專項(xiàng)五解析幾何

考點(diǎn)10解析幾何中的最值和取值范圍問(wèn)題命題分析考向趨勢(shì)圓錐曲線中的最值與取值范圍問(wèn)題是解析幾何中的核心問(wèn)題,是?？键c(diǎn)之一.最值問(wèn)題的解法靈活多變,但總體上主要有兩種方法:一是利用幾何法求解;二是利用代數(shù)法求解.取值范圍問(wèn)題常與不等式有關(guān),根據(jù)題中給定的幾何元素的位置關(guān)系及幾何量的代數(shù)關(guān)系,建立特定字母的不等式(組)是求解此類問(wèn)題的關(guān)鍵圓錐曲線中的最值與取值范圍問(wèn)題是高考中的常考題型,難度一般較大,常常把不等式、函數(shù)、圓及圓錐曲線等知識(shí)結(jié)合在一起,注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的考查,尤其是函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想的考查【母題】(2021年全國(guó)Ⅲ卷,文T20)斜率為k的直線l與橢圓C:x24+y23=1交于A,B兩點(diǎn).線段AB的中點(diǎn)為M(1,m)((1)證明:k<-12(2)設(shè)F為C的右焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),且FP+FA+FB=0.證明:2|FP|=|FA|+|FB|.【拆解1】由于此題涉及中點(diǎn)弦的問(wèn)題,所以可用點(diǎn)差法求得弦AB所在直線的斜率,進(jìn)而得出斜率的取值范圍.【拆解2】先求出點(diǎn)P的坐標(biāo),解出m,進(jìn)而由兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行證明.1.橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為(0,2),且離心率為63(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)假設(shè)A為橢圓C的下頂點(diǎn),M,N為橢圓C上異于A的兩點(diǎn),直線AM與AN的斜率之積為1.(i)求證:直線MN恒過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).(ii)假設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),求OM·ON的取值范圍.2.曲線C上的任意一點(diǎn)到兩定點(diǎn)F1(-2,0),F2(2,0)的距離之和為23,直線l交曲線C于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求曲線C的方程.(2)假設(shè)l不過(guò)點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸,記線段AB的中點(diǎn)為M,求證:直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值.(3)假設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)Q(0,2),求△OAB面積的最大值,以及取最大值時(shí)直線l的方程.圓錐曲線的最值與范圍問(wèn)題的常見求法(1)幾何法:假設(shè)題目的條件和結(jié)論能明顯表達(dá)幾何特征和意義,那么考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決.(2)代數(shù)法:假設(shè)題目的條件和結(jié)論能表達(dá)一種明確的函數(shù)關(guān)系,那么可先建立目標(biāo)函數(shù),再求這個(gè)函數(shù)的最值.在利用代數(shù)法解決最值與范圍問(wèn)題時(shí),常從以下五個(gè)方面考慮:①利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍;②利用參數(shù)的范圍,求新參數(shù)的范圍,解這類問(wèn)題的關(guān)鍵是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系;③利用隱含或的不等關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍;④利用根本不等式求出參數(shù)的取值范圍;⑤利用函數(shù)值域的求法,確定參數(shù)的取值范圍.1.(2021年宜賓市模擬)在圓O:x2+y2=4上任取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PD,D為垂足.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段PD的中點(diǎn)M形成軌跡C.(1)求軌跡C的方程.(2)假設(shè)直線y=x與曲線C交于A,B兩點(diǎn),Q為曲線C上一動(dòng)點(diǎn),求△ABQ面積的最大值.2.(2021年嘉祥縣第一中學(xué)高三模擬)如圖,拋物線E:x2=2py(p>0)與圓O:x2+y2=5相交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=4.過(guò)劣弧AB上的動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0)作圓O的切線,交拋物線E于C,D兩點(diǎn),分別以C,D為切點(diǎn)作拋物線E的切線l1,l2,且它們相交于點(diǎn)M.(1)求拋物線E的方程;(2)求點(diǎn)M到直線CD距離的最大值.3.(2021年辰溪縣第一中學(xué)月考)如圖,焦點(diǎn)在x軸上的橢圓x28+y2b2=1(b>0)有一個(gè)內(nèi)含圓x2+y2=83,該圓的垂直于x軸的切線交橢圓于點(diǎn)M,N,且OM⊥(1)求b的值.(2)設(shè)內(nèi)含圓的任意切線l交橢圓于點(diǎn)A,B.證明:OA⊥OB,并求|AB|的取值范圍.4.