專題探究課-立體幾何問題中的熱點(diǎn)題型

熱點(diǎn)一求解空間幾何體的表面積和體積對(duì)于空間幾何體的表面積與體積，高考考查的形式已經(jīng)由原來的簡(jiǎn)單套用公式漸變?yōu)槿晥D與柱、錐、球的接、切問題相結(jié)合，特別地，已知空間幾何體的三視圖求其表面積、體積已成為近兩年高考考查的熱點(diǎn)．而求解棱錐的體積時(shí)，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)化原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上．求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以便于求解．熱點(diǎn)突破第一頁(yè)第二頁(yè)，共50頁(yè)。熱點(diǎn)一求解空間幾何體的表面積和體積一審二審三審三視圖，根據(jù)三視圖的規(guī)則還原幾何體.所求幾何體的構(gòu)成（由一個(gè)直三棱柱截掉一個(gè)三棱錐）體積的計(jì)算．【例1】(2014·重慶卷)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(

)A．12B．18C．24D．30熱點(diǎn)突破第二頁(yè)第三頁(yè)，共50頁(yè)。熱點(diǎn)一求解空間幾何體的表面積和體積【例1】(2014·重慶卷)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為(

)A．12B．18C．24D．30解析由俯視圖可以判斷該幾何體的底面為直角三角形，由正視圖和側(cè)視圖可以判斷該幾何體是由直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直的棱柱)截取得到的,即直三棱柱ABC-A1B1C1截掉一個(gè)三棱錐D-A1B1C1得到的(如圖)，其中AC＝4，BC＝3，AA1＝5，AD＝2，BC⊥AC，所以該幾何體的體積答案C熱點(diǎn)突破第三頁(yè)第四頁(yè)，共50頁(yè)。組合體的表面積與體積的求解是高考考查的重點(diǎn)，解決此類問題可通過分割或補(bǔ)形將組合體變?yōu)橐?guī)則的柱體、錐體、球等幾何體的表面積和體積問題，然后根據(jù)幾何體表面積與體積的構(gòu)成用它們的和或差來表示．在求解過程中應(yīng)注意兩個(gè)問題，一是注意表面積與側(cè)面積的區(qū)別，二是注意幾何體重疊部分的表面積、挖空部分的體積的計(jì)算．熱點(diǎn)一求解空間幾何體的表面積和體積熱點(diǎn)突破第四頁(yè)第五頁(yè)，共50頁(yè)。熱點(diǎn)一求解空間幾何體的表面積和體積【訓(xùn)練1】(1)一個(gè)半徑為2的球體經(jīng)過切割之后所得幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為________．解析(1)由三視圖，可知該幾何體是故該幾何體的表面積為球體表面積的熱點(diǎn)突破第五頁(yè)第六頁(yè)，共50頁(yè)。熱點(diǎn)一求解空間幾何體的表面積和體積【訓(xùn)練1】(2)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，E為線段B1C上的一點(diǎn)，則三棱錐A-DED1的體積為________．熱點(diǎn)突破第六頁(yè)第七頁(yè)，共50頁(yè)。熱點(diǎn)二空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系高考對(duì)該部分的考查重點(diǎn)是空間的平行關(guān)系和垂直關(guān)系的證明，一般以解答題的形式出現(xiàn)

，試題難度中等，重在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力，在試卷中也可能以選擇題或者填空題的方式考查空間位置關(guān)系的基本定理在判斷線面位置關(guān)系中的應(yīng)用．熱點(diǎn)突破第七頁(yè)第八頁(yè)，共50頁(yè)。熱點(diǎn)突破熱點(diǎn)二空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系【例2】(14分)(2014·北京卷)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點(diǎn)．(1)求證：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求證：C1F∥平面ABE；(3)求三棱錐E-ABC的體積．(1)證明在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥底面ABC．所以BB1⊥AB．又因?yàn)锳B⊥BC，所以AB⊥平面B1BCC1.所以平面ABE⊥平面B1BCC1.第八頁(yè)第九頁(yè)，共50頁(yè)。熱點(diǎn)突破【例3】(14分)(2014·北京卷)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點(diǎn)．(1)求證：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求證：C1F∥平面ABE；(3)求三棱錐E-ABC的體積．因?yàn)锳C∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1.所以四邊形FGEC1為平行四邊形．所以C1F∥EG.又因?yàn)镋G?平面ABE，C1F?平面ABE，所以C1F∥平面ABE.G(2)證明

