第二章2 6函數(shù)與方程2 6

高考文數(shù)

(課標(biāo)Ⅲ專用)§2.6函數(shù)與方程1.(2019課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,5,5分)函數(shù)f(x)=2sinx-sin2x在[0,2π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

()A.2

B.3

C.4

D.5五年高考A組

統(tǒng)一命題·課標(biāo)卷題組答案

B本題考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷,以三角函數(shù)為背景同時(shí)考查三角函數(shù)式的求值與

化簡(jiǎn),以及學(xué)生的運(yùn)算求解能力和函數(shù)與方程思想的應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).由f(x)=2sinx-sin2x=2sinx-2sinxcosx=2sinx·(1-cosx)=0得sinx=0或cosx=1,∴x=kπ,k∈Z,又∵x∈[0,2π],∴x=0,π,2π,即零點(diǎn)有3個(gè),故選B.解題關(guān)鍵遵循角度統(tǒng)一原則,利用二倍角的正弦公式展開計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵.2.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,12,5分)已知函數(shù)f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零點(diǎn),則a=

()A.-

B.

C.

D.1答案

C解法一:因?yàn)閒(1-x)=f(1+x),故f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,又f(x)只有一個(gè)零點(diǎn),故此零點(diǎn)必在對(duì)稱軸上,即f(1)=1-2+2a=0,解得a=

.解法二:在f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)中,令x-1=t,則x=t+1,得f(t+1)=t2+a(et+e-t)-1=g(t),則g(t)為偶函數(shù),其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,故唯一零點(diǎn)為t=0,由g(0)=0解得a=

.B組自主命題·省(區(qū)、市)卷題組1.(2019天津,8,5分)已知函數(shù)f(x)=

若關(guān)于x的方程f(x)=-

x+a(a∈R)恰有兩個(gè)互異的實(shí)數(shù)解,則a的取值范圍為

()A.

B.

C.

∪{1}

D.

∪{1}答案

D本題以分段函數(shù)和方程的解的個(gè)數(shù)為背景,考查函數(shù)圖象的畫法及應(yīng)用.畫出函數(shù)y=f(x)的圖象,如圖.方程f(x)=-

x+a的解的個(gè)數(shù),即為函數(shù)y=f(x)的圖象與直線l:y=-

x+a的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù).當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí),有2=-

×1+a,a=

;當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí),有1=-

×1+a,a=

.由圖可知,a∈

時(shí),函數(shù)y=f(x)的圖象與l恰有兩個(gè)交點(diǎn).另外,當(dāng)直線l與曲線y=

,x>1相切時(shí),恰有兩個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)a>0.聯(lián)立

得

=-

x+a,即

x2-ax+1=0,由Δ=a2-4×

×1=0,得a=1(舍去負(fù)根).綜上,a∈

∪{1}.故選D.一題多解令g(x)=f(x)+

x=

當(dāng)0≤x≤1時(shí),g(x)=2

+

為增函數(shù),其值域?yàn)?/p>

;當(dāng)x>1時(shí),g(x)=

+

,對(duì)g(x)求導(dǎo)得g'(x)=-

+

,令g'(x)=0,得x=2,當(dāng)x∈(1,2)時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,∴當(dāng)x=2時(shí),g(x)min=g(2)=1,函數(shù)g(x)的簡(jiǎn)圖如圖

所示:

方程f(x)=-

x+a恰有兩個(gè)互異的實(shí)數(shù)解,即函數(shù)y=g(x)的圖象與直線y=a有兩個(gè)不同的交點(diǎn),由圖可知

≤a≤

或a=1滿足條件,故選D.易錯(cuò)警示本題入手時(shí),容易分段研究方程2

=-

x+a(0≤x≤1)與

=-

x+a(x>1)的解,陷入相對(duì)復(fù)雜的運(yùn)算過(guò)程.利用數(shù)形結(jié)合時(shí),容易在區(qū)間的端點(diǎn)處出現(xiàn)誤判.2.(2018浙江,15,6分)已知λ∈R,函數(shù)f(x)=

當(dāng)λ=2時(shí),不等式f(x)<0的解集是

.若函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn),則λ的取值范圍是

.答案(1,4);(1,3]∪(4,+∞)解析本題考查分段函數(shù),解不等式組,函數(shù)的零點(diǎn),分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想.當(dāng)λ=2時(shí),不等式f(x)<0等價(jià)于

