高中數(shù)學(xué)培優(yōu)講義練習(xí)（選擇性必修一）：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)-重難點(diǎn)題型精講（教師版）

專題3.7雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)-重難點(diǎn)題型精講1．雙曲線的定義雙曲線的定義：平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于)的點(diǎn)的軌跡叫作雙曲線.這兩個定點(diǎn)叫作雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫作雙曲線的焦距.2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與其在坐標(biāo)系中的位置的對應(yīng)關(guān)系：3．雙曲線的簡單幾何性質(zhì)雙曲線的一些幾何性質(zhì)：4．雙曲線的離心率(1)定義：雙曲線的焦距與實(shí)軸長的比，叫作雙曲線的離心率.

(2)雙曲線離心率的范圍：e>1.

(3)離心率的意義：離心率的大小決定了漸近線斜率的大小，從而決定了雙曲線的開口大小.

因?yàn)?，所以e越大，越大，則雙曲線的開口越大.

(4)等軸雙曲線的兩漸近線互相垂直，離心率e=.5．雙曲線中的最值問題求解此類問題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標(biāo)函數(shù)，將目標(biāo)變量表示為一個(或多個)變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應(yīng)用基本不等式以及三角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.【題型1曲線方程與雙曲線】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)所給曲線方程表示雙曲線，結(jié)合雙曲線的標(biāo)椎方程進(jìn)行求解，即可得出所求.【例1】（2022·四川南充·三模（理））設(shè)θ∈0,2π，則“方程x2A．θ∈0,π C．θ∈π,3【解題思路】求出方程x23+【解答過程】由θ∈0,2π，方程x則sinθ<0，所以θ∈根據(jù)選項(xiàng)，“方程x2故選：B.【變式1-1】（2021·山東·高三開學(xué)考試）命題p：“3<m<5”是命題q：“曲線x2m?3?A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，滿足m?35?m>0，求出【解答過程】曲線x2可得m?35?m>0，解得命題p：“3<m<5”是命題q：“曲線x2故選：A.【變式1-2】（2022·全國·高二課時練習(xí)）若方程x22+m?y2A．?2<m<2 B．m>?2 C．m≥0 D．m≥2【解題思路】根據(jù)雙曲線的定義可知2+m與2?m同號，從而可求出m的取值范圍【解答過程】因?yàn)榉匠蘹2所以2+m2?m>0，解得故選：A.【變式1-3】（2021·安徽滁州·高二階段練習(xí)）已知曲線C的方程為x2k+1+y25?k=1k∈R，若曲線A．?1<k<5 B．k>5 C．k<?1 D．k≠?1或5【解題思路】根據(jù)題意可得k+1<05?k>0【解答過程】解：若曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則k+1<05?k>0，解得k<?1故選：C.【題型2利用雙曲線的定義解題】【方法點(diǎn)撥】理解雙曲線的定義要緊扣“到兩定點(diǎn)的距離的差的絕對值為定值，且該定值小于兩定點(diǎn)間的距離”.雙曲線的定義的應(yīng)用主要有以下幾種類型：一是求解動點(diǎn)的軌跡方程問題；二是求解最值問題；三是求解焦點(diǎn)三角形問題.【例2】（2022·新疆高二階段練習(xí)（理））已知雙曲線C:x29?y27=1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，雙曲線A．13 B．11 C．1或11 D．11或13【解題思路】由雙曲線定義可直接構(gòu)造方程求得結(jié)果.【解答過程】由雙曲線方程知：a=3；根據(jù)雙曲線定義知：PF1?PF故選：B.【變式2-1】（2022·河南·一模（理））已知P為圓C：(x?5)2+y2=36上任意一點(diǎn)，A(?5,0)，若線段PA的垂直平分線交直線PCA．x29+C．x29?y216=1（x<0【解題思路】如圖所示：連接QA，根據(jù)垂直平分線知QA=QP，QC?【解答過程】如圖所示：連接QA，根據(jù)垂直平分線知QA=QP，故QC?2a=6，a=3，c=5，故b=4，故軌跡方程為x2故選：B.【變式2-2】（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知F為雙曲線C:x24?y29=1的左焦點(diǎn)，P,Q為雙曲線C同一支上的兩點(diǎn)．若|PQ|=12，點(diǎn)A．25 B．16 C．32 D．40【解題思路】根據(jù)已知條件得出焦點(diǎn)坐標(biāo)，并作出圖形，利用雙曲線的定義及三角形的周長公式即可求解.【解答過程】由題意可知，a2=4,b2=9所以雙曲線C:x24?y29=1的左焦點(diǎn)由雙曲線的定義，知|PF|?|PA|=2a=4①，|QF|?|QA|=2a=4②，由①②，得|PF|+|QF|=|PQ|+8，又|PQ|=|PA|+|QA|=12，所以△PQF的周長為|PF|+|QF|+|PQ|=8+2|PQ|=32．故選：C.【變式2-3】（2022·全國·高二課時練習(xí)）P是雙曲線x29?y216=1的右支上一點(diǎn)，M、N分別是圓(x+5)2A．6 B．7 C．8 D．9【解題思路】先由已知條件可知雙曲線的兩個焦點(diǎn)為兩個圓的圓心,再利用平面幾何知識把|PM|?|PN|轉(zhuǎn)化為雙曲線上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)之間的距離,即可求|PM|?|PN|的最大值.【解答過程】∵

