2022年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)題6.5 《平面向量》單元測(cè)試卷

專(zhuān)題6.5《平面向量》單元測(cè)試卷

考試時(shí)間：120分鐘滿分：150

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在

本試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷選擇題部分（共60分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.（2021?泉州鯉城北大培文學(xué)校高一期末）下列命題正確的是（）

A.單位向量都相等B.若日與5都是單位向量，則無(wú)5=1

C.D.若q.》=0,則a=0

【答案】C

【解析】

利用向量的定義和性質(zhì)判斷即可.

【詳解】

對(duì)于A,向量是既有大小又有方向的量，單位向量只是模相等，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,小5=W-cos（a,5）,萬(wàn)與5的夾角不確定，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由向量數(shù)乘的定義可知正確；

對(duì)于D,a-b=0'說(shuō)明2與B垂直，故D錯(cuò)誤；

故選：C.

2.（2021?河北高一期末）在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是OE的中點(diǎn)，則通=（）

A.-AB--ADB.-AB+-AD

4242

C.-AB+-ADD.-AB--AD

4444

【答案】B

【解析】

由向量的線性運(yùn)算直接轉(zhuǎn)化求解即可.

【詳解】

\-DE=AE-AD=-AB-AD,

2

:.AF=AD+DF=AD+-DE=Ab+-\-AB-AD\=-AB+-AD.

22（2J42

故選：B.

3.（2021.湖北高一期末）已知向量2=（1,加），各=（2,4）,若％而，則j+力卜（）

A.3B.返C.3亞D.V5

2

【答案】C

【解析】

由￡〃石，可得lx4-2m=0，求出力的值，從而可求出￡+丐的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出歸+4

【詳解】

因?yàn)?區(qū)，所以1x4-2m=0,解得加=2,所以1+石=（3,6）,

所以歸+?=,32+6?=3也,

故選：C.

4.（2021?湖南高二期末）在Rt/XABC中，ACLBC,。點(diǎn)是A3邊上的中點(diǎn)，BC=6,C4=8,則

A夙。方的值為（）

A.-14B.-6C.14D.-12

【答案】A

【解析】

充分利用直角三角形的特點(diǎn)，向量的加減法運(yùn)算，以及不2=歸Ii」2來(lái)求解，將通,詬轉(zhuǎn)化為已知長(zhǎng)度的

。反◎［來(lái)計(jì)算.

【詳解】

AB=CB-CA^C￡j=1（CA+CB）,則麗?麗=；（赤?一瓦）=—14.

故選：A

5.（2021?泉州鯉城北大培文學(xué)校高一期末）設(shè)a=g,tan“，B=（cosa，T）,且涼活，則銳角a的值

是（）

A.—7T「B.-冗C人.-冗'D乃.一

12643

【答案】B

【解析】

由向量共線的坐標(biāo)表示列出關(guān)于a的三角函數(shù)式，由三角運(yùn)算求出角a.

【詳解】

解：?;a=(g,tana),B=(cosa,'|卜且allh，

13

，-x—=tanacos<z,

32

..1

..sina=—.

2

a為銳角，

7t

cc=-.

6

故選：B

ABACy/2

6.(2021.天津高一期中)在AABC中,AC-BC=0>-H.|^g||AC|-2'則為(

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

【答案】C

【解析】

ABAC當(dāng)可"AC"。,從而可判斷

由恁?阮=0，可得而，得NACB=9（）°,由MM

出三角形的形狀

【詳解】

解：因?yàn)轫?肥=0，所以彳弓，犯，所以NACB=90°，

ABACy/2、萬(wàn)

因?yàn)榘?序（=廳，所以cosNA4C=、_，

ABAC22

因?yàn)镹B4Ce（0°,180°）,所以/R4C=45°,

所以AABC為等腰直角三角形，

故選：C

7.（2021.湖北高一期末）已知￡,坂是不共線的向量，麗=7￡+石，麗=22￡_2=PQ=a+b,若

M.N,。三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)；I的值為（）

A.-10B.10C.-5D.5

【答案】A

【解析】

由向量的線性運(yùn)算，求得的=（2/l—1）G—茄，根據(jù)M,N,Q三點(diǎn)共線，得到麗=女畫(huà)，列出方程組,

即可求解.