或

即2≤x<4或1<x<2,故不等式f(x)<0的解集為(1,4).易知函數(shù)y=x-4(x∈R)有一個(gè)零點(diǎn)x1=4,函數(shù)y=x2-4x+3(x∈R)有兩個(gè)零點(diǎn)x2=1,x3=3.在同一坐標(biāo)系中作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象(圖略),要使函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn),則只能有以下兩種

情形:①兩個(gè)零點(diǎn)為1,3,由圖可知,此時(shí)λ>4.②兩個(gè)零點(diǎn)為1,4,由圖可知,此時(shí)1<λ≤3.綜上,λ的取值范圍為(1,3]∪(4,+∞).思路分析(1)f(x)<0?

或

此時(shí)要特別注意分段函數(shù)在每一段上的解析式是不同的,要把各段上的不等式的解集取并集.(2)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定一般要作出函數(shù)圖象,此時(shí)要特別注意兩段的分界點(diǎn)是否能取到.3.(2017江蘇,14,5分)設(shè)f(x)是定義在R上且周期為1的函數(shù),在區(qū)間[0,1)上,f(x)=

其中集合D=

,則方程f(x)-lgx=0的解的個(gè)數(shù)是

.答案8解析解法一:由于f(x)∈[0,1),則只需考慮1≤x<10的情況,在此范圍內(nèi),x∈Q且x?Z時(shí),設(shè)x=

,p,q∈N*,p≥2且p,q互質(zhì),若lgx∈Q,則由lgx∈[0,1),可設(shè)lgx=

,m,n∈N*,m≥2且m,n互質(zhì),所以1

=

,則10n=

,此時(shí)等號(hào)左邊為整數(shù),等號(hào)右邊為非整數(shù),矛盾.所以lgx?Q,所以lgx不可能與每個(gè)周期內(nèi)x∈D對(duì)應(yīng)的部分相等,只需考慮lgx與每個(gè)周期內(nèi)x?D對(duì)應(yīng)的部分的交點(diǎn).畫出函數(shù)草圖,圖中交點(diǎn)除(1,0)外,其他交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均為無(wú)理數(shù),且x=1處(lgx)'=

=

<1,則在x=1附近僅有一個(gè)交點(diǎn),所以方程解的個(gè)數(shù)為8.

解法二:先證明結(jié)論:1

≠k-

,其中p,q∈N*且p,q互質(zhì),k,n∈N*.假設(shè)1

=k-

,則10q=

.左邊是整數(shù),而右邊不是整數(shù),矛盾.則1

≠k-

,則原方程即f(x)-lg(x+k)=0,其中k∈N*,x∈[0,1),該方程即k=10f(x)-x.當(dāng)x∈D時(shí),該方程有唯一解x=0,此時(shí)k=1,由于函數(shù)y=10x-x在(0,1)上單調(diào)遞增,所以,當(dāng)x?D時(shí),k=2,3,4,5,6,7,8均滿足該方程有唯一解.綜上所述,方程的解的個(gè)數(shù)為8.4.(2016山東,15,5分)已知函數(shù)f(x)=

其中m>0.若存在實(shí)數(shù)b,使得關(guān)于x的方程f(x)=b有三個(gè)不同的根,則m的取值范圍是

.答案(3,+∞)解析

f(x)的圖象如圖所示,

若存在實(shí)數(shù)b,使得關(guān)于x的方程f(x)=b有三個(gè)不同的根,只需4m-m2<m,解得m>3或m<0,又m>0,所

以m>3.方法總結(jié)分段函數(shù)問(wèn)題、函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題或方程根的個(gè)數(shù)問(wèn)題通常采用數(shù)形結(jié)合的思

想方法來(lái)解決.評(píng)析本題考查基本初等函數(shù)及分段函數(shù)的圖象,考查數(shù)形結(jié)合的思想方法,屬于難題.5.(2016浙江,12,6分)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+3x2+1.已知a≠0,且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2,x∈R,則實(shí)數(shù)a=

