023工程流體力學(xué)由式(4-22)，令，即常數(shù)，可得流線(xiàn)微分方程式(4-20)。由此可見(jiàn),常數(shù)的曲線(xiàn)即為流線(xiàn)，若給定一組常數(shù)值，就可得到流線(xiàn)簇。或者說(shuō)，只要給定流場(chǎng)中某一固定點(diǎn)的坐標(biāo)（）代入流函數(shù)，便可得到一條過(guò)該點(diǎn)的確定的流線(xiàn)。因此，借助流函數(shù)可以形象地描述不可壓縮平面流場(chǎng)。對(duì)于極坐標(biāo)系，可寫(xiě)成（4-24）（4-25）在已知速度分布的情況下，流函數(shù)的求法與速度勢(shì)函數(shù)一樣，可由曲線(xiàn)積分得出。至此可看到，在不可壓縮平面流動(dòng)中，只要求出了流函數(shù)，由式（4-23）或式（4-24）就可求出速度分布。反之，只要流動(dòng)滿(mǎn)足不可壓縮流體的連續(xù)性方程，不論流場(chǎng)是否有旋，流動(dòng)是否定常，流體是理想流體還是黏性流體，必然存在流函數(shù)。這里需說(shuō)明，等流函數(shù)線(xiàn)與流線(xiàn)等同，僅在平面流動(dòng)時(shí)成立。對(duì)于三維流動(dòng)，不存在流函數(shù)，也就不存在等流函數(shù)線(xiàn)，但流線(xiàn)還是存在的。12/5/2023工程流體力學(xué)二、流函數(shù)的性質(zhì)

（1）對(duì)于不可壓縮流體的平面流動(dòng)，流函數(shù)永遠(yuǎn)滿(mǎn)足連續(xù)性方程。將式（4-23）代入式（4-21）得

即流函數(shù)永遠(yuǎn)滿(mǎn)足連續(xù)性方程。（2）對(duì)于不可壓縮流體的平面勢(shì)流，流函數(shù)滿(mǎn)足拉普拉斯方程，流函數(shù)也是調(diào)和函數(shù)。對(duì)于平面無(wú)旋流動(dòng)，，則將式（4-23）代入上式因此，不可壓縮流體平面無(wú)旋流動(dòng)的流函數(shù)也滿(mǎn)足拉普拉斯方程，也是一個(gè)調(diào)和函數(shù)。因此，在平面不可壓縮流體的有勢(shì)流場(chǎng)中的求解問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)滿(mǎn)足邊界條件的的拉普拉斯方程.12/5/2023工程流體力學(xué)（3）平面流動(dòng)中，通過(guò)兩條流線(xiàn)間任一曲線(xiàn)單位厚度的體積流量等于兩條流線(xiàn)的流函數(shù)之差。這就是流函數(shù)的物理意義。如圖4-9所示，在兩流線(xiàn)間任一曲線(xiàn)AB，則通過(guò)單位厚度的體積流量為

（4-26）由式（4-26）可知，平面流動(dòng)中兩條流線(xiàn)間通過(guò)的流量等于這兩條流線(xiàn)上的流函數(shù)之差。圖4-9說(shuō)明流函數(shù)物理意義用圖12/5/2023工程流體力學(xué)三、和的關(guān)系

（1）滿(mǎn)足柯西-黎曼條件如果是不可壓縮流體的平面無(wú)旋流動(dòng)，必然同時(shí)存在著速度勢(shì)和流函數(shù)，比較式（4-16）和式（4-23），可得到速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)之間存在的如下關(guān)系（4-27）

（4-28）

這是一對(duì)非常重要的關(guān)系式，在高等數(shù)學(xué)中稱(chēng)作柯西-黎曼條件。因此，和互為共軛調(diào)和函數(shù)，這就有可能使我們利用復(fù)變函數(shù)這樣一種有力的工具求解此類(lèi)問(wèn)題。當(dāng)勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)二者知其一時(shí)，另一個(gè)則可利用式（4-27）的關(guān)系求出，而至多相差一任意常數(shù)。12/5/2023工程流體力學(xué)（2）流線(xiàn)與等勢(shì)線(xiàn)正交。

