第二十六章二次函數(shù)（8個(gè)知識(shí)歸納15類題型突破）（原卷版）

第二十六章二次函數(shù)（8個(gè)知識(shí)歸納+15類題型突破）1.掌握二次函數(shù)的概念；2.掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)；3.掌握二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系；4.掌握二次函數(shù)與不等式的關(guān)系；5.掌握二次函數(shù)的應(yīng)用；知識(shí)點(diǎn)一：二次函數(shù)的概念1．知識(shí)回顧：（1）函數(shù)的概念：在某個(gè)變化過程中有兩個(gè)量x和y，如果在x的允許范圍內(nèi)，變量y隨x的變化而變化，它們之間存在確定的依賴關(guān)系，那么變量y叫做變量x的函數(shù)，x叫自變量，y叫做因變量．（2）正比例函數(shù)：一般地，形如的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中叫做比例系數(shù)．（3）一次函數(shù)：形如，其中、為常數(shù)，且．特殊情況：當(dāng)時(shí)，稱為常值函數(shù)；當(dāng)時(shí)，稱為正比例函數(shù)．2．二次函數(shù)的定義：一般地，如果是常數(shù)，，那么叫做的二次函數(shù).它的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)．3．二次函數(shù)應(yīng)注意的問題：（1）a、b、c三個(gè)系數(shù)中，必須保證，否則就不是二次函數(shù)了；而b、c兩數(shù)可以為0，如特殊形式：等．（2）由于二次函數(shù)的解析式是整式的形式，所以自變量的取值范圍是任意實(shí)數(shù)．知識(shí)點(diǎn)二：二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)二次函數(shù)y=ax2的圖象的性質(zhì)：的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減?。粫r(shí)，有最小值0．向下軸時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值0．的性質(zhì)：上加下減的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上軸時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值．向下軸時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．的性質(zhì)：左加右減的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上x=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值．向下x=h時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．的性質(zhì)：左加右減，上加下減的符號(hào)開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)向上x=h時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，隨的增大而減??；時(shí)，有最小值．向下x=h時(shí)，隨的增大而減小；時(shí)，隨的增大而增大；時(shí)，有最大值．一般式：（，，為常數(shù)，）；函數(shù)二次函數(shù)（a、b、c為常數(shù)，a≠0）圖象開口方向向上向下對(duì)稱軸直線直線頂點(diǎn)坐標(biāo)增減性在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。辉趯?duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大．簡(jiǎn)記：左減右增在對(duì)稱軸的左側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱軸的右側(cè)，即當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。?jiǎn)記：左增右減最大(小)值拋物線有最低點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最小值，拋物線有最高點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y有最大值，知識(shí)點(diǎn)三：二次函數(shù)的圖象與a，b，c的關(guān)系學(xué)生對(duì)二次函數(shù)中字母系數(shù)a、b、c及其關(guān)系式的符號(hào)判斷常有些不知所措，這里介紹幾個(gè)口訣來幫助同學(xué)們解惑．1．基礎(chǔ)四看“基礎(chǔ)四看”是指看開口，看對(duì)稱軸，看與y軸的交點(diǎn)位置，看與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．“四看”是對(duì)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的圖象最初步的認(rèn)識(shí)，而且這些判斷都可以通過圖象直接得到，同時(shí)還可以在此基礎(chǔ)上進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的組合應(yīng)用．2．組合二看(1)三全看點(diǎn)在a、b、c間的加減組合式中，最常見的如“a＋b＋c"，“a－b＋c”，“4a＋2b＋c”，“4a－2b＋c”等類型的式子，這類式子a、b、c三個(gè)字母都在，并且c的系數(shù)通常為1，這時(shí)只要取x為b前的系數(shù)代入二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c就可以得到所需的形式，從而由其對(duì)應(yīng)的y的值時(shí)進(jìn)行判斷即可．(2)有缺看軸當(dāng)a、b、c三個(gè)字母只出現(xiàn)兩個(gè)間的組合時(shí)，這時(shí)對(duì)同學(xué)們來講難度是較大的，如何解決呢？其實(shí)我們只要想一想為什么會(huì)少一個(gè)字母，這個(gè)問題就可以較好的解決．少一個(gè)字母的原因就是因?yàn)橛袑?duì)稱軸為我們提供了a、b之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，如果少的是字母c，則直接用對(duì)稱軸提供的信息即可解決；如果少的是字母a或b，則可利用對(duì)稱軸提供的a、b間轉(zhuǎn)換信息，把a(bǔ)（或b）用b（或a）代換即可．3．取值計(jì)算當(dāng)解題感到無從下手時(shí)，可以嘗試取值法，只要根據(jù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)及所給出的數(shù)據(jù)（或范圍），取相應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)的解析式中，求出其字母系數(shù)，即可進(jìn)行相關(guān)判斷．