,b=

.答案-2;1解析

f(x)-f(a)=x3+3x2+1-(a3+3a2+1)=x3-a3+3(x2-a2)=(x-a)(x2+ax+a2)+3(x-a)(x+a)=(x-a)[x2+(a+3)x+a2+3a]=(x-b)(x-a)2,即x2+(a+3)x+a2+3a=0的兩個(gè)根分別為a,b,由a2+(a+3)a+a2+3a=0,得a=0(舍去)或a=-2.當(dāng)a=-2時(shí),方程為x2+x-2=0,則b=1.6.(2015湖北,13,5分)函數(shù)f(x)=2sinxsin

-x2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

.答案2解析

f(x)=2sinxcosx-x2=sin2x-x2,函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可轉(zhuǎn)化為函數(shù)y1=sin2x與y2=x2圖象的交

點(diǎn)個(gè)數(shù),在同一坐標(biāo)系中畫出y1=sin2x與y2=x2的圖象,如圖所示:

由圖可知兩函數(shù)圖象有2個(gè)交點(diǎn),則f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.7.(2015安徽,14,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若直線y=2a與函數(shù)y=|x-a|-1的圖象只有一個(gè)交

點(diǎn),則a的值為

.答案-

解析若直線y=2a與函數(shù)y=|x-a|-1的圖象只有一個(gè)交點(diǎn),則方程2a=|x-a|-1只有一解,即方程|x-a|=2a+1只有一解,故2a+1=0,所以a=-

.8.(2015湖南,14,5分)若函數(shù)f(x)=|2x-2|-b有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)b的取值范圍是

.答案(0,2)解析函數(shù)f(x)=|2x-2|-b有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)y=|2x-2|與y=b的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn).在同一

坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=|2x-2|及y=b的圖象,如圖.由圖可知b∈(0,2).

1.(2014湖北,9,5分)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2-3x.則函數(shù)g(x)=f(x)-x+3的

零點(diǎn)的集合為

()A.{1,3}

B.{-3,-1,1,3}C.{2-

,1,3}

D.{-2-

,1,3}C組教師專用題組答案

D當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x2-3x,令g(x)=x2-3x-x+3=0,解得x1=3,x2=1.當(dāng)x<0時(shí),-x>0,∴f(-x)=(-x)2-3(-x)=x2+3x,∴-f(x)=f(-x)=x2+3x,∴f(x)=-x2-3x.令g(x)=-x2-3x-x+3=0,解得x3=-2-

,x4=-2+

>0(舍),∴函數(shù)g(x)=f(x)-x+3的零點(diǎn)的集合是{-2-

,1,3},故選D.2.(2014北京,6,5分)已知函數(shù)f(x)=

-log2x.在下列區(qū)間中,包含f(x)零點(diǎn)的區(qū)間是

()A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,4)

D.(4,+∞)答案

C∵f(1)=6-log21=6>0,f(2)=3-log22=2>0,f(3)=2-log23>0,f(4)=

-log24=

-2<0,∴包含f(x)零點(diǎn)的區(qū)間是(2,4),故選C.3.(2014重慶,10,5分)已知函數(shù)f(x)=

且g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1]內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

()A.

∪

B.

∪

C.

∪

D.

∪

答案

A令g(x)=0,則f(x)=m(x+1),故函數(shù)g(x)在(-1,1]內(nèi)有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)

y=f(x)的圖象與直線y=m(x+1)有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn).函數(shù)f(x)的圖象如圖中實(shí)線所示.易求

kAB=

,kAC=-2,過(guò)A(-1,0)作曲線的切線,不妨設(shè)切線方程為y=k(x+1),

由

得kx2+(2k+3)x+2+k=0,則Δ=(2k+3)2-4k(2+k)=0,解得k=-

.故實(shí)數(shù)m的取值范圍為

∪

.4.(2014課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,12,5分)已知函數(shù)f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0,且x0>0,則a的取值

范圍是

()A.(2,+∞)

B.(1,+∞)

C.(-∞,-2)

D.(-∞,-1)答案

C解法一:①若a≥0,則由于f(0)=1,且當(dāng)x<-1時(shí),f(x)≤-3x2+1<0,從而f(x)在(-∞,0)上存在

零點(diǎn),不合題意.②若a<0,由于f'(x)=3ax

,所以當(dāng)x∈

∪(0,+∞)時(shí),f'(x)<0;當(dāng)x∈

時(shí),f'(x)>0.從而f(x)在

,(0,+∞)上單調(diào)遞減,在

上單調(diào)遞增.又f(0)=1,當(dāng)x>1時(shí),f(x)<-3x2+1<0,所以f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0,且x0>0等價(jià)于f

