平方差公式-教學設(shè)計

課程基本信息課例編號學科數(shù)學年級八年級學期秋季課題平方差公式教科書書名：義務(wù)教育教科書數(shù)學八年級上冊出版社：人民教育出版社出版日期：2013年6月教學人員姓名單位授課教師趙霞商丘市實驗中學指導(dǎo)教師教學目標教學目標：1.理解平方差公式，能利用公式進行計算；2.在探索平方差公式的過程中，感悟從具體到抽象地研究問題的方法，在驗證平方差公式的過程中，感知數(shù)形結(jié)合思想.教學重點：平方差公式教學難點：平方差公式結(jié)構(gòu)的認識與平方差公式的變式運用教學過程時間教學環(huán)節(jié)主要師生活動3min8min10min1.5min2min0.5min新知引入探究新知.例題講解例題講解歸納總結(jié)拓展提升課后作業(yè)新知引入閱讀小故事，并回答問題小明和小蘭分別負責兩塊區(qū)域的值日工作.小明負責一塊邊長為a米的正方形空地，小蘭則負責一塊長方形空地，長為正方形空地邊長加5米，寬度是正方形空地邊長減5米.有一天，小明對小蘭說：“咱們換一下值日的區(qū)域吧，反正這兩塊地大小都一樣.”你覺得小明說的對嗎？為什么？不妨我們來算一下：，這是多項式乘以多項式，應(yīng)如何計算呢？前面我們已經(jīng)學過法則：小明說的不對，長方形面積比正方形面積少了25平方米.【設(shè)計意圖】：一方面通過小故事激發(fā)學生的學習興趣，讓學生真正動手計算得到結(jié)論.另一方面引出本節(jié)課的要學習的公式，為后續(xù)公式的代數(shù)推導(dǎo)和幾何推導(dǎo)做鋪墊.二．探究新知1.自主探究計算下面多項式的積，你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？問題1：根據(jù)以上算式的結(jié)構(gòu)和所得結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？（等式的左邊是兩個多項式相乘，這兩個多項式分別是兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差；等式的右邊是這兩個數(shù)的平方之差）問題2：你能否用含字母的式子來表示你所發(fā)現(xiàn)的一般規(guī)律呢？（不妨設(shè)這兩個數(shù)分別為a,b,則一般形式可以表示為：這種形式）【設(shè)計意圖】：通過計算得出結(jié)果后，進一步分析所給這3個式子的結(jié)構(gòu)，通過比較可以總結(jié)出等式兩邊的特點.學生根據(jù)所觀察到的特點，表達成一般形式，自然而然的引出新知，銜接緊湊，過程流暢.2.歸納新知由上面的幾個例子不難發(fā)現(xiàn)，都是形如的多項式和的多項式相乘，運用多項式乘以多項式的運算法則，可以得到：，乘完后是四項，而化簡之后僅剩兩項。所以，這類式子是多項式乘法中比較特殊的一類，在遇到具有與此相同形式的多項式相乘，我們可以直接寫出運算結(jié)果，即：讓我們的計算更加的快速和準確。對于這個公式，它有自身的結(jié)構(gòu)特點，用語言來描述，就是“兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)差的積，等于這兩個數(shù)的平方差”。所以我們稱這個公式為乘法的平方差公式。問題3：觀察上述公式，其結(jié)構(gòu)上有什么特征？我們不難發(fā)現(xiàn)，等號左邊的兩個多項式中，“第一個數(shù)”a符號相同，“第二個數(shù)”b符號相反，等號右邊是符號相同項a的平方減去符號相反項b的平方.所以，我們?nèi)粝肜闷椒讲罟竭M行計算，可以先觀察多項式中是否有符號相同項，相反項，若滿足公式結(jié)構(gòu)，便可以直接使用公式計算，而無需再運用多項式乘以多項式的法則.3.深入探索大家想一下，我們除了可以從多項式乘法的法則角度來說明平方差公式，還能從什么角度說明呢？還記得引例中的面積問題嗎？我們可以嘗試利用長方形面積，從幾何角度說明平方差公式.圖2圖1圖2圖1如圖1，是一個長為寬為的長方形，其面積是，而這塊面積可以分割成兩長方形，將其中長為，寬為的長方形剪下，拼到如圖2的位置，在剪切的過程中，總面積不變。