5.3用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的表達式（七大題型）

（蘇科版）九年級下冊數(shù)學《第5章二次函數(shù)》5.3用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的表達式知識點一知識點一用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式◆1、二次函數(shù)的解析式有三種常見形式：①已知三點求二次函數(shù)解析式的方法叫做一般式法.一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；②知道拋物線的頂點坐標，求解析式的方法叫做頂點式法.頂點式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點坐標；③已知道拋物線與x軸的交點，求解析式的方法叫做交點式法.交點式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0，其中x1，x2還圖象與x軸的兩個交點的橫坐標）；◆2、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．①當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；②當已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；③當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．題型一利用一般式求二次函數(shù)的解析式題型一利用一般式求二次函數(shù)的解析式【例題1】已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（﹣2，﹣5），（0，3），（2，3）三點．求這個二次函數(shù)的表達式；【分析】設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c，把（﹣2，﹣5），（0，3），（2，3）三點分別代入求出a，b，c即可．【解答】解：設(shè)拋物線的解析式為y＝ax2+bx+c，（﹣2，﹣5），（0，3），（2，3）分別代入得4a?2b+c=?5c=3解得：a=?1b=2∴y＝﹣x2+2x+3．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉利用一般式求二次函數(shù)的解析式的一般步驟：①設(shè)函數(shù)解析式為y＝ax2+bx+c；②代入三個點的坐標得到三元一次方程組；③解方程組得到a，b，c的值；④把待定系數(shù)用求得的值換掉，寫出函數(shù)解析式.【變式11】（2022秋?永善縣期中）如圖，函數(shù)的解析式為（）A．y＝x2?34 B．y＝4﹣x2 C．y=?34x2+3 D．y=【分析】把（﹣2，0），（2，0）和（0，3）代入y＝ax2+bx+c，解方程組即可．【解答】解：設(shè)拋物線解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），∵圖象過點（﹣2，0），（2，0）和（0，3），∴4a?2b+c=04a+2b+c=0解得a=?3∴拋物線解析式為y=?34x故選：C．【點評】本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，關(guān)鍵是對待定系數(shù)法求解析式的方法的掌握和運用．【變式12】（2022?蕭山區(qū)模擬）已知二次函數(shù)y與自變量x的部分對應(yīng)值如表：x…﹣3﹣201348…y…70﹣8﹣9﹣5040…則二次函數(shù)的解析式為．【分析】從表格中選三組數(shù)代入y＝ax2+bx+c，求出a、b、c即可．【解答】解：設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝ax2+bx+c，將（﹣2，0）、（0，﹣8）、（4，0）代入得：0=4a?2b+c?8=c0=16a+4b+c，解得∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣2x﹣8；故答案為：y＝x2﹣2x﹣8．【點評】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是選三組數(shù)代入解方程組．【變式13】（2022秋?淮陰區(qū)期末）已知二次函數(shù)y＝ax2+c的圖象經(jīng)過點（2，3）和（﹣1，﹣3），求這個二次函數(shù)的表達式．【分析】用待定系數(shù)法可得答案．【解答】解：把（2，3）和（﹣1，﹣3）代入y＝ax2+c得：4a+c=3a+c=?3解得a=2c=?5∴這個二次函數(shù)的表達式為y＝2x2﹣5．【點評】本題考查二次函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法，會解二元一次方程組．【變式14】（2022秋?前郭縣期中）在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx﹣5的圖象恰好經(jīng)過A（2，﹣9），B（4，﹣5）兩點，求該拋物線的解析式．【分析】把A（2，﹣9），B（4，﹣5）代入y＝ax2+bx﹣5，解方程組可得a，b的值，從而求得答案．【解答】解：把A（2，﹣9），B（4，﹣5）代入y＝ax2+bx﹣5得：4a+2b?5=?916a+4b?5=?5解得a=1b=?4∴拋物線解析式為y＝x2﹣4x﹣5．【點評】本題考查求二次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法．【變式15】（2022秋?福州期末）已知拋物線y＝ax2﹣bx+3經(jīng)過點A（1，2），B（3，3）．（1）求此拋物線的函數(shù)解析式．（2）判斷點C（﹣2，﹣1）是否在此拋物線上．【分析】（1）將點A（1，2），B（3，3）代入y＝ax2﹣bx+3待定系數(shù)法求解析式，即可求解；（2）將x＝﹣2代入（1）的解析式即可求解．【解答】解：（1）將點A（1，2），B（3，3）代入y＝ax2﹣bx+3得a﹣b+3＝2，9a﹣3b+3＝3，解得a=∴拋物線的函數(shù)解析式為y=1（2）當x＝﹣2時，y＝2+3+3＝8≠﹣1，∴點C（﹣2，﹣1）不在此拋物線上．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，求得二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．【變式16】（2023?瀘縣校級模擬）已知一個拋物線經(jīng)過點（3，0），（﹣1，0）和（2，﹣6）．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）求這個二次函數(shù)圖象的頂點坐標和對稱軸．【分析】（1）用待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)頂點坐標公式求解即可．【解答】解：（1）設(shè)y＝a（x﹣3）（x+1），將（2，﹣6）代入，則a＝2，∴y＝2（x﹣3）（x+1）＝2x2﹣4x﹣6，（2）∵x=?b2a=1∴頂點坐標為（1，﹣8）；對稱軸為直線x＝1．