專項五解析幾何

考點10解析幾何中的最值和取值范圍問題命題分析考向趨勢圓錐曲線中的最值與取值范圍問題是解析幾何中的核心問題,是常考點之一.最值問題的解法靈活多變,但總體上主要有兩種方法:一是利用幾何法求解;二是利用代數(shù)法求解.取值范圍問題常與不等式有關(guān),根據(jù)題中給定的幾何元素的位置關(guān)系及幾何量的代數(shù)關(guān)系,建立特定字母的不等式(組)是求解此類問題的關(guān)鍵圓錐曲線中的最值與取值范圍問題是高考中的?？碱}型,難度一般較大,常常把不等式、函數(shù)、圓及圓錐曲線等知識結(jié)合在一起,注重數(shù)學(xué)思想方法的考查,尤其是函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想的考查【母題】(2021年全國Ⅲ卷,文T20)斜率為k的直線l與橢圓C:x24+y23=1交于A,B兩點.線段AB的中點為M(1,m)((1)證明:k<-12(2)設(shè)F為C的右焦點,P為C上一點,且FP+FA+FB=0.證明:2|FP|=|FA|+|FB|.【拆解1】由于此題涉及中點弦的問題,所以可用點差法求得弦AB所在直線的斜率,進(jìn)而得出斜率的取值范圍.【拆解2】先求出點P的坐標(biāo),解出m,進(jìn)而由兩點間的距離公式進(jìn)行證明.1.橢圓C的一個焦點為(0,2),且離心率為63(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)假設(shè)A為橢圓C的下頂點,M,N為橢圓C上異于A的兩點,直線AM與AN的斜率之積為1.(i)求證:直線MN恒過定點,并求出該定點的坐標(biāo).(ii)假設(shè)O為坐標(biāo)原點,求OM·ON的取值范圍.2.曲線C上的任意一點到兩定點F1(-2,0),F2(2,0)的距離之和為23,直線l交曲線C于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點.(1)求曲線C的方程.(2)假設(shè)l不過點O且不平行于坐標(biāo)軸,記線段AB的中點為M,求證:直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值.(3)假設(shè)直線l過點Q(0,2),求△OAB面積的最大值,以及取最大值時直線l的方程.圓錐曲線的最值與范圍問題的常見求法(1)幾何法:假設(shè)題目的條件和結(jié)論能明顯表達(dá)幾何特征和意義,那么考慮利用圖形性質(zhì)來解決.(2)代數(shù)法:假設(shè)題目的條件和結(jié)論能表達(dá)一種明確的函數(shù)關(guān)系,那么可先建立目標(biāo)函數(shù),再求這個函數(shù)的最值.在利用代數(shù)法解決最值與范圍問題時,常從以下五個方面考慮:①利用判別式來構(gòu)造不等關(guān)系,從而確定參數(shù)的取值范圍;②利用參數(shù)的范圍,求新參數(shù)的范圍,解這類問題的關(guān)鍵是在兩個參數(shù)之間建立等量關(guān)系;③利用隱含或的不等關(guān)系建立不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍;④利用根本不等式求出參數(shù)的取值范圍;⑤利用函數(shù)值域的求法,確定參數(shù)的取值范圍.1.(2021年宜賓市模擬)在圓O:x2+y2=4上任取一點P,過點P作x軸的垂線段PD,D為垂足.當(dāng)點P在圓上運動時,線段PD的中點M形成軌跡C.(1)求軌跡C的方程.(2)假設(shè)直線y=x與曲線C交于A,B兩點,Q為曲線C上一動點,求△ABQ面積的最大值.2.(2021年嘉祥縣第一中學(xué)高三模擬)如圖,拋物線E:x2=2py(p>0)與圓O:x2+y2=5相交于A,B兩點,且|AB|=4.過劣弧AB上的動點P(x0,y0)作圓O的切線,交拋物線E于C,D兩點,分別以C,D為切點作拋物線E的切線l1,l2,且它們相交于點M.(1)求拋物線E的方程;(2)求點M到直線CD距離的最大值.3.(2021年辰溪縣第一中學(xué)月考)如圖,焦點在x軸上的橢圓x28+y2b2=1(b>0)有一個內(nèi)含圓x2+y2=83,該圓的垂直于x軸的切線交橢圓于點M,N,且OM⊥(1)求b的值.(2)設(shè)內(nèi)含圓的任意切線l交橢圓于點A,B.證明:OA⊥OB,并求|AB|的取值范圍.4.