本科經(jīng)濟計量學(xué)第3章(第4版)-支持高清瀏覽

第3章雙變量模型：假設(shè)檢驗第3章·3.1古典線性回歸模型·3.2普通最小二乘估計量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差·3.3OLS估計量的性質(zhì)·3.4OLS估計量的抽樣分布或概率分布·3.5假設(shè)檢驗·3.6擬合優(yōu)度檢驗：判定系數(shù)·3.7回歸分析結(jié)果的報告·3.8數(shù)學(xué)S.A.T一例的計算機輸出結(jié)果·3.9正態(tài)性檢驗·3.10綜合實例：美國商業(yè)部門工資和生產(chǎn)率的關(guān)系·3.11預(yù)測·3.12小結(jié)2第3章3.1

古典線性回歸模型（CLRM）滿足如下基本假定的線性回歸模型稱為古典線性回歸模型(Classical

Linear

Regression

Model,CLRM)?；炯俣ǎ杭俣?.1

回歸模型是參數(shù)線性的，但不一定是變量線性的。模型形式如下：假定3.2

解釋變量X與隨機擾動項u不相關(guān)。（X是確定性變量時自然成立。）假定3.3給定Xi，隨機擾動項的期望為零。即圖3-1擾動項的條件分布3第3章假定3.4同方差假定，即圖3-2a同方差和異方差的對比假定3.5

無自相關(guān)假定，即圖3-3自相關(guān)假定3.6

回歸模型是正確設(shè)定的。即實證分析的模型不存在設(shè)定誤差或設(shè)定錯誤。4第3章圖3-15擾動項的條件分布第3章圖3-2

同方差和異方差的對比6第3章圖3-3

自相關(guān)uiuiuiujujuja)

b)c)..

.........

...

....

...........

..

......

.無自相關(guān)假定表明隨機擾動項ui是純隨機的。7第3章3.2

普通最小二乘估計量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差在第2章我們已經(jīng)知道：利用最小二乘原理可以得到雙變量模型參數(shù)的OLS估計量如下：因為上面的估計量是隨機變量，它們的值隨樣本的變化而變化，我們有必要討論它們的性質(zhì)。在討論這些最小二乘估計量的性質(zhì)之前，先來看它們的方差。8第3章方差及標(biāo)準(zhǔn)差：（3-4）（3-5）（3-6）（3-7）（3-8）（3-9）回歸標(biāo)準(zhǔn)差：我們不加證明地給出上面兩個估計量的方差如下：9第3章3.2.1

數(shù)學(xué)S.A.T一例中的方差和標(biāo)準(zhǔn)差10我們可以根據(jù)前面給出的公式計算數(shù)學(xué)S.A.T一例中估計量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差，以及回歸標(biāo)準(zhǔn)差。見表3-1。（具體計算見Excel文件）3.2.2數(shù)學(xué)S.A.T一例小結(jié)估計的數(shù)學(xué)S.A.T函數(shù)如下：（3-16）第3章0.00024511第3章Dependent

Variable:

YIMethod:

Least

SquaresSample:

1

10Included

observations:

10VariableCoefficientStd.

Error t-StatisticProb.C432.413816.90607

25.577420.0000XI0.0013320.000245

5.4353960.0006R-squared0.786914Mean

dependent

var507Adjusted

R-squared0.760278S.D.

dependent

var63.77913S.E.of

regression31.22715Akaike

info

criterion9.897309Sum

squared

resid7801.078Schwarz

criterion9.957826Log

likelihood-47.4866F-statistic29.54353Durbin-Watson

stat0.842054Prob(F-statistic)0.000619假設(shè)檢驗12第3章3.3

OLS估計量的性質(zhì)OLS方法能夠得到如此廣泛的使用是有原因的。高斯－馬爾柯夫定理：若滿足古典線性回歸模型的基本假定，則在所有線性無偏估計量中，OLS估計量具有最小方差性，即：OLS估計量b1、b2是最優(yōu)線性無偏估計量.13第3章(3)最小方差性：即b1的方差小于其他任何一個B1的無偏估計量的方差；

b2的方差小于其他任何一個B2的無偏估計量的方差。(1)線性：即b1和

b2是隨機變量Y的線性函數(shù)。(2)無偏性：即14第3章蒙特卡洛試驗（略）在理論上，OLS估計量是無偏估計量，在實際中，我們可以進行蒙特卡洛試驗來驗證其無偏性。假定已知如下信息：ui服從N(0,4)分布假定X有10個觀察值:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10試驗及試驗結(jié)果見表3-2蒙特卡洛試驗

