南郵線性代數(shù)綜合練習期末復習題

《線性代數(shù)》綜合練習共24頁第23頁《線性代數(shù)》綜合練習注：此版本的綜合練習冊對應(yīng)教材是《線性代數(shù)》，同濟大學數(shù)學系主編，高等教育出版社，第五版，ISBN978-7-04-021218-1第一章行列式一、選擇題1.設(shè)A是n階可逆矩陣，是A的伴隨矩陣，則（）.A.B.C.D. 2.設(shè)A是n階可逆矩陣，是A的伴隨矩陣，則（）.A.1B.C.D.3.設(shè)A,B為n階方陣,則必有（）.A.AB=BAB.│A+B│=│A│+│B│C.│A-B│=│A│-│B│D.│AB│=│A││B│4.設(shè)為n階方陣，為非零常數(shù)，則必有（）.A.B.C.D.5.設(shè)A是一個3階的反對稱矩陣，則|A|=().A.-1B.0C.1D.二、填空題1.設(shè)矩陣，則行列式。2.設(shè)A為3階方陣，|A|=3，則。3.設(shè)A為3階方陣，且，則。4.設(shè)A、B都是n階方陣，且|A|=-2，|B|=3，則|AB|=.5.設(shè)矩陣，則.三、計算題1.計算4階行列式2.計算3階行列式3.計算4階行列式4.計算4階行列式第二章矩陣及其運算一、選擇題1.設(shè)A，B都是n階方陣，且AB=0，則必有（）.A.或B.C.或D.2.設(shè)A，B，C都是n階方陣，且ABC=E,其中E為n階單位方陣，則必有（）.A.ACB=EB.BCA=EC.CBA=ED.BAC=E3.設(shè)方陣A滿足A2-A-2E=0,則必有（）.A.B.C.A可逆D.A不可逆4.設(shè)都是n階可逆矩陣，則下列結(jié)論不正確的是（）.A.一定可逆B.一定可逆C.一定可逆D.一定可逆.5.下列矩陣中，與矩陣可交換的是（）.A.B.C.D.6.矩陣為非奇異矩陣的充要條件是（）.A.B.C.D.7.下列說法正確的是（）.A.設(shè)A為n階方陣,且A2=A，則A=E或A=0.B.設(shè)A,B,C為n階方陣,AB=AC且A≠0，則B=C.C.設(shè)A，B，C都是n階方陣，且AB=E，CA=E，則B=C.D.設(shè)A為n階方陣,且A2=0，則A=0.8.矩陣的逆矩陣是（）.A.B.C.D.9.設(shè)A為3階方陣,|A|=3,則|3A-1|=()A.1B.-1C.910.設(shè)都是n階可逆矩陣，則().A.B.C.D.二、填空題1.矩陣的逆矩陣為。2.設(shè)矩陣,則的逆矩陣.3.設(shè)矩陣，,則.4.設(shè)矩陣，則.5.設(shè)矩陣，A*是A的伴隨矩陣，則。三、計算題1.設(shè)2階矩陣A可逆,且,對于矩陣,,令,求.2．設(shè)矩陣,矩陣B滿足AB=A+2B，試求矩陣B.3．設(shè)矩陣，，（1）求矩陣A的逆矩陣；（2）解矩陣方程AX=B.4.設(shè)矩陣，，，矩陣滿足，求矩陣.四、證明題1.設(shè)n階方陣A，B及A+B都可逆，證明：A-1+B-1也可逆.2.設(shè)階方陣可逆，是的伴隨矩陣，證明：也可逆，且.3.設(shè)方陣A滿足A2-3A-7E=0,證明A及A+2E都是可逆的,并求它們的逆.第三章矩陣的初等變換與線性方程組一、選擇題1.若R（A）=2，則5元齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系中有()個向量。A.1B.2C.32.n元線性方程組Ax=b,為其增廣矩陣,該方程組有唯一解的充分必要條件是().A.B.C.D.3.設(shè)是齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系,則下列()也是該方程組的基礎(chǔ)解系.A.與等價的一個向量組B.與等秩的一個向量組C.,,D.,,4.