(2021年浙江寧波高三模擬)拋物線C1:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線與半橢圓C2:x24+y2=1(x≤0)相交于A,B兩點,且|AB|=(1)求拋物線C1的方程;(2)假設(shè)點P是半橢圓C2上一動點,過點P作拋物線C1的兩條切線,切點分別為C,D,求△PCD面積的取值范圍.5.(2021年上饒模擬)F是拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點,恰好又是雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點,雙曲線C(1)求拋物線E和雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)直線l過點F,且與拋物線E交于A,B兩點,以AB為直徑作圓M,設(shè)圓M與y軸交于點P,Q,求∠PMQ的最大值.6.(2021年安徽模擬)圓C:(x+1)2+y2=16,定點A(1,0),P為圓上任意一點,線段AP的垂直平分線l和半徑CP相交于點Q,當(dāng)點P在圓上運動時,點Q的軌跡為曲線E.(1)求曲線E的方程;(2)假設(shè)過定點F(0,3)的直線交曲線E于不同的兩點M,N(點M在點F,N之間),且滿足FM=λFN,求實數(shù)λ的取值范圍.7.(2021年上海模擬)拋物線y2=2px(p>0)的焦點F為圓C:x2+y2-4x+3=0的圓心.(1)求拋物線的方程與其準(zhǔn)線方程.(2)設(shè)直線l與圓C相切,交拋物線于A,B兩點.①假設(shè)線段AB中點的縱坐標(biāo)為43,求直線l的方程;②求FA·FB的取值范圍.8.(2021年安徽模擬)如圖,O為坐標(biāo)原點,橢圓C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,離心率為e1,雙曲線C2:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F3,F4,離心率為e2,e1e2(1)求C1,C2的方程.(2)過F1作C1的不垂直于y軸的弦AB,M為弦AB的中點,當(dāng)直線OM與C2交于P,Q兩點時,求四邊形APBQ面積的最小值.考點11解析幾何中的定點、定值問題命題分析考向趨勢定點、定值等問題是高考的一個熱點,其解法充分表達(dá)了解析幾何的根本思想:運用坐標(biāo)法逐步將題目條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)關(guān)系式,然后綜合運用代數(shù)、幾何知識化簡求值圓錐曲線中的定點、定值、定線問題是高考中的?？碱}型,難度一般較大,常常把直線、圓及圓錐曲線等知識結(jié)合在一起,注重數(shù)學(xué)思想方法的考查,尤其是函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想的考查.表達(dá)了直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng)【母題】(2021年全國Ⅰ卷,文T21)A、B分別為橢圓E:x2a2+y2=1(a>1)的左、右頂點,G為E的上頂點,AG·GB=8,P為直線x=6上的動點,PA與E的另一交點為C,PB與(1)求橢圓E的方程;(2)證明:直線CD過定點.【拆解1】根據(jù)題設(shè)條件得到A(-a,0),B(a,0),G(0,1),求出AG·GB,代入條件可求得a的值,從而求出橢圓E的方程.【拆解2】設(shè)出點P的坐標(biāo),求出AP,BP的方程,與橢圓方程聯(lián)立求得C,D兩點的坐標(biāo),再運用點斜式方程化簡求解即可得到定點.1.拋物線C的頂點為坐標(biāo)原點,焦點F在x軸的負(fù)半軸上,過焦點F作斜率為k的直線交拋物線C于A,B兩點,且OA·OB=-12,其中O為坐標(biāo)原點.(1)求拋物線C的方程.(2)設(shè)點D(-2,4),直線AD,BD分別交準(zhǔn)線l于點G,H,在x軸的負(fù)半軸上是否存在定點M,使GM⊥HM?假設(shè)存在,求出定點M的坐標(biāo),假設(shè)不存在,試說明理由.2.橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0),(1)求橢圓E的方程.