二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是弄清楚圖象的開口方向、對(duì)稱軸的位置、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)及其圖象中特殊點(diǎn)的位置，確定出與0的大小關(guān)系及含有的代數(shù)式的值的大小關(guān)系.(1)決定開口方向:當(dāng)時(shí)拋物線開口向上;當(dāng)時(shí)拋物線開口向下.(2)共同決定拋物線的對(duì)稱軸位置:當(dāng)同號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在軸左側(cè);當(dāng)異號(hào)時(shí)，對(duì)稱軸在軸右側(cè)(可以簡(jiǎn)稱為“左同右異”);當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為軸.(3)決定與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo):當(dāng)時(shí)，圖象與軸交于正半軸;當(dāng)時(shí)，圖象過原點(diǎn);當(dāng)時(shí)，圖象與軸交于負(fù)半軸.(4)的值決定了拋物線與軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù):當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn);當(dāng)時(shí)，拋物線與軸有一個(gè)交點(diǎn);當(dāng)時(shí)，拋物線與軸沒有交點(diǎn).(5)的符號(hào)由時(shí)，的值確定:若，則;若，則.(6)的符號(hào)由時(shí)，的值確定:若，則;若，則.知識(shí)點(diǎn)四：二次函數(shù)圖象的平移由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，拋物線()的圖象是由拋物線()的圖象平移得到的.在平移時(shí)，不變(圖象的形狀、大小不變)，只是頂點(diǎn)坐標(biāo)中的或發(fā)生變化(圖象的位置發(fā)生變化)。平移規(guī)律是“左加右減，上加下減”，左、右沿軸平移，上、下沿軸平移，即.因此，我們?cè)诮鉀Q拋物線平移的有關(guān)問題時(shí)，首先需要化拋物線的解析式為頂點(diǎn)式，找出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)上面的平移規(guī)律，解決與平移有關(guān)的問題，注意：(1)a的絕對(duì)值越大，拋物線的開口越小.(2)理解并掌握平移的過程，由，的圖象與性質(zhì)及上下平移與左右平移的規(guī)律：將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)；保持拋物線的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到處，具體平移方法如下：平移規(guī)律：概括成八個(gè)字“左加右減，上加下減”．知識(shí)點(diǎn)五：二次函數(shù)與一元二次方程1.當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根。2.當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根。3.當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)時(shí)，，方程沒有實(shí)根。二次函數(shù)的圖象與軸的位置關(guān)系有三種情況:①?zèng)]有公共點(diǎn);②有一個(gè)公共點(diǎn);③有兩個(gè)公共點(diǎn)，這對(duì)應(yīng)著一元二次方程的根的三種情況:①有實(shí)數(shù)根，此時(shí)△＜0;②有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)△=0;③有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，此時(shí)△＞0.(2)解決函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題，一般方法是函數(shù)解析式中所含字母的項(xiàng)的和為0時(shí)，則函數(shù)值不受字母的影響，據(jù)此可求圖象經(jīng)過的定點(diǎn)坐標(biāo).(3)拋物線中三角形面積的最值問題，一般先設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用其表示相關(guān)線段的長(zhǎng)度，再利用三角形的面積公式構(gòu)造新的函數(shù)關(guān)系式來確定最值.在將點(diǎn)的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為線段的長(zhǎng)度時(shí)，要注意符號(hào)的轉(zhuǎn)換.知識(shí)點(diǎn)六：二次函數(shù)與不等式判別式拋物線與x軸的交點(diǎn)不等式的解集不等式的解集△＞0或△＝0（或）無解△＜0全體實(shí)數(shù)無解知識(shí)點(diǎn)七：待定系數(shù)求解析式用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，要根據(jù)具體已知條件靈活選擇解析式的三種表達(dá)形式:(1)已知三點(diǎn)坐標(biāo)，常設(shè)拋物線的解析式為一般式;(2)已知頂點(diǎn)(或最值)，常設(shè)拋物線的解析式為頂點(diǎn)式;(3)已知拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，常設(shè)拋物線的解析式為交點(diǎn)式.二次函數(shù)解析式的形式一般式：頂點(diǎn)式：交點(diǎn)式頂點(diǎn)在原點(diǎn)：過原點(diǎn)：頂點(diǎn)在y軸：求二次函數(shù)（a≠0）的最值的方法配方法：任意一個(gè)二次函數(shù)的一般式都可以配方成的形式若a＞0，當(dāng)x=h時(shí)，函數(shù)有最小值，且②若a＜0，當(dāng)x=h時(shí)，函數(shù)有最大值，且公式法：因?yàn)閽佄锞€的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（），則若a＞0，當(dāng)x=時(shí)，函數(shù)有最小值，且若a＜0，當(dāng)x=h時(shí)，函數(shù)有最大值，且知識(shí)點(diǎn)八：二次函數(shù)的應(yīng)用1.審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個(gè)，已知量與變量之間的基本關(guān)系是什么，找出等量關(guān)系(即函數(shù)關(guān)系)。2.設(shè)出兩個(gè)變量，注意分清自變量和因變量，同時(shí)還要注意所設(shè)變量的單位要準(zhǔn)確。3.列函數(shù)表達(dá)式，抓住題中含有等量關(guān)系的語(yǔ)句，將此語(yǔ)句抽象為含變量的等式，這就是二次函數(shù)。4.按題目要求，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應(yīng)的問題。5.檢驗(yàn)所得解是否符合實(shí)際：即是否為所提問題的答案。6.寫出答案。題型一二次函數(shù)的概念、關(guān)系式與識(shí)別1．（23·24上·南通·階段練習(xí)）下列函數(shù)中，一定為二次函數(shù)的是（