【詳解】

由麗=2/l￡—23,PQ^a+b,

可得的=麗—而=2/l￡-%一￡-5=（2/1-1）￡—3萬(wàn)，

因?yàn)锳f,N,。三點(diǎn)共線，所以麗〃的，

所以存在唯一的實(shí)數(shù)Z，使得旃=攵麗，即7￡+萬(wàn)=攵（2/1—1）￡一3左萬(wàn)，

僅（22—1）=71

所以《'）,解得左=一一，丸=一10.

-3k=13

故選：A.

8.(2021.湖北高一月考)G是AABC的重心，a,〃,c分別是角A,B,C的對(duì)邊，若

20aGA+15bGB+12cGC=0>則cosA=()

34

A.0B.-C.-D.1

55

【答案】c

【解析】

由G是AABC的重心，得見(jiàn)+礪+0^=6，可令20a=l,15Z?=l,12c=l,可求得

a=-,b=Lc=—,再運(yùn)用余弦定理計(jì)算可得選項(xiàng).

201512

【詳解】

因?yàn)?是448。1的重心，所以/+痂+覺(jué)=6，^20aGA+15bGB+12cGC=0'可令

20a=l,15Z?=L12c=l,

解得。=焉，匕=白，c=A，所以COSA=_(12)(20)J,

2x—x—

1512

故選：C.

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.(2021?遼寧高一期中)設(shè)向量1=(2,0),囚=。,1),則()

A.,卜慟B.￡與坂的夾角是(

---一,一門(mén)

C.(a-h)±hD.與〃同向的單位向量是7,3

【答案】BC

【解析】

由條件算出,|，W，即可判斷A,算出COsG，9的值可判斷B,算出(Z-W.b的值可判斷C,與坂同向

fV2

的單位向量是一,一，可判斷D.

22

【詳解】

因?yàn)閍=(2,0),b=(l,l),

所以問(wèn)=2,W=0,故A錯(cuò)誤

]b2J]

因?yàn)閏osa，6）=百田=35=空-,所以￡與石的夾角是?，故B正確

因?yàn)镼—很）不=（1,-1>。,1）=1一1=0,所以0—故c正確

一，（4242}

與/?同I可的單位I可量是f,一1，故D錯(cuò)誤

（22J

故選：BC

10.（2021.福建漳州市.高一期末）設(shè)向量￡、b滿足,=M=1，且忸―2@=石，則以下結(jié)論正確的是（）

A.a±hB.卜+目=2C.卜-'=/D.<a,b>=60

【答案】AC

【解析】

將等式忸-24=6兩邊平方，求出鼠可判斷AD選項(xiàng)的正誤，利用平面向量數(shù)量積可判斷BC選項(xiàng)的

正誤.

【詳解】

rr

Qa=/；=1,在等式W-20=有兩邊平方可得47+片—47B=5,可得￡$=0，

故A選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

歸+q=+2a-h+b2=0，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

|a—S|-a-2a-b+b'->/2，C選項(xiàng)正確.

故選：AC.

11.（2021?湖南高一期中）已知向量￡,坂滿足同=1,忖=2,B+q=2,則下列結(jié)論中正確的是（）

A.a-b=-2B.aA.（a+2b）C.|a-/?|=V6D.￡與分的夾角為半

【答案】BC

【解析】

由同=1,忖=2,忖+4=2,求得￡石，再逐項(xiàng)判斷.

【詳解】

|一_|2-2———2——

a+〃=a+2Q?〃+〃=l+2a?Z?+4=4,

一r1

??atb——t

2

/.a(Q+2〃)=0,

?**a(〃+29,卜一q=7d52-2a-b+b=V6，

-ra-h1

cos<a,b>=pip.=--,

WW4

2乃

，a與否的夾角不是彳，

故選：BC.