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，以及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對于二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c為常數(shù)，a≠0），其對稱軸是直線x=?b2a，其頂點坐標是【變式17】（2023秋?鶴山市期中）如圖，已知二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象過點A（3，0），C（﹣1，0）．（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）如圖，二次函數(shù)的圖象與y軸交于點B，二次函數(shù)圖象的對稱軸與直線AB交于點P，求AB所在直線的表達式和點P的坐標．【分析】（1）把點A（3，0）、C（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，解方程即可得到結(jié)論；（2）在y＝﹣x2+2x+3中，當x＝0時，y＝3，得到B（0，3），設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，求得直線AB的解析式為y＝﹣x+3，于是得到結(jié)論．【解答】解：（1）把點A（3，0）、C（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c中，得?1?b+c=0?9+3b+c=0，解得b=2∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3；（2）在y＝﹣x2+2x+3中，當x＝0時，y＝3，∴B（0，3），設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，∴b=33k+b=0∴k=?1b=3∴直線AB的解析式為y＝﹣x+3，當x＝1時，y＝2，∴P（1，2）．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型二利用頂點式求二次函數(shù)的解析式題型二利用頂點式求二次函數(shù)的解析式【例題2】（2022秋?大理市校級期中）若拋物線y＝ax2+bx+c的頂點是A（2，1），且經(jīng)過點B（1，0），則拋物線的函數(shù)關(guān)系式為（）A．y＝x2+4x﹣3 B．y＝﹣x2+4x﹣3 C．y＝﹣x2﹣4x﹣3 D．y＝﹣x2+4x+3【分析】設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣2）2+1，將點B（1，0）代入解析式即可求出a的值，從而得到二次函數(shù)解析式．【解答】解：設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣2）2+1，將B（1，0）代入y＝a（x﹣2）2+1得，a＝﹣1，函數(shù)解析式為y＝﹣（x﹣2）2+1，展開得y＝﹣x2+4x﹣3．故選：B．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，知道二次函數(shù)的頂點式是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉利用頂點式求二次函數(shù)的解析式的一般步驟：①設(shè)函數(shù)解析式是y=a(xh)2+k；②先代入頂點坐標，得到只含參數(shù)a的解析式；③將另一點的坐標代入上步中的解析式，求出a值；④將a用求得的值換掉，寫出函數(shù)解析式.【變式21】（2022秋?夏津縣期中）一個二次函數(shù)的圖象的頂點坐標是（2，4），且過另一點（0，﹣4），則這個二次函數(shù)的解析式為（）A．y＝﹣2（x+2）2+4 B．y＝﹣2（x﹣2）2+4 C．y＝2（x+2）2﹣4 D．y＝2（x﹣2）2﹣4【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點式求解析式．【解答】解：∵二次函數(shù)的圖象的頂點坐標是（2，4），∴設(shè)這個二次函數(shù)的解析式為y＝a（x﹣2）2+4，把（0，﹣4）代入得a＝﹣2，∴這個二次函數(shù)的解析式為y＝﹣2（x﹣2）2+4．故選：B．【點評】主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．當知道二次函數(shù)的頂點坐標時通常使用二次函數(shù)的頂點式來求解析式．頂點式：y＝a（x﹣h）2+k或y＝a（x+m）2+k．【變式22】（2022秋?牡丹區(qū)校級期末）一拋物線的形狀、開口方向與拋物線y=1A．y=12(x?2)C．y=12(x+2【分析】首先確定a的值，再利用頂點式即可解決問題．【解答】解：∵拋物線的形狀、開口方向與拋物線y=1∴a=1∵頂點為（﹣2，1），∴拋物線解析式為y=12（x+2）故選：C．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，在解答時運用拋物線的性質(zhì)求出a值是關(guān)鍵．【變式23】（2022秋?石門縣期末）拋物線的對稱軸為直線x＝3，y的最大值為﹣5，且與y=12xA．y=?12（x+3）2+5 B．y=?12（xC．y=12（x+3）2+5 D．y=12（【分析】由于已知拋物線的頂點坐標，則可設(shè)頂點式y(tǒng)＝a（x﹣3）2﹣5，再利用所求拋物線與y=12x2的圖象開口大小相同可確定【解答】解：設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣3）2﹣5，因為所求拋物線與y=12x而y的最大值為﹣5，所以a=?1所以這條拋物線解析式為y=?12（x﹣3）故選：B．【點評】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．【變式24】（2022秋?濱江區(qū)期末）已知一個二次函數(shù)圖象的形狀與拋物線y＝2x2相同，它的頂點坐標為（1，﹣3），則該二次函數(shù)的表達式為．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點坐標為（1，﹣3），可得可設(shè)這個二次函數(shù)的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣3，再根據(jù)圖象的形狀和與拋物線y＝2x2相同，可得a＝±2，即可求解．【解答】解：∵二次函數(shù)的頂點坐標為（1，﹣3），∴可設(shè)這個二次函數(shù)的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣3，∵二次函數(shù)圖象的形狀與拋物線y＝2x2相同，，∴|a|＝2，∴a＝±2，∴這個二次函數(shù)的解析式為y＝2（x﹣1）2﹣3或y＝﹣2（x﹣1）2﹣3．故答案為：y＝2（x﹣1）2﹣3或y＝﹣2（x﹣1）2﹣3．【點評】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，牢記形狀相同的二次函數(shù)二次項系數(shù)的絕對值相等是解題的關(guān)鍵．【變式25】若函數(shù)y＝a（x﹣h）2+k的圖象經(jīng)過原點，最大值為8，且形狀與拋物線y＝2x2﹣2x+3相同，則此函數(shù)關(guān)系式．【分析】函數(shù)圖象經(jīng)過原點，可得等式ah2+k＝0；已知最大值8，可得k＝8；根據(jù)拋物線形狀相同可知a＝﹣2，從而可求h．