選修2-2-2.1合情推理與演繹推理課件

內(nèi)容結(jié)構(gòu)

“推理與證明”是數(shù)學(xué)的基本思維過程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式．推理一般包括合情推理和演繹推理．在本章中，我們將通過對已學(xué)知識的回顧，進(jìn)一步體會(huì)合情推理、演繹推理以及二者之間的聯(lián)系與差異；體會(huì)數(shù)學(xué)證明的特點(diǎn)，了解數(shù)學(xué)證明的基本方法,包括直接證明的方法（如分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法）和間接證明的方法（如反證法）；感受邏輯證明在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作用，養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣。第一頁第二頁，共53頁。2.1合情推理與演繹推理第二頁第三頁，共53頁。

在日常生活中，人們常常需要進(jìn)行這樣那樣的推理。例如:1、什么是推理

推理是人們思維活動(dòng)的過程，是根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來確定一個(gè)新的判斷的思維過程。醫(yī)生診斷病人的病癥，警察偵破案件，氣象專家預(yù)測天氣的可能狀態(tài)，考古學(xué)家推斷遺址的年代，數(shù)學(xué)家論證命題的真?zhèn)蔚鹊?。在?shù)學(xué)中，證明的過程更離不開推理。第三頁第四頁，共53頁。推理合情推理（或然性推理）演繹推理（必然性推理）歸納（部分到整體、特殊到一般）類比（特殊到特殊）三段論（一般到特殊）本節(jié)知識結(jié)構(gòu)第四頁第五頁，共53頁。2.1.1合情推理第五頁第六頁，共53頁。歸納推理歌德巴赫猜想的提出過程：

3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30，

10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．偶數(shù)＝奇質(zhì)數(shù)＋奇質(zhì)數(shù)6＝3+3，猜想：一個(gè)偶數(shù)（不小于6）總可以表示成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和；8＝3+5，10＝5+5，12＝5+7，14＝7+7，16＝5+11，…，1000＝29+971，…一個(gè)規(guī)律：第六頁第七頁，共53頁。哥德巴赫猜想(GoldbachConjecture)世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。哥德巴赫是德國一位中學(xué)教師，也是一位著名的數(shù)學(xué)家，生于1690年，1725年當(dāng)選為俄國彼得堡科學(xué)院院士。1742年，哥德巴赫在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，每個(gè)不小于6的偶數(shù)都是兩個(gè)素?cái)?shù)（只能被和它本身整除的數(shù)）之和。如6＝3＋3，12＝5＋7等等。公元1742年6月7日哥德巴赫(Goldbach)寫信給當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉(Euler)，提出了以下的猜想:(a)任何一個(gè)≥6之偶數(shù),都可以表示成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。(b)任何一個(gè)≥9之奇數(shù),都可以表示成三個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。第七頁第八頁，共53頁。歸納推理的定義:

由某類事物的部分對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理,或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理,稱為歸納推理(簡稱歸納).

簡言之,歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理。第八頁第九頁，共53頁。例如：金受熱后體積膨脹，銀受熱后體積膨脹，銅受熱后體積膨脹，鐵受熱后體積膨脹，金、銀、銅、鐵是金屬的部分小類對象，它們受熱后分子的凝聚力減弱，分子運(yùn)動(dòng)加速，分子彼此距離加大，從而導(dǎo)致體積膨脹所以，所有的金屬受熱后都體積膨脹。第九頁第十頁，共53頁。例如：磨擦雙手（S1）能產(chǎn)生熱（P），敲擊石頭（S2）能產(chǎn)生熱（P），錘擊鐵塊（S3）能產(chǎn)生熱（P），

磨擦雙手、敲擊石頭、錘擊鐵塊都是物質(zhì)運(yùn)動(dòng)；所以，物質(zhì)運(yùn)動(dòng)能產(chǎn)生熱。第十頁第十一頁，共53頁。如:觀察下圖,可以發(fā)現(xiàn)1+3+…+(2n－1)=n2．1+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52，……第十一頁第十二頁，共53頁。解:當(dāng)n=1時(shí),a1=1;當(dāng)n=2時(shí)，當(dāng)n=3時(shí)，當(dāng)n=4時(shí)，觀察可得,數(shù)列的前4項(xiàng)都等于相應(yīng)序號的倒數(shù),由此猜想,這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為:例1:已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)a1=1且

(n=1,2,3…),試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.第十二頁第十三頁，共53頁。練習(xí):(2010.上海)根據(jù)圖中5個(gè)圖形及相應(yīng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的變化規(guī)律,試猜測第n個(gè)圖形中有