12.(2021?湖北高一期中)下列關(guān)于平面向量的說(shuō)法中錯(cuò)誤的是()

A.若￡/序，則存在唯一的實(shí)數(shù)X,使得Z=

B.已知向量2=(1,2),B=(l,l),且2與￡+/萬(wàn)的夾角為銳角，則；I的取值范圍是1-g,+°o]

C.若=且cwO'則。=石

D.若點(diǎn)。為AABC的垂心，則礪.礪=礪.反=函.無(wú)

【答案】ABC

【解析】

直接利用向量的共線，向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量垂直的率要條件，向量的數(shù)量積的應(yīng)用判斷A,B,C,D的

結(jié)論即可

【詳解】

解：對(duì)于A,當(dāng)石=。時(shí)，滿足￡/后，但不滿足存在唯一的實(shí)數(shù)4,使得￡=彳坂，所以A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)閍=(l,2),^=(1,1),所以￡+4分=(1,2)+/1(1,1)=(1+/1,2+4)，因?yàn)椤┡cZ+/B的夾角

為銳角，所以a?(a+Ab)=32+5>0,解得X>一：，而當(dāng)4=0時(shí)，aa+1b共線,所以X>—jIL2H0,

所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由于"xO，a-c=b-c>所以當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以C錯(cuò)誤;

對(duì)于D,因?yàn)辄c(diǎn)。為AABC的垂心，所以礪J_6不，所以麗?逐二揚(yáng)?(礪一文)=0.所以

礪?礪=礪?玄同理可得。夙。。二函。^所以次?礪=麗衣=西衣,所以D正確,

故選：ABC

第II卷非選擇題部分（共90分）

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.（2021?河北高一期末）已知單位向量￡與向量B=（1,2）共線，則向量［的坐標(biāo)是.

【答案】也,亞）或（―乎,一竽）.

【解析】

根據(jù)與向量共線的單位向量的計(jì)算公式，即可求解.

【詳解】

由題意，單位向量￡與向量B=（l,2）共線，

則向量％=±g=±（否，即向量a的坐標(biāo)是吟堂）或（-冬-號(hào)）.

14.（2021.陜西商洛市.高二期末（理））已知向量1=（2,/1）與否=（一3,1）垂直，則痛2=.

【答案】240

【解析】

由向量垂直的坐標(biāo)表示求參數(shù)2,再由花2=如￡產(chǎn)即可求值.

【詳解】

由題意，2x（—3）+/l=0,則2=6,

=A|?|2=6X（4+36）=240.

故答案為：240

15.（2021.北京八中高二期末）已知向量a=（cosa,sina）,B=（cos/7,sin〃），且￡/R,那么與￡-另

的夾角大小是.

7t

【答案】-

2

【解析】

根據(jù)題意求出?+^=（cos?+cos/?,sincz+sin/?）,a-B=（cosa-cos/?,sinc-sin夕），然后根據(jù)平面

向量的夾角公式求解即可.

【詳解】

a+b=(cosa+cos/3,sina+sin力)，a-5=(cosa-cos力,sina-sin/?),

/_______\(a+b).(a-b)

cos(a+b,a-b)='一:，

'/卜+斗卜,

(cosa+cos(3)(cosa-cos夕)+(sina+sin/?)(sina—sin/?)

J(cosa+c+s尸『+(sina+sin/3『-^(cosa-cos^)*2+(sina-sin/?)"

cos2a-cos2yff+sin2a-sin2/?

j2+2cos(a-Q)?j2-2cos(a-￡)

_______________1-1_____________

j2+2cos(a-/?)-j2-2cos(a-/?)

=0,

所以(a+/?,a—Z?)=—,

IT

故答案為：一

2

16.(2021?湖南長(zhǎng)沙市?長(zhǎng)郡中學(xué)高一期末)已知。，b,。分別為AABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,。的對(duì)邊,

且2出?sinC+J^(/+b2-c2)=o,點(diǎn)。在邊AS上，且彳萬(wàn)=2而，CD=1,則AABC的面積最大

值為.

【答案】—＞/3

O

【解析】

利用余弦定理求得tanC=-G，從而求得角C，然后利用平面向量數(shù)量積結(jié)合基本不等式求得ah的最大值,

然后利用三角形面積公式求得結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)?"sinC+6-C?)=0,所以2"sinC+2島bcosC=0，

即sinC+J5cosC=0,所以tanC=-JL

因?yàn)?＜。＜兀，解得C=段.