設(shè)Ax=b為n元線性方程組,Ax=0為其導出組,關(guān)于這兩個方程組,下列說法中,正確的是()A.如果Ax=0只有零解，則Ax=b必有唯一解．B.如果Ax=0有非零解，則Ax=b必有無窮多解．C.如果Ax=b無解，則Ax=0也無解．D.如果Ax=b有唯一解，則Ax=0一定只有零解．二、填空題1.設(shè)A為3階方陣，R（A）=1，A*是A的伴隨矩陣，則R（A*）=。2.設(shè)A為4階方陣，R（A）=3，A*是A的伴隨矩陣，則R（A*）=。3.若R（A）=3，則4元齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系中有個向量。4.n元線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是.5.n元線性方程組Ax=b有唯一解的充分必要條件是.6.設(shè)，，是非齊次線性方程組Ax=b的解，為常數(shù)，若也是Ax=b的解，則。7.設(shè)齊次線性方程組有非零解,則.8.設(shè)，，是非齊次線性方程組Ax=b的解，為常數(shù)，若也是Ax=b的解，則的關(guān)系為。三、計算題1.設(shè)線性方程組（1）問為何值時，方程組有無窮多解.（2）當方程組有無窮多解時,求出它的通解.(要求用一個特解和導出組的基礎(chǔ)解系表示)2．已知線性方程組(1)問滿足什么條件時，方程組有解？(2)在有解時，這個方程組共有多少個解？3．已知線性方程組(1)問為何值時，方程組有解？(2)在有解時，求出它的解。(要求用一個特解和導出組的基礎(chǔ)解系表示)4.設(shè)4元非齊次線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A的秩為3，且它的三個解向量滿足，，求Ax=b的通解.5.設(shè) 討論為何值時，此方程組有唯一解、有無窮多解、無解？并在有無窮多解時，求出它的解。四、證明題1.設(shè)階方陣與，滿足，證明.2.設(shè)η1,η2,…ηs是非齊次線性方程組AX=B的s個解，k1,k2,…,ks為實數(shù)，滿足k1+k2+…+ks=1,證明x=(k1-1)η1+k2η2+…+ksηs是齊次線性方程組AX=0的解。第四章向量組的線性相關(guān)性一、選擇題1.設(shè)α,β,,則方陣A=αβ的秩為().A.0B.1C.22.如果向量組線性相關(guān)，那么().A.這個向量組中至少有一個零向量.B.這個向量組中至少有兩個向量成比例.C.這個向量組中至少有一個向量可以由其余向量線性表示.D.這個向量組中所有向量都可以由其余向量線性表示.3.下列說法正確的是().A.等價的向量組含有相同的向量個數(shù).B.如果向量組線性相關(guān)，那么這個向量組中至少有一個零向量.C.如果向量組線性相關(guān)，那么這個向量組中至少有兩個向量成比例.D.n維單位向量組是線性無關(guān)的.4.設(shè)向量組α1α2則β=()時,它是α1,α2的線性組合.A.B.C.D.5.向量組α1，α2，…，αm的秩不為0的充要條件是().A.向量組α1，α2，…，αm中至少有一個非零向量.B.向量組α1，α2，…，αm中至多有一個非零向量.C.向量組α1，α2，…，αm中全部是非零向量.D.向量組α1，α2，…，αm線性無關(guān).6.設(shè)向量組α1，α2，…，αm的秩為,則下列說法錯誤的是().A.向量組α1，α2，…，αm中至少有一個含個向量的部分組線性無關(guān).B.向量組α1，α2，…，αm中含個向量的部分組都線性無關(guān).C.向量組α1，α2，…，αm中含個向量的部分組都線性相關(guān).D.向量組α1，α2，…，αm中含個向量的部分組都線性相關(guān).7.設(shè)α1，α2，α3為3階方陣A的列向量組,則α1，α2，α3線性無關(guān)的充要條件是().A.