【解答】解：∵函數(shù)y＝a（x﹣h）2+k的圖象經(jīng)過原點，把（0，0）代入解析式，得：ah2+k＝0，∵最大值為8，即函數(shù)的開口向下，a＜0，頂點的縱坐標k＝8，又∵形狀與拋物線y＝2x2﹣2x+3相同，∴二次項系數(shù)a＝﹣2，把a＝﹣2，k＝8代入ah2+k＝0中，得h＝±2，∴函數(shù)解析式是：y＝﹣2（x﹣2）2+8或y＝﹣2（x+2）2+8，故答案為：y＝﹣2（x﹣2）2+8或y＝﹣2（x+2）2+8．【點評】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及待定系數(shù)法求解析式．【變式26】（2023?廬江縣模擬）已知某二次函數(shù)的圖象的頂點為（﹣2，2），且過點（﹣1，3）．（1）求此二次函數(shù)的關(guān)系式．（2）判斷點P（1，9）是否在這個二次函數(shù)的圖象上，并說明理由．【分析】（1）利用頂點式求解二次函數(shù)解析式即可．（2）把x＝1代入函數(shù)的解析式求得函數(shù)值即可判斷．【解答】解：（1）由頂點（﹣2，2），可設(shè)拋物線為：y＝a（x+2）2+2，將點（﹣1，3）代入上式可得：（﹣1+2）2a+2＝3，解得a＝1，所以二次函數(shù)的關(guān)系式y(tǒng)＝（x+2）2+2＝x2+4x+6．（2）點P（1，9）不在這個二次函數(shù)的圖象上，理由如下：把x＝1代入y＝x2+4x+6得，y＝1+4+6＝11，∴點P（1，9）不在這個二次函數(shù)的圖象上．【點評】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．【變式27】1．（1）求該二次函數(shù)的表達式．（2）試判斷點P（1，7）是否在此函數(shù)的圖象上．【分析】（1）用待定系數(shù)法即可解決問題．（2）將點P的坐標代入驗證即可．【解答】解：（1）因為當x＝﹣2時，y有最小值﹣1，所以二次函數(shù)的頂點坐標為（﹣2，﹣1）．則設(shè)二次函數(shù)表達式為y＝a（x+2）2﹣1，將點（0，3）代入得，a（0+2）2﹣1＝3，解得a＝1，所以二次函數(shù)的表達式為：y＝（x+2）2﹣1．（2）將x＝1代入函數(shù)表達式得，y＝（1+2）2﹣1＝8≠7，所以點P不在此函數(shù)的圖象上．【點評】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，能根據(jù)題中所給條件得出拋物線的頂點坐標，進而設(shè)二次函數(shù)解析式為頂點式是解題的關(guān)鍵．【變式28】（2023秋?東城區(qū)校級月考）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c經(jīng)過點（0，﹣3），且當x＝﹣2時，y取得最大值為1．（1）直接寫出該二次函數(shù)圖象的頂點坐標為；（2）求該二次函數(shù)的表達式；（3）在坐標系中畫出該二次函數(shù)的圖象．【分析】（1）利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得出得出頂點坐標；（2）利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的表達式；（3）列表、描點、連線畫出函數(shù)的圖象即可．【解答】解：（1）∵當x＝﹣2時，y取得最大值為1．∴二次函數(shù)圖象的頂點坐標是（﹣2，1）．故答案為：（﹣2，1）；（2）設(shè)二次函數(shù)為y＝a（x+2）2+1，將點（0，﹣3）代入得：﹣3＝4a+1，解得a＝﹣1，∴二次函數(shù)的表達式為y＝﹣（x+2）2+1．（3）列表：x﹣4﹣3﹣2﹣10…y﹣3010﹣3…描點、連線畫出函數(shù)y＝﹣（x+2）2+1的圖象如圖：．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的圖象、二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解題的關(guān)鍵是：（1）利用二次函數(shù)的性質(zhì)找出二次函數(shù)圖象的頂點坐標；（2）根據(jù)點的坐標，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式；（3）利用五點法畫出二次函數(shù)圖象．題型三利用交點式求二次函數(shù)的解析式題型三利用交點式求二次函數(shù)的解析式【例題3】已知拋物線y＝ax2+bx+c過（1，0），（2，0），（3，4）三點，則該拋物線的解析式為（）A．y＝x2﹣3x+2 B．y＝2x2﹣6x+4 C．y＝2x2+6x﹣4 D．y＝x2﹣3x﹣2【分析】根據(jù)題意設(shè)拋物線交點式，待定系數(shù)法求解可得．【解答】解：根據(jù)題意設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣1）（x﹣2），將點（3，4）代入，得：4＝2a，解得：a＝2，∴y＝2（x﹣1）（x﹣2）＝2x2﹣6x+4，故選：B．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉利用交點式求二次函數(shù)的解析式的一般步驟：①設(shè)函數(shù)解析式是y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）；②先把兩交點的橫坐標x1,x2代入解析式中，得到只含參數(shù)a的解析式；③將另一點的坐標代入上步中的解析式，求出a值；④將a用求得的值換掉，寫出函數(shù)解析式.【變式31】（2022秋?高新區(qū)校級月考）已知拋物線經(jīng)過點（0，﹣2），（3，0），（﹣1，0），求拋物線的解析式．【分析】根據(jù)題意可設(shè)拋物線的解析式為：y＝a（x﹣3）（x+1），再將點（0，﹣2）代入，求出a的值，最后改為一般式即可．【解答】解：∵拋物線經(jīng)過點（3，0），（﹣1，0），故可設(shè)該拋物線的解析式為：y＝a（x﹣3）（x+1），∵該拋物線又經(jīng)過點（0，﹣2），∴﹣2＝a（0﹣3）（0+1）解得：a=∴該拋物線的解析式為：y=2整理，得：y=2【點評】本題考查求拋物線解析式．掌握交點式和利用待定系數(shù)法求解析式是解題關(guān)鍵．【變式32】已知拋物線與x軸交于點（﹣1，0）和（3，0），且拋物線過點（0，﹣3），求拋物線的解析式．【分析】設(shè)出拋物線為y＝a（x+1）（x﹣3），把點（0，﹣3）代入，利用待定系數(shù)法求得即可．【解答】解：根據(jù)題意設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+1）（x﹣3），將（0，﹣3）代入得：﹣3a＝﹣3，即a＝1，則拋物線解析式為y＝x2﹣2x﹣3．【點評】此題考查了待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．【變式33】如果析式．【分析】由于已知拋物線與x軸的交點坐標，則可交點式y(tǒng)＝a（x﹣2）（x+1），再由OC＝2得到C點坐標為（0，2）或（0，﹣2），然后把（0，2）和（0，﹣2）分別代入y＝a（x﹣2）（x+1）可求出對應(yīng)的a的值，從而可得拋物線解析式．【解答】解：設(shè)拋物線解析式為y＝a（x﹣2）（x+1），∵OC＝2，∴C點坐標為（0，2）或（0，﹣2），把C（0，2）代入y＝a（x﹣2）（x+1）得a?（﹣2）?1＝2，解得a＝﹣1，此時拋物線解析式為y＝﹣（x﹣2）（x+1），即y＝﹣x2+x+2；把C（0，﹣2）代入y＝a（x﹣2）（x+1）得a?