—1—■2—■

因?yàn)樵?2麗,故CO=§C4+§C8,

uun2(]uir2"丫iuir：4UIT24uiruii-144

所以CD=-CA+-CB=-CA+-CB+-CACB=-b2+-a2+-abcosC

U3J999999

42

一

一9-9-

412422

由基本不等式可得，1=—/+—/——ah>_ah——ab=-ab,

999999

39

當(dāng)且僅當(dāng)。=一，8=3時(shí)，等號(hào)成立，即出?的最大值為一,

22

所以=-absinC=—ab<-y/3-

248

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.（2021.湖北高一?期中）已知向量￡=（-2,2）,B=（4,3）.

（1）若向量￡//",且口=3友,求"的坐標(biāo)；

（2）若向量￡+%石與￡-女石互相垂直，求實(shí)數(shù)攵的值.

【答案】（1）"=（3,-3）或工=（-3,3）；（2）k=+—.

【解析】

（1）設(shè)Z=（x,y）,利用兩個(gè)向量平行的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求出向量的坐標(biāo).

（2）由題意利用兩個(gè)向量乖宜的性質(zhì)，代入模即可求出左的值.

【詳解】

解：（1）設(shè)c=（x,y）,因?yàn)?〃￡,所以）'=一％,

因?yàn)橥?3拒，所以V+y2=i8,解得「一3或「一二，

11[y=-3[y=3

所以2=（3,—3）或2=（—3,3）.

（2）因?yàn)橄蛄颗c〃一左B互相垂直

所以（a+2B）?（a—比）=0，即2g之二。，

而a=（—2,2）,=（4,3）,所以藍(lán)=8,4=25,

因此8—25%2=0,解得人=±迪.

5

18.（2021?湖南高一期中）在AABC中，。是的中點(diǎn)，A3=2,AC=3,A￡>=2.

（1）求AABC的面積;

（2）若E為BC上一點(diǎn)且AE=/l求4的值.

【答案】（1）雙身；（2）

45

【解析】

（1）根據(jù)AD為中線可得通=g（而+/），兩邊平方后可求cosNB4C,求出sin/BAC后可求三角

形的面積.

（2）根據(jù)瓦8,C三點(diǎn)共線可求丸的值.

【詳解】

（1）是BC中點(diǎn)，且AB=2，AC=3，AD=2,

AAD=1（AB+AC）,.-.AD2=1（AB+AC）2,

.?.4=；（4+9+2A從前）=；（4+9+2-2-34osNBAC）,，cosNBAC=g,

而Nfi4C為三角形內(nèi)角，故sinNBAC=巫，

4

S^ABC=-ABAC-sinZBAC=^^-.

24

(2)?.?亞=%(有+卷■通+g■而且3,E,C三點(diǎn)共線,

1,解得a=g.

235

19.（2021?安徽高二期末（文））已知在△ABC中，角AB,C的對(duì)邊分別為a/,c,且02=2。cosC+6cosA，

c=3.

（1）求b；

（2）若A戶=—Z與+—前，且福?麗=一一，求AP的長(zhǎng).

333

【答案】(1)b=2；(2)\AP\=

【解析】

（1）利川余弦定理角化邊可化簡(jiǎn)己知等式得到關(guān)于匕的方程，解方程求得力；

（2）根據(jù)平面向量基本定理可確定而=g前=|（衣-麗），利用福?麗=-（可構(gòu)造方程求得

cosNBAC,進(jìn)而求得麗2,開(kāi)平方得到結(jié)果.

【詳解】

（1）b1=2tzcosC4-6cosA?c=3，

2222

zyA_r/y+2_2

/.b2=2acosC+2ccosA=——+^———=2b,解得：b=0(舍)或b=2,

hb

b=2.

(2)由麗=，麗+2/可知：P是BC上靠近C的三等分點(diǎn)，

33

.-.BP=|BC=|(AC-AB),

---------2—■—■2--2227

ABBP=-ABAC一一AB=-x3x2xcosZBAC一一x9=4cosNBAC-6=-一，解得:

33333

cosZBAC=—

12

—214,4,1147,,J47

/.AP=—x9+—x4+—x3nx2x—=—,AP=———.

999129113

R+「

20.(2021?湖南高一期中)在條件①(q-，)(sinA+sin3)=c(sinC-sinB)；②bsin--——=asinB；

③cos2A-cos23=2sinC(sin3-sinC)中任選一個(gè)，補(bǔ)充以下問(wèn)題并解答：

B

如圖所示，△ABC中內(nèi)角A、8、C的對(duì)邊分別為a、6、c,，且3c=3,。在AC上，AB=AD.

