2023年全國中考正方形試題匯總

第六課時正方形

【考點精要】本節(jié)主要內(nèi)容是正方形的概念、性質(zhì)及判定；熱門考點是運用正方形的性質(zhì)及

判定解決有關(guān)證明和計算問題；也可與圓、相似、方程、函數(shù)等相結(jié)合，以綜合題的形式

出現(xiàn).

【經(jīng)典例題】D__________"

例1.（2023襄陽）如圖，4BCO是正方形，G是BC上（除端點外）口\

于點E,BF//DE,交AG于點?以下結(jié)論不一定成立的是（）--------

A./XAED^/XBFAB.DE-BF=EFA

C.ABGFsADAED.DE-BG=FG

正方形的邊交于A、B兩點，那么線段AB的最小值是

例3.（2023綏化）如下圖，直線a經(jīng)過正方形A8C。的頂點A,分別

。作BFJLa于點尸、￡>E_La于點E,假設(shè)。E=8,B尸=5,那么E尸的悵

例4.（2023四川內(nèi)江，21,9分）如圖11,四邊形ABC。是矩形

=NBCE,NAED=NCED,點、G是BC、AE延長線的交點，AG

（1）求證：四邊形A8CD是正方形;

（2）當AE=2E尸時，判斷FG與E尸有何數(shù)量關(guān)系？并證明你的

【雙基檢測】c/7

選擇題：一下一

1.（2023,黔東南）點尸是正方形A8C。邊AB上一點（不與A、B重合），連結(jié)&并將線

段PO繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90。，得線段PE,連結(jié)BE,那么/CBE等于（/

A、7508、60℃、45力、30°

2.（2023河北省11,3分）11、如圖，兩個正方形的面積分別為16、9,兩陰影局部的面積分

別為a,btd>b],那么（”》）等于〔）

A.7B.6C,5D.4

3（2023?日照市）觀察圖中正方形四個頂點所標的數(shù)字規(guī)律，（a\

（A）第502個正方形的左下角（B）第502個正方

（C）第503個正方形的左上角（D）第503個正方\

4.（2023義烏）一個正方形的面積是15,估計它的邊長大小在g

A.2與3之間B.3與4之間C.4與5之間D.5與6之間

5.（2023安徽?。樵黾泳G化面積，某小區(qū)將原來正方形地磚更換為如下圖的正八邊形植

草磚，更換后，圖中陰影局部為植草區(qū)域，設(shè)正八邊形與其內(nèi)部小正方形的邊長都為“，

那么陰影局部的面積為（）

A.2a2B.3a2

C.4a2I）.5a2

6.（2023桂林）如圖，在邊長為4的正方形A8co中，動點尸從A點出發(fā),

位長度的速度沿48向8點運動，同時動點。從8點出發(fā)，以每秒2個

度沿8C—CD方向運動，當戶運動到B點時，P、。兩點同時停止運動

的時間為f,△APQ的面積為S,那么S與f的函數(shù)關(guān)系的圖象是（

CD

ABCD

7.（2023?徐州）如圖，將邊長為a的正方形ABCD沿對角線平移，

使點A移至線段AC的中點A'處,得新正方形A'B'C'D',新

正方形與原正方形重疊局部（圖中陰影局部）的面積是（）

A.s/2B.—C.1D.一

24

8.（2023咸寧）如圖，正方形048c與正方形ODEF是位似圖形，。為位似中心,

相似比為1：、歷,點A的坐標為（1,0）,那么E點的坐標為（

A.（V2,0）B.（-,-）C.（V2,V2）D.（2,2）

22

9.（2023年寧波）勾股定理是幾何中的一個重要定理，在我國古算書'

設(shè)勾三，股四，那么弦五”記載，如圖1是由邊長相等的小正形和直

其面積關(guān)系驗證勾股定理。圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到的，

/BAC=90BB=3>AC=4,Q,E,F,G,H,/都在矩形KLMJ的邊上，那么矩形KLMJ的面積為（）

0)90(8)100(QUO(0)121

10.以下說法不正確的是（）

A.一組鄰邊相等的矩形是正方形B.對角線相等的菱形是正方形

C.對角線互相垂直的矩形是正方形D.有一個角是直角的平行四邊形是正方形

二、填空題

11.（2023江西）如圖，正方形ABCD與正三角形AEF的頂點A重合，將AAEF繞頂點A

旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中，當BE=DF時，NBAE的大小可以是.