）A． B． C． D．2．（23·24上·營(yíng)口·階段練習(xí)）下列關(guān)于函數(shù)中，一定是二次函數(shù)的有（

）①②③④⑤A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)3．（23·24上·溫州·階段練習(xí)）已知某種產(chǎn)品的成本價(jià)為30元/千克，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量y（千克）與銷售價(jià)x（元/千克）有如下關(guān)系：．設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤(rùn)為w（元），則w與x之間的函數(shù)表達(dá)式為（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練：1．（23·24上·合肥·階段練習(xí)）據(jù)省統(tǒng)計(jì)局公布的數(shù)據(jù)，合肥市2023年第一季度總值約為千億元人民幣，若我市第三季度總值為y千億元人民幣，平均每個(gè)季度GDP增長(zhǎng)的百分率為x，則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是（

）A． B．C． D．2．（22·23上·嘉興·期中）有下列函數(shù)：①y=5x4；②；③；④；⑤；其中屬于二次函數(shù)的是（填序號(hào)）．3．（23·24上·渭南·階段練習(xí)）關(guān)于的函數(shù)，甲說：此函數(shù)不一定是二次函數(shù)；乙說：此函數(shù)一定是二次函數(shù)；丙說：此函數(shù)是不是二次函數(shù)與的取值有關(guān)．你認(rèn)為誰的說法正確？為什么？題型二根據(jù)二次函數(shù)的定義求參數(shù)1．（23·24上·安陽(yáng)·階段練習(xí)）若函數(shù)是二次函數(shù)，則滿足的條件為（

）．A．為常數(shù)，且 B．為常數(shù)，且C． D．可以為任意實(shí)數(shù)2．（23·24上·廊坊·階段練習(xí)）如果函數(shù)是二次函數(shù)，則m的值是(

)A． B． C．2 D．13．（22·23上·滁州·階段練習(xí)）函數(shù)是關(guān)于的二次函數(shù)，則的值為(

)A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練1．（23·24上·荊州·階段練習(xí)）若是關(guān)于x的二次函數(shù)，則a的值是（