>0,即a·

-3·

+1>0.解得a>2(舍去)或a<-2.綜上,a的取值范圍是(-∞,-2).解法二:由于x=0不是函數(shù)f(x)的零點(diǎn),因此f(x)的零點(diǎn)與y=

-a的零點(diǎn)相同.設(shè)g(x)=

,則g'(x)=-

.當(dāng)x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)時(shí),g'(x)<0;當(dāng)x∈(-1,0)∪(0,1)時(shí),g'(x)>0.所以g(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上單調(diào)

遞減,在(-1,0),(0,1)上單調(diào)遞增.又g(-1)=-2,g(1)=2,從而可得函數(shù)g(x)的大致圖象,如圖所示.

由于f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0,且x0>0等價(jià)于直線y=a與y=g(x)圖象存在唯一的交點(diǎn),且此交點(diǎn)的橫

坐標(biāo)為正.由圖象可得a的取值范圍是(-∞,-2).解法三:采用排除法.取a=3,則f(x)=3x3-3x2+1.由于f(0)=1,f(-1)<0,從而f(x)在(-∞,0)上存在零點(diǎn),故排除A、B.取a=-

,則f(x)=-

x3-3x2+1.由于f(0)=1,f

<0,從而f(x)在(-∞,0)上存在零點(diǎn),故排除D.綜上知,應(yīng)選C.解法四:由于f(x)=0可化為ax3=3x2-1,所以f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0,且x0>0等價(jià)于函數(shù)g(x)=ax3的圖

象與h(x)=3x2-1的圖象存在唯一公共點(diǎn),且該點(diǎn)的橫坐標(biāo)大于零.a=0時(shí),g(x)=0,其圖象與h(x)的圖象存在兩個(gè)公共點(diǎn);a>0時(shí),由圖可知不合題意;a<0時(shí),由圖可知,可先求y=ax3與y=3x2-1有公共切線時(shí)a的取值.

由g'(x)=h'(x),g(x)=h(x)可得a=-2,由圖可知,當(dāng)a∈(-∞,-2)時(shí),滿足題設(shè)要求.5.(2014福建,15,4分)函數(shù)f(x)=

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

.答案2解析當(dāng)x≤0時(shí),由x2-2=0得x=-

;當(dāng)x>0時(shí),f(x)=2x-6+lnx在(0,+∞)上為增函數(shù),且f(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3>0,所以f(x)在(0,+∞)上有且只有一個(gè)零點(diǎn).綜上可知,f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.6.(2014天津,14,5分)已知函數(shù)f(x)=

若函數(shù)y=f(x)-a|x|恰有4個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

.答案(1,2)解析函數(shù)y=f(x)-a|x|恰有4個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)y=f(x)和y=a|x|的圖象恰有4個(gè)公共點(diǎn).在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)y=f(x)和y=a|x|的圖象可知,若滿足條件,則a>0.

當(dāng)a≥2時(shí),在y軸右側(cè),兩函數(shù)圖象只有一個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)在y軸左側(cè),射線y=-ax(x≤0)與拋物線y=

-x2-5x-4(-4<x<-1)需相切.由

消去y,得x2+(5-a)x+4=0.由Δ=(5-a)2-16=0,解得a=1或a=9.a=1與a≥2矛盾,a=9時(shí),切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,不符合.故0<a<2,此時(shí),在y軸右側(cè),兩函數(shù)圖象有兩個(gè)公共點(diǎn),若滿足條件,則-a<-1,即a>1.故1<a<2.7.(2014江蘇,13,5分)已知f(x)是定義在R上且周期為3的函數(shù),當(dāng)x∈[0,3)時(shí),f(x)=

.若函數(shù)y=f(x)-a在區(qū)間[-3,4]上有10個(gè)零點(diǎn)(互不相同),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.答案

解析當(dāng)x∈[0,3)時(shí),f(x)=

=

,由f(x)是周期為3的函數(shù),作出f(x)在[-3,4]上的圖象,如圖.

