2023-2024學(xué)年湖南平江二中高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2023-2024學(xué)年湖南平江二中高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1．已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則的值為（）A. B.C. D.2．已知命題：“，方程有解”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.3．已知點，，則直線的傾斜角為（）A. B.C. D.4．下列函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)的是（）A. B.C. D.5．“四邊形是菱形”是“四邊形是平行四邊形”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6．要完成下列兩項調(diào)查：（1）某社區(qū)有100戶高收入家庭，210戶中等收入家庭，90戶低收入家庭，從中抽取100戶調(diào)查有關(guān)消費購買力的某項指標(biāo)；（2）從某中學(xué)高一年級的10名體育特長生中抽取3人調(diào)查學(xué)習(xí)情況；應(yīng)采用的抽樣方法分別是（）A.（1）用簡單隨機抽樣，（2）用分層隨機抽樣 B.（1）（2）都用簡單隨機抽樣C.（1）用分層隨機抽樣，（2）用簡單隨機抽樣 D.（1）（2）都用分層隨機抽樣7．的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示為（）A. B.C. D.都不對8．已知向量，且，則的值為（）A.1 B.2C. D.39．設(shè)全集，集合，則（）A.{3，5} B.{2，4}C.{1，2，3，4，5} D.{2，3，4，5，6}10．曲線與直線在軸右側(cè)的交點按橫坐標(biāo)從小到大依次記為,,,,,…,則等于A. B.2C.3 D.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11．放射性物質(zhì)鐳的某種同位素，每經(jīng)過一年剩下的質(zhì)量是原來的.若剩下的質(zhì)量不足原來的一半，則至少需要（填整數(shù)）____年.（參考數(shù)據(jù)：，)12．已知函數(shù)，則__________13．在半徑為5的圓中，的圓心角所對的扇形的面積為_______.14．等比數(shù)列中，，則___________15．已知扇形OAB的面積為，半徑為3，則圓心角為_____三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16．已知函數(shù)（1）求的最小正周期、最大值、最小值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；17．已知為奇函數(shù)，且（1）求的值；（2）判斷在上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明18．已知.（1）求的值；（2）求的值.19．設(shè)為實數(shù)，函數(shù)（1）當(dāng)時，求在區(qū)間上的最大值；（2）設(shè)函數(shù)為在區(qū)間上的最大值，求的解析式；（3）求的最小值.20．已知函數(shù)（1）求的最小正周期；（2）若，，求的值21．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期及函數(shù)的對稱軸方程；（2）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域.

參考答案一、選擇題（本大題共10小題；在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題意，請將正確選項填涂在答題卡上.）1、C【解析】將點的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求出的值即可.【詳解】因為函數(shù)的圖象經(jīng)過點，所以，則.故選：C.2、B【解析】由根的判別式列出不等關(guān)系，求出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】“，方程有解”是真命題，故，解得：，故選：B3、B【解析】由兩點求斜率公式可得AB所在直線當(dāng)斜率，再由斜率等于傾斜角的正切值求解【詳解】解：∵直線過點，，∴，設(shè)AB的傾斜角為α（0°≤α＜180°），則tanα＝1，即α＝45°故選B【點睛】本題考查直線的傾斜角，考查直線傾斜角與斜率的關(guān)系，是基礎(chǔ)題4、A【解析】函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，排除B，單調(diào)區(qū)間不能用并集連接，排除CD.【詳解】定義域為R，且在定義域上單調(diào)遞增，滿足題意，A正確；定義域為，在定義域內(nèi)是減函數(shù)，B錯誤；定義域為，而在為單調(diào)遞增函數(shù)，不能用并集連接，C錯誤；同理可知：定義域為，而在區(qū)間上單調(diào)遞增，不能用并集連接，D錯誤.故選：A5、A【解析】由菱形和平行四邊形的定義可判斷.【詳解】解：四邊形是菱形則四邊形是平行四邊形，反之，若四邊形是平行四邊形則四邊形不一定是菱形，所以“四邊形是菱形”是“四邊形是平行四邊形”充分不必要條件.故選：A.6、C【解析】根據(jù)簡單隨機抽樣、分層抽樣的適用條件進(jìn)行分析判斷.【詳解】因為有關(guān)消費購買力的某項指標(biāo)受家庭收入的影響，而社區(qū)家庭收入差距明顯，所以①用分層抽樣；從10名體育特長生中抽取3人調(diào)查學(xué)習(xí)情況，個體之間差別不大，且總體和樣本容量較小，所以②用簡單隨機抽樣.故選：C7、B【解析】直接由根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪即可【詳解】解：故選：B【點睛】本題考查了根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化，屬基礎(chǔ)題.8、A【解析】由，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運算得出，然后將所求代數(shù)式化為，并在分子分母上同時除以，利用弦化切的思想求解【詳解】由題意可得，即∴，故選A【點睛】本題考查垂直向量的坐標(biāo)表示以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查弦化切思想的應(yīng)用，一般而言，弦化切思想應(yīng)用于以下兩方面：（1）弦的分式齊次式：當(dāng)分式是關(guān)于角弦的次分式齊次式，分子分母同時除以，可以將分式由弦化為切；（2）弦的二次整式或二倍角的一次整式：先化為角的二次整式，然后除以化為弦的二次分式齊次式，并在分子分母中同時除以可以實現(xiàn)弦化切9、D【解析】先求補集，再求并集.