北師大版數(shù)學(xué)歸納法教案(羅紅霞)

學(xué)習(xí)好資料歡迎下載學(xué)習(xí)好資料歡迎下載學(xué)習(xí)好資料歡迎下載北師大版高二數(shù)學(xué)選修2-2第二章§4數(shù)學(xué)歸納法江西省南昌市第十中學(xué)羅紅霞【教材分析】教材背景數(shù)學(xué)歸納法是證明與正整數(shù)有關(guān)命題的一種重要證明方法，它起源于正整數(shù)的歸納公理或最小數(shù)原理，而演變成各種形式.《數(shù)學(xué)歸納法》是北師大版數(shù)學(xué)選修2-2第二章繼學(xué)習(xí)完歸納與類比，證明方法中的綜合法與分析法、反證法的基礎(chǔ)上，在學(xué)生已具備歸納的思想，進(jìn)一步學(xué)習(xí)證明方法的過程中學(xué)習(xí)本節(jié)知識的。2.數(shù)學(xué)歸納法的地位和作用人類對問題的研究，結(jié)論的發(fā)現(xiàn)，到結(jié)論的認(rèn)同，思維的流程通常是觀察—?dú)w納—猜想—證明.猜想的結(jié)論對不對,證明尤為關(guān)鍵,數(shù)學(xué)歸納法在這起著非常重大的作用.在運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解題時(shí),學(xué)生通常用到等式的恒等變形、不等式的放縮、數(shù)式形的構(gòu)造與轉(zhuǎn)化等，加強(qiáng)了對知識的掌握及能力的訓(xùn)練.而對數(shù)學(xué)歸納法原理的理解,蘊(yùn)含著歸納與推理、特殊到一般、有限到無限、遞推等數(shù)學(xué)思想和方法，對思維的發(fā)展起到完善和推動(dòng)的作用?！窘虒W(xué)目標(biāo)】1.知識目標(biāo)（1）了解由有限多個(gè)特殊事例得出的一般結(jié)論不一定正確．（2）初步理解數(shù)學(xué)歸納法原理．（3）理解和掌握用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題的兩個(gè)步驟．（4）初步會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的與正整數(shù)有關(guān)的恒等式．2.能力目標(biāo)（1）通過對數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)、應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、猜想、分析能力和嚴(yán)密的邏輯推理能力．（2）讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力．3.情感目標(biāo)（1）通過對數(shù)學(xué)歸納法原理的探究，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、?shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和不怕困難，勇于探索的精神．（2）讓學(xué)生通過對數(shù)學(xué)歸納法原理的理解，感受數(shù)學(xué)內(nèi)在美的振憾力，從而使學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)．（3）學(xué)生通過置疑與探究，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立的人格與敢于創(chuàng)新精神．【教學(xué)重點(diǎn)】（1）初步理解數(shù)學(xué)歸納法的原理．（2）明確用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個(gè)步驟．（3）初步會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明簡單的與正整數(shù)數(shù)學(xué)恒等式．【教學(xué)難點(diǎn)】（1）對數(shù)學(xué)歸納法原理的理解，即理解數(shù)學(xué)歸納法證題的嚴(yán)密性與有效性．（2）假設(shè)的利用，即如何利用假設(shè)證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論正確．【教學(xué)方法】類比啟發(fā)探究式教學(xué)方法【教學(xué)手段】多媒體輔助課堂教學(xué)【教學(xué)過程】一、創(chuàng)設(shè)情境，提出問題情境一：明朝劉元卿編的《應(yīng)諧錄》中有一個(gè)笑話：財(cái)主的兒子學(xué)寫字，當(dāng)老師教他寫字的時(shí)候，告訴他寫一、二、三時(shí)，財(cái)主的兒子很高興，告訴老師他會(huì)寫字了…．這則笑話中財(cái)主的兒子得出“四就是四橫、五就是五橫……”的結(jié)論，用的就是我們已學(xué)過的“歸納法”，不過，這個(gè)歸納推出的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤的．在以前的學(xué)習(xí)過程中，我們有沒有像財(cái)主兒子那樣猜想過某些結(jié)論呢？情境二：學(xué)生共同回顧等差數(shù)列通項(xiàng)公式推導(dǎo)過程：這個(gè)結(jié)論我們知道是正確的．其實(shí)，我們推導(dǎo)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法與財(cái)主兒子猜想數(shù)字寫法的方法都是歸納法，那么什么是歸納法？歸納法有什么特點(diǎn)？像這種由特殊事例得出一般結(jié)論的歸納推理方法，通常叫歸納法．根據(jù)推理過程中考察的對象是涉及事物的一部分還是全部，分為不完全歸納法和完全歸納法．教師問：完全歸納法得出的結(jié)論可靠嗎?