式（4-28）是等勢(shì)線(xiàn)簇[常數(shù)]和流線(xiàn)簇[常數(shù)]互相正交的條件，若在同一流場(chǎng)中繪出相應(yīng)的一系列流線(xiàn)和等勢(shì)線(xiàn)，則它們必然構(gòu)成正交網(wǎng)格，稱(chēng)為流網(wǎng)，如圖4-10所示。

圖4-10流網(wǎng)12/5/2023工程流體力學(xué)

【例4-3】有一不可壓流體平面流動(dòng)的速度分布為。①該平面流動(dòng)是否存在流函數(shù)和速度勢(shì)函數(shù)；②若存在，試求出其表達(dá)式；③若在流場(chǎng)中A（1m，1m）處的絕對(duì)壓強(qiáng)為1.4×105Pa，流體的密度1.2kg/m3，則B（2m，5m）處的絕對(duì)壓強(qiáng)是多少？【解】（1）由不可壓流體平面流動(dòng)的連續(xù)性方程該流動(dòng)滿(mǎn)足連續(xù)性方程，流動(dòng)是存在的，存在流函數(shù)。由于是平面流動(dòng)該流動(dòng)無(wú)旋，存在速度勢(shì)函數(shù)。12/5/2023工程流體力學(xué)（2）由流函數(shù)的全微分得：積分由速度勢(shì)函數(shù)的全微分得：積分（3）由于，因此，A和B處的速度分別為

由伯努里方程可得12/5/2023工程流體力學(xué)第五節(jié)基本的平面有勢(shì)流動(dòng)

流體的平面有勢(shì)流動(dòng)是相當(dāng)復(fù)雜的，很多復(fù)雜的平面有勢(shì)流動(dòng)可以由一些簡(jiǎn)單的有勢(shì)流動(dòng)疊加而成。所以，我們首先介紹幾種基本的平面有勢(shì)流動(dòng)，它包括均勻直線(xiàn)流動(dòng)，點(diǎn)源和點(diǎn)匯、點(diǎn)渦等

12/5/2023工程流體力學(xué)一、均勻直線(xiàn)流動(dòng)流體作均勻直線(xiàn)流動(dòng)時(shí)，流場(chǎng)中各點(diǎn)速度的大小相等，方向相同，即和。由式（4-16）和式（4-23），得

于是速度勢(shì)和流函數(shù)各為以上兩式中的積分常數(shù)和可以任意選取，而不影響流體的流動(dòng)圖形（稱(chēng)為流譜）。12/5/2023工程流體力學(xué)若令，即得均勻直線(xiàn)流動(dòng)的速度勢(shì)和流函數(shù)各為（4-29）（4-30）由式（4-29）和式（4-30）可知，等勢(shì)線(xiàn)簇（常數(shù)）和流線(xiàn)簇（=常數(shù)）互相垂直，如圖4-11所示。各流線(xiàn)與軸的夾角等于。由于流場(chǎng)中各點(diǎn)的速度都相等，根據(jù)伯努里方程（3-41），得常數(shù)如果均勻直線(xiàn)流動(dòng)在水平面上，或流體為氣體，一般可以忽略重力的影響，于是常數(shù)

即流場(chǎng)中壓強(qiáng)處處相等。12/5/2023工程流體力學(xué)圖4-11均勻直線(xiàn)流的流譜12/5/2023工程流體力學(xué)二、平面點(diǎn)源和點(diǎn)匯如果在無(wú)限平面上流體不斷從一點(diǎn)沿徑向直線(xiàn)均勻地向各方流出，則這種流動(dòng)稱(chēng)為點(diǎn)源，這個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為源點(diǎn)（圖4-12，a）；若流體不斷沿徑向直線(xiàn)均勻地從各方流入一點(diǎn)，則這種流動(dòng)稱(chēng)為點(diǎn)匯，這個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為匯點(diǎn)（圖4-12，b）。顯然，這兩種流動(dòng)的流線(xiàn)都是從原點(diǎn)O發(fā)出的放射線(xiàn)，即從源點(diǎn)流出和向匯點(diǎn)流入都只有徑向速度?，F(xiàn)將極坐標(biāo)的原點(diǎn)作為源點(diǎn)或匯點(diǎn)，則12/5/2023工程流體力學(xué)圖4-12點(diǎn)源和點(diǎn)匯的流譜點(diǎn)源點(diǎn)匯back12/5/2023工程流體力學(xué)

