新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點突破課件 第1部分 專題突破 專題4　微重點14　與空間角有關(guān)的最值問題（含解析）

微重點14與空間角有關(guān)的最值問題專題四

立體幾何立體幾何動態(tài)問題中，空間角的最值及范圍問題是高考的?？碱}型，常與圖形翻折、點線面等幾何元素的變化有關(guān)，常用方法有幾何法、函數(shù)(導(dǎo)數(shù))法、不等式法等.主要是利用三角函數(shù)值比較及最小角定理(線面角是最小的線線角，二面角是最大的線面角)等求解.考點一空間角的大小比較考點二空間角的最值考點三空間角的范圍專題強化練內(nèi)容索引空間角的大小比較考點一(2022·嘉興質(zhì)檢)已知長方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD為正方形，AA1＝a，AB＝b，且a＞b，側(cè)棱CC1上一點E滿足CC1＝3CE，設(shè)異面直線A1B與AD1，A1B與D1B1，AE與D1B1所成的角分別為α，β，γ，則A.α＜β＜γ

B.γ＜β＜αC.β＜α＜γ

D.α＜γ＜β√例1以D為原點，DA所在直線為x軸，DC所在直線為y軸，DD1所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，∵長方體ABCD－A1B1C1D1的底面為正方形，AA1＝a，AB＝b，且a＞b，側(cè)棱CC1上一點E滿足CC1＝3CE，∴A1(b，0，a)，B(b，b，0)，A(b，0,0)，D1(0,0，a)，∵a＞b＞0，∴cos

α＞cos

β＞cos

γ＝0，∴α＜β＜γ.(1)最小角定理：直線與平面所成角是直線與平面內(nèi)所有直線所成角中最小的角(線面角是最小的線線角).(2)最大角定理：二面角是平面內(nèi)的直線與另一個平面所成角的最大角(二面角是最大的線面角).規(guī)律方法

設(shè)三棱錐V－ABC的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等，P是棱VA上的點(不含端點).記直線PB與直線AC所成的角為α，直線PB與平面ABC所成的角為β，二面角P－AC－B的平面角為γ，則A.β<γ，α<γ

B.β<α，β<γC.β<α，γ<α

D.α<β，γ<β跟蹤演練1√由題意，直線PB與直線AC所成的角α大于直線PB與平面ABC所成的角β，即β<α，而直線PB與平面ABC所成的角β小于二面角P－AC－B的平面角γ，所以β<γ.空間角的最值考點二例2取DC1的中點O，連接D1O，OP，D1P，作MS⊥平面AB1C1D于點S，ET⊥平面AB1C1D于點T(圖略)，由正方體性質(zhì)可知D1O⊥平面AB1C1D，則∠EPT為直線EP與平面AB1C1D的夾角，當(dāng)O，T，P共線時，PT最小，求空間角最值、范圍的兩種常用方法(1)利用空間角的定義及幾何圖形找到空間角，構(gòu)造三角形，利用三角函數(shù)的比值構(gòu)造函數(shù)求最值、范圍.(2)建立空間坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運算求空間角的三角函數(shù)值，構(gòu)造函數(shù)求最值、范圍.規(guī)律方法跟蹤演練2√(2022·內(nèi)江模擬)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M為線段A1D的中點，N為線段CD1上的動點，則直線C1D與直線MN所成角的正弦值的最小值為以D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則M(1,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)，設(shè)直線C1D與直線MN所成角為θ，空間角的范圍考點三√例3如圖，取AD的中點O，BC的中點G，連接OS，OG，則OG⊥AD，以O(shè)G所在直線為x軸，OD所在直線為y軸，過點O且垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB＝2，則A(0，－1,0)，C(2,1,0)，D(0,1,0).因為△SAD為正三角形，O為AD的中點，所以SO⊥AD，又OG⊥AD，所以∠SOG是二面角S－AD－C的平面角，求空間角的范圍時，要注意空間角自身的范圍；利用坐標(biāo)法求角時，要注意向量夾角與空間的關(guān)系.易錯提醒

在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點O為線段BD的中點.設(shè)點P在棱CC1上，直線OP與平面A1BD所成的角為α，則sinα的取值范圍是跟蹤演練3√令P(0,0，m)，m∈[0,1]，設(shè)平面A1BD的一個法向量為n＝(x，y，z)，則平面A1BD的一個法向量為n＝(1,1，－1)，專題強化練√123456根據(jù)題意，初始狀態(tài)，直線AD與直線BC所成的角為0，123456且DB∩DC＝D，DB，DC?平面DBC，所以AD⊥平面DBC，又BC?平面DBC，2.已知四棱錐S－ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長均相等，E是線段AB上的點(不含端點).設(shè)SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S－AB－C的平面角為θ3，則A.θ1≤θ2≤θ3