(2021年浙江寧波高三模擬)拋物線C1:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線與半橢圓C2:x24+y2=1(x≤0)相交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=(1)求拋物線C1的方程;(2)假設(shè)點(diǎn)P是半橢圓C2上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作拋物線C1的兩條切線,切點(diǎn)分別為C,D,求△PCD面積的取值范圍.5.(2021年上饒模擬)F是拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),恰好又是雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn),雙曲線C(1)求拋物線E和雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)直線l過(guò)點(diǎn)F,且與拋物線E交于A,B兩點(diǎn),以AB為直徑作圓M,設(shè)圓M與y軸交于點(diǎn)P,Q,求∠PMQ的最大值.6.(2021年安徽模擬)圓C:(x+1)2+y2=16,定點(diǎn)A(1,0),P為圓上任意一點(diǎn),線段AP的垂直平分線l和半徑CP相交于點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)Q的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程;(2)假設(shè)過(guò)定點(diǎn)F(0,3)的直線交曲線E于不同的兩點(diǎn)M,N(點(diǎn)M在點(diǎn)F,N之間),且滿足FM=λFN,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.7.(2021年上海模擬)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F為圓C:x2+y2-4x+3=0的圓心.(1)求拋物線的方程與其準(zhǔn)線方程.(2)設(shè)直線l與圓C相切,交拋物線于A,B兩點(diǎn).①假設(shè)線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為43,求直線l的方程;②求FA·FB的取值范圍.8.(2021年安徽模擬)如圖,O為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,離心率為e1,雙曲線C2:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F3,F4,離心率為e2,e1e2(1)求C1,C2的方程.(2)過(guò)F1作C1的不垂直于y軸的弦AB,M為弦AB的中點(diǎn),當(dāng)直線OM與C2交于P,Q兩點(diǎn)時(shí),求四邊形APBQ面積的最小值.考點(diǎn)11解析幾何中的定點(diǎn)、定值問(wèn)題命題分析考向趨勢(shì)定點(diǎn)、定值等問(wèn)題是高考的一個(gè)熱點(diǎn),其解法充分表達(dá)了解析幾何的根本思想:運(yùn)用坐標(biāo)法逐步將題目條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)關(guān)系式,然后綜合運(yùn)用代數(shù)、幾何知識(shí)化簡(jiǎn)求值圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定線問(wèn)題是高考中的?？碱}型,難度一般較大,常常把直線、圓及圓錐曲線等知識(shí)結(jié)合在一起,注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的考查,尤其是函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想的考查.表達(dá)了直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng)【母題】(2021年全國(guó)Ⅰ卷,文T21)A、B分別為橢圓E:x2a2+y2=1(a>1)的左、右頂點(diǎn),G為E的上頂點(diǎn),AG·GB=8,P為直線x=6上的動(dòng)點(diǎn),PA與E的另一交點(diǎn)為C,PB與(1)求橢圓E的方程;(2)證明:直線CD過(guò)定點(diǎn).【拆解1】根據(jù)題設(shè)條件得到A(-a,0),B(a,0),G(0,1),求出AG·GB,代入條件可求得a的值,從而求出橢圓E的方程.【拆解2】設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),求出AP,BP的方程,與橢圓方程聯(lián)立求得C,D兩點(diǎn)的坐標(biāo),再運(yùn)用點(diǎn)斜式方程化簡(jiǎn)求解即可得到定點(diǎn).1.拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)F在x軸的負(fù)半軸上,過(guò)焦點(diǎn)F作斜率為k的直線交拋物線C于A,B兩點(diǎn),且OA·OB=-12,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).(1)求拋物線C的方程.(2)設(shè)點(diǎn)D(-2,4),直線AD,BD分別交準(zhǔn)線l于點(diǎn)G,H,在x軸的負(fù)半軸上是否存在定點(diǎn)M,使GM⊥HM?假設(shè)存在,求出定點(diǎn)M的坐標(biāo),假設(shè)不存在,試說(shuō)明理由.2.橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0),(1)求橢圓E的方程.(2)設(shè)橢圓E的右焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)G(4,0)作斜率不為0的直線交橢圓E于M,N兩點(diǎn),設(shè)直線FM和FN的斜率為k1,k2,試判斷k1+k2是否為定值,假設(shè)是定值,求出該定值;假設(shè)不是定值,請(qǐng)說(shuō)明理由.