）A．2 B． C． D．2．（23·24上·蘇州·階段練習(xí)）已知拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為，則代數(shù)式的值為．3．（23·24上·襄陽(yáng)·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若是一次函數(shù)，求的值；(2)若是二次函數(shù)，求的值滿足什么條件．題型三特殊二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．（22·23上·定西·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)有最大值，則a的值為（）A． B． C． D．02．（22·23上·武漢·階段練習(xí)）已知：是二次函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，y隨x的增大而減小，則m的值為（）A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．﹣1或23．（20·21上·黔西·期中）已知二次函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．圖象開口向上 B．圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C．圖象的對(duì)稱軸是直線 D．有最大值，為－3鞏固訓(xùn)練1．（22·23上·唐山·階段練習(xí)）若是二次函數(shù)，最大值為0，則m的值為（

）A． B． C． D．2．（21·22上·青島·階段練習(xí)）若是二次函數(shù)，且圖象的開口向下，則m的值為．3．（22·23上·周口·階段練習(xí)）已知函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)，求：(1)滿足條件m的值．(2)m為何值時(shí)，拋物線有最低點(diǎn)？求出這個(gè)最低點(diǎn)的坐標(biāo)，這時(shí)x為何值時(shí)y隨x的增大而增大？(3)m為何值時(shí)，拋物線有最大值？最大值是多少？這時(shí)x為何值時(shí)，y隨x的增大而減?。}型四y=ax2+bx+c的圖象與性質(zhì)1．（23·24上·福州·期中）已知拋物線，則下列描述不正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大 B．當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大C．當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大 D．當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大2．（21·22上·武漢·期末）已知二次函數(shù)(a為常數(shù)，且)的圖象上有三點(diǎn)則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．3．（23·24上·邢臺(tái)·期中）二次函數(shù)的圖象如圖所示，下列判斷正確的是（

）A． B．C．當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小 D．鞏固訓(xùn)練1．（23·24上·合肥·期中）已知二次函數(shù)（其中x是自變量），當(dāng)時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y均為正數(shù)，則a的取值范圍為（

）A． B．或 C．或 D．或2．（23·24上·新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖像與軸分別交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，若點(diǎn)是軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．3．（23·24上·密云·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)和在二次函數(shù)的圖象上，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為．(1)當(dāng)時(shí)，求b的值；(2)若，求t的取值范圍．題型五二次函數(shù)圖象與各項(xiàng)系數(shù)符號(hào)1．（23·24上·汕頭·期中）二次函數(shù)圖象如圖，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確的是（

）A．②③④⑤ B．①②④ C．②③⑤ D．①②③④⑤2．（23·24上·江北·期中）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是，對(duì)稱軸為直線，下列結(jié)論：①；②；③；④當(dāng)時(shí)，；⑤．其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（23·24上·徐州·期中）拋物線的對(duì)稱軸為直線，與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，其部分圖象如圖所示，下列結(jié)論∶①；②；③方程的兩個(gè)根是；④當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減?。渲姓_結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4鞏固訓(xùn)練1．（21·22下·恩施·模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線的圖象與軸交于點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)在和之間（包含端點(diǎn)），頂點(diǎn)坐標(biāo)為．以下判斷：①當(dāng)時(shí)，；②；③；④．其中正確的個(gè)數(shù)有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)2．（23·24上·珠海·期中）如圖，二次函數(shù)的圖像的對(duì)稱軸是直線，有以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論是（填序號(hào)）3．（22·23上·蚌埠·階段練習(xí)）已知拋物線的圖象如圖所示．(1)判斷、、及的符號(hào)；(2)求的值；(3)給出下列結(jié)論：①；②；③，其中正確的有．（填序號(hào)）題型六一次函數(shù)、反比例函數(shù)與二次函數(shù)圖象綜合判斷1．（22·23上·六安·期中）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)和反比例函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

2．（22·23上·連云港·階段練習(xí)）函數(shù)與在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

3．（23·24上·濟(jì)寧·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，（如圖所示），則能使成立的x的取值范圍是（

）A． B．或 C．或 D．鞏固訓(xùn)練1．（22·23下·德州·期末）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)和反比例函數(shù)在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