12.（2023攀枝花）如圖，正方形ABCD中，AB=4,E是BC的中點，點P是對角線AC

上一動點，那么PE+PB的最小值為

13.12023宜賓）如圖，正方形A8CO的邊長為1,連結(jié)/

交8。于點E,那么DE=

14.（2023?威海）正方形腦G9在平面直角坐標系中的位置如下圖，

標（-3,0）,那么C點坐標o

15.（2023湛江）如圖，設(shè)四邊形ABCD是邊長為1的正方形，

角線AC為邊作第二個正方形ACEF、再以對角線AE為邊作笫三

方形AEGH,如此下去....假設(shè)正方形ABCD的邊長記為ai,按

方法所作的正方形的邊長依次為32，33，341an>那么an=.

三、解答題

16.（2023貴陽）如圖，在正方形ABCC中，等邊三角形AE尸的頂點E,F分別在BC和C。

（1）求證：CE=CF；\

（2）假設(shè)等邊三角形4E尸的邊長為2,求正方形A8CD的周長.\//

17.（2023呼和浩特）如圖，四邊形ABCQ是正方形，點G是BC邊上

于E,BF//DE,交AG于F。BEC

（1）求證：AF-BF=EF；

（2）將△AB尸繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使得AB與40重合，記此時點尸的對應(yīng)點為點尸‘。假

設(shè)正方形邊長為3,求點尸與旋轉(zhuǎn)前的圖中點E之間的距離。

18.（2023南京）如圖，在梯形ABCZ）中，AD//BC,AB=DC,對角線AC、BD交于點O,

AC1BD,E.F、G、〃分別是AB、BC、CD、D4的中點.A---------力。

11）求證：四邊形EFG”是正方形；

（2）假設(shè)A￡>=2,BC=4,求四邊形EFGH的面積.

19.（2023珠海）如圖，把正方形A8C。繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)

（此時，點夕落在對角線AC上，點落在C￡>的延長線上），4夕交AO年點

求證：（1）△AD4'四△CQE；/XX、

（2）直線CE是線段A4的垂直平分線.BZ~-^―~-

20.（2023益陽）：如圖1,在面積為3的正方形ABCC中，E、F-----月，、'

兩點，AE_L8F于點G,且BE=1.j/K

（1）求證：AABE四△BCF；

（2）求出△ABE和ABCF重疊局部[即ABEG）的面積；

[3）現(xiàn)將△ABE繞點4逆時針方向旋轉(zhuǎn)到AAB'E'（如圖2）,使AB

處，問AABE在旋轉(zhuǎn)前后與重疊局部的面積是否發(fā)生了變彳

【探究創(chuàng)新】

21.（2023?德州）如下圖，現(xiàn)有一張邊長為4%q邊上

的一點（不與點A、點D重合）將正方形紙片才匕PG

交DC于H,折痕為EF,連接BP、BH.

⑴求證：NAPB=NBPH；//\/\

（2）當點P在邊AD上移動時，△PDH的周玲1^/,-----乂Al^————斗

（3）設(shè)AP為x,四邊形EFGP的面積為S,求出S與曼1的函數(shù)關(guān)系式，試圖看是否存在最

小值？假設(shè)存在，求出這個最小值；假設(shè)不存在，請說明理由.

參考答案

【經(jīng)典例題】

例1、D；例2、V2；例3、13

例4、（1）證明：?.?四邊形ABC。是矩形，...N3A￡>=N8CD=90。.

■:NBAE=NBCE,:./BAD—NBAE=NBCD—NBCE,即/EAO=/ECD.

,:NAED=NCED,ED=ED,:.叢AED9叢CED.：.AD=CD.

，矩形ABC￡>是正方形.

（2）FG=3EF.

