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文檔簡介
浙江省柯橋中學高一數(shù)學學科2023學年第一學期期中考試試題卷(滿分:100分,時間:120分鐘)一、選擇題:共8小題,每小題3分,共24分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知集合,則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)交集的定義求解,并寫出區(qū)間形式即可.【詳解】.故選:C2.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點,則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義結(jié)合題意求出函數(shù)解析式,即可得解.【詳解】設冪函數(shù),所以,解得,所以,故.故選:C.3.設,則“”是“”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【詳解】由題意得,不等式,解得或,所以“”是“”的充分而不必要條件,故選A.考點:充分不必要條件的判定.4.已知函數(shù),若,則實數(shù)的值為(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式求得,繼而可得,可得,即可求得答案.【詳解】由題意可得,故,所以,故選:A5.已知,則A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】運用中間量比較,運用中間量比較【詳解】則.故選B.【點睛】本題考查指數(shù)和對數(shù)大小的比較,滲透了直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng).采取中間變量法,利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題.6.已知是定義在上的奇函數(shù),當時,.若函數(shù)在區(qū)間,上單調(diào)遞增,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性與奇函數(shù)的性質(zhì),可推出在,上單調(diào)遞增,從而得,解之即可.【詳解】當時,,由二次函數(shù)的單調(diào)性可知在,上單調(diào)遞增,又因為是定義在上的奇函數(shù),所以在,上單調(diào)遞增,綜上,在,上單調(diào)遞增,又函數(shù)在區(qū)間,上單調(diào)遞增,所以,解得,所以實數(shù)的取值范圍是,.故選:C.7.函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】求出函數(shù)的定義域,然后判斷函數(shù)的奇偶性,再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進行分析判斷即可.【詳解】函數(shù)的定義域為,因為,所以為奇函數(shù),所以的圖象關于原點對稱,所以排除A,當時,,所以排除C,當時,,因為和在上遞增,所以在上遞增,所以排除B,故選:D8.奇函數(shù)滿足,當時,,則=()A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由,可得到函數(shù)的周期是4,利用函數(shù)的周期性和奇偶性,將轉(zhuǎn)化為,代入函數(shù)解析式求解即可.【詳解】解:已知奇函數(shù)滿足,是以4為周期的奇函數(shù),又當時,,,故選:A.二、選擇題:本題共4小題,每小題3分,共12分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得4分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.下列命題中是真命題的是()A.已知,則的值為11B.若,則函數(shù)的最小值為C.函數(shù)是偶函數(shù)D.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有零點【答案】AD【解析】【分析】令,求得,可判定A正確;結(jié)合基本不等式,可判定B錯誤;根據(jù)函數(shù)的定義和奇偶性的定義,可判定C錯誤;根據(jù)函數(shù)零點的存在性定理,可判定D正確.【詳解】A中,由函數(shù),令,可得,所以A正確;B中,若,由,當且僅當時,即時,顯然不成立,所以B錯誤;C中,由函數(shù),則滿足,解得,即函數(shù)的定義域為,不關于原點對稱,所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù),所以C不正確;D中,由函數(shù),可得,所以,所以函數(shù)在內(nèi)必有零點,所以D正確.