根據(jù)流動(dòng)的連續(xù)性條件，流體每秒通過(guò)任一半徑為的單位長(zhǎng)度圓柱面上的流量都應(yīng)該相等，即常數(shù)由此得（4-31）式中是點(diǎn)源或點(diǎn)匯在每秒內(nèi)流出或流入的流量，稱(chēng)為點(diǎn)源強(qiáng)度或點(diǎn)匯強(qiáng)度。對(duì)于點(diǎn)源，與同向，取正號(hào)；對(duì)于點(diǎn)匯，與異向，取負(fù)號(hào)，于是積分得式中積分常數(shù)是任意給定的，現(xiàn)令。又由于，于是得速度勢(shì)（4-32）當(dāng)時(shí)，速度勢(shì)和速度都變成無(wú)窮大，源點(diǎn)和匯點(diǎn)都是奇點(diǎn)。所以速度勢(shì)和速度的表達(dá)式（4-31）和式（4-32）只有在源點(diǎn)和匯點(diǎn)以外才能應(yīng)用。12/5/2023工程流體力學(xué)現(xiàn)在求流函數(shù)，由式（4-25）積分得(令式中的積分常數(shù)為零)（4-33）等勢(shì)線(xiàn)簇（常數(shù)，即常數(shù)）是同心圓簇（在圖4-12中用虛線(xiàn)表示）與流線(xiàn)簇（常數(shù)，即常數(shù)）成正交。而且除源點(diǎn)或匯點(diǎn)外，整個(gè)平面上都是有勢(shì)流動(dòng)。如果平面是無(wú)限水平面，則根據(jù)伯努里方程（3—41）式中為在處的流體壓強(qiáng)，該處的速度為零。將式（4-31）代入上式，得（4-34）由式（4-34）可知，壓強(qiáng)隨著半徑的減小而降低。當(dāng)時(shí)，。圖4-13表示當(dāng)時(shí)，點(diǎn)匯沿半徑的壓強(qiáng)分布。12/5/2023工程流體力學(xué)圖4-13點(diǎn)匯沿半徑的壓強(qiáng)分布12/5/2023工程流體力學(xué)三、點(diǎn)渦設(shè)有一旋渦強(qiáng)度為的無(wú)限長(zhǎng)直線(xiàn)渦束，該渦束以等角速度繞自身軸旋轉(zhuǎn)，并帶動(dòng)渦束周?chē)牧黧w繞其環(huán)流。由于直線(xiàn)渦束為無(wú)限長(zhǎng)，所以可以認(rèn)為與渦束垂直的所有平面上的流動(dòng)情況都一樣。也就是說(shuō)，這種繞無(wú)限長(zhǎng)直線(xiàn)渦束的流動(dòng)可以作為平面流動(dòng)來(lái)處理。由渦束所誘導(dǎo)出的環(huán)流的流線(xiàn)是許多同心圓，如圖4-14所示。根據(jù)斯托克斯定理可知，沿任一同心圓周流線(xiàn)的速度環(huán)量等于渦束的旋渦強(qiáng)度，即常數(shù)于是（4-35）因此渦束外的速度與半徑成反比。若渦束的半徑，則成為一條渦線(xiàn)，這樣的流動(dòng)稱(chēng)為點(diǎn)渦，又稱(chēng)為純環(huán)流。但當(dāng)時(shí)，，所以渦點(diǎn)是一個(gè)奇點(diǎn)。12/5/2023工程流體力學(xué)圖4-14點(diǎn)渦的流譜12/5/2023工程流體力學(xué)現(xiàn)在求點(diǎn)渦的速度勢(shì)和流函數(shù)。由于由積分后得速度勢(shì)（4-36）又由于由積分后得流函數(shù)（4-37）當(dāng)時(shí)，環(huán)流為反時(shí)針?lè)较颍鐖D4-14所示；當(dāng)時(shí)，環(huán)流為順時(shí)針?lè)较颉Ｓ墒剑?-36）和式（4-37）可知，點(diǎn)渦的等勢(shì)線(xiàn)簇是經(jīng)過(guò)渦點(diǎn)的放射線(xiàn)，而流線(xiàn)簇是同心圓。而且除渦點(diǎn)外，整個(gè)平面上都是有勢(shì)流動(dòng)。12/5/2023工程流體力學(xué)設(shè)渦束的半徑為，渦束邊緣上的速度為，壓強(qiáng)為；時(shí)的速度顯然為零，而壓強(qiáng)為。代入伯努里方程（3-41），得渦束外區(qū)域內(nèi)的壓強(qiáng)分布為（4-38）由式（4-38）可知，在渦束外區(qū)域內(nèi)的壓強(qiáng)隨著半徑的減小而降低，渦束外緣上的壓強(qiáng)為