由題意知方程a=f(x)在[-3,4]上有10個(gè)不同的根.由圖可知a∈

.考點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)三年模擬A組2017—2019年高考模擬·考點(diǎn)基礎(chǔ)題組1.(2019西藏拉薩中學(xué)高三上第一次月考,3)使得函數(shù)f(x)=lnx+

x-2有零點(diǎn)的一個(gè)區(qū)間是

(

)A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,4)答案

C由題意可得函數(shù)的定義域?yàn)?0,+∞),∵f(1)=-

<0,f(2)=ln2-1<0,f(3)=ln3-

>0,∴函數(shù)f(x)=lnx+

x-2在(2,3)上有零點(diǎn).思路分析根據(jù)f(a)·f(b)<0,結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知函數(shù)在(a,b)上存在零點(diǎn),可得結(jié)論.2.(2019四川成都樹德中學(xué)高三階段性測(cè)試,9)函數(shù)f(x)=

-

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為

()A.0

B.1

C.2

D.3答案

C要求函數(shù)f(x)=

-

(x≠0)的零點(diǎn)個(gè)數(shù),即求函數(shù)y=

與函數(shù)y=

的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).當(dāng)x<0時(shí),y=

>0,y=

<0,不可能有交點(diǎn).當(dāng)x>0時(shí),令

=

,即2x-1=x,問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=2x-1與函數(shù)y=x的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).結(jié)合兩個(gè)函數(shù)的圖象(如圖所示),知有且僅有兩個(gè)交點(diǎn),所以原函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn).

3.(2019云南玉溪一中調(diào)研五,3)函數(shù)f(x)=log4x的圖象與函數(shù)g(x)=sinπx的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是

()A.2

B.3

C.4

D.5答案

B畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示,由圖可知,兩個(gè)函數(shù)圖象有3個(gè)交點(diǎn),故選B.

4.(2019四川綿陽(yáng)南山中學(xué)高三上一診,6)函數(shù)f(x)=

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

()A.0

B.1

C.2D.3答案

D當(dāng)x≤0時(shí),由f(x)=x2+4x+3=0,解得x=-3或x=-1,此時(shí)函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn);當(dāng)x>0時(shí),函數(shù)f(x)

=2x-6+lnx單調(diào)遞增,且f(1)<0,f(3)>0,此時(shí)函數(shù)f(x)只有一個(gè)零點(diǎn),所以共有3個(gè)零點(diǎn).故選D.5.(2019貴州遵義第四教育集團(tuán)高三上二聯(lián),10)已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且x≥0時(shí),f(x)=2x+x+a,g

(x)=

y=g(x)+2x-b有2個(gè)零點(diǎn),則b的取值范圍是

()A.(1,2]

B.[2,4)C.(-∞,4]

D.[4,+∞)答案

B函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且x≥0時(shí),∴f(x)=2x+x+a,則f(0)=0,得a=-1,∴f(x)=2x+x-1(x>0),x<0

時(shí),-x>0,∴f(-x)=2-x-x-1=-f(x),∴f(x)=-2-x+x+1(x<0).f(x)在(-∞,1)上是增函數(shù),且最大值f(1)=2,y=

log2x在[1,+∞)上是增函數(shù),x=1時(shí),y=0,利用圖象(圖略)知2≤b<4.6.(2019云南曲靖一中高三質(zhì)量監(jiān)測(cè)三,12)已知定義在R上的函數(shù)f(x)=

若函數(shù)k(x)=f(x)-ax恰有2個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

()A.(-∞,-1)∪{0}∪

B.(-∞,-1)∪{0}∪

C.

∪{0}∪

D.

∪{0}∪

答案

B令k(x)=f(x)-ax=0,得f(x)=ax,因?yàn)楹瘮?shù)k(x)=f(x)-ax恰有2個(gè)零點(diǎn),所以y=f(x)的圖象與直線y=ax有2個(gè)交點(diǎn),在平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=f(x)的圖象,如圖所示,當(dāng)x≤0時(shí),y=x2-x,y'=2x-1,所以y'(0)=-1,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象與直線y=ax有2個(gè)交點(diǎn),所以a<-1,當(dāng)0≤x≤1時(shí),y=x-x2,y'=1-2x,所以y'(0)=1,當(dāng)x>1時(shí),y=lnx,y'=

,設(shè)過(guò)(0,0)的直線與曲線y=lnx(x>1)的切點(diǎn)為(m,lnm),則y'(m)=

,所以

=

,解得m=e,所以切線斜率為

,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象與直線y=ax有2個(gè)交點(diǎn),所以

<a<1,當(dāng)a=0時(shí),也滿足函數(shù)f(x)的圖象與直線y=ax有2個(gè)交點(diǎn).綜上所述,當(dāng)a∈(-∞,-1)∪{0}∪

時(shí),函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=ax有兩個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)y=k(x)恰有兩個(gè)零點(diǎn),故選B.