（﹣2）?1＝﹣2，解得a＝1，此時拋物線解析式為y＝（x﹣2）（x+1），即y＝x2﹣x﹣2．即拋物線解析式為y＝﹣x2+x+2或y＝x2﹣x﹣2．故選：D．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．【變式34】已知二次函數(shù)對稱軸為直線x＝2，且在x軸上截得的線段長為6，與y軸交點為（0，﹣2），則此二次函數(shù)的解析式為．【分析】根據(jù)拋物線對稱軸為x＝2，且在x軸上截得的線段長為6求出拋物線與x軸的兩個交點坐標為（﹣1，0）和（5，0），利用頂點式設(shè)出解析式，結(jié)合點（0，﹣2）求出a即可求解．（3）∵拋物線對稱軸為x＝2，且在x軸上截得的線段長為6，∴拋物線與x軸的兩個交點坐標為（﹣1，0）和（5，0）．設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣5）（拋物線的交點式），將點（0，﹣2）代入得﹣2＝﹣5a，∴a=2∴拋物線的解析式為y=25（x+1）（x﹣5）=25x故答案為：y=25x2?【點評】此題考查的是拋物線與x軸的交點，二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握其性質(zhì)定理是解決此題的關(guān)鍵．【變式35】（2023秋?蕭山區(qū)期中）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（﹣6，0），（2，0），（0，﹣6）三點．（1）求這個二次函數(shù)的表達式；（2）求這個二次函數(shù)的頂點坐標．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求得即可；（2）把（1）中的解析式配成頂點式，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到二次函數(shù)圖象的頂點坐標．【解答】解：（1）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y＝a（x﹣2）（x+6）（a≠0），∵圖象過點（0，﹣6），∴﹣12a＝﹣6，∴a=1∴二次函數(shù)的解析式為y=1（2）y=12（x+6）（x﹣2）=12x2+2x﹣6∴拋物線的頂點坐標為（﹣2，﹣8）．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當已知拋物線的頂點或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點式來求解；當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設(shè)其解析式為交點式來求解．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．【變式36】某拋物線過點（1，0），（﹣2，0）并且與直線y＝2x﹣1的交點的縱坐標為5，求此拋物線的解析式．【分析】設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）（x+2），求出拋物線與直線的交點為（3，5），將（3，5）代入拋物線解析式可得a的值．【解答】解：∵拋物線過點（1，0），（﹣2，0），∴設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）（x+2），拋物線與直線y＝2x﹣1的交點的縱坐標為5，∴5＝2x﹣1，解得：x＝3，∴拋物線與直線y＝2x﹣1的交點坐標為（3，5），將（3，5）代入拋物線解析式可得a（3﹣1）（3+2）＝5，∴a=1∴拋物線的解析式為y=12（x﹣1）（x+2），即【點評】本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的方法．關(guān)鍵是根據(jù)條件確定拋物線解析式的形式，再求其中的待定系數(shù)．一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0）；頂點式y(tǒng)＝a（x﹣h）2+k，其中頂點坐標為（h，k）；交點式y(tǒng)＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．題型四利用平移變換求二次函數(shù)的解析式題型四利用平移變換求二次函數(shù)的解析式【例題4】（2023春?長沙期末）將拋物線y＝2（x+3）2+4先向右平移1個單位長度，再向下平移5個單位長度，得到的拋物線的解析式為．【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進行求解．【解答】解：將拋物線y＝2（x+3）2+4先向右平移1個單位長度，再向下平移5個單位長度可得：y＝2（x+3﹣1）2+4﹣5，即y＝2（x+2）2﹣1，故答案為y＝2（x+2）2﹣1．【點評】主要考查的是函數(shù)圖象的平移，用平移規(guī)律“左加右減，上加下減”直接代入函數(shù)解析式求得平移后的函數(shù)解析式．解題技巧提煉（1）拋物線在平移的過程中，a的值不發(fā)生變化，變化的只是頂點的位置，且與平移方向有關(guān)．（2）涉及拋物線的平移時，首先將表達式轉(zhuǎn)化為頂點式y(tǒng)=a（xh）2+k的形式．（3）拋物線的移動主要看頂點的移動，y=ax2的頂點是（0，0），y=ax2+k的頂點是（0，k），y=a（xh）2的頂點是（h，0），y=a（xh）2+k的頂點是（h，k）．我們只需在坐標系中畫出這幾個頂點，即可輕松地看出平移的方向．（4）拋物線的平移口訣：自變量加減左右移，函數(shù)值加減上下移．【變式41】（2022秋?濱江區(qū)期末）將拋物線y＝﹣x2向右平移2個單位，再向上平移2個單位，則所得的拋物線的函數(shù)表達式為（）A．y＝﹣（x+2）2 B．y＝﹣（x+2）2+2 C．y＝﹣（x﹣2）2+2 D．y＝﹣（x﹣2）2【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律“左加右減，上加下減”即可獲得答案．【解答】解：將拋物線y＝﹣x2向右平移2個單位，再向上平移2個單位，則所得的拋物線的函數(shù)表達式為y＝﹣（x﹣2）2+2．故選：C．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移，理解并掌握二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律是解題關(guān)鍵．【變式42】（2023?惠州二模）將拋物線y＝x2﹣3向左平移2個單位長度、向上平移4個單位長度后，得到的拋物線解析式為（）A．y＝（x+2）2﹣7 B．y＝（x﹣2）2+7 C．y＝（x﹣2）2+1 D．y＝（x+2）2+1【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進行求解．【解答】解：將拋物線y＝x2﹣3向左平移2個單位長度、向上平移4個單位長度后，得到的拋物線解析式為y＝（x+2）2﹣3+4＝（x+2）2+1，故選：D．【點評】主要考查的是二次函數(shù)圖象與幾何變換，掌握平移規(guī)律“左加右減，上加下減”是解題的關(guān)鍵．【變式43】（2023?工業(yè)園區(qū)二模）把拋物線＝x2﹣2先向右平移2個單位，再向上平移3個單位，平移后拋物線的表達式是．【分析】先確定y＝x2的頂點坐標為（0，0），再根據(jù)點平移的規(guī)律得到點（0，0）平移后對應(yīng)點的坐標，然后根據(jù)頂點式寫出平移后拋物線的表達式．