2．（23·24上·合肥·階段練習(xí)）如圖，拋物線與直線交于，兩點(diǎn)，則不等式的解集是．3．（23·24上·廣州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，圖象與x軸交點(diǎn)為點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），完成以下的探究(1)畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象；x……y……(2)若點(diǎn)C為函數(shù)圖象上一點(diǎn)，且的面積為6，結(jié)合函數(shù)圖象，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(3)當(dāng)平面內(nèi)的直線與這個(gè)函數(shù)圖象有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，則．題型七二次函數(shù)的對(duì)稱性1．（23·24上·東莞·期中）二次函數(shù)的圖像過點(diǎn)，方程的解為（）A． B．C． D．2．（23·24上·武漢·期中）已知拋物線（為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)、、，當(dāng)時(shí)，則的取值范圍為（）A． B．C． D．3．（23·24上·南通·階段練習(xí)）若二次函數(shù)的x與y的部分對(duì)應(yīng)值如下表，則當(dāng)時(shí)，y的值為（

）xy353A．5 B． C． D．鞏固訓(xùn)練1．（23·24上·溫州·階段練習(xí)）坐標(biāo)平面上有兩個(gè)二次函數(shù)的圖形，其頂點(diǎn)、皆在軸上，且有一水平線與兩圖形相交于、、、四點(diǎn)，各點(diǎn)位置如圖所示，若，，，則的長(zhǎng)度為（

）A．7 B．8 C．9 D．102．（23·24上·海口·階段練習(xí)）如圖，二次函數(shù)與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，在拋物線的對(duì)稱軸上有一動(dòng)點(diǎn)，連接和，則的最小值是．3．（23·24上·龍巖·階段練習(xí)）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，我們就把直線稱為這條拋物線的極限分割線．(1)拋物線的極限分割線與這條拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為___________．(2)經(jīng)過點(diǎn)和的拋物線與y軸交于點(diǎn)C，它的極限分割線與該拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D，請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)D的坐標(biāo)．題型八待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式1．（23·24上·昆明·階段練習(xí)）若拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是且經(jīng)過點(diǎn)，則該拋物線的解析式為（

）A． B． C． D．2．（23·24上·邯鄲·期中）已知頂點(diǎn)為的拋物線過點(diǎn)，此拋物線的表達(dá)式是（

）A． B．C． D．3．（21·22上·武漢·期中）將二次函數(shù)的圖象繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到的圖象的解析式為(

)A． B．C． D．鞏固訓(xùn)練1．（23·24上·珠海·期中）若二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，且拋物線過，則二次函數(shù)的解析式是（

）A． B． C． D．2．（23·24上·蘇州·階段練習(xí)）二次函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖象的解析式是．3．（23·24上·張家口·期中）如圖二次函數(shù)的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的坐標(biāo)為，與y軸交于點(diǎn)．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，點(diǎn)B的坐標(biāo)是．(2)在x軸是否存在一點(diǎn)，使是等腰三角形？若存在，求出滿足條件的點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；題型九二次函數(shù)的平移問題1．（23·24上·慶陽(yáng)·期中）將拋物線經(jīng)過平移得到拋物線，平移過程正確的是(

)A．向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度C．向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度2．（23·24上·福州·期中）將拋物線向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移6個(gè)單位長(zhǎng)度所得到的拋物線的解析式是（

）A． B．C． D．3．（23·24上·濟(jì)寧·階段練習(xí)）將拋物線先向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，得到拋物線的函數(shù)關(guān)系表達(dá)式是（）A． B．C． D．鞏固訓(xùn)練1．（23·24上·安陽(yáng)·階段練習(xí)）二次函數(shù)的圖象先向右平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位，所得圖象的解析式為，則，的值為（

）．A． B． C． D．2．（23·24上·周口·階段練習(xí)）如圖，已知拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，現(xiàn)將拋物線向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線，則陰影部分的面積是．3．（23·24上·普陀·期中）已知拋物線與x軸交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)記作點(diǎn)P．(1)求此拋物線的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)．(2)將拋物線向左平移m（）個(gè)單位，使其頂點(diǎn)落在直線上，求平移后新拋物線的表達(dá)式．題型十y=ax2+bx+c的最值1．（23·24上·石景山·期中）求二次函數(shù)的最小值（