7.(2019云南曲靖一中高三質(zhì)量監(jiān)測(cè)二,16)已知f(x)=1-|lgx|,則函數(shù)y=2f2(x)-3f(x)+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)

為

.答案3解析解法一:由2f2(x)-3f(x)+1=0,可解得f(x)=1或f(x)=

.若f(x)=1,即1-|lgx|=1,即lgx=0,解得x=1,若f(x)=

,即1-|lgx|=

,即lgx=±

,解得x=

或x=

,則函數(shù)y=2f2(x)-3f(x)+1有3個(gè)零點(diǎn).故答案為3.解法二:圖象法.由2f2(x)-3f(x)+1=0,可解得f(x)=1或f(x)=

,畫出函數(shù)f(x)的大致圖象如下:

由圖可知f(x)=1有1個(gè)解,f(x)=

有2個(gè)解,故函數(shù)y=2f2(x)-3f(x)+1有3個(gè)零點(diǎn).8.(2019云南師范大學(xué)附屬中學(xué)高三月考)若函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=-f(x),且x∈[-1,1]時(shí),f(x)=x2,函

數(shù)g(x)=lg|x|,則函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是

.答案18解析∵f(x+1)=-f(x),∴f(x+2)=-f(x+1)=f(x),∴f(x)是周期為2的函數(shù).如圖,分別作出y=f(x)與y=g

(x)(x>0)的圖象,在(0,+∞)上,f(x)與g(x)的圖象有9個(gè)交點(diǎn),又f(x)與g(x)都為偶函數(shù),所以在(-∞,0)

上,f(x)與g(x)的圖象也有9個(gè)交點(diǎn),所以函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是18.

9.(2019云南昆明高三調(diào)研,16)已知函數(shù)f(x)=

g(x)=f(x-1)-a(x-3),若g(x)有兩個(gè)零點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

.答案

∪(0,+∞)解析函數(shù)g(x)有兩個(gè)零點(diǎn),就是方程f(x-1)-a(x-3)=0有兩個(gè)解,也就是函數(shù)y=f(x-1)與y=a(x-3)

的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).y=f(x-1)=

的圖象如圖所示.易知y=a(x-3)的圖象過(guò)定點(diǎn)(3,0).當(dāng)a=0時(shí),兩個(gè)函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn),不符合題意;當(dāng)a<0時(shí),兩個(gè)函數(shù)的圖象要有兩個(gè)交點(diǎn),則直線y=a(x-3)過(guò)點(diǎn)(1,1)時(shí),斜率a取得最小值,為-

,所以-

≤a<0;當(dāng)a>0時(shí),兩個(gè)函數(shù)的圖象一定有兩個(gè)交點(diǎn).綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是

∪(0,+∞).10.(2019廣西百色高三調(diào)研,16)已知函數(shù)f(x)=a(x2+2x)+2x+1+2-x-1(a∈R)有唯一零點(diǎn),則f(a)=

.答案

解析∵函數(shù)y=x2+2x與y=2x+1+2-x-1的圖象均關(guān)于直線x=-1對(duì)稱,∴y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=-1對(duì)

稱,∴f(x)的唯一零點(diǎn)必為-1,∴f(-1)=0,即-a+1+1=0,解得a=2,則f(a)=f(2)=

.B組

2017—2019年高考模擬·專題綜合題組時(shí)間:20分鐘分值:35分一、選擇題(每小題5分,共30分)1.(2019四川成都石室中學(xué)月考,2)若函數(shù)f(x)=|lnx|-3-x的兩個(gè)零點(diǎn)是x1,x2,則

()A.x1x2=1

B.x1x2>1C.x1x2<1

D.無(wú)法判斷答案

C由f(x)=|lnx|-3-x=0得|lnx|=3-x,令h(x)=|lnx|,g(x)=3-x,在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)h(x)=|lnx|與g(x)=3-x的圖象.設(shè)函數(shù)h(x)=|lnx|與直線y=m(m>0)的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1,x3,則0<x1<1<x3,即-lnx1=lnx3,即x1x3=1,又

x2<x3,所以x1x2<x1x3=1,故選C.