或（4-39）所以渦束外區(qū)域內(nèi)從渦束邊緣到無(wú)窮遠(yuǎn)處的壓強(qiáng)降是一個(gè)常數(shù)。又由式（4-38）可知，在處，壓強(qiáng)，顯然這是不可能的。所以在渦束內(nèi)確實(shí)存在如同剛體一樣以等角速度旋轉(zhuǎn)的旋渦區(qū)域，稱(chēng)為渦核區(qū)。由式（4-39）可得渦核的半徑12/5/2023工程流體力學(xué)由于渦核內(nèi)是有旋流動(dòng)，故流體的壓強(qiáng)可以根據(jù)歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程求得。平面定常流動(dòng)的歐拉運(yùn)動(dòng)微分方程為將渦核內(nèi)任一點(diǎn)的速度和代入上兩式，得以和分別乘以上兩式，然后相加，得或積分得12/5/2023工程流體力學(xué)在處，，代入上式，得最后得渦核區(qū)域內(nèi)的壓強(qiáng)分布為（4-40）或（4-40a）于是渦核中心的壓強(qiáng)而渦核邊緣的壓強(qiáng)所以可見(jiàn)，渦核內(nèi)、外的壓強(qiáng)降相等，都等于用渦核邊緣速度計(jì)算的動(dòng)壓頭。渦核內(nèi)、外的速度分布和壓強(qiáng)分布如圖4-15所示。12/5/2023工程流體力學(xué)圖5-14渦流中渦核內(nèi)、外的速度和壓強(qiáng)分布12/5/2023工程流體力學(xué)第六節(jié)平面勢(shì)流的疊加流動(dòng)從上節(jié)可以看到，只有對(duì)一些簡(jiǎn)單的有勢(shì)流動(dòng)，才能求出它們流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)，但當(dāng)流動(dòng)較復(fù)雜時(shí)，根據(jù)流動(dòng)直接求解流函數(shù)和勢(shì)函數(shù)往往十分困難。我們可以將一些簡(jiǎn)單有勢(shì)流動(dòng)進(jìn)行疊加，得到較復(fù)雜的流動(dòng)，這樣一來(lái)，為求解流動(dòng)復(fù)雜的流場(chǎng)提供了一個(gè)有力的工具。因此，本節(jié)先介紹勢(shì)流的疊加原理，然后再介紹幾種典型的有實(shí)際意義的疊加流動(dòng)。12/5/2023工程流體力學(xué)一、勢(shì)流疊加原理前面我們知道，速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)都滿(mǎn)足拉普拉斯方程。凡是滿(mǎn)足拉普拉斯方程的函數(shù)，在數(shù)學(xué)分析上都稱(chēng)為調(diào)和函數(shù)，所以速度勢(shì)函數(shù)和流函數(shù)都是調(diào)和函數(shù)。根據(jù)調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)，即若干個(gè)調(diào)和函數(shù)的線(xiàn)性組合仍然是調(diào)和函數(shù)，可將若干個(gè)速度勢(shì)函數(shù)(或流函數(shù))線(xiàn)性組合成一個(gè)代表某一有勢(shì)流動(dòng)的速度勢(shì)函數(shù)(或流函數(shù))?，F(xiàn)將若干個(gè)速度勢(shì)函數(shù)、、、…疊加，得（4-41）而（4-42）顯然，疊加后新的速度勢(shì)函數(shù)也滿(mǎn)足拉普拉斯方程。同樣，疊加后新的流函數(shù)也滿(mǎn)足拉普拉斯方程，即（4-43）12/5/2023工程流體力學(xué)這個(gè)疊加原理方法簡(jiǎn)單，在實(shí)際應(yīng)用上有很大意義，可以應(yīng)用這個(gè)原理把上一節(jié)所討論的幾個(gè)簡(jiǎn)單的基本平面有勢(shì)流動(dòng)疊加成所需要的復(fù)雜有勢(shì)流動(dòng)。將新的速度勢(shì)函數(shù)分別對(duì)、和取偏導(dǎo)數(shù)，就等于新的有勢(shì)流動(dòng)的速度分別在、和軸方向上的分量：