）A．0 B． C． D．2．（23·24上·廣安·階段練習(xí)）二次函數(shù)在范圍內(nèi)的最大值為（

）A．25 B．30 C．36 D．403．（23·24上·邢臺(tái)·期中）已知關(guān)于的二次函數(shù)，在的取值范圍內(nèi)，若，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)有最大值 B．函數(shù)有最大值5C．函數(shù)沒有最小值 D．函數(shù)沒有最大值鞏固訓(xùn)練1．（23·24上·溫州·階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象（）如圖，關(guān)于該函數(shù)在所給自變量的取值范圍內(nèi)，下列說法正確的是（

）A．有最小值，無最大值 B．有最小值，有最大值C．有最小值，有最大值 D．有最小值，有最大值2．（23·24上·蘇州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是．3．（22·23下·西安·期末）如圖，拋物線經(jīng)過、兩點(diǎn)，點(diǎn)E是線段上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)求線段的最大值．題型十一二次函數(shù)與一元二次方程1．（23·24上·南通·期中）已知二次函數(shù)的變量x，y的部分對(duì)應(yīng)值如下表：x…01…y…12…根據(jù)表中信息，可得一元二次方程的一個(gè)近似解的范圍是（

）A． B． C． D．2．（23·24上·津南·期中）已知二次函數(shù)（為常數(shù)）的圖像與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，則關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是（

）A．， B．，C．， D．，3．（2022下·江蘇·專題練習(xí)）拋物線過點(diǎn)，則一元二次方程的解是（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練1．（23·24上·淮北·階段練習(xí)）已知拋物線（）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則關(guān)于x的一元二次方程的根的情況是（

）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．沒有實(shí)數(shù)根 D．無法確定2．（23·24上·南通·階段練習(xí)）二次函數(shù)的圖象如圖所示，若關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根異號(hào)，則m的取值范圍是．3．（23·24上·廣州·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：無論m取任何實(shí)數(shù)，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)設(shè)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，若，求出y與m的函數(shù)關(guān)系式；(3)在（2）的條件下，若時(shí)，求y的取值范圍．題型十二二次函數(shù)與不等式1．（23·24上·延慶·期中）二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象如圖所示，則滿足的的取值范圍是（）A．或 B．或C． D．2．（22·23上·金昌·期中）如圖所示：已知二次函數(shù)與一次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)和，則不等式的取值范圍是（

）A． B． C．或 D．3．（23·24上·臨沂·階段練習(xí)）如圖，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象相交于兩點(diǎn)、，請(qǐng)你根據(jù)圖象寫出使成立的的取值范圍是（

）A． B．C． D．或鞏固訓(xùn)練1．（22·23下·福州·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)，經(jīng)過點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，x的取值范圍為或．則如下四個(gè)值中有可能為m的是(

)A． B．0 C．2 D．42（22·23下·六安·二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線：．（1）該拋物線的對(duì)稱軸是；（2）若，，為拋物線上三點(diǎn)，且總有，結(jié)合圖象，則m的取值范圍是；3．（23·24上·杭州·階段練習(xí)）已知函數(shù)，（為常數(shù)且）(1)若函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，兩個(gè)點(diǎn)中的其中一個(gè)點(diǎn)，求該函數(shù)的表達(dá)式．(2)若函數(shù)的圖象始終經(jīng)過同一定點(diǎn)M．①求點(diǎn)M的坐標(biāo)和k的值．②若，當(dāng)時(shí)，判斷與的大小并說明理由．題型十三二次函數(shù)的應(yīng)用問題11．（23·24上·廣安·階段練習(xí)）2022年北京某零售店“冰墩墩”的銷售日益火爆，每個(gè)紀(jì)念品進(jìn)價(jià)40元．銷售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價(jià)定為44元時(shí)，每天可售出300個(gè)，銷售單價(jià)每降價(jià)1元，每天銷量增加20個(gè)．現(xiàn)商家決定降價(jià)銷售，每個(gè)降價(jià)x元（）．設(shè)每天銷售量為y個(gè)，每天銷售紀(jì)念品獲得的利潤(rùn)w元，則下列等式正確的是（