2.(2019貴州貴陽(yáng)一中高三第五次月考,12)設(shè)f(x)是圖象連續(xù)不斷的偶函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)是單

調(diào)函數(shù),則g(x)=f(x)-f

的所有零點(diǎn)之和為

()A.-1

B.1

C.-5

D.5答案

C由f(x)-f

=0,即f(x)=f

及偶函數(shù)的對(duì)稱關(guān)系,得x=

,-x=

,化簡(jiǎn)為2x2+4x-3=0①和2x2+6y+3=0②.故Δ①=40>0,Δ②=12>0,且x≠-

(有實(shí)根,無(wú)增根),設(shè)零點(diǎn)分別為x1,x2,x3,x4,故由根與系數(shù)的關(guān)系得(x1+x2)+(x3+x4)=-2+(-3)=-5,故選C.3.(2019四川涼山州高中二診)設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(x+2)=f(2-x),當(dāng)x∈[-2,0]時(shí),

f(x)=

-1,則在區(qū)間(-2,6)內(nèi)關(guān)于x的方程f(x)-log8(x+2)=0解的個(gè)數(shù)為

()A.1

B.2

C.3

D.4答案

C對(duì)于任意的x∈R,都有f(x+2)=f(2-x),所以f(x+4)=f[(2+(x+2))]=f[2-(x+2)]=f(-x)=f(x),所

以函數(shù)f(x)是一個(gè)周期為4的周期函數(shù),因?yàn)閒(x)-log8(x+2)=0,所以f(x)=log8(x+2),當(dāng)x∈[-2,0]時(shí),f(x)=

-1,作出y=f(x)與y=log8(x+2)在區(qū)間(-2,6)內(nèi)的函數(shù)圖象,如圖所示,圖象交點(diǎn)有3個(gè).即在區(qū)間(-2,6)內(nèi)關(guān)于x的方程f(x)-log8(x+2)=0的解的個(gè)數(shù)為3.

易錯(cuò)警示解此類題需注意:一是定義域優(yōu)先意識(shí),有關(guān)函數(shù)的單調(diào)性的研究,需先關(guān)注函數(shù)的

定義域;二是草圖不草,圖象的關(guān)鍵點(diǎn)與圖象的趨勢(shì)應(yīng)當(dāng)較準(zhǔn)確地勾勒出來(lái),判斷有關(guān)交點(diǎn)個(gè)數(shù)

問(wèn)題時(shí)才不易出錯(cuò).4.(2019四川南充高三二診,12)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+4)=f(x),f(x)=

若關(guān)于x的方程f(x)-ax=0有5個(gè)不同實(shí)根,則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是

()A.

B.

C.

D.

答案

D由題意可得函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù),作函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=ax的圖象,

由圖象可得方程-(x-4)2+1=ax,即x2+(a-8)x+15=0在(3,5)上有2個(gè)實(shí)數(shù)根,由

解得0<a<8-2

.再由方程f(x)=ax在(5,6)內(nèi)無(wú)解,可得6a>1,即a>

.綜上,可得

<a<8-2

,故選D.思路分析由題意可得函數(shù)f(x)是以4為周期的周期函數(shù),作出函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=ax的圖象,由

圖象可得方程-(x-4)2+1=ax在(3,5)上有2個(gè)實(shí)數(shù)根,解得0<a<8-2

.再由方程f(x)=ax在(5,6)內(nèi)無(wú)解可得6a>1.由此求得正實(shí)數(shù)a的取值范圍.5.(2019四川宜賓高三二診,12)已知奇函數(shù)f(x)是定義在R上的單調(diào)函數(shù),若函數(shù)g(x)=f(x2)+f(a-2|

x|)恰有4個(gè)零點(diǎn),則a的取值范圍是

()A.(-∞,1)

B.(1,+∞)

C.(0,1]

D.(0,1)答案

D已知奇函數(shù)f(x)是定義在R上的單調(diào)函數(shù),令f(x2)+f(a-2|x|)=0,由函數(shù)g(x)=f(x2)+f(a-2|x

|)恰有4個(gè)零點(diǎn),知x2-2|x|+a=0有4個(gè)根,則x2-2x+a=0有2個(gè)不等正根,即

解得0<a<1,即a的取值范圍是0<a<1,故選D.評(píng)析本題考