【解答】解：拋物線y＝x2﹣2的頂點坐標為（0，﹣2），點（0，2）向右平移2個單位，再向上平移3個單位所得對應(yīng)點的坐標為（2，1），所以平移后拋物線的表達式為y＝（x﹣2）2+1．故答案為：y＝（x﹣2）2+1．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標，即可求出解析式．【變式44】（2023秋?福州期中）若二次函數(shù)y＝2（x+1）2﹣3的圖象先向右平移3個單位長度，再向上平移4個單位長度，得到函數(shù)的解析式為．【分析】直接根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進行解答．【解答】解：二次函數(shù)y＝2（x+1）2﹣3的圖象先向右平移3個單位長度，再向上平移4個單位長度，得到函數(shù)的解析式為：y＝2（x+1﹣3）2﹣3+4，即y＝2（x﹣2）2+1．故答案為：y＝2（x﹣2）2+1．【點評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵．【變式45】在平面直角坐標系xOy中，已知二次函數(shù)圖象的頂點為A（﹣1，2），且經(jīng)過B（﹣3，0）．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）將該二次函數(shù)圖象向右平移幾個單位，可使平移后所得圖象經(jīng)過坐標原點？并直接寫出平移后所得圖象與x軸的另一個交點的坐標．【分析】（1）有頂點就用頂點式來求二次函數(shù)的解析式；（2）由于是向右平移，可讓二次函數(shù)的y的值為0，得到相應(yīng)的兩個x值，算出負值相對于原點的距離，而后讓較大的值也加上距離即可．【解答】解：（1）∵二次函數(shù)圖象的頂點為A（﹣1，2），∴設(shè)二次函數(shù)解析式為y＝a（x+1）2+2，把點B（﹣3，0）代入二次函數(shù)解析式，得：0＝a（﹣3+1）2+2，解得：a=?1∴二次函數(shù)解析式為y=?12（x+1）2+2，即y=?12x2（2）令y＝0，得x2+2x﹣3＝0，解方程得：x1＝﹣3，x2＝1，∴二次函數(shù)圖象與x軸的兩個交點坐標分別為（﹣3，0）和（1，0），∴二次函數(shù)圖象上的點（﹣3，0）向右平移3個單位后經(jīng)過坐標原點，故平移后所得圖象與x軸的另一個交點坐標為（4，0）．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及函數(shù)圖象的平移，根據(jù)平移規(guī)律“左加右減，上加下減”利用頂點的變化確定圖形的變化是解題的關(guān)鍵．【變式46】（2023秋?長嶺縣期中）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線C1：y=?14x2+bx+c的圖象經(jīng)過點（﹣3，0）、（3，3），與y軸交于點（1）求拋物線C1的解析式；（2）將拋物線C1先向左平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度后得到拋物線C2，拋物線C2的頂點為D，求△ODC的面積．【分析】（1）把點（﹣3，0）、（3，3）代入y=?14x2+bx+（2）根據(jù)平移規(guī)律得到D點的坐標，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵y=?14x2+bx+∴?1解得b=1∴拋物線C1的解析式為y=?14x2+1（2）∵y=?14x2+12x+15∴拋物線C1的頂點坐標為（1，4），y軸交于點C（0，154∵將拋物線C1先向左平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度后得到拋物線C2，∴拋物線C2的頂點D的坐標為（﹣2，2），∴△ODC的面積為12×2【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形的面積的計算，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．題型五利用對稱變換求二次函數(shù)的解析式題型五利用對稱變換求二次函數(shù)的解析式【例題5】（2022秋?江都區(qū)期末）已知拋物線C1：y＝x2﹣4x+3，則該拋物線關(guān)于x軸對稱的拋物線C2的函數(shù)關(guān)系式為．【分析】利用關(guān)于x軸對稱的點的坐標為橫坐標不變，縱坐標互為相反數(shù)解答即可．【解答】解：∵拋物線C2與拋物線C1關(guān)于x軸對稱，∴當橫坐標相等時，縱坐標互為相反數(shù)，即﹣y＝x2﹣4x+3，得y＝﹣x2+4x﹣3，故所求拋物線C2的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣x2+4x﹣3，故答案為：y＝﹣x2+4x﹣3．【點評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟練掌握和運用軸對稱圖形的坐標特點是解決本題的關(guān)鍵．解題技巧提煉本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，熟練掌握和運用軸對稱圖形的坐標特點是解決本題的關(guān)鍵．【變式51】（2022?牡丹江一模）二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3關(guān)于x軸對稱的函數(shù)圖象的解析式為．【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱的兩點橫坐標相同，縱坐標互為相反數(shù)即可求解．【解答】解：根據(jù)題意，所求的拋物線是﹣y＝x2﹣2x﹣3，化簡得：y＝﹣x2+2x+3，即二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3關(guān)于x軸對稱的函數(shù)圖象的解析式為y＝﹣x2+2x+3．故答案為：y＝﹣x2+2x+3．【點評】此題主要考查了根據(jù)二次函數(shù)的圖象的變換求拋物線的解析式，正確記憶基本變換性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式52】（2022春?長寧區(qū)校級期中）如果拋物線C與拋物線y＝x2+3x關(guān)于y軸對稱，那么拋物線C的表達式是．【分析】根據(jù)拋物線y＝5x2+1與拋物線C關(guān)于y軸對稱，將拋物線解析式中x換成﹣x，整理后即可得出結(jié)論．【解答】解：∵拋物線C與拋物線y＝x2+3x關(guān)于y軸對稱，∴拋物線C的解析式為y＝（﹣x）2+3?（﹣x），即y＝x2﹣3x．故答案為：y＝x2﹣3x．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，解題的關(guān)鍵是能夠熟練的找出已知函數(shù)關(guān)于y軸對稱的函數(shù)解析式．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)函數(shù)圖象的變換找出變換后的函數(shù)解析式是關(guān)鍵．【變式53】（2023?蒲城縣二模）將拋物線y＝ax2+bx﹣2（a、b是常數(shù)，a≠0）向下平移2個單位長度后，得到的新拋物線恰好和拋物線y=12x2+x?4關(guān)于yA．a(chǎn)＝﹣1，b＝﹣2 B．a(chǎn)=?12，b＝﹣1 C．a(chǎn)=12，b＝﹣1 D．