故選:AD.10.下列命題為真命題的是()A.“”的否定為“”B.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為C.函數(shù)與函數(shù)是同一個函數(shù)D.若方程在區(qū)間上有實數(shù)解,則實數(shù)的取值范圍為【答案】BD【解析】【分析】由含量詞命題的否定法則可直接判定選項A;先求定義域,再利用復合函數(shù)的同增異減的法則,可求出單調(diào)減區(qū)間,即可判定選項B;化簡函數(shù),即可判定選項C;通過分參法即可求解參數(shù)的范圍,則選項D可判定.【詳解】“”的否定為“”,故選項A錯誤;中,即解得,則定義域,又的增區(qū)間為,由復合函數(shù)同增異減可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,故選項B正確;由于,可知兩者解析式不一致,則函數(shù)與函數(shù)不是同一個函數(shù),故選項C錯誤;由,可得,又,則,又,所以故選項D正確;故選:BD.11.給出定義:若(其中為整數(shù)),則叫做離實數(shù)最近的整數(shù),記作,即.在此基礎上給出下列關于函數(shù)的四個命題:則下列命題中正確有()A.的定義域是,值域是B.點是的圖像的對稱中心,其中C.函數(shù)滿足D.函數(shù)在上是增函數(shù)【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)新定義,得到值域是,在對各選項由定義逐一判定即可.【詳解】因為,所以,所以可得值域是,選項A正確;由于,,但是由于值域是,可知不是中心對稱圖形故選項B錯誤;,選項C正確;當時,單調(diào)增當時,單調(diào)增,可得分段函數(shù)在不單調(diào),故選項D錯誤.故選:AC.12.已知函數(shù)的圖象關于對稱,且對,,當,且時,成立,若對任意恒成立,則實數(shù)的可能取值為()A. B. C.0 D.1【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)題意,得到函數(shù)為偶函數(shù),且在上為單調(diào)遞增函數(shù),把不等式轉(zhuǎn)化為對任意恒成立,當時,得到,結(jié)合基本不等式,即可求解.【詳解】因為函數(shù)的圖象關于對稱,所以函數(shù)的圖象關于對稱,可得函數(shù)為偶函數(shù),又因為當,且時,成立,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增函數(shù),由對任意恒成立,所以對任意恒成立,當時,恒成立;當時,,因為,當且僅當時,即時,等號成立,所以,即實數(shù)的取值范圍為,結(jié)合選項,BCD項符合題意.故選:BCD.三、填空題:本題共4小題,每小題3分,共12分.13.函數(shù)的定義域是_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)偶次方根的被開方數(shù)非負、分母不為零得到方程組,解得即可;【詳解】解:因為,所以,解得且,故函數(shù)的定義域為;故答案為:14.已知函數(shù)f(x)=為奇函數(shù),則a+b=________.【答案】0【解析】【詳解】當x>0時,-x<0,f(-x)=x2-x,-f(x)=-ax2-bx,故x2-x=-ax2-bx,所以-a=1,-b=-1,即a=-1,b=1,故a+b=0.15.已知,則的最小值為_______.【答案】【解析】【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解即可.【詳解】因為,所以,則.因為,所以,當且僅當,即時,等號成立.故答案為:16.設函數(shù),則函數(shù)的零點的個數(shù)為_______.【答案】【解析】【分析】分別畫出函數(shù)和的圖像,根據(jù)圖像得出結(jié)論.【詳解】因為,所以,轉(zhuǎn)化為,如圖所示,畫出函數(shù)和的圖像,當時,有一個交點,當時,,此時,故是函數(shù)的一個零點,因為,,滿足,所以在有兩個交點,因為,,滿足,所以在有兩個交點,因為,,,所以在內(nèi)沒有交點,當時,恒有,所以兩個函數(shù)沒有交點所以,函數(shù)的零點個數(shù)為.故答案為:.四、解答題:本題共6小題,共52分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(1)求值;(2)解不等式;(3)已知,求的值域.【答案】(1)8;(2)(3);.【解析】【分析】(1)可由指對數(shù)的運算公式直接求解;(2)可將,化為,再求解即可;(3)利用配方法可直接求解.【詳解】(1);(2)由可得,解得:,所以不等式的解為;(3),又,可得則函數(shù)的值域.18.已知函數(shù)(且)是定義在R上的奇函數(shù).(1)求及的值;(2)求函數(shù)的值域.