（書47頁），具體操作見Excel文件。15第3章3.4

OLS估計量的抽樣分布或概率分布為了求得OLS估計量b1和b2的抽樣分布,我們需要在古典線性回歸模型的基本假定上再增加一條假定,即:假定3.7

在總體回歸函數(shù)中,誤差項ui

服從均值為0,方差為

的正態(tài)分布,即這個假定的理論基礎(chǔ)是中心極限定理：大量獨立同分布的隨機變量的和的分布近似服從正態(tài)分布。16第3章圖3-4估計量分布的幾何圖形因為

所以Y服從正態(tài)分布，而OLS估計量b1和b2又是正態(tài)變量Y的線性函數(shù)，所以b1和b2也服從正態(tài)分布。有：17第3章18圖3-4

估計量分布的幾何圖形B1a)B2b)b1b2第3章3.5

假設(shè)檢驗在數(shù)學(xué)S.A.T一例中，1.

零假設(shè)、備擇假設(shè)及其含義假定家庭年收入對學(xué)生的數(shù)學(xué)成績沒有影響，即零假設(shè)和備擇假設(shè)為:置信區(qū)間檢驗?zāi)康氖窍肟疾熳宰兞縓對應(yīng)變量Y是否有顯著影響。盡管估計得到的參數(shù)為0.0013，但由于抽樣波動性，這一數(shù)字到底與0是否有顯著性差異，還有待于檢驗。19第3章可以選擇兩種方法對參數(shù)b1和b2進行假設(shè)檢驗：置信區(qū)間法。顯著性檢驗法。202.檢驗方法第3章3.檢驗所用統(tǒng)計量及其分布因為：若隨機誤差的方差已知，即可利用Z統(tǒng)計量來進行假設(shè)檢驗。如果隨機誤差的方差未知，用其估計值來代替，我們可以利用下面統(tǒng)計量：或21第3章3.5.1

置信區(qū)間法接上面例子，假定顯著水平α為5％，由于是雙尾檢驗查表可得(注意自由度，自由度＝10－2＝8)：得到B2的95％置信區(qū)間為22第3章即，將數(shù)學(xué)S.A.T一例中的數(shù)字代入，得到B2的95％置信區(qū)間為[0.00074，0.00187]因為零假設(shè)值落入拒絕域，所以拒絕零假設(shè)，認為家庭年收入對學(xué)生的數(shù)學(xué)成績有影響。23因為B2的95％置信區(qū)間為第3章3-5圖

給出95%置信區(qū)間幾何圖形同理，截距的95%的置信區(qū)間為：（3-28）[b2

-2.306se(b2

)]b2[b2

+

2.306se(b2

)]a)0.000740.00187b2

b)24第3章3.5.2

假設(shè)檢驗的顯著性檢驗法已知：在零假設(shè)

下，有：(3-29)利用t統(tǒng)計量對模型參數(shù)做顯著性假設(shè)檢驗的過程稱為t檢驗。25第3章在具體應(yīng)用t檢驗時，需要知道：對于雙變量模型，自由度總為(n-2)雖然在經(jīng)驗分析中常用的顯著水平α有1%，5%，10%，但顯著性水平是由個人任意選取?？捎糜趩芜吇螂p邊檢驗。26第3章3.5.3

繼續(xù)學(xué)生數(shù)學(xué)S.A.T一例顯著水平0.010.050.10t臨界值±3.355±

2.306±

1.86027(1)雙邊檢驗零假設(shè)：計算得到t值為：根據(jù)t分布表,求得t的臨界值(雙邊,自由度為8)為:

(見圖3-6)圖

3-6

t分布圖第3章5%2.5%0.5%圖3-6

t分布圖-3.355

-2.306

–1.860

0

1.860

2.306

3.355

t

(8

d.f根據(jù)上面的表和圖，我們可以得到拒絕零假設(shè)的結(jié)論，也可以利用計算得到的t值所對應(yīng)的P值更好地看出這一點。5%2.5%0.5%t＝5.435428第3章(2)單邊檢驗29圖

3-7(a)

t單邊檢驗在學(xué)生數(shù)學(xué)S.A.T一例中，在零假設(shè)下計算得到t=5.4354。由于預(yù)期模型中的家庭年收入系數(shù)為正，因此可利用如下假設(shè)：顯著水平0.010.050.10t的t