(2)設(shè)橢圓E的右焦點為F,過點G(4,0)作斜率不為0的直線交橢圓E于M,N兩點,設(shè)直線FM和FN的斜率為k1,k2,試判斷k1+k2是否為定值,假設(shè)是定值,求出該定值;假設(shè)不是定值,請說明理由.求定值問題常見的方法(1)從特殊入手,求出定值,再證明這個值與變量無關(guān).(2)直接推理、計算,并在計算推理的過程中消去變量,從而得到定值.定點問題常見的解法(1)假設(shè)定點坐標(biāo),根據(jù)題意選擇參數(shù),建立一個直線系或曲線系方程,而該方程與參數(shù)無關(guān),故得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組,以這個方程組的解為坐標(biāo)的點即所求定點.(2)從特殊位置入手,找出定點,再證明該點符合題意.1.(2021年四川模擬)曲線C:y=x22,D為直線y=-12上的動點,過D作C的兩條切線,切點分別為(1)證明:直線AB過定點.(2)假設(shè)以E0,52為圓心的圓與直線AB相切,且切點為線段AB的中點,求四邊形2.(2021年天津南開中學(xué)高三月考)橢圓C:x2a2+y2b2=1的右焦點為(1,0),且經(jīng)過點A(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)O為原點,直線l:y=kx+t(t≠±1)與橢圓C交于兩個不同的點P,Q,直線AP與x軸交于點M,直線AQ與x軸交于點N,假設(shè)|OM|·|ON|=2,求證:直線l經(jīng)過定點.3.(2021年安徽模擬)橢圓C:x24+y2=1,A,B是橢圓C的左、右頂點,P(1)證明:直線PA與直線PB的斜率之積為定值.(2)設(shè)經(jīng)過D(1,0)且斜率不為0的直線l交橢圓于M,N兩點,直線AM與直線BN交于點Q,O為坐標(biāo)原點,求證:OA·OQ為定值.4.(2021年北京高三模擬)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)(1)求橢圓C的方程.(2)設(shè)點M為橢圓上位于第一象限內(nèi)的一動點,A,B分別為橢圓的左頂點和下頂點,直線MB與x軸交于點C,直線MA與y軸交于點D,求證:四邊形ABCD的面積為定值.5.(2021年上海模擬)橢圓E:x24+y23=1與y軸的正半軸相交于點M,且橢圓E上相異兩點A,B滿足直線MA,(1)證明:直線AB恒過定點,并求定點的坐標(biāo).(2)求三角形ABM的面積的最大值.6.(2021年四川省高三月考)橢圓E:x24+y2b2=1(0<b<2)的離心率為12,動直線l:y=kx+1與橢圓E交于點A,B,與y軸交于點為坐標(biāo)原點(1)假設(shè)k=12,求△AOB的面積(2)試探究是否存在常數(shù)λ,使得(1+λ)OA·OB-2λOD·OP是定值.假設(shè)存在,求λ的值;假設(shè)不存在,請說明理由.7.(2021年河北模擬)如圖,拋物線C:x2=4y,過點M(0,2)任作一直線與C相交于A,B兩點,過點B作y軸的平行線與直線AO相交于點D(O為坐標(biāo)原點).(1)證明:動點D在定直線上.(2)作C的任意一條切線l(不含x軸)與直線y=2相交于點N1,與(1)中的定直線相交于點N2,證明|MN2|2-|MN1|2為定值,并求此定值.8.(2021年江蘇省高三模擬)如圖,橢圓C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)和圓C2:x2+y2=b2,圓C2將橢圓C1的長軸三等分,橢圓C1的右焦點到直線x=a2c的距離為24,橢圓C1的下頂點為E,過坐標(biāo)原點O(1)求橢圓C1的方程.(2)假設(shè)直線EA,EB分別與橢圓C1相交的另一個交點為點P,M.(i)求證:直線MP經(jīng)過一定點.(ii)是否存在以(m,0)為圓心,325為半徑的圓G,使得直線PM和直線AB都與圓G相交?假設(shè)存在,請求出實數(shù)m的取值范圍;假設(shè)不存在,考點12解析幾何中的探索性問題命題分析考向趨勢圓錐曲線中的探索性問題具有開放性和發(fā)散性,此類問題的條件和結(jié)論不完備,要求考生結(jié)合條件或假設(shè)新的條件進(jìn)行探究、觀察、分析、比較、想象、概括等,是高考中的?？