九上 3.2 圖形的旋轉(zhuǎn)

3.2圖形的旋轉(zhuǎn)【學習目標】1．理解旋轉(zhuǎn)的概念；2．掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；3．會作一個圖形的旋轉(zhuǎn)圖形．

【學法指導】1．學會從生活中的實例中抽象出旋轉(zhuǎn)圖形，概括旋轉(zhuǎn)特征；2．用運動的觀點研究圖形的旋轉(zhuǎn)，學會用不變量的思想研究圖形的運動．1．旋轉(zhuǎn)的概念旋轉(zhuǎn)：一般地，一個圖形變?yōu)榱硪粋€圖形，在運動過程中原圖形上所有的點都繞一個固定的點，按同一個方向，轉(zhuǎn)動同一個角度，這樣圖形運動叫做圖形的旋轉(zhuǎn)．固定的點叫做_____________，轉(zhuǎn)動的角叫做___________．【知識管理】填一填旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)角注意：(1)旋轉(zhuǎn)中心是點，而不是直線，如生活中的開門、關門是繞軸旋轉(zhuǎn)一定的角度．不屬于我們研究的繞定點旋轉(zhuǎn)；(2)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后，圖形上任意一對對應點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角．2．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)性質(zhì)：(1)對應到旋轉(zhuǎn)中心的距離________；(2)對應點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的夾角等于___________；(3)旋轉(zhuǎn)前后的圖形_________．3．作旋轉(zhuǎn)圖形的一般步驟步驟：(1)明確三個條件：旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向，旋轉(zhuǎn)角度；(2)確定關鍵點，作出關鍵點旋轉(zhuǎn)后的對應點；(3)順次連結對應點．相等旋轉(zhuǎn)角全等1．(知識點2)旋轉(zhuǎn)不改變圖形的 (

)A．大小和形狀B．位置和形狀C．位置和大小D．位置、大小和形狀【對點自測】A2．(知識點2)一個圖形無論經(jīng)過平移還是旋轉(zhuǎn)，有以下說法：①對應線段平行；②對應線段相等；③對應角相等；④圖形的形狀和大小都沒有發(fā)生變化．其中正確的是 (

)A．①②③B．①②④C．①③④

D．②③④D3．(知識點2)如圖3－2－1所示，∠AOB＝90°，∠B＝30°，△A′OB′可以看作是由△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α角度得到的．若點A′在AB上，則旋轉(zhuǎn)角α的大小可以是

(

)圖3－2－1CA．30° B．45°C．60° D．90°【解析】∵∠AOB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°.∵△A′OB′可以看作是由△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α角度得到的，∴OA＝OA′.∴△OAA′是等邊三角形．∴∠AOA′＝60°，即旋轉(zhuǎn)角α的大小可以是60°.4．(知識點1)如圖3－2－2所示，兩個全等的正方形ABCD與CDEF，旋轉(zhuǎn)正方形ABCD能和正方形CDEF重合，則可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點有______個．圖3－2－23【解析】①以C為旋轉(zhuǎn)中心，把正方形ABCD順時針旋轉(zhuǎn)90°，可得到正方形CDEF；②以D為旋轉(zhuǎn)中心，把正方形ABCD逆時針旋轉(zhuǎn)90°，可得到正方形CDEF；③以CD的中點為旋轉(zhuǎn)中心，把正方形ABCD旋轉(zhuǎn)180°，可得到正方形CDEF.綜上所述，可以作為旋轉(zhuǎn)中心的點有3個；5．(知識點2)如圖3－2－3所示，正方形ABCD經(jīng)過順時針旋轉(zhuǎn)后到正方形AEFG的位置，則旋轉(zhuǎn)中心是______，旋轉(zhuǎn)角度是_______度．圖3－2－3A45【解析】∵正方形ABCD經(jīng)過順時針旋轉(zhuǎn)后得到正方形AEFG，∴旋轉(zhuǎn)中心為點A，旋轉(zhuǎn)角為∠CAB，∵AC是正方形ABCD的對角線，∴∠CAB＝45°，∴旋轉(zhuǎn)角為45°.研一研類型之一旋轉(zhuǎn)及其性質(zhì)例1如圖3－2－4所示，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝AB＝6，將△OAB繞點O沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△OA1B1.圖3－2－4(1)線段OA1的長是______.∠AOB1的度數(shù)是________；(2)連結AA1，求證：四邊形OAA1B1是平行四邊形；(3)求四邊形OAA1B1的面積．【解析】(1)OA1＝OA＝6，∠AOB1＝∠A1OB1＋∠A1OA＝45°＋90°＝135°；(2)證明OA綊A1B1；(3)四邊形OAA1B1的面積＝OA·OA1.6135°解：(1)OA1＝OA＝6，∠AOB1＝∠A1OB1＋∠AOA＝45°＋90°＝135°(2)證明：∵∠AOA1＝∠OA1B1＝90°，∴OA∥A1B1，又OA＝AB＝A1B1，∴四邊形OAA1B1是平行四邊形；(3)四邊形OAA1B1的面積＝OA·OA1＝6×6＝36.【點悟】(1)旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等，對應角、對應邊相等；(2)對應點與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的夾角等于旋轉(zhuǎn)角． 1.如圖3－2－5所示，可以看作是一個等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)若干次而生成的圖案，則每次旋轉(zhuǎn)的度數(shù)可以是 (