臨界值(右邊2，.8拒96絕域在1右.8尾60)為：

1.397第3章圖3-7單邊t檢驗10%10%5%1%0

1.397

1.860

2.896a)-2.896

–1.860

–1.397

0b)t=

5.43545%1%t(根據(jù)上面的表和圖，我們可以得到拒絕零假設(shè)、接受備擇假設(shè)的結(jié)論。也就是說，可以認為家庭年收入對學(xué)生的數(shù)學(xué)S.A.T有正向影響。30第3章3.6

擬和優(yōu)度的檢驗:判定系數(shù)本節(jié)我們考察估計得到的樣本回歸直線對真實Y值擬合的優(yōu)劣程度。總離差平方和(TSS)回歸平方和(ESS)

殘差平方和(RSS)相關(guān)系數(shù)31第3章(

圖3-8 總變動的分解)(3-37)(3-38)稱R2為判定系數(shù)，它度量了回歸模型對Y的變動解釋的程度。判定系數(shù)的性質(zhì):非負性,若

R2=1

,表示線性模型完全解釋的變動,若

R2

=0,表示

Y與X之間無任何關(guān)系。平方和分解式：32第3章圖3-8

Yi中總變動的分解YX..33第3章3.6.1判定系數(shù)的計算公式(3-39)(3-40)34第3章3.6.2學(xué)生數(shù)學(xué)S.A.T一例中的判定系數(shù)利用表2-4中的數(shù)據(jù)和上面計算判定系數(shù)的公式，可以計算得到：因為此時的r2較大，可以認為，樣本回歸函數(shù)較好地擬合了總體回歸函數(shù)。35第3章3.6.3

相關(guān)系數(shù)樣本相關(guān)系數(shù)是度量兩變量X和Y之間線性相關(guān)程度的指標(biāo)，可以利用下面的計算公式得到：(3-42)(3-43)(3-44)(3-45)在回歸分析中，判定系數(shù)比相關(guān)系數(shù)更有意義。36第3章在學(xué)生的數(shù)學(xué)S.A.T中，回歸分析的結(jié)果為：3.7

回歸分析結(jié)果的報告(3-46)其中，se

對應(yīng)參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，t

對應(yīng)參數(shù)在零假設(shè)(真實值為0)下計算得到的t值，p對應(yīng)計算得到的t值的P值。37第3章3.8

博彩支出一例的計算機輸出結(jié)果38常用軟件：EVIEWS，LIMDEP，SHAZAM，TSP，SAS，SPSS，MINTAB有關(guān)參考書：計量經(jīng)濟分析方法與建模：Eviews應(yīng)用及實例，高鐵梅主編，清華大學(xué)出版社，2006年1月數(shù)據(jù)分析與Eviews應(yīng)用，易丹輝，中國統(tǒng)計出版社，2005年12月計量經(jīng)濟學(xué)軟件Eviews使用指南，張曉峒主編，南開大學(xué)出版社，2004年12月。第3章Eviews回歸分析簡單操作39打開新文件選擇序列形式建立數(shù)據(jù)文件：

data

y

x

或主菜單Quick——Empty

Group；畫圖：數(shù)據(jù)框View——Graph或主菜單Quick——Graph；OLS估計：編輯框ls

y

c

x或主菜單Quick——Estimate

Equation；第3章VariableCoefficientStd.

Errort-StatisticProb.C2841.466417.56746.8048070.0000X0.9139580.02781732.856450.0000R-squared0.990822Mean

dependent

var16512.75Adjusted

R-squared0.989904S.D.

dependent

var1209.380S.E.

of

regression121.5168Akaike

info

criterion12.58899Sum

squared

resid147663.3Schwarz

criterion12.66981Log

likelihood-73.53396F-statistic1079.546Durbin-Watson

stat2.347404Prob(F-statistic)0.000000406.在輸出結(jié)果中考察模型的擬合程度n＝12分別是：R2、調(diào)整的R2、回歸標(biāo)準(zhǔn)差、殘差平方和、對數(shù)似然函數(shù)值、DW統(tǒng)計量、應(yīng)變量的均值、應(yīng)變量的標(biāo)準(zhǔn)差、AIC值、SIC值、F統(tǒng)計量及對應(yīng)P值。第3章學(xué)Dep生end數(shù)ent學(xué)VaSr.iaAb.lTeT:一YI例的計算機輸出結(jié)果41Method:

Least

SquaresSample:

1

10Included

observations:

10VariableCoefficientStd.