法一如圖，取AB中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G.因?yàn)镋，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點(diǎn)，熱點(diǎn)二空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系第九頁(yè)第十頁(yè)，共50頁(yè)。熱點(diǎn)突破【例3】(14分)(2014·北京卷)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點(diǎn)．(1)求證：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求證：C1F∥平面ABE；(3)求三棱錐E-ABC的體積．H法二

如圖，取AC的中點(diǎn)H，連接C1H，F(xiàn)H.因?yàn)镠，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn)，所以HF∥AB，又因?yàn)镋，H分別是A1C1，AC的中點(diǎn)，所以四邊形EAHC1為平行四邊形，所以C1H∥AE，又C1H∩HF＝H，AE∩AB＝A，所以平面ABE∥平面C1HF，又C1F?平面C1HF，所以C1F∥平面ABE.熱點(diǎn)二空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系第十頁(yè)第十一頁(yè)，共50頁(yè)。熱點(diǎn)突破【例3】(14分)(2014·北京卷)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點(diǎn)．(1)求證：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求證：C1F∥平面ABE；(3)求三棱錐E-ABC的體積．H(3)解因?yàn)锳A1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，所以三棱錐E-ABC的體積熱點(diǎn)二空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系第十一頁(yè)第十二頁(yè)，共50頁(yè)。(1)證線面平行的方法：①利用判定定理，關(guān)鍵是找平面內(nèi)與已知直線平行的直線．可先直觀判斷平面內(nèi)是否已有，若沒有，則需作出該直線，常考慮三角形的中位線、平行四邊形的對(duì)邊或過已知直線作一平面找其交線．②若要借助于面面平行來證明線面平行，則先要確定一個(gè)平面經(jīng)過該直線且與已知平面平行，此目標(biāo)平面的尋找方法是經(jīng)過線段的端點(diǎn)作該平面的平行線．(2)證明兩個(gè)平面垂直，通常是通過證明線線垂直→線面垂直→面面垂直來實(shí)現(xiàn)，因此，在關(guān)于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化．熱點(diǎn)二空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系熱點(diǎn)突破第十二頁(yè)第十三頁(yè)，共50頁(yè)。熱點(diǎn)突破證明