碱}型探索性問題常把不等式、函數(shù)、直線、圓及圓錐曲線等知識結(jié)合在一起,對數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)思想有較高的要求,難度一般較大,充分表達(dá)了直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等核心素養(yǎng)【母題】(2021年全國Ⅰ卷,文T21)點A,B關(guān)于坐標(biāo)原點O對稱,|AB|=4,☉M過點A,B且與直線x+2=0相切.(1)假設(shè)A在直線x+y=0上,求☉M的半徑.(2)是否存在定點P,使得當(dāng)A運動時,|MA|-|MP|為定值?并說明理由.【拆解1】由題意設(shè)A(t,-t),B(-t,t),根據(jù)|AB|=4,可知|t|=2;由圓的性質(zhì)可知圓心M必在直線y=x上,可設(shè)圓心M(a,a),然后根據(jù)直線與圓相切的條件求圓的半徑.【拆解2】通過方程思想求出點M的軌跡,根據(jù)拋物線的定義求得定點坐標(biāo).1.拋物線C1:x=12py2(p>0)與橢圓C2:x2m2+y2m22=9(m>0)的一個交點為P((1)求C1與C2的方程.(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點,在第一象限內(nèi),橢圓C2上是否存在點A,使過點O且垂直于OA的直線交拋物線C1于點B,直線AB交y軸于點E,且∠OAE=∠EOB?假設(shè)存在,求出點A的坐標(biāo);假設(shè)不存在,說明理由.2.拋物線C:y2=2px(p>0),F為拋物線的焦點,焦點F到直線3x-4y+3=0的距離為d1,焦點F到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為d2,且d1d2(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)直線y=kx+b與拋物線C交于A,B兩點,且|y1-y2|=a(a>0,且a為常數(shù)),過弦AB的中點M作平行于x軸的直線交拋物線C于點D,連接AD,BD,試判斷△ABD的面積是否為定值.假設(shè)是,求出該定值;假設(shè)不是,請說明理由.存在性問題的求解方法(1)存在性問題通常采用“肯定順推法〞,將不確定性問題明朗化.其步驟:假設(shè)滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在,用待定系數(shù)法設(shè)出,列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組,假設(shè)方程組有實數(shù)解,那么元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在;否那么,元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在.(2)反證法與驗證法也是求解存在性問題常用的方法.1.(2021年黑龍江省哈爾濱市高三模擬)圓M經(jīng)過點(0,1)且與直線y=-1相切,圓心M的軌跡為曲線C,點A(a,1)(a>0)為曲線C上一點.(1)求a的值及曲線C的方程.(2)假設(shè)M,N為曲線C上異于A的兩點,且AM⊥AN.記點M,N到直線x=-2的距離分別為d1,d2,判斷d1d2是否為定值,假設(shè)是,請求出該定值;假設(shè)不是,請說明理由.2.(2021年陜西省高三三模)定點S(-2,0),T(2,0),點P為平面上的一個動點,且直線SP,TP的斜率之積為-34(1)求動點P的軌跡E的方程.(2)設(shè)點B為軌跡E與y軸正半軸的交點,問是否存在斜率為33的直線l,使得l交軌跡E于M,N兩點,且Q(3,0)恰是△BMN的重心?假設(shè)存在,求出l的方程;假設(shè)不存在,請說明理由3.(2021年廣東省高三二模)點O(0,0),點P(-4,0)及拋物線C:y2=4x.(1)假設(shè)直線l過點P及拋物線C上一點Q,當(dāng)∠OPQ最大時,求直線l的方程.(2)在x軸上是否存在點M,使得過點M的任一條直線與拋物線C交于點A,B,且點M到直線AP,BP的距離相等?假設(shè)存在,求出點M的坐標(biāo);假設(shè)不存在,請說明理由.4.(2021年廣西壯族自治區(qū)高三一模)橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)假設(shè)橢圓C的左焦點為F1,過點F1的直線l與橢圓C交于D,E兩點,那么在x軸上是否存在一個定點M,使得直線MD,ME的斜率互為相反數(shù)?假設(shè)存在