Error t-StatisticProb.C432.413816.90607

25.577420.0000XI0.0013320.000245

5.4353960.0006R-squared0.786914Mean

dependent

var507Adjusted

R-squared0.760278S.D.

dependent

var63.77913S.E.of

regression31.22715Akaike

info

criterion9.897309Sum

squared

resid7801.078Schwarz

criterion9.957826Log

likelihood-47.4866F-statistic29.54353Durbin-Watson

stat0.842054Prob(F-statistic)0.000619第3章3.9

正態(tài)性檢驗正態(tài)性檢驗是用于檢驗誤差項ui是否服從正態(tài)分布。在實際應(yīng)用中，我們是對ui的估計值殘差ei作正態(tài)性檢驗。3.9.1

殘差直方圖這里我們主要利用殘差的直方圖來考察殘差的分布。具體操作如下：將殘差按順序從小到大排列，再將其劃分為若干適當(dāng)?shù)膮^(qū)間，計算殘差落入每個區(qū)間的頻數(shù)(或頻率)，將頻數(shù)(或頻率)做成直方圖，觀察直方圖的圖形是否與鐘型正態(tài)曲線近似，以此說明殘差的正態(tài)性。42第3章43頻

數(shù)1

-2

-0.5

1.0

1.5-------2.0

-1.5

-1.0-

-0.5

0.0殘差-直方圖JB檢驗第3章3.9.2

正態(tài)概率圖44在正態(tài)概率紙上作圖。正態(tài)概率紙是一種特殊刻度的坐標(biāo)紙，將殘差畫在正態(tài)概率紙上可以幫助我們直觀地判斷它是否屬于正態(tài)分布?？梢宰约鹤龀稣龖B(tài)概率圖（可參看《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》，茆詩松等編著，中國統(tǒng)計出版社，

2002.5），也可利用Minitab軟件得到。見Minitab具體操作。第3章.999

–.990

–.950

–.800

–.500

–-----1.0.........200

–.050

–

..010

–.001

---0.5回歸方程的殘差45率Average:-0.0000000StDev:0.4716440.0

0.5A-Squared:0.250P-Value:0.664N:10第3章3.9.3

Jarque-Bera檢驗另一種常用的正態(tài)性檢驗是Jarque－Bera(JB)檢驗，它是依據(jù)OLS殘差，對大樣本的一種檢驗方法。首先計算殘差的偏度系數(shù)S和峰度系數(shù)K（對于正態(tài)分布變量，偏度為0，峰度為3），利用如下檢驗統(tǒng)計量進行假設(shè)檢驗。檢驗統(tǒng)計量:

(3-47)正態(tài)假定下,

(3-48)46第3章如果變量服從正態(tài)分布，則S為0，K為3，因而統(tǒng)計量的值為零。47如果計算得到：偏度系數(shù)為-0.410553，表明殘差是負偏的，峰度系數(shù)為1.2918，表明殘差的分布比正態(tài)分布略胖。由此計算得到的JB統(tǒng)計量的值為1.4968，對應(yīng)p值為0.4731，說明我們不能拒絕零假設(shè)，即可認為殘差是服從正態(tài)分布的。但這個結(jié)論并不準(zhǔn)確，如果只有10個觀察值，小樣本情形下，JB檢驗是無效的。第3章3.10

綜合實例:美國商業(yè)部門工資和生產(chǎn)率的關(guān)系表3-3給出了1959～2006年間美國商業(yè)部門勞動生產(chǎn)率和工資數(shù)據(jù)。設(shè)Y表示實際工資,X表示勞動生產(chǎn)率,模型為：對X、Y作散點圖，可以看出Y與X有較強的正相關(guān)。各種分析見Eviews文件。48第3章3.11

預(yù)測給定自變量X的值，可以利用已經(jīng)得到的樣本回歸方程對相應(yīng)應(yīng)變量Y的均值（E(Y|X)）進行點預(yù)測和區(qū)間預(yù)測。對給定的Xi，利用樣本回歸方程計算得到的稱為E(Y

|

Xi)的點估計值（點預(yù)測值）。49第3章在CLRM假定下,可以證明估計量

服從正態(tài)分布，其均值和方差分別為:(3-51)繼續(xù)學(xué)生數(shù)學(xué)S.A.T一例，假定變量X(收入)取某一值X0,(比如X0

=78000美元)，現(xiàn)在估計這類家庭學(xué)生數(shù)學(xué)S.A.T的平均成績，即E(Y|X0

),

因為=E(Y|X0)的估計量在CLRM假定下,

＝432.4138+0.0013*78000＝533.8138

(3-50)區(qū)間預(yù)測：50第3章當(dāng)隨機擾動項方差未知時，我們可用其無偏估計量殘差方差代替，所以我們可用t分布對E(Y

|

Xi)建