(1)法一因?yàn)镈1D⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD，所以D1D⊥BD．又因?yàn)锳B＝2AD，∠BAD＝60°，在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AD2＋AB2－2AD·ABcos60°＝3AD2，所以AD2＋BD2＝AB2，因此AD⊥BD．又AD∩D1D＝D，所以BD⊥平面ADD1A1.又AA1?平面ADD1A1，故AA1⊥BD．【訓(xùn)練2】如圖，在四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.(1)證明：AA1⊥BD；(2)證明：CC1∥平面A1BD.熱點(diǎn)二空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系第十三頁(yè)第十四頁(yè)，共50頁(yè)。熱點(diǎn)突破法二因?yàn)镈1D⊥平面ABCD，且BD?平面ABCD，所以BD⊥D1D．如圖，取AB的中點(diǎn)G，連接DG，在△ABD中，由AB＝2AD得AG＝AD．又∠BAD＝60°，所以△ADG為等邊三角形，因此GD＝GB，故∠DBG＝∠GDB．又∠AGD＝60°，所以∠GDB＝30°，故∠ADB＝∠ADG＋∠GDB＝60°＋30°＝90°，所以BD⊥AD．又AD∩D1D＝D，所以BD⊥平面ADD1A．又AA1?平面ADD1A，故AA1⊥BD．【訓(xùn)練2】如圖，在四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.(1)證明：AA1⊥BD；(2)證明：CC1∥平面A1BD.熱點(diǎn)二空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系G第十四頁(yè)第十五頁(yè)，共50頁(yè)。熱點(diǎn)突破(2)如圖，連接AC，A1C1，設(shè)AC∩BD＝E，連接EA1，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，由棱臺(tái)定義及AB＝2AD＝2A1B1知A1C1∥EC且A1C1＝EC，所以四邊形A1ECC1為平行四邊形，因此CC1∥EA．又EA1?平面A1BD，CC1?平面A1BD，所以CC1∥平面A1BD．【訓(xùn)練2】如圖，在四棱臺(tái)ABCD－A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四邊形，AB＝2AD，AD＝A1B1，∠BAD＝60°.(1)證明：AA1⊥BD；(2)證明：CC1∥平面A1BD.熱點(diǎn)二空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系E第十五頁(yè)第十六頁(yè)，共50頁(yè)。熱點(diǎn)突破熱點(diǎn)三平面圖形的翻折問題(1)此類問題通常是把平面圖形折疊成空間幾何體，并以此為載體考查線線、線面、面面的位置關(guān)系及有關(guān)計(jì)算．(2)試題以解答題為主，考查學(xué)生的空間想象能力和知識(shí)遷移能力．第十六頁(yè)第十七頁(yè)，共50頁(yè)。熱點(diǎn)三平面圖形的翻折問題【例3(2015·湖北八市聯(lián)考)如圖1，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，E，D分別為AB，AC靠近B，C的三等分點(diǎn)，點(diǎn)G為BC邊的中點(diǎn)，線段AG交線段ED于F點(diǎn)，將△AED沿ED翻折，使平面AED⊥平面BCDE，連接AB，AC，AG形成如圖2所示的幾何體,(1)求證：BC⊥平面AFG；(2)求二面角

B－AE－D的余弦值．(1)證明在圖1中，由△ABC是等邊三角形，E，D分別為AB，AC的三等分點(diǎn)，點(diǎn)G為BC邊的中點(diǎn)，易知DE⊥AF，DE⊥GF，DE∥BC．在圖2中，因?yàn)镈E⊥AF，DE⊥GF，AF∩FG＝F，所以DE⊥平面AFG.又DE∥BC，所以BC⊥平面AFG.熱點(diǎn)突破第十七頁(yè)第十八頁(yè)，共50頁(yè)。熱點(diǎn)三平面圖形的翻折問題(2)解因?yàn)槠矫鍭ED⊥平面BCDE，平面AED∩平面BCDE＝DE，DE⊥AF，DE⊥GF，所以FA，F(xiàn)D，F(xiàn)G兩兩垂直．以點(diǎn)F為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以FG，F(xiàn)D，F(xiàn)A所在的直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F－xyz.【例3(2015·湖北八市聯(lián)考)如圖1，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，E，D分別為AB，AC靠近B，C的三等分點(diǎn)，點(diǎn)G為BC邊的中點(diǎn)，線段AG交線段ED于F點(diǎn)，將△AED沿ED翻折，使平面AED⊥平面BCDE，連接AB，AC，AG形成如圖2所示的幾何體,(1)求證：BC⊥平面AFG；(2)求二面角

B－AE－D的余弦值．熱點(diǎn)突破第十八頁(yè)第十九頁(yè)，共50頁(yè)。熱點(diǎn)三平面圖形的翻折問題設(shè)平面ABE的法向量為n＝(x，y，z)，顯然m＝(1，0，0)為平面ADE的一個(gè)法向量，易知二面角B－AE－D為鈍角，【例3(2015·湖北八市聯(lián)考)如圖1，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，E，D分別為AB，AC靠近B，C的三等分點(diǎn)，點(diǎn)G為BC邊的中點(diǎn)，線段AG交線段ED于F點(diǎn)，將△AED沿ED翻折，使平面AED⊥平面BCDE，連接AB，AC，AG形成如圖2所示的幾何體,(1)求證：BC⊥平面AFG；(2)求二面角