）A． B．C． D．2．（23·24上·亳州·階段練習(xí)）某商店經(jīng)營(yíng)襯衫，已知所獲利潤(rùn)(元)與銷售的單價(jià)(元)之間滿足表達(dá)式，則所獲利潤(rùn)最多為（

）A．元 B．元 C．元 D．元3．（22·23下·安慶·期末）2022年新冠病毒變異株奧密克戎來勢(shì)洶洶，為了更好地讓顧客做好防護(hù)，某商場(chǎng)銷售一款升級(jí)版的KN95口罩，市場(chǎng)信息顯示，銷售這種口罩，每天所獲的利潤(rùn)y（元）與售價(jià)x（元/個(gè)）之間關(guān)系式滿足，第一天將售價(jià)定為16元/個(gè)，當(dāng)天獲利132元，第二天將售價(jià)定為20元/個(gè)，當(dāng)天獲利180元．則這種口罩的成本價(jià)是多少元/個(gè)？（單位利潤(rùn)=售價(jià)?成本價(jià)）（

）A．10 B．12 C．14 D．15鞏固訓(xùn)練1．（23·24上·河?xùn)|·期中）某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價(jià)1元，商場(chǎng)平均每天可多售出2件．有下列結(jié)論：①降價(jià)8元時(shí)，數(shù)量為36件．②若商場(chǎng)平均每天要盈利1200元，每件襯衫應(yīng)降價(jià)10元．③商場(chǎng)平均每天盈利最多為1250元．正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．32．（22·23上·全國(guó)·單元測(cè)試）某超市銷售一款洗手液，其成本價(jià)為每瓶元，當(dāng)銷售單價(jià)定為元時(shí)，每天可售出80瓶．根據(jù)市場(chǎng)行情，現(xiàn)決定降價(jià)銷售．市場(chǎng)調(diào)查反映：銷售單價(jià)每降低元，則每天可多售出20瓶（銷售單價(jià)不低于成本價(jià)），若設(shè)這款的銷售單價(jià)為x（元），每天的銷售量為（瓶）．（1）每天的銷售量y（瓶）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）銷售這款“洗手液”每天的最大利潤(rùn)為．3．（23·24上·溫州·階段練習(xí)）第十九屆亞運(yùn)會(huì)在杭州隆重舉辦，政府鼓勵(lì)全民加強(qiáng)體育鍛煉，李明在政府的扶持下投資銷售一種進(jìn)價(jià)為每件50元的乒乓球拍．銷售過程中發(fā)現(xiàn)，每月銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的關(guān)系可近似的看作一次函數(shù)：．(1)設(shè)月利潤(rùn)為W（元），求W關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．(2)銷售單價(jià)定為每件多少元時(shí)，所得月利潤(rùn)最大？最大月利潤(rùn)為多少元？(3)若物價(jià)部門規(guī)定這種乒乓球拍的銷售單價(jià)不得超過75元，李明想使獲得的月利潤(rùn)不低于3000元，求銷售單價(jià)x的取值范圍．題型十四二次函數(shù)的應(yīng)用問題21．（22·23下·南通·一模）如圖1，在矩形中，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，沿方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)E作，交于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路程為x，，如圖2所表示的是y與x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象，當(dāng)點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的最大長(zhǎng)度是，則矩形的面積是（

）A．20 B．16 C． D．2．（22·23下·深圳·模擬預(yù)測(cè)）某池塘的截面如圖所示，池底呈拋物線形，在圖中建立平面直角坐標(biāo)系，并標(biāo)出相關(guān)數(shù)據(jù)（單位：）．有下列結(jié)論：①；②池底所在拋物線的解析式為；③池塘最深處到水面的距離為；④若池塘中水面的寬度減少為原來的一半，則最深處到水面的距離減少為原來的．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)3．（23·24上·全國(guó)·專題練習(xí)）某市公園欲修建一個(gè)圓型噴泉池，在水池中垂直于地面安裝一個(gè)柱子，安置在柱子頂端處的噴頭向外噴水，水流在各個(gè)方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，在過的任一平面上，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖所示），水平距離與水流噴出的高度之間的關(guān)系式為，則水流噴出的最大高度是（

）A． B．