│A│B.A的秩C.方陣A不可逆D.方陣A是奇異的8.下列說法錯誤的是().A.個維向量必相關(guān).B.等價的向量組有相同的秩.C.任一維向量一定可由維單位向量組線性表示.D.零向量不可以由維單位向量組線性表示.二．填空題1.設(shè)向量，則向量的內(nèi)積。2.設(shè)向量，且，則.3.若向量與線性相關(guān)，則.4.若向量與線性相關(guān)，則.三、計算題1.設(shè)向量組,求向量組的秩和一個極大線性無關(guān)組,并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表示.2.設(shè)向量,求(1)矩陣;(2)向量的內(nèi)積.3.設(shè)向量組線性無關(guān)，令試確定向量組的線性相關(guān)性.四、證明題1.設(shè)是一個維向量組，證明它線性無關(guān)的充分必要條件是：任一維向量可由它線性表示.2.設(shè)向量組滿足，，證明能由線性表示.第五章相似矩陣及二次型一、選擇題1.設(shè)A，B都是n階方陣，且A與B等價，則().A.R(A)=R(B)B.C.D.存在可逆矩陣P,使2.設(shè)A，B為n階方陣，如果()，則A與B相似.A.R(A)=R(B)B.C.D.A，B有相同的特征值,且這n個特征值互不相等.3.設(shè)A，B為n階方陣，且A與B相似，則下列不一定成立的是()A.R(A)=R(B)B.C.D.A，B都有n個互不相等的特征值.4.設(shè)A，B為n階方陣，且A與B相似，則()A.B.C.存在可逆矩陣，使D.R(A)+R(B)=n.5.設(shè)A為n階方陣，且|A|=0，則A的特征值（）A.全是0B.全不是0C.至少有一個是0D.可以是任意數(shù)6.設(shè)A為n階方陣，則A的不同特征值的個數(shù)（）A.小于等于nB.大于等于nC.等于nD.不等于n7.設(shè)A，B為n階方陣，且A與B相似，則必有()A.A與B等價B.A與B不等價C.A與B合同D.A與B不合同8.設(shè)是n階可逆矩陣，是n階單位矩陣，則必有（）A.與相等B.與相似C.與合同D.與等價9.設(shè)A為n階方陣，且|2A+5E|=0，則A必有一個特征值為（A.B.C.D.10.矩陣可以合同于（）A.B.C.D.11.設(shè)實對稱矩陣A與矩陣合同，則二次型xTAx的規(guī)范型為（）A.B.C.D.12.設(shè)n階實對稱矩陣A，B都是正定矩陣，則（）也一定是正定矩陣。A.A+BB.A-BC.ABD.3A-B13.設(shè)A為n階實對稱矩陣，且A的所有特征值都大于0，則二次型xTAx為（）A.正定二次型B.半正定二次型C.負定二次型D.不定二次型二、填空題1.設(shè)A為3階方陣，且A的特征值為1,2,3，則|A|=.2.設(shè)3階方陣A與B相似，且A的特征值為1,-1,2，則||=.3.設(shè)A為3階方陣，且A的特征值為1,-1,-2，A*是A的伴隨矩陣，則|A*|=.4.設(shè)A為n階可逆矩陣,已知A有一個特征值為-3，則必有一個特征值為。5.設(shè)A為3階方陣，且，則A必有一個特征值為。6.設(shè)A為n階可逆矩陣,已知A有一個特征值為-2，則必有一個特征值為。7.實二次型的矩陣為。8.二次型的秩為。9.設(shè)矩陣為正定矩陣，則的取值范圍是。10.設(shè)矩陣為正定矩陣，則的取值應(yīng)該滿足。三、計算題1.設(shè)2階矩陣A的特征值為,對應(yīng)的特征向量分別為，求矩陣A.2.設(shè)矩陣,是A的屬于特征值的一個特征向量,求常數(shù)和特征值.3.用配方法化實二次型為標準型,并寫出所用的滿秩線性變換.4.如果實二次型為正定二次型,求的取值范圍.四、證明題1.