x2∴a2=9b2故雙曲線的兩個焦點(diǎn)為F1(?5,0),F1(?5,0),F2|PM||PN|則|PM|?|PN|的最大值為P=P=2×3+3=故選：D.【題型3雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解及應(yīng)用】【方法點(diǎn)撥】(1)用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，通常要先定型(焦點(diǎn)在哪個軸上)，再定量(確定的值).要特別注意的應(yīng)用，并注意不要與橢圓中的關(guān)系相混滑.(2)求雙曲線方程中參數(shù)的值或取值范圍時，先要確定焦點(diǎn)的位置，再根據(jù)相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程確定的值，然后求解，有必要時，要注意分焦點(diǎn)在x軸、y軸上進(jìn)行分類討論，不要漏解.【例3】（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知雙曲線的兩個焦點(diǎn)分別為F10,?5，F(xiàn)20,5，雙曲線上一點(diǎn)P與F1A．x29?y216=1 B．【解題思路】根據(jù)題意求出a,b即可求得答案.【解答過程】由題意，c=5,2a=6?a=3，則b=c2?故選：C.【變式3-1】（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知雙曲線C：y2a2?x2b2=1A．y264?C．y29?【解題思路】根據(jù)實(shí)軸長求得a，再結(jié)合漸近線方程求得b，即可求解【解答過程】因?yàn)閷?shí)軸長為8，所以a=4，可得漸近線方程為y=±abx=±所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2故選：D．【變式3-2】（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1（a>0，A．x29?y2=1 B．x【解題思路】由離心率和距離的最小值列方程組求得a,c，然后求得b后得雙曲線方程．【解答過程】由已知可得ca=103，c?a=10?3，可得c=10故選：A．【變式3-3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)F1,F2分別是等軸雙曲線C:x2a2?y2b2=1a>0,b>0A．x22?y22=1 B．【解題思路】由F1F2=2OP【解答過程】F1F2=2OP，Oa=b，則c=2S△PF1所以雙曲線方程為x2故選：D．【題型4雙曲線的漸近線方程】【方法點(diǎn)撥】根據(jù)已知條件，求漸近線方程時，先要確定焦點(diǎn)的位置，再根據(jù)相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程確定的值，然后利用漸近線方程的公式求解.【例4】（2022·江西·高三開學(xué)考試（文））雙曲線y2a2A．x±4y=0 B．4x±y=0C．x±2y=0 D．2x±y=0【解題思路】求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即得解.【解答過程】解：由題意知，a=2，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2雙曲線y24?x2故選：D．【變式4-1】（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））若雙曲線x2a2?yA．y=±12x B．y=±3x 【解題思路】根據(jù)雙曲線的離心率可得a,b之間的關(guān)系，從而可得到漸近線方程.【解答過程】雙曲線C:x2a即ca=5則ba=2，故C的漸近線方程為故選：D.【變式4-2】（2022·海南高三階段練習(xí)）若雙曲線x2a2?y2bA．y=±3x B．y=±3x C．y=±1【解題思路】由題可得b=3，a=1【解答過程】雙曲線x2a2?y2b2=1a>0,b>0的焦點(diǎn)c,0到漸近線：從而a=1，故漸近線y=±bax故選：B.【變式4-3】（2022·河南安陽·模擬預(yù)測（文））若直線y=12x?1與雙曲線C:ax2A．14 B．4 C．12【解題思路】利用兩直線垂直時斜率的關(guān)系及其雙曲線的漸近線方程即可求解.【解答過程】由已知得：雙曲線的方程為x21a∵直線y=12x?1與雙曲線的漸近線垂直，∴∴