B－AE－D的余弦值．熱點(diǎn)突破第十九頁(yè)第二十頁(yè)，共50頁(yè)。平面圖形的翻折問題，關(guān)鍵是搞清翻折前后圖形中線面位置關(guān)系和度量關(guān)系的變化情況，一般地翻折后還在同一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化．熱點(diǎn)三平面圖形的翻折問題熱點(diǎn)突破第二十頁(yè)第二十一頁(yè)，共50頁(yè)。(1)證明

∵點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)．

∴EF∥BC，又∠ABC＝90°，∴AE⊥EF，∵平面AEFD⊥平面EBCF.∴AE⊥平面EBCF，AE⊥EF，AE⊥BE，又BE⊥EF，如圖建立空間直角坐標(biāo)系E－xyz.翻折前，連接AC交EF于點(diǎn)G，此時(shí)點(diǎn)G使得AG＋GC最小，【訓(xùn)練3】(2015·福州質(zhì)檢)如圖，直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2AD＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在EF上，沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF.(1)當(dāng)AG＋GC最小時(shí)，求證：BD⊥CG；(2)當(dāng)2VB－ADGE＝VD－GBCF時(shí)，求二面角D－BG－C的平面角的余弦值．xyz熱點(diǎn)三平面圖形的翻折問題熱點(diǎn)突破第二十一頁(yè)第二十二頁(yè)，共50頁(yè)。則A(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，4，0)，D(0，2，2)，E(0，0，0)，G(0，2，0)，【訓(xùn)練3】(2015·福州質(zhì)檢)如圖，直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2AD＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在EF上，沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF.(1)當(dāng)AG＋GC最小時(shí)，求證：BD⊥CG；(2)當(dāng)2VB－ADGE＝VD－GBCF時(shí)，求二面角D－BG－C的平面角的余弦值．熱點(diǎn)三平面圖形的翻折問題∴BD⊥CG.xyz熱點(diǎn)突破第二十二頁(yè)第二十三頁(yè)，共50頁(yè)。(2)解設(shè)EG＝k.∵AD∥平面EFCB，∴點(diǎn)D到平面EFCB的距離即為點(diǎn)A到平面EFCB的距離．【訓(xùn)練3】(2015·福州質(zhì)檢)如圖，直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2AD＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在EF上，沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF.(1)當(dāng)AG＋GC最小時(shí)，求證：BD⊥CG；(2)當(dāng)2VB－ADGE＝VD－GBCF時(shí)，求二面角D－BG－C的平面角的余弦值．熱點(diǎn)三平面圖形的翻折問題∴k＝1，即EG＝1.xyz熱點(diǎn)突破第二十三頁(yè)第二十四頁(yè)，共50頁(yè)。法一設(shè)平面DBG的法向量為n1＝(x，y，z)，∵G(0，1，0)，【訓(xùn)練3】(2015·福州質(zhì)檢)如圖，直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2AD＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在EF上，沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF.(1)當(dāng)AG＋GC最小時(shí)，求證：BD⊥CG；(2)當(dāng)2VB－ADGE＝VD－GBCF時(shí)，求二面角D－BG－C的平面角的余弦值．xyz熱點(diǎn)三平面圖形的翻折問題取x＝1，則y＝2，z＝－1，∴n1＝(1，2，－1)．平面BCG的一個(gè)法向量為n2＝(0，0，1)，∵所求二面角D－BG－C的平面角為銳角，熱點(diǎn)突破第二十四頁(yè)第二十五頁(yè)，共50頁(yè)。法二過點(diǎn)D作DH⊥EF，垂足為H，過點(diǎn)H作BG延長(zhǎng)線的垂線HO，垂足為O，連接OD．∵平面AEFD⊥平面EBCF，∴DH⊥平面EBCF，∴OD⊥OB，∴∠DOH就是所求的二面角D－BG－C的平面角．【訓(xùn)練3】(2015·福州質(zhì)檢)如圖，直角梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2AD＝4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，點(diǎn)G在EF上，沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF.