新教材2023年秋高中數(shù)學(xué)第4章數(shù)列4.2等差數(shù)列4.2.2等差數(shù)列的前n項和公式第2課時等差數(shù)列前n項和的最值及應(yīng)用課件新人教A版選擇性必修第二冊

第四章

數(shù)列4.2等差數(shù)列4.2.2等差數(shù)列的前n項和公式第2課時等差數(shù)列前n項和的最值及應(yīng)用學(xué)習(xí)任務(wù)能利用等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式解決實際問題、最值問題等相關(guān)問題．(數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模)必備知識·情境導(dǎo)學(xué)探新知01

知識點1等差數(shù)列前n項和的函數(shù)特征等差數(shù)列的前n項和公式轉(zhuǎn)移到二次函數(shù)的過程

等差數(shù)列的前n項和公式與二次函數(shù)的關(guān)系知識點2等差數(shù)列前n項和Sn的最值(1)若a1<0，d>0，則數(shù)列的前面若干項為負數(shù)項(或0)，所以將這些項相加即得{Sn}的最__值．(2)若a1>0，d<0，則數(shù)列的前面若干項為正數(shù)項(或0)，所以將這些項相加即得{Sn}的最__值．特別地，若a1>0，d>0，則___是{Sn}的最__值；若a1<0，d<0，則___是{Sn}的最大值．小大S1小S1提醒由于n取正整數(shù)，所以Sn不一定是在頂點處取得最值，而可能是在離頂點最近的橫坐標(biāo)取整數(shù)的點處取得最值．1．?dāng)?shù)列{an}為等差數(shù)列，它的前n項和為Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，則λ的值是________．－1

[∵Sn＝n2＋2n＋1＋λ，∴1＋λ＝0，∴λ＝－1．]－12．設(shè)an＝14－3n，則數(shù)列{an}的前n項和Sn有最____________(填“大”或“小”)值為____________．

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關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難02類型1等差數(shù)列前n項和最值問題的判斷類型2等差數(shù)列前n項和Sn的最大(小)值類型3等差數(shù)列求和的實際應(yīng)用類型1等差數(shù)列前n項和最值問題的判斷【例1】

(多選)在等差數(shù)列{an}中，首項a1>0，公差d≠0，前n項和為Sn(n∈N*)，則下列命題正確的是(

)A．若S3＝S11，則必有S14＝0B．若S3＝S11，則S7是{Sn}中的最大項C．若S7>S8，則必有S8>S9D．若S7>S8，則必有S6>S8√√√

[跟進訓(xùn)練]1．(多選)設(shè){an}是等差數(shù)列，Sn為其前n項和，且S5<S6＝S7>S8，則下列結(jié)論正確的是(

)A．d<0B．a(chǎn)7＝0C．S9>S5D．S6與S7均為Sn的最大值√√√ABD

[∵S5<S6＝S7>S8，∴a6>0，a7＝0，a8<0．∴d<0．∴S6與S7圴為Sn的最大值．S9－S5＝a6＋a7＋a8＋a9＝2(a7＋a8)<0．∴S9<S5，故選ABD．]類型2等差數(shù)列前n項和Sn的最大(小)值【例2】數(shù)列{an}的前n項和Sn＝33n－n2，(1)求{an}的通項公式；(2)求{an}的前多少項和最大？[思路引導(dǎo)]

(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求{an}的通項公式；(2)利用等差數(shù)列前n項和Sn為關(guān)于n的二次函數(shù)，可利用二次函數(shù)求解最值的方法解決．[解]

(1)法一(公式法)：當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝34－2n，又當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝32＝34－2×1，滿足an＝34－2n．故{an}的通項公式為an＝34－2n．

[母題探究](變條件)將例題中的條件“Sn＝33n－n2”變?yōu)椤霸诘炔顢?shù)列{an}中，a1＝25，S17＝S9”，求其前n項和Sn的最大值．

法三：∵S9＝S17，∴a10＋a11＋…＋a17＝0．由等差數(shù)列的性質(zhì)得a13＋a14＝0．∵a1>0，∴d<0．∴a13>0，a14<0．∴當(dāng)n＝13時，Sn有最大值169．

反思領(lǐng)悟

1．在等差數(shù)列中，求Sn的最小(大)值的方法(1)利用通項公式尋求正、負項的分界點，則從第一項起到分界點該項的各項和為最大(小)值．(2)借助二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)求最值．

[跟進訓(xùn)練]2．(源于人教B版教材)已知數(shù)列{an}的前n項和公式為Sn＝2n2－30n，(1)求出數(shù)列的通項公式，并判斷這個數(shù)列是否是等差數(shù)列；[解]

當(dāng)n＝1時，有a1＝S1＝－28．當(dāng)n≥2時，有an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32．又因為4×1－32＝－28，所以n＝1時an＝4n－32也成立，因此數(shù)列的通項公式為an＝4n－32.因為an＋1－an＝4(n＋1)－32－(4n－32)＝4，所以{an}是等差數(shù)列．(2)求Sn的最小值，并求Sn取得最小值時n的值．

類型3等差數(shù)列求和的實際應(yīng)用【例3】

7月份，有一新款服裝投入某市場．7月1日該款服裝僅售出3件，以后每天售出的該款服裝都比前一天多3件，當(dāng)日銷售量達到最大(只有1天)后，每天售出的該款服裝都比前一天少2件，且7月31日當(dāng)天剛好售出3件．(1)問7月幾日該款服裝銷售最多？最多售出幾件？

(2)按規(guī)律，當(dāng)該市場銷售此服裝達到200件時，社會上就開始流行，而日銷售量連續(xù)下降并低于20件時，則不再流行．問該款服裝在社會上流行幾天？

∴當(dāng)1≤n≤13時，由Sn>200，得12≤n≤13，當(dāng)14≤n≤31時，日銷售量連續(xù)下降，由an<20，得23≤n≤31，∴該款服裝在社會上流行11天(從7月12日到7月22日)．反思領(lǐng)悟

遇到與正整數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題時，可以考慮與數(shù)列知識聯(lián)系，建立數(shù)列模型，具體解決要注意以下兩點：(1)抓住實際問題的特征，明確是什么類型的數(shù)列模型．(2)深入分析題意，確定是求通項公式an，或是求前n項和Sn，還是求項數(shù)n.[跟進訓(xùn)練]3．某抗洪指揮部接到預(yù)報，24小時后有一洪峰到達，為確保安全，指揮部決定在洪峰到來之前臨時筑一道堤壩作為第二道防線．經(jīng)計算，除現(xiàn)有的參戰(zhàn)軍民連續(xù)奮戰(zhàn)外，還需調(diào)用20臺同型號翻斗車，平均每輛車工作24小時．從各地緊急抽調(diào)的同型號翻斗車目前只有一輛投入使用，每隔20分鐘能有一輛翻斗車到達，一共可調(diào)集25輛，那么在24小時內(nèi)能否構(gòu)筑成第二道防線？

學(xué)習(xí)效果·課堂評估夯基礎(chǔ)031234

√

2．設(shè)數(shù)列{an}是公差d＜0的等差數(shù)列，Sn為其前n項和，若S6＝5a1＋10d，則Sn取最大值時，n的值為(

)A．5 B．6C．5或6 D．11C

[由題意得S6＝6a1＋15d＝5a1＋10d，化簡得a1＝－5d，所以a6＝0，故當(dāng)n＝5或6時，Sn最大．]1234√3．若數(shù)列{an}的通項公式an＝43－3n，則Sn取得最大值時，n＝(

)A．13 B．14C．15 D．14或151234√

12344