【答案】(1);.(2)【解析】【分析】(1)可用特值法先求出的值,再檢驗是否是奇函數(shù),再代值求;(2)先分離常數(shù)得到,接著可用直接法,由的范圍,得到的范圍,再利用不等式的性質(zhì)得到的范圍,最后得到的范圍,繼而可求函數(shù)的值域.【小問1詳解】因為函數(shù)(且)是定義在R上的奇函數(shù),所以,可得,則,可得,經(jīng)檢驗:,所以為奇函數(shù),.【小問2詳解】,因為所以繼而所以,則,即,所以函數(shù)的值域.19.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),且.(1)確定函數(shù)的解析式;(2)用定義證明在上是增函數(shù);(3)解不等式:.【答案】(1)(2)證明見解析(3)【解析】【分析】(1)由解出,可確定函數(shù)的解析式;(2)用定義證明函數(shù)的單調(diào)性;(3)利用奇偶性和單調(diào)性解不等式.【小問1詳解】由題意,得,∴(經(jīng)檢驗符合題意),故.【小問2詳解】證明任取,且,則.∵,∴,,.又,∴.∴,即,∴在上是增函數(shù).小問3詳解】由(2)知在上是增函數(shù),又在上為奇函數(shù),,∴,∴,解得.∴不等式的解集為.20.已知函數(shù).(1)求函數(shù)的定義域,并判斷函數(shù)的奇偶性;(2)對于,不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1);為奇函數(shù)(2)【解析】【分析】(1)根據(jù)題意,結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義和判定方法,即可求解;(2)根據(jù)題意,利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),轉(zhuǎn)化為,不等式恒成立,結(jié)合換元法和對勾函數(shù)的性質(zhì),即可求解.【小問1詳解】解:由函數(shù),則滿足,解得或,即函數(shù)的定義域為,關于原點對稱,又由,所以函數(shù)在定義域上的奇函數(shù).【小問2詳解】解:因為對于,不等式恒成立,所以對于,不等式恒成立,所以對于,不等式組恒成立,可得對于,不等式恒成立,令,則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增函數(shù),所以,所以,所以實數(shù)的取值范圍為.21.已知二次函數(shù)(,,為實數(shù)).(1)若的解集為,求不等式的解集;(2)若不等式對任意恒成立,求的最大值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)結(jié)合一元二次不等式的解集得到與的關系,從而解不等式即可求出結(jié)果;(2)由題意可得,分、討論進而結(jié)合不等式的性質(zhì)以及均值不等式即可求出結(jié)果.小問1詳解】因為的解集為,所以是方程的兩個根,所以,且,,可得,,所以,解得,所以不等式的解集為;【小問2詳解】為二次函數(shù),所以,由得對任意恒成立,可得,即,可得,當時,,;當,設,則,則,當且僅當即且時等號成立,所以的最大值為.22.已知函數(shù).(1)當時,求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)求所有的實數(shù),當,使得對任意時,恒成立;(3)若存在,使得關于的方程有三個不相等的實數(shù)根,求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)增區(qū)間為、,減區(qū)間為;(2);(3).【解析】【分析】(1)寫出的分段函數(shù)形式,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)確定單調(diào)區(qū)間;(2)令,問題化為在上恒成立,討論、、、、,結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)研究恒成立求參數(shù)范圍;(3)由題意,存在使有三個不相等的實數(shù)根,由時遞增不符合,只需研究,結(jié)合二次函數(shù)、對勾函數(shù)性質(zhì)及方程有解求參數(shù)范圍.【小問1詳解】由題設,對于在上遞增;對于,在上遞增,在上遞減;所以增區(qū)間為、,減區(qū)間為.【小問2詳解】由題設,若對任意時,恒成立,令,在上恒成立,當時,則,而開口向下且對稱軸為,若,即時,在上遞增,此時最大值,不合題意;若,即時,在上遞增,在上遞減,此時最大值,不合題意;當時,此時,不合題意;當時,則時遞減,此時,而時遞增,此時即可,故,所以,此時,滿足題設;當時,,且遞增,此時,不合題意;綜
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