（4-44）或

（4-45）即（4-46）12/5/2023工程流體力學(xué)

由此可見(jiàn)，疊加后所得的復(fù)雜有勢(shì)流動(dòng)的速度為疊加前原來(lái)的有勢(shì)流動(dòng)速度的矢量和。由此，可得出一個(gè)重要結(jié)論：疊加兩個(gè)或多個(gè)不可壓平面勢(shì)流流動(dòng)組成一個(gè)新的復(fù)合流動(dòng)，只要把各原始流動(dòng)的勢(shì)函數(shù)或流函數(shù)簡(jiǎn)單地代數(shù)相加，就可得到該復(fù)合流動(dòng)的勢(shì)函數(shù)或流函數(shù)。該結(jié)論稱(chēng)為勢(shì)流的疊加原理。12/5/2023工程流體力學(xué)二、螺旋流螺旋流是點(diǎn)渦和點(diǎn)匯的疊加。將式（4-36）和式（4-32）相加以及將式（4-37）和式（4-33）相加即得新的有勢(shì)流動(dòng)的速度勢(shì)和流函數(shù)（4-47）（4-48）式中取反時(shí)針?lè)较驗(yàn)檎?。于是得等?shì)線(xiàn)方程常數(shù)或（4-49）流線(xiàn)方程為常數(shù)或（4-50）顯然，等勢(shì)線(xiàn)簇和流線(xiàn)簇是兩組互相正交的對(duì)數(shù)螺旋線(xiàn)簇（圖4-16），稱(chēng)為螺旋流。流體從四周向中心流動(dòng)。12/5/2023工程流體力學(xué)圖4-16螺旋流的流譜12/5/2023工程流體力學(xué)研究螺旋流在工程上有重要意義。例如旋流燃燒室、旋風(fēng)除塵設(shè)備及多級(jí)離心泵反導(dǎo)葉中的旋轉(zhuǎn)氣流即可看成是這種螺旋流。螺旋流的速度分布為