個(gè)點(diǎn).(1)(2)(3)(4)(5)第十三頁第十四頁，共53頁。練習(xí):(2009年廣東)設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3),其中有且僅有兩條直線互相平行,任意三條直線不過同一點(diǎn).若用f(n)表示這n條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù),f(4)=

,當(dāng)n>4時(shí),f(n)=

.(用n表示)累加得:第十四頁第十五頁，共53頁。歸納推理的一般步驟：⑶檢驗(yàn)猜想。⑵提出帶有規(guī)律性的結(jié)論，即猜想；⑴對有限的資料進(jìn)行觀察、分析、歸納整理；歸納猜想可以讓我們不斷地發(fā)現(xiàn)新事物和新結(jié)論第十五頁第十六頁，共53頁。歸納推理所得的結(jié)論僅是一種猜想，未必可靠，還需證明例如，法國數(shù)學(xué)家費(fèi)馬觀察到都是質(zhì)數(shù)，于是他用歸納推理提出猜想：任何形如的數(shù)都是質(zhì)數(shù)?！@就是著名的費(fèi)馬猜想。半個(gè)世紀(jì)之后，善于計(jì)算的歐拉發(fā)現(xiàn)，第5個(gè)費(fèi)馬數(shù)不是質(zhì)數(shù)，從而推翻了費(fèi)馬的猜想。第十六頁第十七頁，共53頁。據(jù)說春秋時(shí)代魯國的公輸班（后人稱魯班，被認(rèn)為是木匠業(yè)的祖師）一次去林中砍樹時(shí)被一株齒形的茅草割破了手，這樁倒霉事卻使他發(fā)明了鋸子.魯班的思路是這樣的：茅草是齒形的；茅草能割破手.我需要一種能割斷木頭的工具；它也可以是齒形的.這個(gè)推理過程是歸納推理嗎？第十七頁第十八頁，共53頁?？赡苡猩嬖谟猩嬖跍囟冗m合生物的生存一年中有四季的變更有大氣層大部分時(shí)間的溫度適合地球上某些已知生物的生存一年中有四季的變更有大氣層行星、圍繞太陽運(yùn)行、繞軸自轉(zhuǎn)行星、圍繞太陽運(yùn)行、繞軸自轉(zhuǎn)火星地球火星上是否存在生命第十八頁第十九頁，共53頁。

由兩類對象具有某些類似特征，和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）．類比推理的定義:

簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理．

發(fā)明行星三大運(yùn)動(dòng)定律的開普勒曾說類比推理是「自然奧妙的參與者」和自己「最好的老師」

數(shù)學(xué)家波利亞曾指出“類比是一個(gè)偉大的引路人,求解立體幾何往往有賴于平面幾何的類比問題.”第十九頁第二十頁，共53頁?！纠?】如圖，利用類比推測球的有關(guān)性質(zhì)

圓

球圓心與弦（非直徑）中點(diǎn)的連線垂直于弦與圓心距離相等的兩條弦長相等；與圓心距離不等的兩弦不等，距圓心較近的弦較長

圓的周長C=

圓的面積S=球心與截面圓（不經(jīng)過球心的截面圓）圓心的連線垂直于截面圓。與球心距離相等的兩個(gè)截面圓面積相等；與球心距離不等的兩個(gè)截面圓面積不等；與球心距離較近的截面圓面積較大。球的表面積球的體積第二十頁第二十一頁，共53頁。例2類比實(shí)數(shù)的加法和乘法，列出它們相似的運(yùn)算性質(zhì)。解(1)兩個(gè)實(shí)數(shù)經(jīng)過加法運(yùn)算或乘法運(yùn)算后，所得的結(jié)果仍然是一個(gè)實(shí)數(shù)。(2)從運(yùn)算律的角度考慮，加法和乘法都滿足交換律和結(jié)合律，即a+b=b+aab=ba(a+b)+c=a+(b+c)(ab)c=a(bc)(3)從逆運(yùn)算的角度考慮，二者都有逆運(yùn)算，加法的逆運(yùn)算是減法，乘法的逆運(yùn)算是除法，這就使得方程都有唯一解a+0=a(4)在加法中，任意實(shí)數(shù)與0相加都不改變大?。怀朔ㄖ械?與加法中的0類似，即任意實(shí)數(shù)與1的積都等于原來的數(shù)，即第二十一頁第二十二頁，共53頁。類比推理的一般步驟：⑴找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；⑵用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個(gè)猜想；⑶檢驗(yàn)猜想。第二十二頁第二十三頁，共53頁。例3類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理,試給出空間