(1)當(dāng)AG＋GC最小時(shí)，求證：BD⊥CG；(2)當(dāng)2VB－ADGE＝VD－GBCF時(shí)，求二面角D－BG－C的平面角的余弦值．熱點(diǎn)三平面圖形的翻折問題熱點(diǎn)突破第二十五頁(yè)第二十六頁(yè)，共50頁(yè)。熱點(diǎn)突破熱點(diǎn)四立體幾何中的探索性問題立體幾何中的探索性問題主要是對(duì)平行、垂直關(guān)系的探究，對(duì)條件和結(jié)論不完備的開放性問題的探究，解決這類問題一般根據(jù)探索性問題的設(shè)問，假設(shè)其存在并探索出結(jié)論，然后在這個(gè)假設(shè)下進(jìn)行推理論證，若得到合乎情理的結(jié)論就肯定假設(shè)，若得到矛盾就否定假設(shè)．第二十六頁(yè)第二十七頁(yè)，共50頁(yè)。熱點(diǎn)四立體幾何中的探索性問題解(1)在△PAD中，PA＝PD，O為AD中點(diǎn)，所以PO⊥AD，又側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO?平面PAD，所以PO⊥平面ABCD．又在直角梯形ABCD中，連接OC，易得OC⊥AD，熱點(diǎn)突破第二十七頁(yè)第二十八頁(yè)，共50頁(yè)。熱點(diǎn)四立體幾何中的探索性問題所以以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OC為x軸，直線OD為y軸，直線OP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則P(0，0，1)，A(0，－1，0)，B(1，－1，0)，C(1，0，0)，D(0，1，0)，xyz熱點(diǎn)突破第二十八頁(yè)第二十九頁(yè)，共50頁(yè)。熱點(diǎn)四立體幾何中的探索性問題xyz熱點(diǎn)突破第二十九頁(yè)第三十頁(yè)，共50頁(yè)。熱點(diǎn)四立體幾何中的探索性問題xyz設(shè)平面PDC的一個(gè)法向量為u＝(x，y，z)，取z＝1，得u＝(1，1，1)．熱點(diǎn)突破第三十頁(yè)第三十一頁(yè)，共50頁(yè)。熱點(diǎn)四立體幾何中的探索性問題xyz一審二審三審假設(shè)存在．引入?yún)?shù)λ，并用λ表示相關(guān)點(diǎn)及向量坐標(biāo)．四審解“λ”,并根據(jù)λ是否存在下結(jié)論.熱點(diǎn)突破第三十一頁(yè)第三十二頁(yè)，共50頁(yè)。熱點(diǎn)四立體幾何中的探索性問題xyz設(shè)平面CAQ的一個(gè)法向量為m＝(x，y，z)，則取z＝λ＋1，得m＝(1－λ，λ－1，λ＋1)，熱點(diǎn)突破第三十二頁(yè)第三十三頁(yè)，共50頁(yè)。熱點(diǎn)四立體幾何中的探索性問題xyz又平面CAD的一個(gè)法向量為n＝(0，0，1)，熱點(diǎn)突破第三十三頁(yè)第三十四頁(yè)，共50頁(yè)。對(duì)于探索性問題用向量法比較容易入手．一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題，若有解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在.熱點(diǎn)四立體幾何中的探索性問題熱點(diǎn)突破第三十四頁(yè)第三十五頁(yè)，共50頁(yè)。(1)證明在正方形AA1C1C中，A1A⊥AC．又平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，∴AA1⊥平面ABC．(2)解由(1)知AA1⊥AC，AA1⊥AB，由題意知，在△ABC中，AC＝4，AB＝3，BC＝5，∴BC2＝AC2＋AB2，∴AB⊥AC．∴以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz.熱點(diǎn)四立體幾何中的探索性問題xyz熱點(diǎn)突破第三十五頁(yè)第三十六頁(yè)，共50頁(yè)。A1(0，0，4)，B(0，3，0)，C1(4，0，4)，B1(0，3，4)，熱點(diǎn)四立體幾何中的探索性問題xyz設(shè)平面A1BC1的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面B1BC1的法向量n2＝(x2，y2，z2)．∴取向量n1＝(0，4，3)．熱點(diǎn)突破第三十六頁(yè)第三十七頁(yè)，共50頁(yè)。取向量n2＝(3，4，0)熱點(diǎn)四立體幾何中的探索性問題xyz由題圖可判斷二面角A1－BC1－B1為銳角，熱點(diǎn)突破第三十七頁(yè)第三十八頁(yè)，共50頁(yè)。(3)解假設(shè)存在點(diǎn)D(x，y，z)是線段BC1上一點(diǎn)，熱點(diǎn)四立體幾何中的探索性問題xyz∴(x，y－3，z)＝λ(4，－3，4)，解得x＝4λ，y＝3－3λ，z＝4λ，又AD⊥A1B，熱點(diǎn)突破第三十八頁(yè)第三十九頁(yè)，共50頁(yè)。熱點(diǎn)突破熱點(diǎn)五利用空間向量解決立體幾何中的位置