（4-51）

（4-52）（4-53）代入伯努里方程（3-41），得流場(chǎng)的壓強(qiáng)分布

（4-54）

12/5/2023工程流體力學(xué)三、偶極流將流量各為的點(diǎn)源和的點(diǎn)匯相距2a距離放在X軸上，疊加后的流動(dòng)圖形如圖4-17所示，它的速度勢(shì)和流函數(shù)各為（4-55）（4-56）由流線(xiàn)方程（4-56）常數(shù)，得常數(shù)，所以流線(xiàn)是經(jīng)過(guò)源點(diǎn)A和匯點(diǎn)B的圓簇，而且從源點(diǎn)流出的流量全部流入?yún)R點(diǎn)。12/5/2023工程流體力學(xué)圖4-17點(diǎn)源和點(diǎn)匯的疊加常數(shù)12/5/2023工程流體力學(xué)現(xiàn)在分析一種在點(diǎn)源和點(diǎn)匯無(wú)限接近的同時(shí)，流量無(wú)限增大（即），以至使保持一個(gè)有限常數(shù)值的極限情況。在這種極限情況下的流動(dòng)稱(chēng)為偶極流，稱(chēng)為偶極矩或偶極強(qiáng)度。偶極流是有方向的，一般規(guī)定由點(diǎn)源指向點(diǎn)匯的方向?yàn)檎?。如圖4-18所示，偶極流指向軸方向，這時(shí)的偶極矩取正值。偶極流的速度勢(shì)可由式（4-55）根據(jù)上述極限條件求得，將式（4-55）改寫(xiě)成12/5/2023工程流體力學(xué)常數(shù)常數(shù)圖4-18偶極流的流譜12/5/2023工程流體力學(xué)從圖4-19中可知，當(dāng)A點(diǎn)和B點(diǎn)向原點(diǎn)O無(wú)限接近時(shí)，，而且當(dāng)，時(shí)，，，又由于當(dāng)為無(wú)窮小時(shí)，可以略去高階項(xiàng)，得。因此，偶極流的速度勢(shì)或（4-57）12/5/2023工程流體力學(xué)圖4-19推導(dǎo)偶極流用圖12/5/2023工程流體力學(xué)在圖4-19中，BC為從B點(diǎn)向AP所作的垂線(xiàn)，則又當(dāng)，，，所以，代入式（4-56）得偶極流的流函數(shù)或（4-58）令式（4-58）等于常數(shù)，于是得流線(xiàn)方程（4-59）即流線(xiàn)簇是半徑為、圓心為（0，），且與軸在原點(diǎn)相切的圓簇，如圖4-18中實(shí)線(xiàn)所示。又令式（4-57）等于常數(shù)，得等勢(shì)線(xiàn)方程（4-60）即等勢(shì)線(xiàn)簇是半徑為、圓心為（，0）且與軸在原點(diǎn)相切的圓簇，如圖4-18中虛線(xiàn)所示。12/5/2023工程流體力學(xué)四、繞圓柱體無(wú)環(huán)量流動(dòng)

將均勻直線(xiàn)流與偶極流疊加，可以得到繞圓柱體無(wú)環(huán)量流動(dòng)。設(shè)有一在無(wú)窮遠(yuǎn)處速度為、平行于X軸、由左向右流的均勻直線(xiàn)流，與在坐標(biāo)原點(diǎn)O上偶極矩為M、方向與X軸相反的偶極流疊加，如圖4-20所示，組合流動(dòng)的流函數(shù)為

（4-61）流線(xiàn)方程（4-62）選取不同的常數(shù)值，可得到如圖4-20所示的流動(dòng)圖形。對(duì)的所謂零流線(xiàn)的方程為或，12/5/2023工程流體力學(xué)圖4-20均勻流繞圓柱體無(wú)環(huán)量流動(dòng)12/5/2023工程流體力學(xué)由此可知，零流線(xiàn)是一個(gè)以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心、半徑的圓周與正負(fù)X軸和所構(gòu)成的圖形。該流線(xiàn)到A點(diǎn)處分為兩段，沿上、下兩個(gè)半圓周流到B點(diǎn)，又重新匯合。這個(gè)平面組合流動(dòng)的流函數(shù)為(4-63)同樣，也可得到它的速度勢(shì)(4-64)以上兩式中，≥，這是因?yàn)榈膱A柱體內(nèi)的流動(dòng)沒(méi)有實(shí)際意義。12/5/2023工程流體力學(xué)流場(chǎng)中任一點(diǎn)的速度分量為