求定值問(wèn)題常見的方法(1)從特殊入手,求出定值,再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān).(2)直接推理、計(jì)算,并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量,從而得到定值.定點(diǎn)問(wèn)題常見的解法(1)假設(shè)定點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)題意選擇參數(shù),建立一個(gè)直線系或曲線系方程,而該方程與參數(shù)無(wú)關(guān),故得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組,以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即所求定點(diǎn).(2)從特殊位置入手,找出定點(diǎn),再證明該點(diǎn)符合題意.1.(2021年四川模擬)曲線C:y=x22,D為直線y=-12上的動(dòng)點(diǎn),過(guò)D作C的兩條切線,切點(diǎn)分別為(1)證明:直線AB過(guò)定點(diǎn).(2)假設(shè)以E0,52為圓心的圓與直線AB相切,且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn),求四邊形2.(2021年天津南開中學(xué)高三月考)橢圓C:x2a2+y2b2=1的右焦點(diǎn)為(1,0),且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)O為原點(diǎn),直線l:y=kx+t(t≠±1)與橢圓C交于兩個(gè)不同的點(diǎn)P,Q,直線AP與x軸交于點(diǎn)M,直線AQ與x軸交于點(diǎn)N,假設(shè)|OM|·|ON|=2,求證:直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn).3.(2021年安徽模擬)橢圓C:x24+y2=1,A,B是橢圓C的左、右頂點(diǎn),P(1)證明:直線PA與直線PB的斜率之積為定值.(2)設(shè)經(jīng)過(guò)D(1,0)且斜率不為0的直線l交橢圓于M,N兩點(diǎn),直線AM與直線BN交于點(diǎn)Q,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求證:OA·OQ為定值.4.(2021年北京高三模擬)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)(1)求橢圓C的方程.(2)設(shè)點(diǎn)M為橢圓上位于第一象限內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn),A,B分別為橢圓的左頂點(diǎn)和下頂點(diǎn),直線MB與x軸交于點(diǎn)C,直線MA與y軸交于點(diǎn)D,求證:四邊形ABCD的面積為定值.5.(2021年上海模擬)橢圓E:x24+y23=1與y軸的正半軸相交于點(diǎn)M,且橢圓E上相異兩點(diǎn)A,B滿足直線MA,(1)證明:直線AB恒過(guò)定點(diǎn),并求定點(diǎn)的坐標(biāo).(2)求三角形ABM的面積的最大值.6.(2021年四川省高三月考)橢圓E:x24+y2b2=1(0<b<2)的離心率為12,動(dòng)直線l:y=kx+1與橢圓E交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)假設(shè)k=12,求△AOB的面積(2)試探究是否存在常數(shù)λ,使得(1+λ)OA·OB-2λOD·OP是定值.假設(shè)存在,求λ的值;假設(shè)不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.7.(2021年河北模擬)如圖,拋物線C:x2=4y,過(guò)點(diǎn)M(0,2)任作一直線與C相交于A,B兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B作y軸的平行線與直線AO相交于點(diǎn)D(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).(1)證明:動(dòng)點(diǎn)D在定直線上.(2)作C的任意一條切線l(不含x軸)與直線y=2相交于點(diǎn)N1,與(1)中的定直線相交于點(diǎn)N2,證明|MN2|2-|MN1|2為定值,并求此定值.8.(2021年江蘇省高三模擬)如圖,橢圓C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)和圓C2:x2+y2=b2,圓C2將橢圓C1的長(zhǎng)軸三等分,橢圓C1的右焦點(diǎn)到直線x=a2c的距離為24,橢圓C1的下頂點(diǎn)為E,過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O(1)求橢圓C1的方程.(2)假設(shè)直線EA,EB分別與橢圓C1相交的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)P,M.(i)求證:直線MP經(jīng)過(guò)一定點(diǎn).(ii)是否存在以(m,0)為圓心,325為半徑的圓G,使得直線PM和直線AB都與圓G相交?假設(shè)存在,請(qǐng)求出實(shí)數(shù)m的取值范圍;假設(shè)不存在,考點(diǎn)12解析幾何中的探索性問(wèn)題命題分析考向趨勢(shì)圓錐曲線中的探索性問(wèn)題具有開放性和發(fā)散性,此類問(wèn)題的條件和結(jié)論不完備,要求考生結(jié)合條件或假設(shè)新的條件進(jìn)行探究、觀察、分析、比較、想象、概括等,是高考中的常考題型探索性問(wèn)題常把不等式、函數(shù)、直線、圓及圓錐曲線等知識(shí)結(jié)合在一起,對(duì)數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)思想有較高的要求,難度一般較大,充分表達(dá)了直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)【母題】(2021年全國(guó)Ⅰ卷,文T21)點(diǎn)A,B關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱,|AB|=4,☉M過(guò)點(diǎn)A,B且與直線x+2=0相切.