【分析】先根據(jù)平移的特征得到將拋物線y＝ax2+bx﹣2（a、b是常數(shù)，a≠0）向下平移2個單位長度后，得到的新拋物線，再根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點的坐標特征即可求解．【解答】解：將拋物線y＝ax2+bx﹣2（a、b是常數(shù)，a≠0）向下平移2個單位長度后，得到的新拋物線為y＝ax2+bx﹣4，∵得到的新拋物線恰好和拋物線y=12x∴a=12，解得a=12，故選：C．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)圖象的平移規(guī)律：左加右減，上加下減是解題關(guān)鍵．【變式54】把拋物線y＝2x2先沿x軸翻折，再向左平移3個單位，所得拋物線的解析式為（）A．y＝2（x+3）2 B．y＝2（x﹣3）2 C．y＝﹣2（x+3）2 D．y＝﹣2（x﹣3）2【分析】根據(jù)點關(guān)于x軸對稱的特點即可得出﹣y＝2x2，即y＝﹣2x2，然后根據(jù)平移的規(guī)律即可得到y(tǒng)＝﹣2（x+3）2．【解答】解：∵點關(guān)于x軸對稱時“橫坐標相等，縱坐標互為相反數(shù)”，∴把拋物線y＝2x2先沿x軸翻折得到﹣y＝2x2，即y＝﹣2x2，再向左平移3個單位，所得拋物線的解析式為y＝﹣2（x+3）2．故選：C．【點評】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知關(guān)于x軸對稱的點的坐標特點以及平移的規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．【變式55】（2022秋?朝陽區(qū)校級月考）拋物線y=12x2+1的頂點坐標是，將其繞原點O旋轉(zhuǎn)180°，則旋轉(zhuǎn)后的拋物線的解析式為【分析】根據(jù)原拋物線的頂點坐標求出旋轉(zhuǎn)后的拋物線的頂點坐標，然后根據(jù)頂點式解析式形式寫出即可．【解答】解：∵拋物線y=12x∴繞坐標原點O旋轉(zhuǎn)180°后的拋物線的頂點坐標為（0，﹣1），又∵旋轉(zhuǎn)后拋物線的開口方向下，∴旋轉(zhuǎn)后的拋物線的解析式為y=?12x故答案為：（0，1），y=?12x【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，此類題目，利用頂點的變化確定拋物線解析式更簡便．【變式56】（2022秋?無為市月考）將拋物線y＝2x2先向下平移5個單位長度，再向左平移a（a＞0）個單位長度，所得到的新拋物線經(jīng)過點（1，3）．（1）求新拋物線的表達式；（2）求新拋物線關(guān)于y軸對稱的圖象所對應(yīng)的函數(shù)表達式．【分析】（1）根據(jù)平移的規(guī)律：左加右減，上加下減得到y(tǒng)＝2（x+a）2﹣5，代入點（1，3）求得a的值即可；（2）根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點的坐標特點即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）將拋物線y＝2x2先向下平移5個單位長度，再向左平移a（a＞0）個單位長度得到y(tǒng)＝2（x+a）2﹣5，代入點（1，3）得，3＝2（1+a）2﹣5，解得a＝1或a＝﹣3（舍去），∴新拋物線的表達式為y＝2（x+1）2﹣5；（2）∵關(guān)于y軸對稱的點縱坐標不變，橫坐標互為相反數(shù)，∴拋物線y＝2（x+1）2﹣5關(guān)于y軸對稱的圖象解析式為y＝2（﹣x+1）2﹣5，即y＝2（x﹣1）2﹣5．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，掌握平移的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．題型六待定系數(shù)法與二次函數(shù)性質(zhì)的綜合題型六待定系數(shù)法與二次函數(shù)性質(zhì)的綜合【例題6】（2022春?倉山區(qū)校級期末）已知：二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（﹣1，0），B（0，﹣3）和C（3，12）．（1）求二次函數(shù)的解析式并求出圖象的頂點D的坐標；（2）設(shè)點M（x1，y1），N（1，y2）在該拋物線上，若y1≤y2，直接寫出x1的取值范圍．【分析】（1）設(shè)一般式為y＝ax2+bx+c，然后把三個點的坐標代入得到a、b、c的方程組，再解方程組即可；（2）先得出拋物線的對稱軸直線，再利用二次函數(shù)的對稱性得出點N的對稱點，最后利用二次函數(shù)的增減性解答即可．【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為y＝ax2+bx+c，把A（﹣1，0），B（0，﹣3）和C（3，12）代入，得0=a?b+c?3=c12=9a+3b+c，解得：∴拋物線解析式為y＝2x2﹣x﹣3，∵y＝2x2﹣x﹣3=2(x?1∴頂點D的坐標為（14，?（2）∵拋物線y＝2x2﹣x﹣3的對稱軸為直線x=??1∴N（1，y2）關(guān)于直線x=14的對稱點為（∵M（x1，y1），N（1，y2）在該拋物線上，且y1≤y2，∴?12≤【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，靈活運用二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式61】（2023秋?平湖市期中）已知拋物線y＝a（x﹣h）2的對稱軸是直線x＝﹣2，且過點（1，﹣3）．（1）求這個二次函數(shù)的表達式；（2）x在什么范圍內(nèi)，y隨x增大而減??？該函數(shù)有最大值還是有最小值？求出這個最值．【分析】（1）根據(jù)對稱軸，可得h的值，根據(jù)拋物線過點（1，﹣3），可得a值．（2）根據(jù)函數(shù)圖象及函數(shù)的增減性回答即可．【解答】解：（1）∵拋物線y＝a（x﹣h）2的對稱軸為直線x＝﹣2，∴拋物線為y＝a（x+2）2又∵拋物線過點（1，﹣3），∴﹣3＝a（1+2）2，即9a＝﹣3，解得a=?1所以該拋物線的解析式為y=?13（x+2）（2）∵a=?1∴開口向下，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小，∴當x＞﹣2時，y隨x的增大而減小，拋物線有最大值，∵拋物線的頂點為（﹣2，0），∴當x＝﹣2時，函數(shù)有最大值0．【點評】本題考查用待定系數(shù)法求函數(shù)表達式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法和二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式62】（2023秋?白云區(qū)期中）如圖，拋物線分別經(jīng)過點A（﹣2，0），B（3，0），C（1，6）．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）求當y＞4時，自變量x的取值范圍．【分析】（1）設(shè)交點式y(tǒng)＝a（x+2）（x﹣3），然后把C點坐標代入其a即可；（2）結(jié)合函數(shù)圖象，寫出拋物線在直線y＝4上方所對應(yīng)的自變量的范圍即可．