B.θ3≤θ2≤θ1C.θ1≤θ3≤θ2

D.θ2≤θ3≤θ1√123456方法一由題意知四棱錐S－ABCD為正四棱錐，如圖，連接AC，BD，記AC∩BD＝O，連接SO，則SO⊥平面ABCD，取AB的中點M，連接SM，OM，OE，易得AB⊥SM，則θ2＝∠SEO，θ3＝∠SMO，易知θ3≥θ2.因為OM∥BC，BC⊥AB，SM⊥AB，所以θ3也是OM與平面SAB所成的角，即BC與平面SAB所成的角，再根據(jù)最小角定理知θ3≤θ1，所以θ2≤θ3≤θ1.123456方法二如圖，不妨設(shè)底面正方形的邊長為2，E為AB上靠近點A的四等分點，E′為AB的中點，S到底面的距離SO＝1，以EE′，E′O為鄰邊作矩形OO′EE′，則∠SEO′＝θ1，∠SEO＝θ2，∠SE′O＝θ3.123456此時tanθ2＜tanθ3＜tanθ1，可得θ2＜θ3＜θ1，當(dāng)E在AB中點處時，θ2＝θ3＝θ1.故θ2≤θ3≤θ1.1234563.(多選)(2022·汕頭模擬)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P在線段B1C上運動，則A.直線BD1⊥平面A1C1DB.三棱錐P－A1C1D的體積為定值√123456√建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為1，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，D(0,0,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，A(1,0,0)，則(x－1,0，z－1)＝λ(－1,0，－1)，λ∈[0,1]，123456又DA1∩DC1＝D，DA1，DC1?平面A1C1D，所以直線BD1⊥平面A1C1D，故A正確；對于B，設(shè)側(cè)面BCC1B1的對角線交點為O，123456而A1B1⊥平面BCC1B1，OC1?平面BCC1B1，所以A1B1⊥OC1，而A1B1∩CB1＝B1，A1B1，CB1?平面A1B1CD，所以O(shè)C1⊥平面A1B1CD，為定值，故B正確；123456123456123456123456設(shè)直線C1P與平面A1C1D所成角為α，因為λ∈[0,1]，1234564.(2022·義烏模擬)如圖，在等邊△ABC中，D，E分別是線段AB，AC上異于端點的動點，且BD＝CE，現(xiàn)將△ADE沿直線DE折起，使平面ADE⊥平面BCED，當(dāng)D從B滑動到A的過程中，則下列選項中錯誤的是A.∠ADB的大小不會發(fā)生變化B.二面角A－BD－C的平面角的大小不會

發(fā)生變化C.BD與平面ABC所成的角變大D.AB與DE所成的角先變小后變大123456√設(shè)等邊△ABC的邊長為1，AD＝x(0<x<1)，則BD＝1－x，在△ABC中，由BD＝CE，得DE∥BC，如圖，過點A作AG⊥BC，交DE于點H，交BC于點G，連接BH，則AH⊥DE，123456在△ADE沿直線DE折起的過程中，AH⊥DE，HG⊥BC始終滿足.由平面ADE⊥平面BCED，平面ADE∩平面BCED＝DE，AH?平面ADE，所以AH⊥平面BCED，又BH?平面BCED，則AH⊥BH，123456123456所以∠ADB大小不變，故A正確；如圖，過H作HO⊥BD交BD于點O，由AH⊥平面BCED，BD?平面BCED，得AH⊥BD，又AH∩OH＝H，AH，OH?平面AOH，所以BD⊥平面AOH，所以∠AOH為二面角A－BD－C的平面角，所以∠AOH大小不變，故B正確；123456由AH⊥DE，得AH⊥BC，又HG⊥DE，且HG∩AH＝H，HG，AH?平面AGH，所以BC⊥平面AGH，又AG?平面AGH，所以BC⊥AG，又AH⊥平面BCED，HG?平面BCED，則AH⊥HG，123456設(shè)點D到平面ABC的距離為d，由等體積法可得VA－BCD＝VD－ABC，123456設(shè)BD與平面ABC所成的角為θ，123456所以在這一過程中，sinθ變小，則角θ變小，故C不正確；由DE∥BC，則∠ABC(或其補角)為AB與DE所成的角.由上可知，BC⊥AG，1234565.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P是棱AB(包括端點)上的動點，設(shè)點P在運動過程中，平面PDB1與平面ADD1A1夾角的最小值為α，則cos

α＝________.123456以點D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DD1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，設(shè)正方體的棱長為1，AP＝a(0≤a≤1)，則易得D(0,0,0)，P(1，a，0)，B1(1,1,1)，設(shè)平面PDB1的一個法向量為n＝(x，y，z)，123456令x＝a，得平面PDB1的一個法向量為n＝(a，－1，－a＋1)，易得平面ADD1A1的一個法向量為m