關(guān)系與空間角問題利用空間向量證明空間中的線面關(guān)系，計(jì)算空間的各種角是高考對(duì)立體幾何的常規(guī)考法，它以代數(shù)運(yùn)算代替復(fù)雜的想象，給解決立體幾何帶來了鮮活的方法．此類問題多以解答題為主，難度中檔偏上，主要考查空間坐標(biāo)系的建立及空間向量坐標(biāo)的運(yùn)算能力及應(yīng)用能力，運(yùn)算能力要求較高．第三十九頁(yè)第四十頁(yè)，共50頁(yè)。熱點(diǎn)五利用空間向量解決立體幾何中的位置關(guān)系與空間角問題解(1)如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O.因?yàn)锽C＝CD，且AC平分∠BCD，故AC⊥BD．

(2分)建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，而AC＝4，所以AO＝AC－OC＝3，Oxyz熱點(diǎn)突破第四十頁(yè)第四十一頁(yè)，共50頁(yè)。因?yàn)镻A⊥底面ABCD，可設(shè)P(0，－3，z)(z＞0)，∵AF⊥PB，Oxyz熱點(diǎn)突破熱點(diǎn)五利用空間向量解決立體幾何中的位置關(guān)系與空間角問題第四十一頁(yè)第四十二頁(yè)，共50頁(yè)。設(shè)平面FAD的法向量為n1＝(x1，y1，z1)，平面FAB的法向量為n2＝(x2，y2，z2)，Oxyz熱點(diǎn)突破熱點(diǎn)五利用空間向量解決立體幾何中的位置關(guān)系與空間角問題第四十二頁(yè)第四十三頁(yè)，共50頁(yè)。從而法向量n1，n2的夾角的余弦值為Oxyz熱點(diǎn)突破熱點(diǎn)五利用空間向量解決立體幾何中的位置關(guān)系與空間角問題第四十三頁(yè)第四十四頁(yè)，共50頁(yè)。第一步第二步第三步第四步第五步用向量法解立體幾何問題的一般步驟建系(必要時(shí)先證明再建系)．確定相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)．求直線方向向量或平面法向量的坐標(biāo)．判定向量位置關(guān)系或計(jì)算向量夾角．將向量位置