(1)假設(shè)A在直線x+y=0上,求☉M的半徑.(2)是否存在定點(diǎn)P,使得當(dāng)A運(yùn)動(dòng)時(shí),|MA|-|MP|為定值?并說(shuō)明理由.【拆解1】由題意設(shè)A(t,-t),B(-t,t),根據(jù)|AB|=4,可知|t|=2;由圓的性質(zhì)可知圓心M必在直線y=x上,可設(shè)圓心M(a,a),然后根據(jù)直線與圓相切的條件求圓的半徑.【拆解2】通過(guò)方程思想求出點(diǎn)M的軌跡,根據(jù)拋物線的定義求得定點(diǎn)坐標(biāo).1.拋物線C1:x=12py2(p>0)與橢圓C2:x2m2+y2m22=9(m>0)的一個(gè)交點(diǎn)為P((1)求C1與C2的方程.(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),在第一象限內(nèi),橢圓C2上是否存在點(diǎn)A,使過(guò)點(diǎn)O且垂直于OA的直線交拋物線C1于點(diǎn)B,直線AB交y軸于點(diǎn)E,且∠OAE=∠EOB?假設(shè)存在,求出點(diǎn)A的坐標(biāo);假設(shè)不存在,說(shuō)明理由.2.拋物線C:y2=2px(p>0),F為拋物線的焦點(diǎn),焦點(diǎn)F到直線3x-4y+3=0的距離為d1,焦點(diǎn)F到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為d2,且d1d2(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線y=kx+b與拋物線C交于A,B兩點(diǎn),且|y1-y2|=a(a>0,且a為常數(shù)),過(guò)弦AB的中點(diǎn)M作平行于x軸的直線交拋物線C于點(diǎn)D,連接AD,BD,試判斷△ABD的面積是否為定值.假設(shè)是,求出該定值;假設(shè)不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.存在性問(wèn)題的求解方法(1)存在性問(wèn)題通常采用“肯定順推法〞,將不確定性問(wèn)題明朗化.其步驟:假設(shè)滿足條件的元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在,用待定系數(shù)法設(shè)出,列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組,假設(shè)方程組有實(shí)數(shù)解,那么元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))存在;否那么,元素(點(diǎn)、直線、曲線或參數(shù))不存在.(2)反證法與驗(yàn)證法也是求解存在性問(wèn)題常用的方法.1.(2021年黑龍江省哈爾濱市高三模擬)圓M經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)且與直線y=-1相切,圓心M的軌跡為曲線C,點(diǎn)A(a,1)(a>0)為曲線C上一點(diǎn).(1)求a的值及曲線C的方程.(2)假設(shè)M,N為曲線C上異于A的兩點(diǎn),且AM⊥AN.記點(diǎn)M,N到直線x=-2的距離分別為d1,d2,判斷d1d2是否為定值,假設(shè)是,請(qǐng)求出該定值;假設(shè)不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.2.(2021年陜西省高三三模)定點(diǎn)S(-2,0),T(2,0),點(diǎn)P為平面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且直線SP,TP的斜率之積為-34(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程.(2)設(shè)點(diǎn)B為軌跡E與y軸正半軸的交點(diǎn),問(wèn)是否存在斜率為33的直線l,使得l交軌跡E于M,N兩點(diǎn),且Q(3,0)恰是△BMN的重心?假設(shè)存在,求出l的方程;假設(shè)不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由3.(2021年廣東省高三二模)點(diǎn)O(0,0),點(diǎn)P(-4,0)及拋物線C:y2=4x.(1)假設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)P及拋物線C上一點(diǎn)Q,當(dāng)∠OPQ最大時(shí),求直線l的方程.(2)在x軸上是否存在點(diǎn)M,使得過(guò)點(diǎn)M的任一條直線與拋物線C交于點(diǎn)A,B,且點(diǎn)M到直線AP,BP的距離相等?假設(shè)存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);假設(shè)不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.4.(2021年廣西壯族自治區(qū)高三一模)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)假設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為F1,過(guò)點(diǎn)F1的直線l與橢圓C交于D,E兩點(diǎn),那么在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)M,使得直線MD,ME的斜率互為相反數(shù)?假設(shè)存在