)圖3－2－5CA．90°

B．60°C．45° D．30°【解析】∵中心角是由8個度數(shù)相等的角組成，∴每次旋轉(zhuǎn)的度數(shù)可以為360°÷8＝45°.2．如圖3－2－6，Rt△ABC是等腰三角形，D是Rt△ABC內(nèi)一點，BC是斜邊，如果將△ABD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到△ACD′的位置，則∠ADD′的度數(shù)是(

)圖3－2－6DA．25° B．30°C．35° D．45°【解析】∵將△ABD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到△ACD′的位置，∴AD＝AD′，∠DAD′＝∠BAC＝90°，即△ADD′是等腰直角三角形，∴∠ADD′＝45°.類型之二旋轉(zhuǎn)作圖例2如圖3－2－7所示，已知四邊形ABCD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一定角度后，使得點A落在點A′處，試作出旋轉(zhuǎn)后的圖形．圖3－2－7解：圖略．作法：(1)連結OA，OA′.(2)連結OB，OC，OD，分別以OB，OC，OD為始邊，點O為頂點順時針作∠BOB′，∠COC′，∠DOD′，并使得∠BOB′＝∠COC′＝∠DOD′＝∠AOA′，OB′＝OB，OC′＝OC，OD′＝OD.(3)順次連結A′，B′，C′，D′四點．則四邊形A′B′C′D′就是所要作的圖形．【點悟】旋轉(zhuǎn)作圖的依據(jù)是圖形上每一點都繞旋轉(zhuǎn)中心沿相同的方向轉(zhuǎn)動了相同的角度，對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，這是旋轉(zhuǎn)的基本規(guī)律，也是我們作圖的依據(jù)，對于旋轉(zhuǎn)作圖，應先確定圖形的“關鍵點”，以局部帶動整體進行旋轉(zhuǎn)． (2012·安徽)如圖3－2－8，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，給出了格點△ABC(頂點是網(wǎng)格線的交點)和點A1.圖3－2－8(1)畫出一個格點△A1B1C1，并使它與△ABC全等且A與A1是對應點；(2)畫出點B關于直線AC的對稱點D，并指出AD可以看作由AB繞A點經(jīng)過怎樣的旋轉(zhuǎn)而得到的．解：(1)如圖所示，利用△ABC≌△A1B1C1，圖形平移，可得出△A1B1C1；(2)如圖所示，AD可以看成是AB繞著點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的．【點悟】本題應熟練掌握根據(jù)平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)的特征作圖．類型之三旋轉(zhuǎn)證明例3如圖3－2－9，正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上，連結BE，DG.(1)觀察猜想BE與DG之間的大小關系，并證明你的結論；(2)圖中是否存在通過旋轉(zhuǎn)能夠互相重合的兩個三角形？若存在，請說出旋轉(zhuǎn)過程；若不存在，請說明理由．圖3－2－9【解析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)找出滿足△BCE≌△DCG的條件，得到△BCE≌△DCG，從而求出BE＝DG；(2)將Rt△BCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，可與Rt△DCG完全重合．解：(1)BE＝DG.證明：在△BCE和△DCG中，∵四邊形ABCD和四邊形ECGF都是正方形，∴BC＝DC，EC＝GC，∵∠BCE＝∠DCG＝90°，∴△BCE≌△DCG，∴BE＝DG；(2)由(1)證明過程知：存在，是Rt△BCE和Rt△DCG，將Rt△BCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°，可與Rt△DCG完全重合．(或?qū)t△DCG繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，可與Rt△BCE完全重合)． 1.如圖3－2－10，已知D為等邊△ABC內(nèi)一點，將△DBC繞點C旋轉(zhuǎn)到△EAC的位置．試判斷△CDE的形狀，并證明你的結論．圖3－2－10解：△CDE為等邊三角形．證明：∵△EAC是由△DBC繞點C旋轉(zhuǎn)而成，∴∠ACE＝∠BCD，CD＝CE，∴∠DCE＝∠BCA，∵△ABC為等邊三角形，∴∠ACB＝∠DCE＝60°，∵CE＝CD，∴∠CED＝∠CDE＝60°，∴△CDE為等邊三角形．2．如圖3－2－11，把正方形AB