a=2∴a=4，故選：B.【題型5求雙曲線的離心率的值或取值范圍】【方法點(diǎn)撥】求雙曲線的離心率的方法通常有以下兩種：①定義法：設(shè)法求出a，c的值，由定義確定離心率的大小；②方程法：先由已知條件構(gòu)造關(guān)于離心率的方程，然后解方程確定離心率的大小，注意e>1.【例5】（2022·浙江·高二期中）已知雙曲線x2a2?y2b2=1，過左焦點(diǎn)FA．5?1 B．3 C．2 【解題思路】設(shè)P在漸近線y=?bax上，直線FP的方程為y=ab(x+c)，聯(lián)立求得【解答過程】設(shè)P在漸近線y=?bax上，直線FP由y=?baxy=a由FQ=QP，得Q為FP所以Q?因?yàn)镼在雙曲線上，所以(c2e=c故選：C.【變式5-1】（2022·安徽省高二期末）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(4,2)，則它的離心率為（

）A．6 B．5 C．62 D．【解題思路】由題意設(shè)雙曲線方程為x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，則其漸近線方程為y=±【解答過程】由題意設(shè)雙曲線方程為x2a2因?yàn)殡p曲線的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(4,2)，所以2=4ba，所以所以離心率e=c故選：D.【變式5-2】（2022·內(nèi)蒙古包頭·高三開學(xué)考試（文））雙曲線x2a2?yA．3 B．3 C．5 D．5【解題思路】根據(jù)漸近線方程得ba=22【解答過程】由條件可知ba所以離心率ca故選：A.【變式5-3】（2022·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)F1,F2是橢圓C1:x2a12+yA．1,2 B．1,3 C．3,+【解題思路】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義求出MF1,【解答過程】由題意可得，MF1+解得：MF1=因?yàn)椤螰所以MF即a1亦即1e所以e2故選：A．【題型6雙曲線中的最值問題】【方法點(diǎn)撥】求解此類問題一般有以下兩種思路：(1)幾何法：若題目中的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決，這就是幾何法.解題的關(guān)鍵是能夠準(zhǔn)確分析出最值問題所隱含的幾何意義，并能借助相應(yīng)曲線的定義求解.(2)代數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可建立目標(biāo)函數(shù)，將目標(biāo)變量表示為一個(或多個)變量的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法，應(yīng)用基本不等式以及三角函數(shù)的最值求法求出最大值、最小值或范圍，但要注意自變量的取值范圍對最值的影響.【例6】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C的一條漸近線為直線3x?y=0，C的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,0，右焦點(diǎn)為F.若點(diǎn)M是雙曲線C右支上的動點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為3,5，則MA+MFA．26?1 B．26 C．26+1 【解題思路】根據(jù)雙曲線漸近線和頂點(diǎn)的定義求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而求出右焦點(diǎn)坐標(biāo)，再確定點(diǎn)A在雙曲線的外部，結(jié)合三角形三邊之間的關(guān)系可知當(dāng)A、M、F三點(diǎn)共線時MA+MF取得最小值【解答過程】設(shè)雙曲線方程為x2a2?y雙曲線方程為x2?y23=1，由因此A(3,5)在雙曲線外部（不含焦點(diǎn)的部分），又c=1+3=2，所以在△AMF中，由三邊之間的關(guān)系可知當(dāng)M是線段AF與雙曲線的交點(diǎn)，即A、M、F三點(diǎn)共線時，MA+且最小值為AF=故選：B.【變式6-1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2?y2b2A．1 B．62 C．2 D．【解題思路】利用已知條件求得a、c的值，可得出b的值，求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式并結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得雙曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)A5,【解答過程】由已知可得ca=103，c?a=10?3，可得所以，雙曲線的方程為x2設(shè)Px,y是雙曲線x29?y2=1則AP=所以當(dāng)x=92時，故選：B.【變式6-2】（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)F1(?5,0)，F(xiàn)2(5,0)．設(shè)點(diǎn)P滿足|PF1|?|PF2A．7 B．8 C．9 D．10【解題思路】由題意可知雙曲線的實(shí)軸長為6，焦距為10，從而可得雙曲線的方程為x29?y216=1，再由|MF1|=2可知M在圓F1【解答過程】解：因?yàn)閨PF1|?|PF2|=6<10，所以點(diǎn)P在以由