我們發(fā)現(xiàn)在圖2中的面積是邊長為的大正方形面積，減去空白部分，即邊長為的小正方形面積.利用面積的方法，我們再次從幾何的角度證明了平方差公式【設(shè)計意圖】：從幾何角度再次證明平方差公式，有利于讓學生認識平方差公式的幾何意義，使學生更好地理解這一公式，并在此過程中體會數(shù)形結(jié)合思想.三.例題講解例1.運用平方差公式計算（2）（3）（4）【分析】：能否利用平方差公式進行計算，我們需要觀察所給式子是否滿足平方差公式的結(jié)構(gòu).也就是說我們需要找到公式中的相同項a，相反項b，所得結(jié)果應(yīng)為相同項的a的平方減去相反項b的平方.（1）觀察可知，x為相同項,相當于公式中的a，為相反項，相當于公式中的b，利用公式即為（2）中為相同項，這個整體看成，2為相反項，看成.最后應(yīng)為，是；為4，最終結(jié)果為.（3）中首先要進行觀察，這里-x是相同項，這個整體相當于a，而2y相當于b，最后化簡完是x2-4y2.（4）中相同項為(-2a)，相反項為3，所以最終結(jié)果為解:(1)練習：下列各式中，不能運用平方差公式的是（）【分析】：若能利用平方差公式，則需要在式子中找到相同項a，相反項b,若兩項均為相同項，或者均為相反項，則無法利用公式計算.通過觀察可知C項中-m和m，n和-n都為相反項，不符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特點，因此選擇C.【設(shè)計意圖】：例1和練習可以幫助學生正向認識公式的結(jié)構(gòu)，辨析使用公式所需的條件，為下面應(yīng)用公式計算打下基礎(chǔ).例2：計算：(1)(2)（3）（4）【分析】：（1）中只有前半部分符合公式條件，可以利用平方差公式簡便運算，其余的運算仍按照乘法法則進行；（2）是兩個數(shù)字相乘，通過觀察發(fā)現(xiàn)這兩個數(shù)字很有特點，一個是102=100+2,98=100-2，可以利用平方差公式進行簡便運算；（3）中相同項為，相反項為，最終結(jié)果為；（4）需要先把前兩項利用平方差公式計算出來，然后利用結(jié)果二次利用平方差公式，從而得到最終結(jié)果.【設(shè)計意圖】：這兩道例題的選取目的是讓學生理解公式的結(jié)構(gòu)特征.公式中的a,b既可以表示具體的數(shù)字，也可以表示單項式，甚至可以表示多項式.只要符合公式的結(jié)構(gòu)，就可以利用它簡便運算.例題從不同角度強化了公式的靈活運用，讓學生對公式中的字母含義有了更深刻的理解，同時培養(yǎng)學生利用類比遷移解決問題.例3：在括號中填入適當?shù)恼剑?）(2)(3)(4)【分析】：觀察此題左右，可以利用平方差公式.根據(jù)給出化簡后的結(jié)果，及等號右邊的式子，可從化簡后的形如結(jié)果入手，找出誰相當于原公式的.對應(yīng)公式，我們發(fā)現(xiàn)是兩個多項式中相同的項，而是多項式中相反的項，由此可推斷出括號中的多項式.（1）中相同項為a，相反項為b，故括號里應(yīng)該為(a-b)（2）中結(jié)果為，故相同項為n，相反項為m，故括號里應(yīng)該為(-n-m)（3）中結(jié)果為，相同項為1，相反項為3x，故括號里應(yīng)該為(-1+3x)（4）中相同項為a2，相反項為b2，故括號里應(yīng)該為(a2-b2)解：【設(shè)計意圖】：此題從反方向考察對平方差公式結(jié)構(gòu)的理解和掌握，再次強化了公式的結(jié)構(gòu)。公式的反向運用本質(zhì)為因式分解，所以此題也為后續(xù)利用平方差公式因式分解做一個鋪墊.例4：已知則【分析】：此題給出和的值，由，求出。已知了，即得到一個方程組，可求得的值，從而的值也可以求出.解：由，且得：，所以又因為，解得，所以四.歸納總結(jié)本節(jié)課我們學習了平方差公式，和公式推導(dǎo).1.平方差公式：文字描述：“兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)差的積，等于這兩個數(shù)的平方差”.2.平方差公式的推導(dǎo)代數(shù)推