不完全歸納法得出的結(jié)論可靠嗎?情境三：已知數(shù)列滿足＝（n∈N），，你能嘗試得出通項(xiàng)公式嗎？學(xué)生計(jì)算出，，，…，由此猜想…），教師問：這個(gè)結(jié)論正確嗎？小結(jié)：這些用有限多個(gè)特殊事例得出的結(jié)論，有的正確，有的不正確．因此不能作為論證的方法．如何證明這類有關(guān)正整數(shù)的命題呢？對于這類問題的證明方法可能不只一種，但今天我們要學(xué)的數(shù)學(xué)歸納法是證明這類問題的一種好方法．【設(shè)計(jì)意圖】：首先設(shè)計(jì)情境一,分析情境，自然引出課題，談笑間進(jìn)入正題.再通過情境二梳理我們熟悉的一些問題，同時(shí)讓學(xué)生感受到我們以前的學(xué)習(xí)中其實(shí)早已接觸過歸納法．情境三通過學(xué)生探究嘗試，很自然為本節(jié)課主題與重點(diǎn)引出打下伏筆.二、解決問題，得到新知1、類比數(shù)學(xué)問題,激起思維浪花下面我們來領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)歸納法的基本思想：實(shí)例：播放多米諾骨牌錄像關(guān)鍵：(1)第一張牌被推倒；(2)假如某一張牌倒下,則它的后一張牌必定倒下．于是,我們可以下結(jié)論：多米諾骨牌會(huì)全部倒下．搜索：再舉生活事例：同學(xué)們自己放在車庫的自行車，排列整齊的一列自行車全被推倒的場景．類比多米諾骨牌過程,證明等差數(shù)列通項(xiàng)公式(師生共同完成,教師強(qiáng)調(diào)步驟及注意點(diǎn)).(1)當(dāng)n＝1時(shí)等式成立；(2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)等式成立,即,則=,即n＝k＋1時(shí)等式也成立．于是,我們可以下結(jié)論：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式對任何n∈都成立．【設(shè)計(jì)意圖】：布魯納的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，“有指導(dǎo)的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)”強(qiáng)調(diào)知識發(fā)生發(fā)展過程．這里學(xué)生通過類比多米諾骨牌依順序倒下的原理，建立數(shù)學(xué)模型，探究出證明有關(guān)正整數(shù)命題的方法，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法的雛形，是一種再創(chuàng)造的發(fā)現(xiàn)性學(xué)習(xí)．2、探索新知，形成概念數(shù)學(xué)歸納法概念:對于某些與自然數(shù)n有關(guān)的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立；然后假設(shè)當(dāng)n=k(kN*，k≥n0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立這種證明方法就叫做數(shù)學(xué)歸納法．用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟：(1)證明：當(dāng)n取第一個(gè)值n0結(jié)論正確；(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*，且k≥n0)時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確.由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確．三、例題示范，形成技能例1、用數(shù)學(xué)歸納法證明情境三的猜想結(jié)論成立．證明：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，左邊，右邊，等式成立．（2）假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時(shí)，等式成立，即成立．那么，當(dāng)n＝k+1時(shí)，．這就是說，當(dāng)n＝k+1時(shí)等式成立．根據(jù)（1）和（2），可知猜想對任意正整數(shù)n都成立．例2、用數(shù)學(xué)歸納法證明：（其中，是正整數(shù)）．證明：（1）當(dāng)n＝1時(shí)，左邊=，右邊=．所以，當(dāng)n＝1時(shí)，命題成立．（2）假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1)時(shí)，命題成立，即．那么，當(dāng)n＝k+1時(shí)，因?yàn)?，所以．根?jù)假設(shè)知，，所以由于，所以．從而．這表明，當(dāng)n＝k+1時(shí)命題成立。根據(jù)（1）和（2），該命題成立.【設(shè)計(jì)意圖】：通過典型例題使學(xué)生更好的掌握數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用．例題一一方面從情境三由體驗(yàn)“觀察—?dú)w納—猜想”到完成證明這個(gè)過程，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)歸納法和數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用．例題二是數(shù)學(xué)歸納法在不等式中的應(yīng)用，進(jìn)一步鞏固數(shù)學(xué)歸納法，同時(shí)更好的體現(xiàn)了數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用價(jià)值．