設(shè)方陣A有一個特征值,證明:方陣必有一個特征值6.2.設(shè)A為實對稱矩陣,，分別為A的屬于特征值的特征向量，且，證明，必正交.3.設(shè)n階實對稱矩陣A，B都是正定矩陣，且常數(shù)，試證明：矩陣也是正定的. 《線性代數(shù)》綜合練習參考答案第一章行列式一、選擇題1.A2.B3.D4.D5.B二、填空題1.1002.-243.4.-65.-2三、計算題1.解：2.解：3.解：4.解：第二章矩陣及其運算一、選擇題1.C2.B3.C4.A5.C6.C7.C8.B9.C10.D二、填空題1.2.3.4.5.三、計算題1.解:2．解:因為AB=A+2B,所以而所以||所以可逆,且從而3．解：（1）因為|A|，所以A可逆，所以，（2）4.解:因為所以可逆,且因為所以可逆,且從而四、證明題1.證明:因為方陣A，B及A+B都可逆，所以所以,A-1+B-1也可逆，且其逆陣為.2.證明:因為階方陣可逆，所以由得所以所以,可逆，且.3.證明:因為A2-3A-7E=0,所以A(A-3E)=7E,1/7A(A-3所以A可逆,且A-1=1/7(A-3E)因為A2-3A-7E=0,所以(A-5E)(A+2E)=-3E,-1/3(A-5E)(A+2E)=E所以(A+2E)可逆,且(A+2E)-1=-1/3(A-5E)第三章矩陣的初等變換與線性方程組一、選擇題1.C2.C3.C4.D二、填空題1.02.13.14.,其中為其增廣矩陣.5.,其中為其增廣矩陣.6.17.8.三、計算題1.解:(1)對增廣矩陣進行初等行變換:要使方程組有無窮多解,必須所以(2)此時,增廣矩陣進行初等行變換后為:由此得到用自由未知量表示的通解:任意）改寫通解的形式，得到方程組的結(jié)構(gòu)解為：x（為任意常數(shù)）2．解:(1)對增廣矩陣進行初等行變換:要使方程組有解,必須（2）此時,（未知數(shù)的個數(shù)），所以，這個方程組有無窮多個解。3．解:(1)對增廣矩陣進行初等行變換:要使方程組有解,必須，即(2)此時,增廣矩陣進行初等行變換后為:由此得到用自由未知量表示的通解:任意）改寫通解的形式，得到方程組的結(jié)構(gòu)解為：x（為任意常數(shù)）4.解：因為4元非齊次線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A的秩為3,所以它所對應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系中有4-3=1個解向量,又Ax=b的三個解向量滿足，，令0則2b-b-b=0所以,為Ax=0的基礎(chǔ)解系.所以Ax=b的通解為:x,其中為任意常數(shù).5.解:線性方程組的系數(shù)行列式為:1+11D=11+1=,所以111+當≠0且≠-3時,即D≠0時,線性方程組有唯一解.當=0時,所以,R(A)=1,R(B)=2,從而線性方程組無解.當=-3時,B=所以,R(A)=R(B)=2,從而線性方程組有無窮多解,其通解為:,(其中c為任意常數(shù))四、證明題1.證明:設(shè)，其中是的個列向量,由，得從而是齊次線性方程組Ax=0的個解向量，而齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系中所含向量個數(shù)為,所以有,即，從而.2.證明:因為η1,η2,…ηs是非齊次線性方程組AX=B的s個解，所以Aηi=B,(i=1,2,…s)所以Ax=A[(k1-1)η1+k2η2+…+ksηs]=A(k1-1)η1+Ak2η2+…+Aksηs=(k1-1)Aη1+k2Aη2+…+ksAηs=(k1+k2+…+ks-1)B=(1-1)B=0所以,x=(k1-1)η1+k2η2+…+ksη是齊次線性方程組AX=0的解。第四章向量組的線性相關(guān)性一、選擇題1.B2.C3.D4.C5.A6.