理由：'."BG//AD,：.ZG=ZEAD.

由于NE4O=NECO,：.ZG=ZECD.

CEEG

；NCEG=NFEC,：./\CEG^/\FEC..

EFCE

由（1）知CE=AE,ffi]AE=2EF,故CE=2EF.

；.EG=2CE=4EF,即EF+FG=4EF.

：.FG=3EF.

【雙基檢測】

一、1、C2、A3、C4、B5、A

6、D7、B8、C9、C10、D

二、11、15°或16512、27513、圾-114、（1,-3）15.（我）n-'

16、（1）證明：?.?四邊形ABCD正方形，AZB=ZD=W°,AB=AD.

,：/XAEF是等邊三角形，：.AE=AF.

ABE當R3ADF,：.BE=DF,

'：BC=CD,：.CE=CF.

（2）在/?>△EFC中，CE=CF=2xsin450=G.

設(shè)正方形ABCD的邊長為x,那么x2+（x-J5/=22.解得,x=（舍負），正方形ABCD

2

的周長為4x巨土如=2JI+2遙.

2

17、（1）證明：???正方形48co

：.AB=AD,Z2+Z3=90°

VDEIAG

JZAED=90°

AZ1+Z3=9O°

AZ1=Z2

又，：BF//DE

：./AFB=/AE￡>=90。

在△4互>和4BFA中

：.BF=AE

"：AF-AE=EF

：.AF-BF=EF

(2)如圖，根據(jù)題意可知：ZMr=90°,DE=AF=AF

，可判斷四邊形AEDF為矩形

：.EF=AD=?>

18、⑴：E、F分別是AB、BC的中點

是三角形ABC的中位線

1

J.EF//AC.EF=-AC,

2

同理得，EH//BD,HG=-AC,EH=FG^-BD,

22

：.EH=FG=EF=HG

，四邊形EFGH為菱形

'：EF//AC,EH//BD,AC±BD

：.Z￡WG=90°

二菱形EFG”為正方形.

(2)；在梯形ABC。中，E、G分別是A3、CZ)的中點.

EG為梯形ABCD的中位線

1,、

：.EG=-(AD+BC)=3

2

四邊形EFGH的面積=1￡0=4.5

2

19、(1)由正方形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)，得A￡)=￡>C,/AOC=90。4c=AC,/D4，E=45。,

ZADA'=ZCDE=90°,

：.ZDEA'=ZDA'E=45°.：.DA'=DE.

：.AADA^ACDE.

⑵由正方形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)，得C￡)=CQ,ZCB'E=ZCDE=90°,CE=CE,

CB'E絲RtACQE「；AC=4C,...直線CE是線段44,的垂直平分線.

20、⑴證明：?..正方形ABCD中，ZABE=ZBCF=90°,AB=BC,

ZABF+ZCBF=90",

VAE1BF,

ZABF+ZBAE=90°,

ZBAE=ZCBF,

/.△ABE^ABCF.

⑵解：???正方形面積為3,；.AB=J^,

在△BGE與AABE中，VZGBE=ZBAE,ZEGB=ZEBA=90°

.'.△BGE^AABE

...黑箜=(毀尸，又BE=1,；.AE2=AB2+BE2=3+1=4

SIMEAE

.C-BE?氏

(用其他方法解答仿上步驟給分).

⑶解：沒有變化

VAB=V3,BE=1,.,.tanZBAE=4=,,ZBAE=30°,

石

VAB,=AD,NAB'E'=NADE'=90°,AE'公共，

.\RtAABE^RtAAB,E'^RtAADE*,

AZDAE,=ZBZAEZ=ZBAE=30°,

.?.AB'與AE在同一直線上，即BF與AB'的交點是G,

設(shè)BF與AE'的交點為H,

那么/BAG=NHAG=30。,ffi]ZAGB=ZAGH=90°,AG公共，

.,.△BAG^AHAG,

..S四邊形GHER_SfMili_S.MGH_SMRE-S^BG_?

AABE在旋轉(zhuǎn)前后與aBCF重疊局部的面積沒有變化.

【探究創(chuàng)新]

21、(1)解