中四面體性質(zhì)的猜想．第二十三頁第二十四頁，共53頁。第二十四頁第二十五頁，共53頁。第二十五頁第二十六頁，共53頁。第二十六頁第二十七頁，共53頁。第二十七頁第二十八頁，共53頁。第二十八頁第二十九頁，共53頁。地圖的”四色猜想”歌尼斯堡七橋猜想卡拉比猜想數(shù)學(xué)中的猜想歐氏第五公設(shè)猜想西塔潘猜想費(fèi)馬大定理第二十九頁第三十頁，共53頁。歐氏第五公設(shè)猜想數(shù)學(xué)中的猜想:歐氏幾何同平面內(nèi)一條直線和另外兩條直線相交，若在某一側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角的和小于兩直角，則這一直線經(jīng)無限延長后在這一側(cè)相交。黎曼幾何在同一平面內(nèi)任何兩條直線都有公共點(diǎn)(交點(diǎn))。羅氏幾何從直線外一點(diǎn)，至少可以做兩條直線和這條直線平行非歐幾何第三十頁第三十一頁，共53頁。費(fèi)馬大定理當(dāng)整數(shù)n>2時(shí)，關(guān)于x,y,z的不定方程

無正整數(shù)解。

………32+42=52,52+122=132...…維爾斯于1994年9月徹底圓滿證明了“費(fèi)馬大定理”。

數(shù)學(xué)中的猜想:第三十一頁第三十二頁，共53頁。地圖的“四色猜想”數(shù)學(xué)中的猜想:

每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的地區(qū)著上不同的顏色。

第三十二頁第三十三頁，共53頁。歌尼斯堡七橋猜想

18世紀(jì)在哥尼斯堡城(今俄羅斯加里寧格勒)的普萊格爾河上有7座橋，將河中的兩個(gè)島和河岸連結(jié)，如圖所示。城中的居民經(jīng)常沿河過橋散步，于是提出了一個(gè)問題：能否一次走遍7座橋，而每座橋只許通過一次，最后仍回到起始地點(diǎn)。

數(shù)學(xué)中的猜想:第三十三頁第三十四頁，共53頁。

卡拉比猜想源于代數(shù)幾何，是由意大利著名幾何學(xué)家卡拉比在1954年國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上提出的:在封閉的空間，有無可能存在沒有物質(zhì)分布的引力場?卡拉比認(rèn)為是存在的，可是沒有人能證實(shí)，包括卡拉比自己。

數(shù)學(xué)家丘成桐27歲攻克幾何學(xué)上難題“卡拉比猜想”，并因此在1982年(33歲)獲得數(shù)學(xué)界的“諾貝爾獎(jiǎng)”——菲爾茲獎(jiǎng)卡拉比猜想數(shù)學(xué)中的猜想:第三十四頁第三十五頁，共53頁。中國目前最年輕的教授劉路，90年生，22歲被聘任為中南大學(xué)正教授級研究員數(shù)學(xué)中的猜想:“西塔潘猜想”“西塔潘猜想”是由英國數(shù)理邏輯學(xué)家西塔潘于上個(gè)世紀(jì)90年代提出的一個(gè)反推數(shù)學(xué)領(lǐng)域關(guān)于拉姆齊二染色定理證明強(qiáng)度的猜想。在組合數(shù)學(xué)上，拉姆齊（Ramsey）定理是要解決以下的問題：要找這樣一個(gè)最小的數(shù)n，使得n個(gè)人中必定有k個(gè)人相識或l個(gè)人互不相識。2011年5月，由北京大學(xué)、南京大學(xué)和浙江師范大學(xué)聯(lián)合舉辦的邏輯學(xué)術(shù)會(huì)議在浙江師范大學(xué)舉行，中南大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)與計(jì)算技術(shù)學(xué)院酷愛數(shù)理邏輯的劉路的報(bào)告給這一懸而未決的公開問題一個(gè)否定式的回答，徹底解決了西塔潘的猜想。第三十五頁第三十六頁，共53頁。你認(rèn)為平面幾何中的哪一類圖形可以作為四面體的類比對象？從構(gòu)成幾何體的元素?cái)?shù)目看，四面體由4個(gè)平面圍成，它是空間中由數(shù)目最少的基本元素（平面）圍成的封閉幾何體；從構(gòu)成幾何體的元素?cái)?shù)目看，三角形由3條直線圍成，它是平面內(nèi)由數(shù)目最少的基本元素（直線）圍成的封閉圖形。從這個(gè)角度看，我們可以把三角形作為四面體的類比對象。第三十六頁第三十七頁，共53頁。例3類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想。BCAacbPFEDS1S2S3解：考慮到直角三角形的兩條邊互相垂直，我們可以選取有3個(gè)面兩兩互相垂直的四面體，作為直角三角形的類比對象。如圖，Rt△ABC中有勾股定理：a2+b2=c2。類似地,在四面體P-DEF中，∠PDF=∠PDE=∠EDF=900。設(shè)S1，S2，S3和S分別表示△PDF，△PDE，△EDF和△PEF的面積。直角三角形有2條直角邊a，b和1條斜邊c，類似于四面體P-DEF有3個(gè)“直角面”S1，S2，S3和1個(gè)“斜面”S.于是,類比勾股定理的結(jié)構(gòu)，我們猜想S2=S12+S22+S32。第三十七頁第三十八頁，共53頁。平面圖形與空間圖形常見類比對象平面圖形空間圖形直線三角形正方形圓圖形面積切線垂線線線角平面坐標(biāo)系拓寬視野深化類比思想平面四面體正方體球幾何體體積切面垂面面面角空間坐標(biāo)系第三十八頁第三十九頁，共53頁。R2POP1O1QP2R1Q2Q1O2O3運(yùn)用類比思想，提升推理能力R第三十九頁第四十頁，共53頁。同樣地，類比推理所得的結(jié)論也不一定可靠。例如，“平面內(nèi)，同時(shí)垂直于一條直線的兩條直線互相平行”得到猜想：“空間中，同時(shí)垂直于一個(gè)平面的兩個(gè)平面互相平行”顯然，這個(gè)猜想是錯(cuò)誤的。第四十頁第四十一頁，共53頁。