(1)若BD=2,求sinNACB；

(2)若BD=2CD,求AC的長(zhǎng).

【答案】條件選擇見(jiàn)解析；(1)昱;(2)迎.

37

【解析】

若選①，由正弦定理可得(a")(a+b)=c(c-b),化簡(jiǎn)后再利用余弦定理可求出A=],

；若選②，由》sinWC=asin6結(jié)合B+C=7r-A,可得sinBsin[三，)=sinAsin8,化簡(jiǎn)后可得

sin'=g,從而可求出A=*若選③，對(duì)cos2A—cos23=2sinC(sin3—sinC)利用二倍角公式化簡(jiǎn)

可得sin?B+sin2C-sin2A=sinBsinC>再由正弦定理得歹+/一/=尻,從而由余弦定理可求出

A=一,

3

(1)由題意可得△ABD為等邊三角形，所以40c=120。，然后在△HOC中，利用正弦定理可求出

sinNACB的值；

(2)設(shè)￡>C=x,則A￡>=AB=5O=2x,AC=3x,在AABC■中利用余弦定理可求比尤=?互，從

7

而可求出AC的長(zhǎng)

【詳解】

解：選①,(a-/?)(sinA+sinB)=c(sinC-sinB),

由正弦定理得,(a-b)(a+b)=c(c-b),

b+Ca2

整理得，加+。2一標(biāo)=兒、，由余弦定理得：COsA='"~=-)

2bc2

rr

由A為三角形內(nèi)角得，4=三；

選②，hsin-----=asinB,

Tt-A

由3+。=兀一4得，sinBsin=sinAsinB

2

(?！狝、AAAA

因?yàn)閟inB>0,所以sin——=sinA,B|Jcos—=sinA=2sin—cos—,由于cos—>0,

I2J2222

所以2sin4=l,即sin4=J,故4=巴；

2223

選③，cos2A-cos2B=2sinC(sinB-sinC),

222

所以l—Zsin?A—l+2sin~JB=2sinC(sinB-sinC),整理得，sinB+sinC-sinA=sinBsinC?

由正弦定理得，h2+c2-a2^bc，由余弦定理得，cosA=

2bc2

TT

由A為三角形內(nèi)角得，A=§；

TT

(1)因?yàn)锳=§,BD=2,且AB=AD，

所以△A3。為等邊三角形，

所以N3￡)C=120°,BD=2,8C=3，

BCBD

△3OC中，由正弦定理得,

sinZBDCsinABCD

2

即一--

sin120°sinZBCD

反

所以sinZACB=sinNBCD=—,

3

(2)設(shè)OC=x,W]AD^AB=BD=2x,AC=3x,

4r2+9r2-91

△A5C中，由余弦定理得，cos60°^—-=

2?2x-3x2

修3幣977

故％=----，AC=-----

77

21.(2021?湖北高一期中)在AABC中，角A,B,。所對(duì)的邊分別為。，。，c且acosB=(2c-Z?)cosA.

(1)求A;

(2)已知8=3,若〃為BC的中點(diǎn)，且|而卜平，求AABC的面積.

【答案】（1）-；（2）

32

【解析】

（1）由正弦定理把a(bǔ)cosB=（2c-b）cosA轉(zhuǎn)化為sinAcosB=（2sinC-sinB）cosA可求得A；

（2）由A月+/=2加，兩邊平方可求得A5長(zhǎng)，從而求得△ABC的面積.

【詳解】

解：（1）IS6ZCOSB=（2c-Z?）cosA,由正弦定理得sinAcos3=（2sinC-sin3）cosA,

即sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosA,所以sinC=2sinCcosA,

因?yàn)樵?c中，sinCwO,所以cosA='，

2

jr

因?yàn)?<A<?,所以A=一.

3

?r，——-----v、uunuuusuunumiuuur。

（2）因?yàn)镸為8c的中點(diǎn)，則A3+4C=2AAf兩邊平萬(wàn)得，AB2+AC+2AB-AC=4AM

因?yàn)樨?3，|而卜平所以9+c2+2-3?c-g=41半），

解得c=2或c=-5（舍去），

所以AA6c的面積為5=,從4114=」3-2?走=3叵.

2222

22.（2021.湖南高一期末）已知.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,