詳解】，則.故選：D10、B【解析】曲線與直線在軸右側(cè)的交點按橫坐標(biāo)從小到大依次記為，曲線與直線在軸右側(cè)的交點按橫坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為根，解簡單三角方程可得對應(yīng)的橫坐標(biāo)分別為，，故選B.【思路點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象以及簡單的三角方程，屬于中檔題.解答本題的關(guān)鍵是將曲線與直線在軸右側(cè)的交點按橫坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為根，可得或，令取特殊值即可求得，從而可得.二、填空題（本大題共5小題，請把答案填在答題卡中相應(yīng)題中橫線上）11、【解析】設(shè)所需的年數(shù)為，由已知條件可得，解該不等式即可得結(jié)論.【詳解】設(shè)所需的年數(shù)為，由已知條件可得，則.因此，至少需要年.故答案為：.12、3【解析】13、【解析】先根據(jù)弧度的定義求得扇形的弧長,即可由扇形面積公式求得扇形的面積.【詳解】設(shè)扇形的弧長為根據(jù)弧度定義可知則由扇形面積公式代入可得故答案為:【點睛】本題考查了弧度的定義,扇形面積的求法,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】等比數(shù)列中，由可得．等比數(shù)列，構(gòu)成以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以【點睛】若數(shù)列為等比數(shù)列，則構(gòu)成等比數(shù)列15、【解析】直接利用扇形的面積公式得到答案.【詳解】故答案為：【點睛】本題考查了扇形面積的計算，屬于簡單題.三、解答題（本大題共6小題.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）16、（1），最大值1，最小值-1；（2）在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；【解析】（1）利用兩角差余弦公式、兩角和正弦公式化簡函數(shù)式，進(jìn)而求的最小正周期、最大值、最小值；（2）利用的性質(zhì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.【詳解】（1），∴，且最大值、最小值分別為1，-1；（2）由題意，當(dāng)時，單調(diào)遞增，∴，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，∴，，單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)，單調(diào)遞增；，單調(diào)遞減；【點睛】關(guān)鍵點點睛：應(yīng)用兩角和差公式化簡三角函數(shù)式并求最小正周期、最值；根據(jù)性質(zhì)確定三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.17、（1）；（2）遞減，見解析【解析】(1)函數(shù)是奇函數(shù)，所以，得到，從而解得；(2)在區(qū)間上任取兩個數(shù)，且，判斷的符號，得到，由此證明函數(shù)的單調(diào)性.詳解】(1)由題意知，則，解得；(2)函數(shù)在上單調(diào)遞減，證明如下：在區(qū)間上任取兩個數(shù)，且，因為，所以即，，所以即，函數(shù)在上單調(diào)遞減.【點睛】本題考查由函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，利用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)正切的差角公式求得，再利用正切的二倍角公式可求得答案；（2）根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系和正弦，余弦的二倍角公式，代入可得答案【詳解】（1）因為，所以，即，解得，所以，所以，（2）19、（1）0（2）t（a）（3）12﹣8【解析】（1）a＝1時，函數(shù)f（x）＝（x﹣1）2﹣1，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出它的值域；（2）化簡g（x）＝|f（x）|＝|x（x﹣2a）|，討論確定函數(shù)的單調(diào)性，求出最大值，得出t（a）的解析式；（3）分別求出各段函數(shù)的最小值（或下確界），比較各個最小值，其中的最小值，即為求t（a）的最小值【詳解】（1）a＝1時，f（x）＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∵x∈[0，2]，∴﹣1≤x﹣1≤1，∴﹣1≤（x﹣1）2﹣1≤0，在區(qū)間上的最大值為0；（2）g（x）＝|f（x）|＝|x（x﹣2a）|，①當(dāng)a≤0時，g（x）＝x2﹣2ax在[0，2]上增函數(shù)，故t（a）＝g（2）＝4﹣4a；②當(dāng)0＜a＜1時，g（x）在[0，a）上是增函數(shù)，在[a，2a）上是減函數(shù)，在[2a，2]上是增函數(shù)，而g（a）＝a2，g（2）＝4﹣4a，g（a）﹣g（2）＝a2+4a﹣4＝（a﹣22）（a+22），故當(dāng)0＜a＜22時，t（a）＝g（2）＝4﹣4a，當(dāng)22≤a＜1時，t（a）＝g（a）＝a2，③當(dāng)1≤a＜2時，g（x）在[0，a）上是增函數(shù)，在[a，2]上是減函數(shù)，故t（a）＝g（a）＝a2，④當(dāng)a≥2時，g（x）在[0，2]上是增函數(shù)，t（a）＝g（2）＝4a﹣4，故t（a）；（3）由（2）知，當(dāng)a＜22時，t（a）＝4﹣2a是單調(diào)減函數(shù)，，無最小值；當(dāng)時，t（a）＝a2是單調(diào)增函數(shù)，且t（a）的最小值為t（22）＝12﹣8；當(dāng)時，t（a）＝4a﹣4是單調(diào)增函數(shù)，最小值為t（2）＝4；比較得t（a）的最小值為t（22）＝12﹣8【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題的解法，含參以及含絕對值的二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題和分段函數(shù)的最值問題的解法，意在考查學(xué)生的分類討論思想意識以及數(shù)學(xué)運算能力20、（1）（2）【解析】(1)根據(jù)二倍角的正、余弦公式和輔助角公式化簡計算可得，結(jié)合公式計算即可；(2)根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和角的范圍求出，根據(jù)和兩角和的正弦公式直接計算即可.【小問1詳解】最小正周