【解答】解：（1）設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+2）（x﹣3），把C（1，6）代入得6＝a×3×（﹣2），解得a＝﹣1，所以拋物線的解析式為y＝﹣（x+2）（x﹣3），即y＝﹣x2+x+6；（2）把y＝4代入y＝﹣x2+x+6得，4＝﹣x2+x+6，解得x＝2或x＝﹣1，∴交點為（2，4），（﹣1，4），∵拋物線y＝﹣x2+x+6開口向下，∴當y＞4時，自變量x的取值范圍為﹣1＜x＜2．【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．【變式63】（2022秋?西湖區(qū)校級期末）已知二次函數(shù)y＝x2+bx+c經(jīng)過（0，﹣2）和（1，﹣2）．（1）求該二次函數(shù)的表達式和對稱軸．（2）當﹣1≤x≤3時，求該二次函數(shù)的最大值和最小值．【分析】（1）先將（0，﹣2）和（1，﹣2）分別代入y＝x2+bx+c求出二次函數(shù)的表達式，再根據(jù)對稱軸公式作答即可；（2）先確定開口方向，再根據(jù)對稱軸確定最大值和最小值即可．【解答】解：（1）∵y＝x2+bx+c經(jīng)過（0，﹣2）和（1，﹣2），∴?2=1+b+c?2=c解得b=?1c=?2∴二次函數(shù)的表達式為y＝x2﹣x﹣2；∴對稱軸為直線x=??1（2）由（1）可知y＝x2﹣x﹣2的開口向上，∵二次函數(shù)的對稱軸為直線x=12在﹣1≤∴當x=12時，有最小值∵直線x＝3距直線x=1∴當x＝3時，有最大值y＝32﹣3﹣2＝4．【點評】本題考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式64】（2023?泗洪縣一模）已知拋物線y＝ax2+2ax+3a2﹣4（a≠0）．（1）求這條拋物線的對稱軸；（2）若該拋物線的頂點在x軸上，求其函數(shù)的表達式；（3）設(shè)該拋物線上有兩點A（m，y1）B（3，y2），若y1＜y2，求m的取值范圍．【分析】（1）先把一般式化為頂點式得到y(tǒng)＝a（x+1）2+2a2﹣4，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題；（2）由（1）得到頂點坐標為（﹣1，2a2﹣a﹣4），則2a2﹣a﹣4＝0，然后解關(guān)于a的方程即可；（3）當a＞0時，由于y1＜y2，則點A到對稱軸的距離小于點B到對稱軸的距離，即|m﹣（﹣1）|＜3﹣（﹣1）；當a＜0時，由于y1＜y2，則點A到對稱軸的距離大于點B到對稱軸的距離，即|m﹣（﹣1）|＞3﹣（﹣1），然后分別解不等式即可．【解答】解：（1）∵y＝ax2+2ax+3a2﹣4＝y(tǒng)＝ax2+2ax+a2+2a2﹣4＝a（x+1）2+2a2﹣4，∴拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1；（2）拋物線的頂點坐標為（﹣1，3a2﹣a﹣4），∵該拋物線的頂點在x軸上，∴3a2﹣a﹣4＝0，解得a1=43，x即a的值為43∴拋物線解析式為y=43x2+83x?43或y（3）當a＞0時，拋物線開口向上，∵y1＜y2，∴|m﹣（﹣1）|＜3﹣（﹣1），解得﹣5＜m＜3；當a＜0時，拋物線開口向下，∵y1＜y2，∴|m﹣（﹣1）|＞3﹣（﹣1），解得m＜﹣5或m＞3，綜上所述，當a＞0時，﹣5＜m＜3；當a＜0時，拋物線開口向下，m＜﹣5或m＞3．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．【變式65】（2023?龍灣區(qū)模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2﹣4x+3（a＞0）．（1）若圖象經(jīng)過點（﹣1，8），求該二次函數(shù)的表達式及頂點坐標．（2）當0≤x≤m時，1≤y≤9，求a和m的值．【分析】（1）利用二次函數(shù)性質(zhì)直接將點代入求解參數(shù)即可求出表達式，再根據(jù)二次函數(shù)的頂點公式求出頂點即可；（2）根據(jù)二次函數(shù)最值只能在頂點或兩側(cè)端點分類計算，由范圍找到對應(yīng)關(guān)系，列式計算，最后驗證即可．【解答】解：（1）將點（﹣1，8）代入二次函數(shù)y＝ax2﹣4x+3中得：8＝a+4+3∴a＝1∴二次函數(shù)表達式為：y＝x2﹣4x+3，∴y＝（x﹣2）2﹣1，∴頂點坐標為（2，﹣1）；（2）∵二次函數(shù)最值只能出現(xiàn)在端點或頂點，x＝0時，y＝0+0+3＝3，x=42a=x＝m時，y＝am2﹣4m+3；∵a＞0，∴3?4∴y＝9時，只有x＝m時，y＝am2﹣4m+3＝9成立，∴x=2a時，解得a＝2，代入am2﹣4m+3＝9得：2m2﹣4m+3＝9，解得m＝3或﹣1，∵0≤x≤m，∴m≥0，∴m＝3檢驗a＝2，對稱軸為x=20≤x≤3時，頂點處函數(shù)值最小為1，x＝3時，函數(shù)值最大為9，符合要求，故a＝2，m＝3．【點評】本題主要考查不定的二次函數(shù)在不定范圍下的最值問題，通常根據(jù)二次函數(shù)的最值只能出現(xiàn)在兩側(cè)端點或頂點，根據(jù)可能的對應(yīng)關(guān)系，可以先分類討論計算，得到確定的函數(shù)解析式，再根據(jù)實際圖象計算最值情況，檢測是否可?。议_口向上頂點處不作最大值，開口向下頂點處不作最小值，可用來進行一些對應(yīng)關(guān)系的篩選是解題的關(guān)鍵．【變式66】（2023秋?阿克蘇市期中）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c與x軸負半軸交于點A（﹣3，0），與y軸正半軸交于點B（0，4）．（1）求3a﹣b+c的值；（2）若點C（5，4）在該拋物線上．①求拋物線的解析式；②若直線y＝kx﹣2k（k≠0）一定經(jīng)過點D，請判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由．【分析】（1）先把點A、B的坐標代入y＝ax2+bx+c可得到c＝4，a、b的關(guān)系為9a﹣3b＝﹣4，，所以3a﹣b=?43，然后計算3a﹣b+（2）①先利用B點和C點的坐標特征和拋物線的對稱性得到拋物線的對稱軸為直線x=52，則拋物線與x的另一個交點的坐標為（8，0），設(shè)交點式y(tǒng)＝a（x+3）（x﹣8），然后把B點坐標代入求出②先解不定方程得到D點坐標為（2，0），則可得到BC＝AD＝5，所以可判斷四邊形ABCD為平行四邊形，然后計算出AB＝5，則AB＝AD．從而可判斷四邊形ABCD為菱形．【解答】解：（1）把A（3，0），B（0，4）分別代入y＝ax2+bx+c得9a?3b+c=0c=4∴9a﹣3b＝﹣4，∴3a﹣b=?4∴3a﹣b+c=?43+（2）①∵拋物線經(jīng)過點B（0，4），C（5，4），∴拋物線的對稱軸為直線x=5∵拋物線與x的一個交點A的坐標為（﹣3，0），∴拋物線與x的另一個交點的坐標為（8，0），設(shè)拋物線解析式為y＝a（x+3）（x﹣8），把B（0，4）代入得4＝a×3×（﹣8），解得a=?1∴拋物線解析式為y=?16（x+3）（即y=?16x2+②四邊形ABCD為菱形．理由如下：∵y＝kx﹣2k，∴（x﹣2）k＝y(tǒng)，∵k為不等于0的任意數(shù)，∴x﹣2＝0，y＝0，解得x＝2，y＝0，∴點D的坐標為（2，0），∵DA＝2﹣（﹣3）＝5，BC＝5，∴BC＝AD，∵BC∥AD，∴四邊形ABCD為平行四邊形，∵AB=3∴AB＝AD，∴四邊形ABCD為菱形．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．也考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．