四、反饋練習(xí),鞏固提高1、用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝．2、數(shù)列中,＝1,(n∈),求出的通項(xiàng)公式．探討一：觀察數(shù)列特點(diǎn)，變形解出.探討二：先計(jì)算，，的值，再推測通項(xiàng)的公式,最后用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論．3、用數(shù)學(xué)歸納法證明下列各題時(shí)，下列推證是否正確，說出理由。若是不對，如何改正.（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：。證明：假設(shè)時(shí)，等式成立，就是成立那么=這就是說當(dāng)時(shí)等式成立，所以時(shí)等式成立.（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明：證明：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊＝右邊＝，等式成立.②設(shè)n=k時(shí)，有那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，有，即n=k+1時(shí)，命題成立根據(jù)①②可知，對n∈N＊，等式成立.【設(shè)計(jì)意圖】：練習(xí)題1、2、3的難度不大.題1套用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟不難解答，達(dá)到繼續(xù)鞏固的目的；題2培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立研究數(shù)學(xué)問題的意識和能力，使他們體驗(yàn)不同的數(shù)學(xué)方法，同時(shí)也考察他們解決問題的靈活性；題3的易錯(cuò)辨析，進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)的兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論，缺一不可.通過這三個(gè)練習(xí)能看到學(xué)生對數(shù)學(xué)歸納法證題步驟的掌握情況．這樣既可以檢驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)水平，保證不盲目拔高，同時(shí)不沖淡本節(jié)課的重點(diǎn)，對例題是一個(gè)很好的對比與補(bǔ)充．五、小結(jié)全課，概括提升1、本節(jié)課的中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法；歸納法它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種，而不完全歸納法得出的結(jié)論不一定具有可靠性，數(shù)學(xué)歸納法屬于完全歸納法；2、使用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)需要注意：（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明的對象是與正整數(shù)n有關(guān)的命題；（2）在用數(shù)學(xué)歸納法證明中，兩個(gè)基本步驟缺一不可．六、布置作業(yè)，鞏固提高課本習(xí)題1-4：1、3教學(xué)設(shè)計(jì)說明：1、數(shù)學(xué)歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的正確性的證明方法．它的操作步驟簡單、明確，教學(xué)重點(diǎn)不應(yīng)該是方法的應(yīng)用．我認(rèn)為不能把教學(xué)過程當(dāng)作方法的灌輸，技能的操練．為此，我設(shè)想強(qiáng)化數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過程的教學(xué)，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生寓于對歸納法的分析、認(rèn)識當(dāng)中，把數(shù)學(xué)歸納法的產(chǎn)生與不完全歸納法的完善結(jié)合起來．這樣不僅使學(xué)生可以看到數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生的背景，從一開始就注意它的功能，為使用它打下良好的基礎(chǔ)，而且可以強(qiáng)化歸納思想的教學(xué)，這不僅是對中學(xué)數(shù)學(xué)中以演繹思想為主的教學(xué)的重要補(bǔ)充，也是引導(dǎo)學(xué)生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機(jī)．2、在教學(xué)過程中，運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，兩個(gè)步驟缺一不可，這是本節(jié)課的重點(diǎn)，學(xué)生必須在課堂上很好的掌握．理解數(shù)學(xué)歸納法中的遞推思想，尤其要注意其中第二步，證明n＝k＋1命題成立時(shí)必須要用到n＝k時(shí)命題成立這個(gè)條件，這是本節(jié)課的難點(diǎn)，這些內(nèi)容在下一課時(shí)能得到更好地體現(xiàn)，這種理解既能使我們正確認(rèn)識數(shù)學(xué)歸納法的原理與本質(zhì)，也為證明過程中第二步的設(shè)計(jì)指明了思維方向．3、在教學(xué)方法上，這里運(yùn)用了在教師指導(dǎo)下的師生共同討論、探索的方法．目的是加強(qiáng)學(xué)生對教