合情推理

歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理。

通俗地說，合情推理是指“合乎情理”的推理。

合情推理在數(shù)學(xué)中的作用

數(shù)學(xué)研究中，得到一個(gè)新結(jié)論之前，合情推理常常能幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論。

證明一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向第四十一頁第四十二頁，共53頁。1.復(fù)習(xí):

前面學(xué)習(xí)了歸納推理和類比推理這兩種合情推理,歸納推理是由特殊到一般的推理;類比推理是由特殊到特殊的推理．第四十二頁第四十三頁，共53頁。1.所有的金屬都能導(dǎo)電,2.一切奇數(shù)都不能被2整除,所以銅能夠?qū)щ?因?yàn)殂~是金屬,所以(2100+1)不能被2整除.因?yàn)?2100+1)是奇數(shù),3.三角函數(shù)都是周期函數(shù),所以tan是周期函數(shù)因?yàn)閠an是三角函數(shù),判斷下列推理是否是合情推理我們常以某些一般的判斷為前提，得出一些個(gè)別的、具體的判斷。第四十三頁第四十四頁，共53頁。2.三角函數(shù)都是周期函數(shù),所以tan是周期函數(shù)因?yàn)閠an是三角函數(shù),從一般性的命題推演出特殊性命題的推理方法，稱為演繹推理．注：１．演繹推理是由一般到特殊的推理；２．“三段論”是演繹推理的一般模式；如下：1.所有的金屬都能導(dǎo)電,所以銅能夠?qū)щ?因?yàn)殂~是金屬,大前提小前提結(jié)論大前提小前提結(jié)論第四十四頁第四十五頁，共53頁。三段論是演繹推理的一般模式,包括:(1)大前提已知的一般原理;(2)小前提所研究的特殊情況;(3)結(jié)論根據(jù)一般原理,對殊情況做出的判斷.特M是P，S是M，所以，S是P。

☆用集合論的觀點(diǎn)看,三段論的依據(jù)是:若集合M的所有元素都具有性質(zhì)P,S是M的一個(gè)子集,那么S中所有元素也都具有性質(zhì)P.MSa第四十五頁第四十六頁，共53頁。一條拋物線二次函數(shù)的圖象是一條拋物線感受理解說明:為了方便,在運(yùn)用三段論推理時(shí),常常采用省略大前提或小前提的表述方式.結(jié)論:大前提:小前提:第四十六頁第四十七頁，共53頁。數(shù)學(xué)上的證明主要通過演繹推理來進(jìn)行的，我們來看一個(gè)例子。（1）因?yàn)橛幸粋€(gè)內(nèi)角是直角的三角形是直角三角形，在△ABD中，AD⊥BC，即∠ADB=900，所以△ABD是直角三角形。同理△ABE是直角三角形。（2）因?yàn)橹苯堑娜切涡边吷系闹芯€等于斜邊的一半，而M是Rt△ABD斜邊AB的中點(diǎn)，DM是斜邊上的中線，………………大前提………小前提……………結(jié)論………………大前提…………………小前提…結(jié)論所以DM=AB。

同理EM=AB。所以，DM=EM。例1.如圖所示，在銳角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D，E是垂足。求證：AB的中點(diǎn)M到D，E的距離相等。AMBCDE證明：“三段論”可以表述為大前提：M是P。小前提：S是M。結(jié)論：S是P?！叭握摗笨梢员硎鰹榇笄疤幔篗P。小前提：SM。結(jié)