題型七結(jié)合幾何圖形求二次函數(shù)解析式題型七結(jié)合幾何圖形求二次函數(shù)解析式【例題7】如圖，已知直角坐標平面上的△ABC，AC＝CB，∠ACB＝90°，且A（﹣1，0），B（m，n），C（3，0）．若拋物線y＝ax2+bx﹣3經(jīng)過A、C兩點．（1）求a、b的值；（2）將拋物線向上平移若干個單位得到的新拋物線恰好經(jīng)過點B，求新拋物線的解析式．【分析】（1）只需把點A、C的坐標代入拋物線的解析式就可解決問題；（2）可設(shè)新拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3+k，然后求出點B的坐標，并把點B的坐標代入新拋物線的解析式，就可解決問題．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx﹣3經(jīng)過A（﹣1，0）、C（3，0），∴a?b?3=09a+3c?3=0解得：a=1b=?2（2）設(shè)拋物線向上平移k個單位后得到的新拋物線恰好經(jīng)過點B，則新拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3+k，∵A（﹣1，0）、C（3，0），∴CB＝AC＝3﹣（﹣1）＝4，∵∠ACB＝90°，∴點B的坐標為（3，4）．∵點B（3，4）在拋物線y＝x2﹣2x﹣3+k上，∴9﹣6﹣3+k＝4，解得：k＝4，∴新拋物線的解析式為y＝x2﹣2x+1．【點評】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，待定系數(shù)法求拋物線的解析式等知識，求得B的坐標是解題的關(guān)鍵．解題技巧提煉本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，主要涉及待定系數(shù)法、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積以及方程思想等知識．【變式71】（2022秋?同江市期末）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過點A（1，0），B（﹣3，0），與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式及頂點坐標；（2）拋物線在第二象限的圖象上有一點M，過M作垂直于x軸的直線交直線BC與F，當MF最大時，求點M的坐標．【分析】（1）把A與B坐標代入拋物線解析式求出a與b的值，確定出解析式，進而求出頂點坐標即可；（2）根據(jù)題意畫出圖形，設(shè)出M坐標，利用待定系數(shù)法求出直線BC解析式，表示出F坐標，進而表示出MF，利用二次函數(shù)性質(zhì)求出MF取得最大值時a的值，即可確定出此時M的坐標．【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3經(jīng)過點A（1，0），B（﹣3，0），∴把A（1，0），B（﹣3，0）代入拋物線解析式得：a+b+3=09a?3b+3=0解得：a=?1b=?2則拋物線解析式為y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，頂點坐標為（﹣1，4）；（2）如圖所示，設(shè)M（a，﹣a2﹣2a+3）（a＜0），對于拋物線y＝﹣x2﹣2x+3，令x＝0，得到y(tǒng)＝3，即C（0，3），設(shè)直線BC解析式為y＝mx+n，把B（﹣3，0）與C（0，3）代入得：?3m+n=0n=3解得：m=1n=3，即直線BC解析式為y＝x∴F（t，t+3），∴MF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣2t+3﹣t﹣3＝﹣t2﹣3t，∵t＝﹣1＜0，∴當t=??32×(?1)=?則此時M坐標為（?32，【點評】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，以及二次函數(shù)性質(zhì)與最值，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．【變式72】（2023?利通區(qū)校級模擬）如圖拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0），點B（2，﹣3），與y軸交于點C，拋物線的頂點為D．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上是否存在點p，使△PBC的面積是△BCD面積的3倍，若存在，請直接寫出點p的坐標；若不存在，請說明理由．【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可；（2）設(shè)拋物線上的點P坐標為（m，m2﹣2m﹣3），結(jié)合方程思想和三角形面積公式列方程求解．【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0），點B（2，﹣3），∴1?b+c=04+2b+c=?3解得b＝﹣2，c＝﹣3，∴拋物線的解析式：y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，理由如下：∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴D點坐標為（1，﹣4），令x＝0，則y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，∴C點坐標為（0，﹣3），又∵B點坐標為（2，﹣3），∴BC∥x軸，∴S△BCD=1設(shè)拋物線上的點P坐標為（m，m2﹣2m﹣3），∴S△PBC=12×2×|m2﹣2m﹣3﹣（﹣3）|＝|m2當|m2﹣2m|＝3×1時，解得m＝1±2，當m＝1+2＝3時，m2﹣2m﹣3＝0，當m＝1﹣2＝﹣1時，m2﹣2m﹣3＝0，綜上，P點坐標為（3，0）或（﹣1，0）．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法，理解二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，利用方程思想解題是關(guān)鍵．【變式73】（2023秋?鳳陽縣校級月考）如圖，已知拋物線y＝ax2+3ax+c（a＞0）與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點，點A在點B左側(cè)．點B的坐標為（1，0），OC＝3OB．（1）求拋物線的表達式；（2）若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求△ACD面積的最大值．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，進行計算即可解答；（2）過點D作DF⊥x軸，垂足為F，交直線AC于點E，先求出點A的坐標，再求出直線AC的解析式為y=?34x﹣3，然后設(shè)點D的坐標為（t，34t2+94t﹣3），則點E的坐標為（t，?34t﹣3），從而可得DE=?34t2【解答】解：（1）∵點B的坐標為（1，0），∴OB＝1，∵OC＝3OB，∴OC＝3，∴點C的坐標為（0，﹣3），把B（1，0），C（0，﹣3）代入拋物線y＝ax2+3ax+c中得：a+3a+c=0，c=?3解得：a=3∴拋物線的表達式為y=34x2+（2）過點D作DF⊥x軸，垂足為F，交直線AC于點E，當y＝0時，34x